培優(yōu)課數(shù)列的綜合問題目錄典型例題·精研析01知能演練·扣課標(biāo)02典型例題·精研析01課堂互動(dòng)關(guān)鍵能力提升

題型一等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題

（1）證明：{

an

}是等差數(shù)列；

（2）若

a4，

a7，

a9成等比數(shù)列，求

Sn

的最小值.

通性通法解決等差、等比數(shù)列的綜合問題應(yīng)注意四個(gè)方面（1）等差數(shù)列、等比數(shù)列公式和性質(zhì)的靈活應(yīng)用；（2）對(duì)于解答題注意基本量及方程思想；（3）注重問題的轉(zhuǎn)化，利用非等差數(shù)列、非等比數(shù)列構(gòu)造出新的等

差數(shù)列或等比數(shù)列，以便利用公式和性質(zhì)解題；（4）當(dāng)題中出現(xiàn)多個(gè)數(shù)列時(shí)，既要縱向考慮單一數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)之間

的關(guān)系，又要橫向考慮各數(shù)列之間的內(nèi)在聯(lián)系.【跟蹤訓(xùn)練】（2022·新高考Ⅱ卷）已知{

an

}是等差數(shù)列，{

bn

}是公比為2的等比數(shù)

列，且

a2－

b2＝

a3－

b3＝

b4－

a4.（1）證明：

a1＝

b1；解：

證明：設(shè)等差數(shù)列{

an

}的公差為

d

，由

a2－

b2＝

a3－

b3得

a1＋

d

－2

b1＝

a1＋2

d

－4

b1，即

d

＝2

b1，由

a2－

b2＝

b4－

a4得

a1＋

d

－2

b1＝8

b1－（

a1＋3

d

），即

a1＝5

b1－2

d

，將

d

＝2

b1代入，得

a1＝5

b1－2×2

b1＝

b1，即

a1＝

b1.（2）求集合{

k

｜

bk

＝

am

＋

a1，1≤

m

≤500}中元素的個(gè)數(shù).解：

由（1）知

an

＝

a1＋（

n

－1）

d

＝

a1＋（

n

－1）×2

b1

＝（2

n

－1）

a1，

bn

＝

b1·2

n－1，由

bk

＝

am

＋

a1得

b1·2

k－1＝（2

m

－1）

a1＋

a1，由

a1＝

b1≠0得2

k－1＝2

m

，由題知1≤

m

≤500，所以2≤2

m

≤1

000，所以

k

＝2，3，

4，…，10，共9個(gè)數(shù)，即集合{

k

｜

bk

＝

am

＋

a1，1≤

m

≤500}

＝{2，3，4，…，10}中元素的個(gè)數(shù)為9.題型二新定義問題【例2】已知數(shù)列{

an

}為“二階等差數(shù)列”，即當(dāng)

an＋1－

an

＝

bn

（

n

∈N＋）時(shí)，數(shù)列{

bn

}為等差數(shù)列.若

a1＝25，

a3＝67，

a5＝101.（1）求數(shù)列{

bn

}的通項(xiàng)公式；解：

由定義知，

b1＝

a2－

a1，

b2＝

a3－

a2，

b3＝

a4－

a3，

b4＝

a5－

a4，得

b1＋

b2＝

a3－

a1＝42，

b3＋

b4＝

a5－

a3＝34.設(shè)數(shù)列{

bn

}的公差為

d

，

b3＋

b4－（

b1＋

b2）＝4

d

＝－8，即

d

＝－2，易得

b1＝22，所以數(shù)列{

bn

}的通項(xiàng)公式為

bn

＝－2

n

＋24.（2）求數(shù)列{

an

}的最大值.

