2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)壓軸題思維挑戰(zhàn)試卷一、綜合探究題（共2小題，滿分40分）（一）二次函數(shù)與幾何綜合題（20分）題目：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(y=ax^2+bx+3)與x軸交于點(diǎn)A(-1,0)、B(3,0)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D。點(diǎn)P是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m。求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；用含m的代數(shù)式表示線段PE的長(zhǎng)度；在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在點(diǎn)P，使得△PDE為等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，說(shuō)明理由。解答思路：求解析式與頂點(diǎn)坐標(biāo)將A(-1,0)、B(3,0)代入拋物線方程得：[\begin{cases}a(-1)^2+b(-1)+3=0\a(3)^2+b(3)+3=0\end{cases}]解得(a=-1)，(b=2)，故解析式為(y=-x^2+2x+3)。頂點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為(-\frac{2a}=1)，代入得(y=4)，即D(1,4)。表示PE的長(zhǎng)度直線BC的解析式：由B(3,0)、C(0,3)得(y=-x+3)。點(diǎn)P(m,-m+3)，PE⊥x軸，故PE長(zhǎng)度為(-m+3)（(0<m<3)）。等腰三角形存在性討論分三種情況：PD=PE：計(jì)算PD距離(\sqrt{(m-1)^2+(-m+3-4)^2}=-m+3)，解得(m=1)（舍，與D重合）；PD=DE：DE長(zhǎng)度為(\sqrt{(1-0)^2+(4-3)^2}=\sqrt{2})，方程無(wú)解；PE=DE：(-m+3=\sqrt{2})，解得(m=3-\sqrt{2})。綜上，存在點(diǎn)P，(m=3-\sqrt{2})。（二）動(dòng)態(tài)幾何與圓綜合題（20分）題目：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿CB方向向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（(0<t<4)）。以PQ為直徑作⊙O，連接OP、OQ。用含t的代數(shù)式表示線段PQ的長(zhǎng)度；當(dāng)t為何值時(shí)，⊙O與AB相切？在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段AB上是否存在一點(diǎn)M，使得△OMQ為等邊三角形？若存在，求出t的值；若不存在，說(shuō)明理由。解答思路：表示PQ長(zhǎng)度AP=t，CQ=2t，PC=6-t，QC=2t。由勾股定理得(PQ=\sqrt{(6-t)^2+(2t)^2}=\sqrt{5t^2-12t+36})。圓與AB相切的條件AB的解析式：(y=-\frac{4}{3}x+8)。圓心O為PQ中點(diǎn)((\frac{6-t}{2},t))，半徑(\frac{PQ}{2})。圓心到AB距離等于半徑：[\frac{\left|-\frac{4}{3}\cdot\frac{6-t}{2}-t+8\right|}{\sqrt{(-\frac{4}{3})^2+1}}=\frac{\sqrt{5t^2-12t+36}}{2}]化簡(jiǎn)得(t=\frac{18}{13})。等邊三角形存在性假設(shè)存在點(diǎn)M，OM=OQ=MQ。OQ長(zhǎng)度為(\frac{PQ}{2})，MQ需滿足角度關(guān)系。通過(guò)三角函數(shù)與方程求解，最終得出t=(\frac{6}{5})時(shí)成立。二、拓展創(chuàng)新題（共2小題，滿分30分）（一）函數(shù)與不等式綜合題（15分）題目：已知函數(shù)(y_1=x^2-2mx+m^2+1)，(y_2=-x^2+2nx+n^2-4)，其中m、n為常數(shù)。求證：無(wú)論m為何值，函數(shù)(y_1)的圖像與x軸無(wú)交點(diǎn)；若函數(shù)(y_1)與(y_2)的圖像交于點(diǎn)A(x?,y?)、B(x?,y?)，且x?<x?，當(dāng)x?-x?=4時(shí)，求m與n的數(shù)量關(guān)系；在（2）的條件下，若對(duì)任意x∈[1,3]，都有(y_1>y_2)，求n的取值范圍。解答思路：證明無(wú)交點(diǎn)判別式(\Delta=(-2m)^2-4(m^2+1)=-4<0)，故無(wú)交點(diǎn)。交點(diǎn)距離與參數(shù)關(guān)系聯(lián)立方程得(2x^2-2(m+n)x+(m^2-n^2+5)=0)。(x_1+x_2=m+n)，(x_1x_2=\frac{m^2-n^2+5}{2})。(x_2-x_1=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{4n^2-4m^2+20}=4)，化簡(jiǎn)得(n^2-m^2=-1)。不等式恒成立條件(y_1-y_2=2x^2-2(m+n)x+(m^2-n^2+5)>0)。由（2）知(m^2=n^2+1)，代入得(2x^2-2(m+n)x+6>0)。結(jié)合對(duì)稱軸與區(qū)間[1,3]，解得(n<-2)或(n>4)。（二）幾何變換與最值問(wèn)題（15分）題目：如圖，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，將△ABE沿AE折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)B'處。連接B'D，過(guò)點(diǎn)B'作B'F⊥AD于點(diǎn)F。求證：△AFB'∽△B'GE（G為B'E與CD的交點(diǎn)）；若BE=3，求B'D的長(zhǎng)度；在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求B'D的最小值。解答思路：相似三角形證明折疊性質(zhì)得∠AB'E=90°，∠FAB'=∠GB'E，故△AFB'∽△B'GE。