練案［59］

第三講成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析

6A組基礎(chǔ)鞏固

一、單選題

1.（2022?廣西柳州模擬）根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)

X345678

-

y4.02.5—0.50.5-2.03.0

得到了經(jīng)驗(yàn)回歸方程;；=源+1，則（C）

A.a>0,b>0B.a<0,b>0

C.?>0,b<0D.?<0,ZKO

［解析］畫出散點(diǎn)圖，易知選C.

2.（2022?山西呂梁學(xué)院附中期中）如圖是相關(guān)變量心），的散點(diǎn)圖，現(xiàn)對(duì)這兩個(gè)變量進(jìn)行

線性相關(guān)分析，方案一：根據(jù)圖中所有數(shù)據(jù)，得到線性回歸方程￡=3逮+*,相關(guān)系數(shù)為小;

方案二：剔除點(diǎn)（10,21）,根據(jù)剩下數(shù)據(jù)得到線性回歸直線方程￡=金K+公2,相關(guān)系數(shù)為/"2.則

（D）

r

2721；

12

；3

o?1

A.0<n<r2<lB.0<r2<n<I

C.-l<n<r2<0D.-l<r2<ri<0

［解析］由題可知羽y負(fù)相關(guān)，且剔除點(diǎn)（10,21）后相關(guān)性更強(qiáng).故選D.

3.（2021.滄州七校聯(lián)考）通過隨機(jī)詢問200名性別不同的大學(xué)生是否愛好踢篋子運(yùn)動(dòng)，計(jì)

算得到統(tǒng)計(jì)量2的觀測值%-4.892,參照附表，得到的正確結(jié)論是（C）

P(22a)0.100.050.025

2.7063.8415.024

A.有97.5%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”

B.有97.5%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性另!無關(guān)”

C.在犯錯(cuò)誤的概率不超過5%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”

D.在犯錯(cuò)誤的概率不超過5%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)”

4.（2021.西北狼聯(lián)盟質(zhì)檢）廣告投入對(duì)商品的銷售額旬較大影響，某電商對(duì)連續(xù)5個(gè)年度

的廣告費(fèi)尤和銷售額），進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表（單?位：萬元）

A.118.2萬元B.111.2萬元

C.108.8萬元D.101.2萬元

［解析I由表格中數(shù)據(jù)可得，x=4,y=50,

.?.50=4X10.2+。,解得。=9.2,

A

...經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=10.2r+9.2,

???當(dāng)x=10時(shí)，y=10.2X10+9.2=111.2,

即預(yù)測廣告費(fèi)10萬元時(shí)銷售額約為111.2萬元，故選B.

5.（2021,廣東新高考適應(yīng)性測試）在一項(xiàng)調(diào)查中有兩個(gè)變量工和戶下圖是由這兩個(gè)變量

近8年來的取值數(shù)據(jù)得到的散點(diǎn)圖，則選項(xiàng)中適宜作為y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程的函數(shù)類型

是（B）

580...

560■■■

540■*

520-?

5（X）1?

0^3.84*04.24*44.64*85.05*25.45*6x

A.y=a+bxB.y=c+d\［x

C.y=m-\-tix1D.y=p-\~qc\q>0）

［解析］散點(diǎn)圖呈曲線狀，A錯(cuò)誤，函數(shù)遞增且增速越來越慢，故選B.

二、多選題

6.（2022,山東師大附中期中）已知變量x,y之間的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為￡=7.6—0.4%，且變量

x,『的數(shù)據(jù)如表所示，則下列說法正確的是（BCD）

X681012

y6tn32

A.變量x,y之間呈正相關(guān)關(guān)系

B.變量x,1y之間呈負(fù)相關(guān)關(guān)系

C.用的值等于5

D.該回歸直線必過點(diǎn)（9,4）

I解析］由經(jīng)驗(yàn)回歸直線必過樣本點(diǎn)中心（9,嚀坦），即以4^=7.6—0.4乂9.解得m=

5,故C正確.又1=一0.4<0,「.B正確.該回歸直線一定過（9,4）.故選BCD.

