2026屆山西省太原五十一中學數(shù)學九年級第一學期期末調研試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．已知的三邊長分別為、、，且滿足，則的形狀是（）．A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形2．用min{a，b}表示a，b兩數(shù)中的最小數(shù)，若函數(shù)，則y的圖象為()A． B． C． D．3．若拋物線經(jīng)過點，則的值在（）．A．0和1之間 B．1和2之間 C．2和3之間 D．3和4之間4．在平面直角坐標系中，將拋物線向左平移1個單位，再向下平移1個單位后所得拋物線的表達式為()A． B．C． D．5．下列所給圖形是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．6．方程x2﹣2x+3=0的根的情況是（）A．有兩個相等的實數(shù)根 B．只有一個實數(shù)根C．沒有實數(shù)根 D．有兩個不相等的實數(shù)根7．已知：m＝+1，n＝﹣1，則＝（）A．±3 B．﹣3 C．3 D．8．下列函數(shù)的對稱軸是直線的是（）A． B． C． D．9．如圖，正五邊形內接于⊙，為上的一點（點不與點重合），則的度數(shù)為（）A． B． C． D．10．已知點P（1，-3）在反比例函數(shù)的圖象上，則的值是A．3 B．-3 C． D．二、填空題(每小題3分,共24分)11．已知關于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范__________．12．一個不透明的袋中原裝有2個白球和1個紅球，攪勻后從中任意摸出一個球，要使摸出紅球的概率為，則袋中應再添加紅球____個（以上球除顏色外其他都相同）．13．如圖是一個圓錐的展開圖，如果扇形的圓心角等于90°，扇形的半徑為6cm，則圓錐底面圓的半徑是______cm．14．一元二次方程x2﹣4=0的解是．_________15．若關于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+1=0有實數(shù)根，則a的取值范圍為________．16．如圖，在平面直角坐標系中，第二象限內的點P是反比例函數(shù)y＝（k≠0）圖象上的一點，過點P作PA⊥x軸于點A，點B為AO的中點若△PAB的面積為3，則k的值為_____．17．拋物線y＝﹣x2+2x﹣5與y軸的交點坐標為_____．18．若是方程的一個根，則的值是________.三、解答題(共66分)19．（10分）先化簡，再求值：，其中x＝1﹣．20．（6分）如圖內接于，，CD是的直徑，點P是CD延長線上一點，且．求證：PA是的切線；若，求的直徑．21．（6分）某商場購進一種單價為30元的商品，如果以單價55元售出，那么每天可賣出200個，根據(jù)銷售經(jīng)驗，每降價1元，每天可多賣出10個．假設每個降價x（元）時，每天獲得的利潤為W（元）．則降價多少元時，每天獲得的利潤最大？22．（8分）如圖，直線y＝2x＋6與反比例函數(shù)y＝(k＞0)的圖像交于點A(1，m)，與x軸交于點B，平行于x軸的直線y＝n(0＜n＜6)交反比例函數(shù)的圖像于點M，交AB于點N，連接BM.(1)求m的值和反比例函數(shù)的表達式；(2)直線y＝n沿y軸方向平移，當n為何值時，△BMN的面積最大？23．（8分）如圖⑴，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm．點M由點B出發(fā)沿BA方向向點A勻速運動，同時點N由點A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動，它們的速度均為2cm/s．連接MN，設運動時間為t(s)﹙0＜t＜4﹚，解答下列問題：⑴設△AMN的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關系式，并求出S的最大值；⑵如圖⑵，連接MC，將△MNC沿NC翻折，得到四邊形MNPC,當四邊形MNPC為菱形時，求t的值；⑶當t的值為，△AMN是等腰三角形．24．（8分）我們不妨約定：如圖①，若點D在△ABC的邊AB上，且滿足∠ACD=∠B（或∠BCD=∠A），則稱滿足這樣條件的點為△ABC邊AB上的“理想點”．（1）如圖①，若點D是△ABC的邊AB的中點，AC=，AB=4.