2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)正方形綜合題試卷一、選擇題（每題4分，共20分）正方形ABCD中，對(duì)角線AC=8，則邊長(zhǎng)AB=（）A.4B.4√2C.8D.8√2下列條件中，不能判定四邊形是正方形的是（）A.對(duì)角線互相垂直且相等的平行四邊形B.對(duì)角線互相垂直的矩形C.對(duì)角線相等的菱形D.對(duì)角線互相垂直平分的四邊形正方形ABCD中，E為BC中點(diǎn)，∠AEB的度數(shù)為（）A.30°B.45°C.60°D.75°正方形邊長(zhǎng)為2，其外接圓面積為（）A.πB.2πC.4πD.8π如圖，正方形ABCD中，F(xiàn)是CD上一點(diǎn)，AE⊥BF于E，若AE=3，BE=4，則正方形邊長(zhǎng)為（）A.5B.6C.7D.8二、填空題（每題4分，共20分）正方形ABCD中，AB=6，則對(duì)角線BD=______正方形面積為36，則邊長(zhǎng)為______，周長(zhǎng)為______正方形ABCD中，AC、BD交于O，則△AOB的面積為______（用邊長(zhǎng)a表示）正方形一邊長(zhǎng)增加3cm，面積增加39cm2，則原邊長(zhǎng)為______如圖，正方形ABCD中，∠EAF=45°，BE=2，DF=3，則EF=______三、解答題（共60分）（8分）已知：如圖，正方形ABCD中，E是AD中點(diǎn)，連接BE，CF⊥BE于F，求證：BF=EF證明：∵四邊形ABCD是正方形∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠ABC=90°∵E是AD中點(diǎn)∴AE=ED=AD/2設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2a，則AE=a，AB=2a在Rt△ABE中，BE=√(AB2+AE2)=√(4a2+a2)=√5a∵CF⊥BE∴∠BFC=90°∵∠ABE+∠EBC=90°，∠BCF+∠EBC=90°∴∠ABE=∠BCF在△ABE和△BCF中∠A=∠BFC=90°∠ABE=∠BCFAB=BC∴△ABE≌△BCF（AAS）∴BF=AE=a∵BE=√5a，BF=a∴EF=BE-BF=√5a-a=(√5-1)a（此處原證明有誤，正確證明如下）正確證明：延長(zhǎng)BE至G，使EG=BF，連接CG∵CF⊥BE∴∠BFC=∠CFG=90°∵∠EBC+∠BCF=90°，∠ECG+∠BCF=90°∴∠EBC=∠ECG在△BCF和△CGE中BF=EG∠BFC=∠GEC=90°∠FBC=∠GCE∴△BCF≌△CGE（AAS）∴BC=CG∵BC=CD∴CG=CD∵∠GCE=∠FBC=∠AEB=∠DEC∴∠GCF=∠DCF在△GCF和△DCF中CG=CD∠GCF=∠DCFCF=CF∴△GCF≌△DCF（SAS）∴GF=DF∵AE=ED，AB=CD，∠A=∠D=90°∴△ABE≌△DCE（SAS）∴BE=CE∵BF+EF=BE，EG=BF∴EF=FG=DF∵AE=DF∴BF=AE=EF（10分）已知：正方形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于O，P是OB上一點(diǎn)，DQ⊥AP于Q，交AC于R，求證：OP=OR證明：∵四邊形ABCD是正方形∴AC⊥BD，OA=OB=OC=OD∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB=45°∵DQ⊥AP∴∠AQD=90°∵∠OAP+∠APO=90°，∠ODR+∠DRP=90°∠APO=∠DRP（對(duì)頂角相等）∴∠OAP=∠ODR在△AOP和△DOR中∠OAP=∠ODROA=OD∠AOP=∠DOR=90°∴△AOP≌△DOR（ASA）∴OP=OR（10分）如圖，正方形ABCD中，E、F分別是AB、BC上兩點(diǎn)，且∠EDF=45°，求證：EF=AE+CF證明：延長(zhǎng)BC至G，使CG=AE，連接DG∵四邊形ABCD是正方形∴AD=CD，∠A=∠DCG=90°在△ADE和△CDG中AD=CD∠A=∠DCGAE=CG∴△ADE≌△CDG（SAS）∴DE=DG，∠ADE=∠CDG∵∠EDF=45°∴∠ADE+∠FDC=45°∴∠CDG+∠FDC=45°即∠FDG=45°在△EDF和△GDF中DE=DG∠EDF=∠GDF=45°DF=DF∴△EDF≌△GDF（SAS）∴EF=GF∵GF=GC+CF=AE+CF∴EF=AE+CF（10分）正方形ABCD邊長(zhǎng)為4，E是BC上一點(diǎn)，且BE=1，F(xiàn)是AB上一點(diǎn)，BF=，求證：∠DEF=90°證明：∵正方形邊長(zhǎng)為4∴AB=BC=CD=DA=4∵BE=1∴EC=BC-BE=3∵BF=∴AF=AB-BF=4-=在Rt△BEF中，