7.為了解閱讀量多少與幸福感強(qiáng)弱之間的關(guān)系，一個(gè)調(diào)查機(jī)構(gòu)根據(jù)所得到的數(shù)據(jù)，繪制

了如下的2X2列聯(lián)表（個(gè)別數(shù)據(jù)暫用字母表示）：

幸福感強(qiáng)幸福感弱

閱求量多

閱讀最少

計(jì)算得：12.981,參照下表:

a0.100.050.0250.0100.0050.001

3.8415.024

Xa2.7066.6357.87910.828

對(duì)于下面的選項(xiàng)，正確的為（BC）

A.根據(jù)小概率值。=0.010的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為“閱讀量多少與幸福感強(qiáng)弱無關(guān)”

B.加=54

C.根據(jù)小概率值。=0.005的獨(dú)立檢驗(yàn)，可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.5%的前提卜認(rèn)為

“閱讀量多少與幸福感強(qiáng)弱有關(guān)”

D.〃=52

［解析］*/12.981,尸（凡26.635）=0.01,P（M27.879）=0.005,

又12.981>6.635,12.981>7.879,

???根據(jù)小概率值a=0610的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過1%的前提下認(rèn)為

“閱讀量多少與幸福感強(qiáng)弱有關(guān)”，根據(jù)小概率值。=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以在犯錯(cuò)誤的

概率不超過0.5%的前提下認(rèn)為“閱讀量多少與幸福感強(qiáng)弱有關(guān)”，，A錯(cuò)，C對(duì)，..?加+36

=90,18+〃=60,.*./?=54,/7=42,，B對(duì),D錯(cuò),故選BC.

8.（2022?廣東珠海模聯(lián)）已知由樣本數(shù)據(jù)（的,y）（i=1,2,3,…,8）,組成的一個(gè)樣本,得

到回歸直線方程為f=2x—0.4且7=2,去除兩個(gè)歧義點(diǎn)1一2,7）和Q,—7）后，得到新的回歸

直線的斜率為3.則下列說法正確的是（ABD）

A.相關(guān)變量臬y具有正相關(guān)關(guān)系

B.去除歧義點(diǎn)后的回歸直線方程為￡=3x—3.2

C.去除歧義點(diǎn)后，隨工值增加相關(guān)變量y值增加速度變小

D.去除歧義點(diǎn)后，樣本（4,8.9）的殘差為0.1（附：殘差

［解析I由回歸方程的斜率知變量-y具有正相關(guān)關(guān)系，故A正確；由7=2代入;=2x

9vQo_^6X8

一0.4得歹=3.6,.?.去除兩個(gè)歧義點(diǎn)（-2,7）和（2,—7）后，得到新的；=一〕=?亍=二7一

UJU

=4.8,

..?得到新的回歸直線的斜率為3,

__8

，由y—3x=4.8-3X-=-3.2,

J

「?去除歧義點(diǎn)后的回歸直線方程為f=3x—3.2,故B正確；

由于斜率為3>1,故相關(guān)變量x,y具有正相關(guān)關(guān)系且去除歧義點(diǎn)后，由樣本估計(jì)總體的

），值增加的速度變大，故C錯(cuò)誤；

由;i=3x—3.2=3X4-3.2=8.8得a=》一：=8.9—8.8=0.1.故D正確：故選ABD.

9.（2021.山東聊城市三模）對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變帚n?和），進(jìn)行回歸分析時(shí)，經(jīng)過隨機(jī)

抽樣獲得成對(duì)的樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)（如y）（i=1,2,…，辦則下列結(jié)論正確的是（BCD）

A.若兩變量x,y具有線性相關(guān)關(guān)系，則經(jīng)驗(yàn)回歸直線至少經(jīng)過一個(gè)樣本點(diǎn)

B.若兩變量x,y具有線性相關(guān)關(guān)系，則經(jīng)驗(yàn)回歸直線一定經(jīng)過樣本點(diǎn)中心（1,7）

C.若以模型），=。*擬合該組數(shù)據(jù)，為了求出經(jīng)驗(yàn)回歸方程，設(shè)z=lny,將其變換后得

到線性方程z=6x+ln3,則小。的估計(jì)值分別是3和6

D-------來刻畫回歸模型的擬合效果時(shí)，若所有樣本點(diǎn)都落在一條斜率

EGLy）2

?=1

為非零實(shí)數(shù)的直線上,則牛的值為1

［解析］若兩變量％,y具有線性相關(guān)關(guān)系，即滿足尸源十2則一定滿足7=￡嚏+2,

樣本點(diǎn)不一定在擬合直線上，故A錯(cuò)誤，B正確；

若以模型y=〃e加擬合該組數(shù)據(jù)，

z=ln>'=Z>x+ln?=6.v+ln3,故a=3,b=6,故C上確；

Z（y1-yT

用M=i一二--------來刻畫回歸模型的擬合效果時(shí)，若所有樣本點(diǎn)都落在一條斜率為

ZCV/-7）2

產(chǎn)1

Zy02

尸］

非零實(shí)數(shù)的直線上，則》=刀，即K=i----------=1-0=1,故D正確；故選BCD.