試判斷點D是不是△ABC邊AB上的“理想點”，并說明理由．（2）如圖②，在⊙O中，AB為直徑，且AB=5，AC=4.若點D是△ABC邊AB上的“理想點”，求CD的長．（3）如圖③，已知平面直角坐標系中，點A(0,2),B(0,-3),C為x軸正半軸上一點，且滿足∠ACB=45°，在y軸上是否存在一點D，使點A是B，C，D三點圍成的三角形的“理想點”，若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．25．（10分）為了“城市更美好、人民更幸?！?，我市開展“三城聯(lián)創(chuàng)”活動，環(huán)衛(wèi)部門要求垃圾按三類分別裝袋、投放，其中類指廢電池，過期藥品等有毒垃圾，類指剩余食品等廚余垃圾，類指塑料、廢紙等可回收垃圾，甲、乙兩人各投放一袋垃圾．（1）甲投放的垃圾恰好是類的概率是；（2）用樹狀圖或表格求甲、乙兩人投放的垃圾是不同類別的概率．26．（10分）把球放在長方體紙盒內，球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，已知EF=CD=16cm，請求出球的半徑．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、D【分析】根據(jù)非負數(shù)性質求出a,b,c，再根據(jù)勾股定理逆定理解析分析.【詳解】因為所以a-5=0,b-12=0,13-c=0所以a=5,b=12,c=13因為52+122=132所以a2+b2=c2所以以的三邊長分別為、、的三角形是直角三角形.故選：D考核知識點：勾股定理逆定理.根據(jù)非負數(shù)性質求出a,b,c是關鍵.2、C【分析】根據(jù)題意，把問題轉化為二次函數(shù)問題.【詳解】根據(jù)題意，min{x2+1，1-x2}表示x2+1與1-x2中的最小數(shù)，不論x取何值，都有x2+1≥1-x2，所以y=1-x2；可知，當x=0時，y=1；當y=0時，x=±1；則函數(shù)圖象與x軸的交點坐標為（1，0），（-1，0）；與y軸的交點坐標為（0，1）．故選C．考核知識點：二次函數(shù)的性質.3、D【分析】將點A代入拋物線表達式中，得到，根據(jù)進行判斷．【詳解】∵拋物線經(jīng)過點，∴，∵，∴的值在3和4之間，故選D．本題考查拋物線的表達式，無理數(shù)的估計，熟知是解題的關鍵．4、B【分析】直接關鍵二次函數(shù)的平移規(guī)律“左加右減，上加下減”解答即可.【詳解】將拋物線向左平移1個單位，再向下平移1個單位后所得拋物線的表達式為：故選：B本題考查的是二次函數(shù)的平移，掌握其平移規(guī)律是關鍵，需注意：二次函數(shù)平移時必須化成頂點式.5、D【解析】A.此圖形不是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故A選項錯誤；B.此圖形是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故B選項錯誤；C.此圖形不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故D選項錯誤．D.此圖形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故C選項正確；故選D.6、C【解析】試題分析：利用根的判別式進行判斷.解：∵∴此方程無實數(shù)根.故選C.7、C【分析】先根據(jù)題意得出和的值，再把式子化成含與的形式，最后代入求值即可.【詳解】由題得：、∴故選：C.本題考查代數(shù)式求值和完全平方公式，運用整體思想是關鍵.8、C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質分別寫出各選項中拋物線的對稱軸，然后利用排除法求解即可．【詳解】A、對稱軸為y軸，故本選項錯誤；B、對稱軸為直線x=3，故本選項錯誤；C、對稱軸為直線x=-3，故本選項正確；D、∵=∴對稱軸為直線x=3，故本選項錯誤．故選：C．本題考查了二次函數(shù)的性質，主要利用了對稱軸的確定，是基礎題．9、B【分析】根據(jù)圓周角的性質即可求解.【詳解】連接CO、DO，正五邊形內心與相鄰兩點的夾角為72°，即∠COD=72°，同一圓中，同弧或同弦所對應的圓周角為圓心角的一半，故∠CPD=,故選B.