第四講

手拉手模型1初中幾何綜合復(fù)習(xí)一、手拉手---全等(1)等邊三角形條件:△0AB,△0CD均為等邊三角形.結(jié)論:①△0AC≌△0BD;②AC=BD;③∠AEB=60°④0E平分∠AED;⑤點E在△OAB的外接圓上.(2)等腰直角三角形條件:△0AB,△0CD均為等腰直角三角形結(jié)論:①0AC≌△0BD;②AC=BD;③∠AEB=90°④0E平分∠AED;⑤點E在△OAB的外接圓上.(3)任意等腰三角形條件:△0AB,△0CD均為等腰三角形結(jié)論:①△0AC≌△0BD;②AC=BD;③∠AEB=∠AOB;④OE平分∠AED(或∠AED的外角);⑤點E在△OAB的外接圓上.二、手拉手模型---相似(1)一般情況條件:CD//AB(△0CD∽△0AB)，將△OCD旋轉(zhuǎn)至右圖位置結(jié)論:右圖中①△OCD∽△OAB?△OAC∽△0BD;②延長AC交BD于點E，必有∠AEB=∠AOB:③點E在△OAB的外接圓上.(2)特殊情況條件:CD//AB(△0CD∽△0AB)，∠AOB=∠COD=90°，將△OCD旋轉(zhuǎn)至右圖位置.結(jié)論:右圖中①△0CD∽△OAB?△OAC∽△0BD;②(延長)AC交BD于點E，必有∠AEB=90°(BD⊥AC):③連接AD、BC，則SABCD=1/2×AC×BD:④BD/AC=OD/OC=OB/OA=tan∠OCD:⑤點E在△0AB的外接圓上(A,0,E,B四點共圓);⑥必有AD2+BC2=AB2+CD21、在等邊三角形ABC中，(1)如圖1，P，Q是BC邊上的兩點，AP=AQ，∠BAP=20°，求∠AQB的度數(shù);(2)點P，Q是BC邊上的兩個動點(不與點B，C重合)，點P在點Q的左側(cè)，且AP=AQ,點Q關(guān)于直線AC的對稱點為M，連接AM，PM.①依題意將圖2補(bǔ)全;②小茹通過觀察、實驗提出猜想:在點P，Q運動的過程中，始終有PA=PM，小茹把這個猜想與同學(xué)們進(jìn)行交流，通過討論，形成了證明該猜想的幾種想法:想法1:要證明PA=PM，只需證△APM是等邊三角形;想法2:在BA上取一點N，使得BN=BP，要證明PA=PM，只需證△ANP≌△PCM;想法3:將線段BP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段BK，要證PA=PM,只需證PA=CK，PM=CK...請你參考上面的想法，幫助小茹證明PA=PM(一種方法即可).（1）證明：∵等邊三角形ABC∴∠ABC=60o∵∠BAP=20o∴∠APQ=80o∵AP=AQ∴∠AQB=∠APQ=80o（2）①證明：∵∠AQB=∠APQ∠ABC=∠ACB=60o∴∠BAP=CAQQ、M點關(guān)于AC對稱∴∠CAQ=∠CAM∴∠BAQ=∠CAM∴∠PAM=∠BAC=60oAP=AQ=AM∴△PAM是等邊三角形∴PA=PM（2）②證明：在BA上截取BN=BP，連接PN，CM∴△BNP是等邊三角形∴BN=BP=PN∵AB=BC∴AN=PC∵∠BNP=60o∴∠ANP=120o∠ACB=60oQ、M對稱，∴∠PCM=120o∴∠ANP=∠PCM由①BP=CQ∴PN=MC∴△ANP≌△PCM∴AP=PM（2）③證明：

將線段BP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段BK，∴BP=BK=PK∵AB=BC∠ABC=∠CBK=60o∴△ABP≌△CBK∴PA=CK∵∠BPK=60o∴∠KPC=120o