X（>'/-），>

i=\

10.（2021.山東煙臺(tái)期末）某大學(xué)為了解學(xué)生對(duì)學(xué)校食堂服務(wù)的滿意度，隨機(jī)調(diào)查了50

名男生和50名女生，每位學(xué)生對(duì)食堂的服務(wù)給出滿意或不滿意的評(píng)價(jià)，得到如圖所示的列聯(lián)

表.經(jīng)計(jì)算2的觀測值占?4.762,則下列結(jié)論正確的為（ACD）

滿意不滿意

男3020

女4010

2

P(^Xa)0.1000.0500.010

Xa2.7063.8416.635

A.該學(xué)校男生對(duì)食堂服務(wù)滿意的概率的估計(jì)值為方

B.調(diào)研結(jié)果顯示，該學(xué)校男生比女生對(duì)食堂服務(wù)更滿意

C.有95%的把握認(rèn)為男、女生對(duì)該食堂服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異

D.在犯錯(cuò)概率不超過5%的前提下認(rèn)為男、女生對(duì)該食堂服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異

［解析］由表易知男生比女生對(duì)食堂服務(wù)滿意率低，故B錯(cuò)，又2

100X(30X10-40X20)2…工、

—系=一^^4￡>3.841,???ACD正確.故詼ACD.

/U入JU入J\J入DU

三、填空題

11.關(guān)于獨(dú)立性檢測，2越大，則，，x與y有關(guān)系”這種判斷犯錯(cuò)的概率空上.

12.（2021?吉林市五地六校適應(yīng)性考試）公司對(duì)2020年1?4月份的獲利情況進(jìn)行了數(shù)據(jù)

統(tǒng)計(jì)，如下表所示：

月份X1234

利潤W萬元566.58

利用線性回歸分析思想，預(yù)測出2020年8月份的利潤為11.6萬元，則），關(guān)于A-的線性

回歸方程為一=（）.952+4.

［解析］設(shè)線性回歸方程為x+2,

—5—51

因?yàn)閤=2?y=至，

5b+?AA

由題意可得＜，解得力=0.95,〃=4,

AA

18Z?+。=11.6

即f=0.95x+4.故答案為f=0.95x+4.

13.（2021.黑龍江大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬）通過市場調(diào)查知某商品每件的市場價(jià)M單位：元）

與上市時(shí)間M單位：天）的數(shù)據(jù)如下：

上市時(shí)間X天41036

市場價(jià)y元905190

根據(jù)上表數(shù)據(jù)，當(dāng)。N0時(shí)，下列函數(shù):

①y=ax+Z；②y=av2+/7x+c；③y=Hog”》i中能恰當(dāng)?shù)拿枋鲈撋唐返氖袌鰞r(jià)），與上市時(shí)

間X的變化關(guān)系的是（只需寫出序號(hào)即可）②.

［解析］根據(jù)表格提供數(shù)據(jù)可知，y隨x先變小，后變大，即至少有遞減和遞增兩個(gè)過程，

而①③對(duì)應(yīng)的函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，不符合題意.②為二次函數(shù)，有遞減和遞增兩個(gè)區(qū)間，〃>0

時(shí)，能恰當(dāng)?shù)拿枋鲈撋唐返氖袌鰞r(jià)），與上市時(shí)間x的變化關(guān)系.故答案為：②.

四、解答題

14.（2021?重慶聯(lián)合診斷）2020年11月16日召開的經(jīng)濟(jì)形勢專家和企業(yè)家座談會(huì)，全面

分析J'當(dāng)前經(jīng)濟(jì)形勢，并指出“注重開拓下沉市場特別是縣鄉(xiāng)市場，滿足量大面廣的基層需

求，提升民生品質(zhì)”等發(fā)展方向.某生產(chǎn)企業(yè)積極響應(yīng)號(hào)召，決定將一批剛研發(fā)的新產(chǎn)品投

入到縣鄉(xiāng)市場，為了解產(chǎn)品的銷售量y（單位：件）與售價(jià)M單位：元/件）之間的關(guān)系，現(xiàn)對(duì)該

產(chǎn)品進(jìn)行試銷，得到售價(jià)占和銷售量）笳=1,2,…，6）的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如下表所示：

售價(jià)M元/件）456789

銷售量M件）908483807568

（1）若y與%之間具有線性相關(guān)關(guān)系，求），關(guān)于X的經(jīng)驗(yàn)I可歸直線方程；=￡+￡；

（2）若該產(chǎn)品每件成本為5元，試依據(jù)（1）中的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，確定產(chǎn)品售價(jià)為多少元/件

時(shí)，企業(yè)可獲得最大利潤？（結(jié)果取整數(shù)）

n__

2>必?一〃xy

A1=1A_A_

參考公式：b=------------,a=y—bx.