此題主要考查圓內接多邊形的性質，解題的關鍵是熟知圓周角定理的應用.10、B【解析】根據(jù)點在曲線上，點的坐標滿足方程的關系，將P（1，-1）代入，得，解得k=－1．故選B．二、填空題(每小題3分,共24分)11、且；【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和根的判別式得出不等式組，求出不等式組的解集即可．【詳解】∵關于x的方程（k-1）x1-x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，∴k-1≠0且△=（-1）1-4（k-1）?1=-4k+9＞0，即，解得：k＜且k≠1，故答案為k＜且k≠1．本題考查了一元二次方程的定義和根的判別式，能得出關于k的不等式組是解此題的關鍵．12、1【分析】首先設應在該盒子中再添加紅球x個，根據(jù)題意得：，解此分式方程即可求得答案．【詳解】解：設應在該盒子中再添加紅球x個，根據(jù)題意得：，解得：x=1，經(jīng)檢驗，x=1是原分式方程的解．故答案為：1．此題考查了概率公式的應用．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．13、【分析】把的扇形的弧長等于圓錐底面周長作為相等關系，列方程求解．【詳解】設此圓錐的底面半徑為r，根據(jù)圓錐的側面展開圖扇形的弧長等于圓錐底面周長可得，2πr＝，解得：r＝cm，故答案為．本題考查了圓錐側面展開扇形與底面圓之間的關系，圓錐的側面展開圖是一個扇形，此扇形的弧長等于圓錐底面周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．14、x=±1【解析】移項得x1=4，∴x=±1．故答案是：x=±1．15、a≤且a≠1．【分析】根據(jù)一元二次方程有實數(shù)根的條件列出關于a的不等式組，求出a的取值范圍即可．【詳解】由題意得：△≥0，即（-1）2-4（a-1）×1≥0，解得a≤，又a-1≠0，∴a≤且a≠1.故答案為a≤且a≠1.點睛：本題考查的是根的判別式及一元二次方程的定義，根據(jù)題意列出關于a的不等式組是解答此題的關鍵．16、-1．【分析】根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義得出的面積，再根據(jù)線段中點的性質可知，最后根據(jù)雙曲線所在的象限即可求出k的值.【詳解】如圖，連接OP∵點B為AO的中點，的面積為3由反比例函數(shù)的幾何意義得則，即又由反比例函數(shù)圖象的性質可知則解得故答案為：.本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質、線段的中點，熟記反比例函數(shù)的性質是解題關鍵.17、（0，﹣5）【分析】要求拋物線與y軸的交點，即令x＝0，解方程．【詳解】解：把x＝0代入y＝﹣x2+2x﹣5，求得y＝﹣5，則拋物線y＝﹣x2+2x﹣5與y軸的交點坐標為（0，﹣5）．故答案為（0，﹣5）．本題考查了拋物線與軸的交點坐標，正確掌握令或令是解題的關鍵．18、1【分析】將代入方程，得到，進而得到，，然后代入求值即可.【詳解】解：由題意，將代入方程∴，，∴故答案為：1本題考查一元二次方程的解，及分式的化簡，掌握方程的解的概念和平方差公式是本題的解題關鍵.三、解答題(共66分)19、1﹣x，原式＝.【分析】先利用分式的加減乘除運算對分式進行化簡，然后把x的值代入即可.【詳解】原式＝當x＝1﹣時，∴原式＝1﹣（1﹣）＝；本題主要考查分式的化簡求值，掌握分式混合運算的順序和法則是解題的關鍵.20、（1）詳見解析；（2）的直徑為．【解析】連接OA，根據(jù)圓周角定理求出，再根據(jù)同圓的半徑相等從而可得，繼而根據(jù)等腰三角形的性質可得出，繼而由，可得出，從而得出結論；利用含的直角三角形的性質求出，可得出，再由，可得出的直徑．【詳解】連接OA，如圖，，，又，，又，，，，是的切線．在中，，，又，，，．的直徑為．本題考查了切線的判定、圓周角定理、含30度角的直角三角形的性質，熟練掌握切線的判定定理、圓周角定理及含30度角的直角三角形的性質是解題的關鍵.21、降價2.5元時，每天獲得的利潤最大．【分析】根據(jù)題意列函數(shù)關系式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質即可得到結論．【詳解】解:由題意得:W=（55﹣30﹣x）?