2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)成果試卷一、課題研究案例分析（40分）（一）《校園綠植覆蓋率與環(huán)境溫度關(guān)系研究》研究背景：某學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn)校園不同區(qū)域溫度存在差異，推測(cè)與綠植分布有關(guān)，選取教學(xué)樓前廣場(chǎng)（無(wú)綠植）、操場(chǎng)邊緣（草坪覆蓋）、圖書(shū)館周邊（喬木+灌木）三個(gè)區(qū)域作為研究對(duì)象，開(kāi)展為期一周的溫度監(jiān)測(cè)。數(shù)據(jù)收集與處理：測(cè)量工具：電子溫度計(jì)（精度0.1℃）、計(jì)時(shí)器、卷尺方法：每日10:00、14:00、16:00三個(gè)時(shí)間點(diǎn)，每個(gè)區(qū)域隨機(jī)選取3個(gè)測(cè)量點(diǎn)，連續(xù)記錄5天數(shù)據(jù)，取平均值如下表：區(qū)域日均溫度（℃）溫度波動(dòng)范圍（℃）綠植覆蓋率（%）教學(xué)樓前廣場(chǎng)28.65.2（26.1-31.3）0操場(chǎng)邊緣26.33.8（24.5-28.3）60圖書(shū)館周邊24.82.5（23.9-26.4）90數(shù)據(jù)分析：繪制散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)綠植覆蓋率與日均溫度呈負(fù)相關(guān)（相關(guān)系數(shù)r=-0.97），與溫度波動(dòng)范圍亦呈負(fù)相關(guān)（r=-0.92）建立線性回歸模型：日均溫度=28.7-0.042×覆蓋率（R2=0.94）研究結(jié)論：校園綠植覆蓋率每提高10%，日均溫度降低約0.4℃，且環(huán)境溫度穩(wěn)定性增強(qiáng)。建議在操場(chǎng)增設(shè)遮陽(yáng)喬木，預(yù)計(jì)可使夏季最高溫度降低2-3℃。（二）《泰森四邊形在社區(qū)快遞柜選址中的應(yīng)用》問(wèn)題提出：某社區(qū)計(jì)劃新增3個(gè)快遞柜，需覆蓋A、B、C、D四個(gè)居民小區(qū)（坐標(biāo)分別為A(0,0)、B(4,0)、C(5,3)、D(1,4)），如何確定快遞柜位置使各小區(qū)到最近柜點(diǎn)的距離總和最??？理論依據(jù)：根據(jù)泰森多邊形原理，多邊形頂點(diǎn)為相鄰小區(qū)連線的垂直平分線交點(diǎn)，可構(gòu)成Voronoi圖劃分服務(wù)區(qū)域。作圖步驟：連接AB、BC、CD、DA形成四邊形，作△ABC和△ADC的外接圓圓心O?、O?作AC、BD的垂直平分線交于點(diǎn)O?，得到泰森四邊形O?O?O?O?計(jì)算各頂點(diǎn)坐標(biāo)：O?(2,1.5)、O?(3,2)、O?(2.5,3)、O?(1.5,2.5)優(yōu)化方案：選取O?、O?、O?作為快遞柜位置，經(jīng)計(jì)算總服務(wù)距離為12.8km，較隨機(jī)選址方案縮短37%。二、數(shù)學(xué)建模與問(wèn)題解決（30分）（一）《無(wú)蓋長(zhǎng)方體容積最大化問(wèn)題》實(shí)踐任務(wù)：用一張邊長(zhǎng)20cm的正方形硬紙板，通過(guò)剪去四角相同小正方形（邊長(zhǎng)x），折疊成無(wú)蓋長(zhǎng)方體盒子，探究x為何值時(shí)容積V最大。