;=i

［解析］（I）由題意知x=6.5,y=80,

人360+420+498+560+600+612-6X6.5X8。

b=16+25+36+49+64+81—6X6S

=—4,

2=80—（-4）X65=106,

故所求經(jīng)驗(yàn)回歸方程為f=-4x+l（）6.

（2）由題知，當(dāng)每件售價(jià)定為x元時(shí)，企業(yè)獲利

z=（x—5）（—4x+106）=—4.^+126x—530,

對(duì)稱軸為x=15.75,故當(dāng)x=16時(shí)，z最大，

即每件售價(jià)定為16元.

15.（2020?新高考I,19）為加強(qiáng)環(huán)境保護(hù)，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測部門對(duì)某市空氣質(zhì)

量進(jìn)行調(diào)研，隨機(jī)抽查了100天空氣中的PM2.5和SO2濃度（單位：Ng/m3）,得下表：

SO2[0,50](50,150](150,475]

PM2.5

[0,35]32184

(35,75]6812

(75,115]3710

(1)估計(jì)事件“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75,且SO?濃度不超過150”的概率;

(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2X2列聯(lián)表：

SO?

[0.150](150.475]

PM2.5

[0,75]

(75,115]

(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2

濃度有關(guān).

______〃(。"一反A______

(a+〃)(c++c)(b+(iy

產(chǎn)(K?》心)0.0500.0100.001

3.8416.63510.828

[解析](1)根據(jù)抽查數(shù)據(jù)，該市100天的空氣中PM2.5濃度不超過75,且SCh濃度不超

過150的天數(shù)為32+18+6+8=64,因此，該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75,且SCh

濃度不超過150的概率的估計(jì)值為訴=0.64.

(2)根據(jù)抽查數(shù)據(jù)，可得2X2列聯(lián)表:

S02

[0,150](150,475]

PM2.5

[0,75]6416

(75,115]10)0

(3)根據(jù)(2)的列聯(lián)表得

,100X(64X10—16X10)2

5484.

80X20X74X26

由于7.484>6.635=xo.：)u),故有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度

有關(guān).

iB組能力提升

I.(2021?吉林長春一中期末)為迎接2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì)，普及冬奧知識(shí)，某校開展

了“冰雪答題王"冬奧知識(shí)競賽活動(dòng).現(xiàn)從參加冬奧知識(shí)競賽活動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了100

名學(xué)生，將他們的比賽成績(滿分為100分)分為6組：[40,50),[50,60),(60,70),[70,80),[80,90),

190,100],得到如圖所示的頻率分布直方圖.

頻率

TO

(1)求。的值;

(2)記4表示事件“從參加冬奧知識(shí)競賽活動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生，該學(xué)生的比賽

成績不低于80分”，估計(jì)A的概率；

(3)在抽取的100名學(xué)生中，規(guī)定：比賽成績不低于80分為“優(yōu)秀”，比賽成績低于80

分為“非優(yōu)秀”.請(qǐng)將卜面的2X2列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為“比賽

成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān)”？

優(yōu)秀非優(yōu)秀合計(jì)

男生40

女生5()

合計(jì)100

參考公式及數(shù)據(jù)：2=(。+盛跣%

〃=〃+b+c+d.

P(22m0.100.050.0250.0100.0050.001

2.7063.8415.0246.6357.87910.828

［解析］(1)由題可得

(0.005+0.010+O.O2O+O,O3O+?+O.010)X10=1,

解得。=0.025.

(2)由(1)知〃=0.025,

則比賽成績不低于80分的頻率為

(0.025+0.010)X10=0.35,

故從參加冬奧知識(shí)競賽活動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生，該學(xué)生的比賽成績不低于80

分的概率約為0.35.

(3)由(2)知，在抽取的100名學(xué)生中，比賽成績優(yōu)秀，勺有100X0.35=35人，

由此可得完整的2X2列聯(lián)表：

優(yōu)秀非優(yōu)秀合計(jì)

男生104050

女生252550

合計(jì)3565100

所以2的觀測值

2_100X(10X25—25X40)29(X)

35X65X50X50-^9.890<10.828=0,001,

所以沒有99.9%的把握認(rèn)為“比賽成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān)”.