（200+10x）,=﹣10x2+50x+5000,=,二次函數(shù)對稱軸為x=2.5,∴降價2.5元時,每天獲得的利潤最大,最大利潤為5062.5元．答:降價2.5元時，每天獲得的利潤最大．本題主要考查了二次函數(shù)的性質在實際生活中的應用,解決本題的關鍵是要熟練掌握商品銷售利潤問題中等量關系.22、（1）m＝8，反比例函數(shù)的表達式為y＝；（2）當n＝3時，△BMN的面積最大．【解析】（1）求出點A的坐標，利用待定系數(shù)法即可解決問題；（2）構造二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質即可解決問題.【詳解】解：（1）∵直線y=2x+6經(jīng)過點A（1，m），∴m=2×1+6=8，∴A（1，8），∵反比例函數(shù)經(jīng)過點A（1，8），∴8=，∴k=8，∴反比例函數(shù)的解析式為y=．（2）由題意，點M，N的坐標為M（，n），N（，n），∵0＜n＜6，∴＜0，∴S△BMN=×（||+||）×n=×（﹣+）×n=﹣（n﹣3）2+，∴n=3時，△BMN的面積最大．23、（1），；（2）t=；（3）或或【分析】（1）如圖過點M作MD⊥AC于點D，利用相似三角形的性質求出MD即可解決問題；（2）連接PM,交AC于D，，當四邊形MNPC為菱形時，ND=，即可用t表示AD，再結合第一問的相似可以用另外一個含t式子表示AD，列方程計算即可；（3）分別用t表示出AP、AQ、PQ，再分三種情況討論：①當AQ＝AP②當PQ＝AQ③當PQ＝AP，再分別計算即可．【詳解】解：⑴過點M作MD⊥AC于點D．∵,；∴AB=10cm．BM=AN=2t∴AM=10-2t．∵△ADM∽△ACB∴即∴∴又∴S的最大值是；⑵連接PM,交AC于D，∵四邊形MNPC是菱形，則MP⊥NC,ND=CD∵CN=8-2t∴ND=4-t∴AD=2t+4-t=t+4由⑴知AD=∴=t+4∴t=；（3）由（1）知，PE＝﹣t+3，與（2）同理得：QE＝AE﹣AQ＝﹣t+4∴PQ＝＝＝，在△APQ中，①當AQ＝AP，即t＝5﹣t時，解得：t1＝；②當PQ＝AQ，即＝t時，解得：t2＝，t3＝5；③當PQ＝AP，即＝5﹣t時，解得：t4＝0，t5＝；∵0＜t＜4，∴t3＝5，t4＝0不合題意，舍去，∴當t為s或s或s時，△APQ是等腰三角形．此題主要考查了相似形綜合，用到的知識點是相似三角形的判定與性質、勾股定理、三角形的面積公式以及二次函數(shù)的最值問題，關鍵是根據(jù)題意做出輔助線，利用數(shù)形結合思想進行解答．24、（1）是，理由見解析；（2）；（3）D（0,42）或D（0,6）【分析】（1）依據(jù)邊長AC=，AB=4，D是邊AB的中點，得到AC2=，可得到兩個三角形相似，從而得到∠ACD=∠B；(2)由點D是△ABC的“理想點”，得到∠ACD=∠B或∠BCD=∠A，分兩種情況證明均得到CD⊥AB，再根據(jù)面積法求出CD的長；(3)使點A是B，C，D三點圍成的三角形的“理想點”，應分兩種情況討論，利用三角形相似分別求出點D的坐標即可.【詳解】（1）D是△ABC邊AB上的“理想點”，理由：∵AB=4，點D是△ABC的邊AB的中點，∴AD=2，∵AC2=8，，∴AC2=，又∵∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB，∴∠ACD=∠B，∴D是△ABC邊AB上的“理想點”.（2）如圖②，∵點D是△ABC的“理想點”，∴∠ACD=∠B或∠BCD=∠A,當∠ACD=∠B時，∵∠ACD+∠BCD=90，∴∠BCD+∠B=90，∴∠CDB=90，當∠BCD=∠A時，同理可得CD⊥AB，在Rt△ABC中，∵∠ACB=90,AB=5，AC=4，∴BC==3，∵,∴,∴.（3）如圖③，存在.過點A作MA⊥AC交CB的延長線于點M，∵∠MAC=∠AOC=90,∠ACM=45，∴∠AMC=∠ACM=45，∴AM=AC,∵∠MAH+∠CAO=90,∠CAO+∠ACO=90,∴∠MAH=∠ACO,∴△AHM≌△COA∴MH=OA,OC=AH,設C（a，0），∵A(0，2),B(0，-3),∴OA=MH=2，OB=3，AB=5，OC=AH=a，BH=a-5，∵MH∥OC,∴，∴，解得a=6或a=-1（舍去），經(jīng)檢驗a=6是原分式方程的解，∴C（6,0），OC=6.①當∠D1CA=∠ABC時，點A是△BCD1的“理想點”，設D1(0，m)，∵∠D1CA=∠ABC,∠CD1A=∠CD1B,∴△D1AC∽△D1CB,