通性通法解決數(shù)列中新定義問題的一般流程（1）讀懂定義，理解新定義數(shù)列的含義；（2）特殊分析，比如先對(duì)

n

＝1，2，3，…的情況進(jìn)行討論；（3）通過特殊情況尋找新定義的數(shù)列的規(guī)律及性質(zhì)，以及新定義數(shù)

列與已知數(shù)列（如等差、等比數(shù)列）的關(guān)系，仔細(xì)觀察，探求

規(guī)律，注重轉(zhuǎn)化，合理設(shè)計(jì)解題方案；（4）聯(lián)系等差數(shù)列與等比數(shù)列知識(shí)將新定義數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為熟悉的

知識(shí)進(jìn)行求解.【跟蹤訓(xùn)練】

題型三數(shù)列與不等式的綜合問題【例3】

（2023·天津高考19題）已知數(shù)列{

an

}是等差數(shù)列，

a2＋

a5

＝16，

a5－

a3＝4.

（2）已知{

bn

}為等比數(shù)列，對(duì)于任意

k

∈N*，若2

k－1≤

n

≤2

k

－1，

則

bk

＜

an

＜

bk＋1.①當(dāng)

k

≥2時(shí)，求證：2

k

－1＜

bk

＜2

k

＋1；②求{

bn

}的通項(xiàng)公式及其前

n

項(xiàng)和.解：①證明：由（1）知

an

＝2

n

＋1，則數(shù)列{

an

}是遞增

數(shù)列.所以當(dāng)

k

≥2，2

k－1≤

n

≤2

k

－1時(shí)，有2×2

k－1＋1≤

an

≤2（2

k

－

1）＋1，即2

k

＋1≤

an

≤2

k＋1－1.又對(duì)于任意

k

∈N*，當(dāng)2

k－1≤

n

≤2

k

－1時(shí)，有

bk

＜

an

＜

bk＋1，

所以

bk＋1＞2

k＋1－1，

bk

＜2

k

＋1.由

bk＋1＞2

k＋1－1，得

bk

＞2

k

－1.所以當(dāng)

k

≥2時(shí)，2

k

－1＜

bk

＜2

k

＋1.②由①可知1＜

b1＜3，3＜

b2＜5，7＜

b3＜9，15＜

b4＜17，據(jù)此猜測(cè)

bn

＝2

n

.否則，若數(shù)列的公比

q

＞2，則

bn

＝

b1

qn－1＞

b1×2

n－1＞2

n－1.注意到2

n－1－（2

n

－1）＝1－2

n－1，則2

n－1－（2

n

－1）＞0不恒

成立，即2

n－1＞2

n

－1不恒成立，此時(shí)無法保證2

n

－1＜

bn

.若數(shù)列的公比

q

＜2，則

bn

＝

b1

qn－1＜

b1×2

n－1＜3×2

n－1.注意到3×2

n－1－（2

n

＋1）＝2

n－1－1，則2

n－1－1＜0不恒成

立，即3×2

n－1＜2

n

＋1不恒成立，此時(shí)無法保證

bn

＜2

n

＋1.

（1）求{

an

}的通項(xiàng)公式；

（2）證明：當(dāng)

n

＞5時(shí)，

Tn

＞

Sn

.

通性通法

解決數(shù)列與不等式的綜合問題時(shí)，若是證明題，則要靈活選

擇不等式的證明方法，如比較法、綜合法、分析法、放縮法等；

若是含參數(shù)的不等式恒成立問題，則可分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為研究最

值問題來解決.【跟蹤訓(xùn)練】若

Sn

是公差不為0的等差數(shù)列{

an

}的前

n

項(xiàng)和，且

S1，

S2，

S4成等比數(shù)

列，

S2＝4.（1）求數(shù)列{

an

}的通項(xiàng)公式；解：

設(shè){

an

}的公差為

d

（

d

≠0），則

S1＝

a1，

S2＝2

a1＋

d

，

S4＝4

a1＋6

d

.因?yàn)?/p>

S1，

S2，

S4成等比數(shù)列，所以

a1·（4

a1＋6

d

）＝（2

a1＋

d

）2.所以2

a1

d

＝

d2.因?yàn)?/p>

d

≠0，所以

d

＝2

a1.又因?yàn)?/p>

S2＝4，所以

a1＝1，

d

＝2，所以

an

＝2

n

－1.

知能演練·扣課標(biāo)02課后鞏固核心素養(yǎng)落地

1.