2.隨著網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展，網(wǎng)上購物越來越受到人們的喜愛，各大購物網(wǎng)站為增加收入，促銷

策略越來越多樣化，促銷費(fèi)用也不斷增加，下表是某購物網(wǎng)站2017年1?8月促銷費(fèi)用x（萬

元）和產(chǎn)品銷量），（萬件）的具體數(shù)據(jù).

月份12345678

促銷費(fèi)用工2361013211518

產(chǎn)品銷量），11233.5544.5

（I）根據(jù)數(shù)據(jù)繪制的散點(diǎn)圖能夠看出可用線性回歸模型擬合），與x的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)

，?加以說明；（系數(shù)精確到0.001）

（2）建立y關(guān)于X的經(jīng)驗(yàn)回歸方程￡=晨十嬴系數(shù)精確到0.01）,如果該公司計(jì)劃在9月份

實(shí)現(xiàn)產(chǎn)品銷量超6萬件，預(yù)測至少需投入促銷費(fèi)用多少萬元.（結(jié)果精確到0.01）

888

參考數(shù)據(jù)：石（即一11）8—3）=74.5,宮（XLU）2=340,石（）L3）2=16.5,小而F8.44,

7163=4.06,其中％y分別為第i個(gè)月的促銷費(fèi)用和產(chǎn)品銷量，7=123,…，8.

2aLX）傍一y）

參考公式：（i）樣本（的，》）（i=l,2,…，〃）的相關(guān)系數(shù)/二一I//_=_/“_=.

4后（即一丁）飛占⑴一7）2

A八人

（ii）對(duì)于一組數(shù)據(jù)3，川），（右，”），…，（&,y”）,其回歸方程的斜率和截距的

〃____

A￡QLx）（JLy）A_A_

最小二乘估計(jì)分別為匕=2--7；----------------,a=y—bx.

g（的一%/

［解析I（I）根據(jù)數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖如下，

y

?

5*

4?*?

3.

2?

1??

246810121416IB20”

從散點(diǎn)圖可以看出這些點(diǎn)大致分布在一條直線附近，并且逐步上升，所以可以用線性回

歸模型擬合y與x的關(guān)系：

由題可知x=11,y=3,

Ei(司一1)(，一y)

將數(shù)據(jù)代入尸/J—/“_

“(XLX)/占()L)，)2

74.5

/a——995

付18.44X4.0674.8664

因?yàn)閥與x的相關(guān)系數(shù)近似為0.995,接近于1,說明模擬效果較好，y與x相關(guān)性很強(qiáng),

從而可以用線性回歸模型擬合)，與x的關(guān)系.

n----

A￡(Xi-X)8—y)

(2)將數(shù)據(jù)代入人=J-----=——，

石3-%)2

A745

得。=340=。219,

A——A—

a=y~bA-=3-0.219X11^0.59,

所以y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為f=0.22x+0.59.

由￡=0.22A+0.59>6,解得人>24.59,

即至少需要投入促銷贊用24.59萬元.

3.(2021?江西吉安“省重點(diǎn)五校協(xié)作體”聯(lián)考)某縣為了在全縣營造“浪費(fèi)可恥、節(jié)約為

榮”的氛圍，制定施行“光盤行動(dòng)”有關(guān)政策，為進(jìn)一步了解此項(xiàng)政策對(duì)市民的影響程度，

縣政府在全縣隨機(jī)抽取了100名市民進(jìn)行調(diào)查，其中男士比女士少20人，表示政策無效的

25人中有10人是女士.

(1)完成下列2X2列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為“政策是否有效與性別有關(guān)”；

政策有效政策無效總計(jì)

女士10

男士

合計(jì)25100

(2)從被調(diào)查的市民中,采取分層抽樣方法抽取5名市民，再從這5名市民中任意抽取2

名，對(duì)政策的有效性進(jìn)行調(diào)研分析，求抽取的2人中有導(dǎo)士的概率.

參考公式：2=而歷普瑞布7〃=。+匕+。+4)

P(2>Xa)0.15OJO0.050.0250.0100.0050.001

Xa2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

［解析］⑴由題意設(shè)另士人數(shù)為x,則女士人數(shù)為x+20,又x+x+2()=100,解/=40.

即男士有40人，女士有60人.由此填寫2X2列聯(lián)表如下：

政策有效政策無效總計(jì)

女士501060

男士251540

合計(jì)7525100

由表中數(shù)據(jù)，計(jì)算

,100X(5()X15-25X10)2,

~=60X40X75X25=5.556<6.635=MOIO,

所以沒有99%的把握認(rèn)為對(duì)“政策是否有效與性別有關(guān)”.

(2)從被調(diào)查的市民中，利用分層抽樣抽取5名市民，其中女士抽取60