計(jì)算B'D長(zhǎng)度BE=3，CE=5。設(shè)AF=x，B'F=y，由勾股定理得(x^2+y^2=6^2)，((8-x)^2+(6-y)^2=B'D^2)。由相似比得(\frac{x}{y}=\frac{y}{5})，解得(x=3.6)，(y=3)，B'D=(\sqrt{(8-3.6)^2+(6-3)^2}=5)。求B'D最小值點(diǎn)B'軌跡為以A為圓心、AB為半徑的圓弧。當(dāng)A、B'、D共線時(shí)，B'D最小，最小值為AD-AB=8-6=2。三、實(shí)踐應(yīng)用題（共2小題，滿分30分）（一）統(tǒng)計(jì)與概率綜合題（15分）題目：某學(xué)校為了解學(xué)生“雙減”后每天體育鍛煉時(shí)間，隨機(jī)抽取200名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，數(shù)據(jù)如下表：鍛煉時(shí)間t（分鐘）0≤t<3030≤t<6060≤t<9090≤t<120t≥120人數(shù)2050804010求這200名學(xué)生每天體育鍛煉時(shí)間的中位數(shù)和眾數(shù)所在區(qū)間；若該校共有2000名學(xué)生，估計(jì)每天鍛煉時(shí)間不少于60分鐘的學(xué)生人數(shù)；從鍛煉時(shí)間在[90,120)和[t≥120]的學(xué)生中任選2人，求至少有1人鍛煉時(shí)間在[t≥120]的概率。解答思路：中位數(shù)與眾數(shù)中位數(shù)在第100、101位，落在60≤t<90區(qū)間；眾數(shù)所在區(qū)間為60≤t<90（人數(shù)最多）。估計(jì)人數(shù)鍛煉≥60分鐘的比例為(\frac{80+40+10}{200}=65%)，估計(jì)人數(shù)為2000×65%=1300人。概率計(jì)算[90,120)有40人，[t≥120]有10人。至少1人在[t≥120]的概率(P=1-\frac{C_{40}^2}{C_{50}^2}=\frac{19}{49})。（二）幾何建模與實(shí)際應(yīng)用（15分）題目：某工廠要建造一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體蓄水池，容積為4800m3，深為3m。池底每平方米的造價(jià)為150元，池壁每平方米的造價(jià)為120元。設(shè)池底長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為xm。求底面積S與x的函數(shù)關(guān)系式；求總造價(jià)y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出最低總造價(jià)；若因場(chǎng)地限制，池底長(zhǎng)方形的長(zhǎng)不得超過(guò)40m，求此時(shí)最低總造價(jià)。解答思路：底面積公式容積=底面積×深，底面積(S=\frac{4800}{3}=1600)m2，寬為(\frac{1600}{x})m?？傇靸r(jià)函數(shù)與最值池底造價(jià)：150×1600=240000元。池壁造價(jià)：120×2(3x+3×(\frac{1600}{x}))=720(x+(\frac{1600}{x}))?？傇靸r(jià)(y=240000+720(x+\frac{1600}{x}))。由均值定理，(x+\frac{1600}{x}\geq80)（x=40時(shí)取等），最低造價(jià)為240000+720×80=297600元。限制條件下的最值x≤40時(shí)，函數(shù)(y=240000+720(x+\frac{1600}{x}))在(0,40]遞減，x=40時(shí)造價(jià)最低，為297600元。四、開(kāi)放探究題（共1小題，滿分20分）題目：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1,0)，點(diǎn)B(0,2)，點(diǎn)P是直線y=x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。當(dāng)PQ⊥AB時(shí)，求PQ長(zhǎng)度的最小值；以P、Q、A、B為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形？若能，求出所有符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)；若不能，說(shuō)明理由。解答思路：PQ最小值A(chǔ)B斜率為-2，PQ斜率為(\frac{1}{2})。設(shè)P(t,t)，Q(q,0)，(\frac{t-0}{t-q}=\frac{1}{2})得q=-t。PQ長(zhǎng)度(\sqrt{(t+t)^2+(t-0)^2}=\sqrt{5t^2})，最小值為0（P、Q重合于原點(diǎn)）。平行四邊形存在性分三種情況：AB為邊：(\overrightarrow{AB}=(-1,2))，(\overrightarrow{PQ}=(q-t,-t))，解得P(1,1)或(-1,-1)；AB為對(duì)角線：中點(diǎn)坐標(biāo)相等，解得P((\frac{1}{2},\frac{1}{2}))。綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,1)、(-1,-1)、((\frac{1}{2},\frac{1}{2}))。五、思維挑戰(zhàn)題（共1小題，滿分20分）題目：已知二次函數(shù)(y=ax^2+bx+c)（(a\neq0)）的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,2)，且與x軸交于點(diǎn)A(x?,0)、B(x?,0)，其中x?<x?，與y軸交于點(diǎn)C(0,c)。若a=1，且△ABC為直角三角形，求b的值；若對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有(ax^2+bx+c\geq2x)，求a+b+c的最小值。解答思路：直角三角形條件a=1時(shí)，函數(shù)為(y=x^2+bx+c)，過(guò)(1,2)得(b+c=1)?！鰽BC直角頂點(diǎn)分三種情況：A為直角：(x_1^2+c^2+(x_1-x_2)^2+c^2=(x_2-x_1)^2)，無(wú)解；B為直角：同理無(wú)解；C為直角：(x_1x_2+c^2=0)，結(jié)合韋達(dá)定理得(b=-\sqrt{5})（舍正）。