EF2=BE2+BF2=12+()2=1+=在Rt△CDE中，DE2=CD2+CE2=42+32=16+9=25在Rt△ADF中，DF2=AD2+AF2=42+()2=16+=∵EF2+DE2=+25=，DF2=∴EF2+DE2=DF2∴△DEF是直角三角形，∠DEF=90°（10分）如圖，正方形ABCD中，M是BC上一點(diǎn)，N是CD上一點(diǎn)，且△AMN的周長(zhǎng)等于正方形周長(zhǎng)的一半，求∠MAN的度數(shù)解：設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a，則正方形周長(zhǎng)為4a，△AMN周長(zhǎng)為2a設(shè)BM=x，DN=y，則CM=a-x，CN=a-yMN=2a-AM-AN在Rt△ABM中，AM=√(AB2+BM2)=√(a2+x2)在Rt△ADN中，AN=√(AD2+DN2)=√(a2+y2)在Rt△CMN中，MN=√(CM2+CN2)=√[(a-x)2+(a-y)2]∴√[(a-x)2+(a-y)2]=2a-√(a2+x2)-√(a2+y2)令x=0，則y=0，此時(shí)M與B重合，N與D重合，∠MAN=45°常規(guī)證明：延長(zhǎng)CB至E，使BE=DN，連接AE∵四邊形ABCD是正方形∴AB=AD，∠ABE=∠ADN=90°在△ABE和△ADN中AB=AD∠ABE=∠ADNBE=DN∴△ABE≌△ADN（SAS）∴AE=AN，∠BAE=∠DAN∵△AMN周長(zhǎng)=AM+MN+AN=2aBC+CD=2a=BM+MC+CN+ND=BM+DN+(a-x)+(a-y)=BM+DN+2a-BM-DN=2a∴MN=BM+DN=BM+BE=ME在△AME和△AMN中AM=AMAE=ANME=MN∴△AME≌△AMN（SSS）∴∠MAN=∠MAE=∠MAB+∠BAE=∠MAB+∠DAN∵∠MAN+∠MAB+∠DAN=90°∴2∠MAN=90°∴∠MAN=45°（12分）如圖，正方形ABCD中，AB=4，E是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CE=AC，連接AE，交CD于F，求CF的長(zhǎng)及△ACE的面積解：∵四邊形ABCD是正方形∴AB=BC=CD=AD=4，∠ABC=∠BCD=90°AC是對(duì)角線，AC=√(AB2+BC2)=√(42+42)=4√2∵CE=AC=4√2∴BE=BC+CE=4+4√2∵AD∥BE∴△ADF∽△ECF∴AD/CE=DF/CF設(shè)CF=x，則DF=4-x4/(4√2)=(4-x)/x1/√2=(4-x)/xx=√2(4-x)x=4√2-√2xx+√2x=4√2x(1+√2)=4√2x=4√2/(1+√2)=4√2(√2-1)/[(1+√2)(√2-1)]=4√2(√2-1)/(2-1)=4√2(√2-1)=8-4√2∴CF=8-4√2S△ACE=CE×AB/2=4√2×4/2=8√2（以CE為底，AB為高）（12分）已知：如圖，正方形ABCD中，P是BC上一點(diǎn)，AQ平分∠PAD交CD于Q，求證：AP=BP+DQ證明：延長(zhǎng)CB至E，使BE=DQ，連接AE∵四邊形ABCD是正方形∴AB=AD，∠ABE=∠ADQ=90°在△ABE和△ADQ中AB=AD∠ABE=∠ADQBE=DQ∴△ABE≌△ADQ（SAS）∴∠BAE=∠DAQ，∠AEB=∠AQD∵AQ平分∠PAD∴∠DAQ=∠PAQ∵AB∥CD∴∠AQD=∠BAQ=∠BAP+∠PAQ=∠BAP+∠DAQ=∠BAP+∠BAE=∠EAP∴∠AEB=∠EAP∴△AEP中，AP=EP∵EP=BP+BE=BP+DQ∴AP=BP+DQ四、附加題（20分）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)P是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，連接AP、EF（1）求證：AP=EF（2）若∠PAP'=45°，AP'交BD于Q，求證：PQ2=BQ2+PD2（1）證明：連接PC∵四邊形ABCD是正方形∴AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°在△ABP和△CBP中AB=BC∠ABP=∠CBPBP=BP∴△ABP≌△CBP（SAS）∴AP=CP∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD=90°∴四邊形PECF是矩形∴PC=EF∴AP=EF（2）證明：將△ABQ繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADR，連接PR∵四邊形ABCD是正方形∴∠ABD=∠ADB=45°AB=AD，∠BAD=90°∵∠PAP'=45°∴∠PAQ=45°∵△ABQ≌△ADR∴AQ=AR，BQ=DR，∠BAQ=∠