已知數(shù)列

a

，

a

（1－

a

），

a

（1－

a

）2，…是等比數(shù)列，則實(shí)數(shù)

a

滿足（

）A.

a

≠1B.

a

≠0或

a

≠1C.

a

≠0D.

a

≠0且

a

≠1解析：D

由于

a

，

a

（1－

a

），

a

（1－

a

）2，…是等比數(shù)列，則

a

需滿足

a

≠0，

a

（1－

a

）≠0，

a

（1－

a

）2≠0，所以

a

≠0且

a

≠1.1234567891011121314151617182.

設(shè)

Sn

為等比數(shù)列{

an

}的前

n

項(xiàng)和，已知3

S3＝

a4－2，3

S2＝

a3－2，

則公比

q

＝（

）A.3B.4C.5D.6解析：

3

S3－3

S2＝3

a3＝

a4－

a3?

a4＝4

a3?

q

＝4.1234567891011121314151617183.

在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列{

an

}中，

a2＝3，

a3＋

a4＝18，則

a8＝

（

）A.192B.2

187C.192或2

187

1234567891011121314151617184.

等比數(shù)列{

an

}的前

n

項(xiàng)和為

Sn

，首項(xiàng)

a1＝2，若數(shù)列{

Sn

－1}也為等

比數(shù)列，則數(shù)列{

an

}的公比

q

的值為（

）A.

－1B.1C.

±1D.

不能確定123456789101112131415161718解析：

由題意，等比數(shù)列{

an

}的前

n

項(xiàng)和為

Sn

，首項(xiàng)

a1＝2，

可得

S1＝

a1＝2，

S2＝

a1＋

a2＝2（1＋

q

），

S3＝

a1＋

a2＋

a3＝2（1

＋

q

＋

q2），則

S1－1＝1，

S2－1＝2

q

＋1，

S3－1＝2

q2＋2

q

＋1，

因?yàn)閿?shù)列{

Sn

－1}也為等比數(shù)列，所以（

S2－1）2＝（

S1－1）（

S3

－1），即（2

q

＋1）2＝1×（2

q2＋2

q

＋1），整理得

q2＋

q

＝0，

解得

q

＝－1或

q

＝0（舍去），所以數(shù)列{

an

}的公比

q

的值為－1.

故選A.

1234567891011121314151617185.

我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七

層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問尖頭幾盞燈.”意思

是：一座七層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上

一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層有燈（

）A.2盞B.3盞C.5盞D.6盞

123456789101112131415161718

A.2B.

－2

123456789101112131415161718

A.580B.585C.590D.595123456789101112131415161718

123456789101112131415161718

A.9B.10C.12D.17

1234567891011121314151617189.

（多選）已知等比數(shù)列{

an

}的前

n

項(xiàng)和是

Sn

，則下列說法一定成立

的是（

）A.

若

a3＞0，則

a2

025＞0B.

若

a4＞0，則

a2

024＞0C.

若

a3＞0，則

S2

025＞0D.

若

a3＞0，則

S2

025＜0123456789101112131415161718

12345678910111213141516171810.

（多選）設(shè)數(shù)列{

an

}滿足：

a1＝1，且對(duì)任意的

n

∈N＋，都有

an＋

1＝2

an

＋1，

Sn

為數(shù)列{

an

}的前

n

項(xiàng)和，則（

）A.

{

an

}為等比數(shù)列B.

an

＝2

n

－1D.

Sn

＝2

n

－

n

123456789101112131415161718

123456789101112131415161718

A.0＜

q

＜1B.

a2

023·

a2

025＞1C.

Sn

的最大值為

S2

025D.

Tn

的最大值為

T2

023123456789101112131415161718

123456789101112131415161718

B.

bn

＝2

n－1123456789101112131415161718

12345678910111213141516171813.

記數(shù)列{

an

}的前

n

項(xiàng)積為

Tn

，寫出一個(gè)同時(shí)滿足①②的數(shù)列{

an

}

的通項(xiàng)公式：

an

＝

?.①{

an

}是遞增的等比數(shù)列；②

T3＝

T6.

2

n－5（答案不唯一）123456789101