過(guò)程推導(dǎo)：建立模型：長(zhǎng)方體高=x，底面邊長(zhǎng)=20-2x，容積V=x(20-2x)2（0<x<10）代數(shù)求解：展開(kāi)得V=4x3-80x2+400x求導(dǎo)V’=12x2-160x+400，令V’=0解得x=10/3≈3.33cm（x=10舍去）驗(yàn)證過(guò)程：當(dāng)x=3cm時(shí)，V=3×142=588cm3當(dāng)x=3.33cm時(shí)，V≈3.33×13.332≈592.6cm3當(dāng)x=4cm時(shí)，V=4×122=576cm3故x=10/3cm時(shí)容積最大，最大值為8000/27≈296.3cm3（二）《家庭垃圾分類(lèi)效率優(yōu)化研究》問(wèn)題情境：某家庭實(shí)行“可回收物、廚余垃圾、其他垃圾”三分法，記錄一周投放耗時(shí)如下（單位：秒/次）：可回收物：45,52,48,55,40,50,46廚余垃圾：30,25,28,32,26,29,31其他垃圾：20,18,22,19,21,17,23數(shù)據(jù)分析：計(jì)算統(tǒng)計(jì)量：可回收物：均值48，方差22.86，標(biāo)準(zhǔn)差≈4.78廚余垃圾：均值28.71，方差6.95，標(biāo)準(zhǔn)差≈2.64其他垃圾：均值20，方差4，標(biāo)準(zhǔn)差=2優(yōu)化建議：通過(guò)制作分類(lèi)提示卡，將可回收物識(shí)別時(shí)間縮短15%，使方差降至12.5設(shè)計(jì)傾斜式廚余垃圾桶，投放時(shí)間標(biāo)準(zhǔn)差減少至1.8三、跨學(xué)科綜合應(yīng)用（30分）（一）《古埃及金字塔中的幾何奧秘》研究?jī)?nèi)容：測(cè)量學(xué)校附近仿建金字塔模型（正四棱錐），探究其幾何性質(zhì)與黃金分割率的關(guān)系。實(shí)踐過(guò)程：數(shù)據(jù)測(cè)量：底邊長(zhǎng)a=4m，斜高l=3.2m，高h(yuǎn)=2.5m計(jì)算驗(yàn)證：側(cè)面三角形底邊上的高與底邊一半的比值：l/(a/2)=3.2/2=1.6（接近黃金比1.618）金字塔高與底面對(duì)角線一半的比值：h/(a√2/2)=2.5/(2.828)≈0.884（符合胡夫金字塔實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)0.886）（二）《運(yùn)動(dòng)健康中的數(shù)學(xué)分析》案例：某同學(xué)記錄1000米跑步訓(xùn)練數(shù)據(jù)（單位：秒）：第1周：330,325,328第2周：318,315,312第3周：305,302,298問(wèn)題解決：趨勢(shì)分析：建立時(shí)間（周）與平均成績(jī)的線性模型：y=332-11.5x（x為訓(xùn)練周數(shù)），預(yù)測(cè)第4周平均成績(jī)約為286秒強(qiáng)度控制：根據(jù)最大心率公式（220-年齡），該同學(xué)運(yùn)動(dòng)時(shí)心率應(yīng)控制在120-160次/分鐘，結(jié)合步頻180步/分鐘，計(jì)算每步能耗≈0.012千卡/千克·步四、研究性學(xué)習(xí)反思與拓展（附加20分）（一）研究方法改進(jìn)建議樣本容量問(wèn)題：溫度監(jiān)測(cè)案例中若增加雨天數(shù)據(jù)，可提高模型魯棒性誤差控制：測(cè)量金字塔高度時(shí)，使用測(cè)角儀替代卷尺，相對(duì)誤差可從3%降至0.5%（二）創(chuàng)新應(yīng)用設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)“校園共享單車(chē)停放優(yōu)化”方案，利用幾何分區(qū)法和流量統(tǒng)計(jì)，在教學(xué)樓與食堂之間設(shè)置3個(gè)停放點(diǎn)，使平均步行距離縮短至80米，高峰期擁堵率下降40%。（注：全卷共4大題，含研究案例2個(gè)、數(shù)學(xué)建模3項(xiàng)、數(shù)據(jù)分析6組，滿分120分，完成時(shí)間120分鐘）評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：數(shù)據(jù)真實(shí)性（20%）：需提供原始記錄照片或測(cè)量視頻方法科學(xué)性（30%）：模型構(gòu)建合理性、計(jì)算準(zhǔn)確性結(jié)論創(chuàng)新性（30%）：提出可操作的改進(jìn)方案報(bào)告規(guī)范性（20%）：圖表清晰度、邏輯連貫