∠PCM=120o∴∠KPC=∠PCM∴PK∥CM又PK=BP=CQ=CM∴PKCM是平行四邊形∴PM=CK∴PA=PM2、在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α(0o<α<60°)，將線段BC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BD.(1)如圖1，直接寫出∠ABD的大小(用含α的式子表示);(2)如圖2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判斷△ABE的形狀并加以證明;(3)在(2)的條件下，連接DE，若∠DEC=45°，求α的值.（1）證明：∵等腰三角形ABC∴∠ABC=（180o-α）÷2=90o-?α∵∠DBC=60o∴∠ABD=90o-?α-60o=30-?α（2）證明：連接AD、DC，∵BC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BD∴△BDC是等邊三角形∴BD=BC=CD∵AB=BCAD=AD∴△ABD≌△ACD∴∠BAD=?α∵∠ABE=∠DBC=60o∴∠MBC=∠ABD=30o－?α∴∠BEC=180o－150o-(30o－?α)=?α∴∠BAD=∠BEC∴△ABD≌△EBC∴AB=BE∵∠ABE=60o∴△ABE是等邊三角形（3）證明：∠BCE=150o∠BCD=60o∴∠DCE=90o∵DEC=45o△DCE是等腰RT△∴CE=CD=CB∴∠CBE=∠CEB由②∠CBE=30°-?α∠BEC=?α30°-?α=?α∴α=30o3、已知△ABC為等腰直角三角形，AB=2.點D為平面上一點，使得∠BDA=90°點P為BC中點，連接DP。(1)如圖，點D為△ABC內(nèi)一點.①猜想∠BDP的大小;②寫出線段AD、BD、PD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明;(2)直接寫出線段CD的最大值.（1）①證明：連接AP，交BD于E,∵P為BC中點，AB=AC∴AP⊥BC∵等腰直角三角形ABC∴∠BAP=45o∴∠ADE=∠BPE=90o∵∠AED=∠BEP∴△AED∽△BEP∴AE/BE=ED/EP∵∠AEB=DEP∴△AEB∽△DEP∴∠BDP=∠EAB=45o（1）②證明：過點P做PF⊥BD于F,∵∠BDP=45o∴△FPD是等腰直角△∴PF=PDDF=√2PD∵∠FPE+∠BPF=90o∠FPE+∠APD=90o∴∠BPF=∠APD∵AP=BP∴△APD≌△BPF∴AD=BFBD=BF+DF∴BD=AP+√2PD取AB的中點O為圓心，AB的一半為半徑做圓，連接CO并延長，交圓于點D，此時CD長為最大值。4、在△ABC中，AB=AC，過點C作射線CB'，使∠ACB'=∠ACB(點B’與點B在直線AC的異側(cè))，點D是射線CB’上一個動點(不與點C重合)，點E在線段BC上，且∠DAE＋∠ACD=90°.(1)如圖1，當(dāng)點E與點C重合時，AD與CB'的位置關(guān)系是，若BC=α,則CD的長為;(用含a的式子表示)(2)如圖2，當(dāng)點E與點C不重合時，連接DE.①用等式表示∠BAC與∠DAE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明;②用等式表示線段BE,CD,DE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.(1)證明：當(dāng)點E與點C重合時，∠DAC=∠DAE∵∠DAE＋∠ACD=90°∴∠ADC=90o即AD⊥CB'做AH⊥BC∵AB=AC∴BH=CHH∠AHC=∠ADC∠ACB=∠ACDAC=AC∴△AHC≌△ADCCD=CH=BH=?BC∵BC=a∴CD=?BC=?a(2)①證明：∵∠DAE＋∠ACD=90°∴∠2=90o-∠1∵AB=AC∴∠ACB=(180o-∠BAC)÷2=90o－?∠BAC∴∠BAC=180o－2∠2=180o－2(90o-∠1)=2∠1∴∠BAC=2∠DAE(2)②證明：過A點做∠DAF=∠DAE∠BAC=2∠DAE∠BAC=∠EAF∴BAE=∠CAF又AB=AC∠ABE=∠ACF=60o∴△ABE≌△ACFBE=CFAE=AF∵∠BAC=∠EAF=2∠DAE∴∠DAE=∠DAF又AE=AFAD=AD∴△DAE≌△DAF∴DE=DF∴BE=CF=CD+DF=CD+DE∴BE=CD+DE5、在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，D為邊BC上一動點，點E在邊AC上，CE=CD.點D關(guān)于點B的對稱點為點F，連接AD，P為AD的中點，連接PE、PF、EF。(1)如圖1，當(dāng)點D與點B重合時，寫出線段PE與PF之間的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系;(2)如圖2，當(dāng)點D與點B,C不重合時，判斷(1)中所得的結(jié)論是否仍然成立?若成立，請給出證明，若不成立，請舉出反例。(2)證明：延長EP至M，使PM=PE∵AP=DP∴△APM≌△DPE∴AM=DE∠AMP=∠DEP∵CE=CD∠DCE=60o∴CE=CD=DE∠DCE=∠CED=60o在∠AEM中,∠1+∠AMP+∠EAM=180o∠1+∠DEP+60o=180o∴∠EAM=60o=∠FCE∵∠ABC=90o∠BAC=30o∴AE＋CE=2CBCB=CD＋DB=CE＋BF∴AE＋CE=CD＋DB＋CE＋BF∴AE=CD＋DB＋BF=CFAM=DE=CE∴△AME≌△CEF∴EF=EM∠AME=∠CEF=∠DEP∴∠MEF=60o∴△MEF是等邊三角形∴EF=MF∵PM=PE∴PF⊥PE

又∠PEF=60o∴PF=√3PE一題多解6、如圖，在等邊△ABC中，點D在BA的延長線上，點P是BC邊上的一個動點(點P不與點B重合)，將線段PD繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段PE，連接BE和DE.(1)依據(jù)題意，補(bǔ)全圖形;(2)比較∠BDE與∠BPE的大小，并證明;(3)用等式表示線段BE、BP與BD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.(2)證明：線段PD繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段PE∴△DEP是等邊三角形∴∠DEP=60o∵等邊三角形ABC∴∠ABC=60o∠DHE=∠BHP∴∠BDE=∠BPEH(3)證明：在DB上截取DF=BPDE=PE∠BDE=∠BPE∴△EDF≌△EPB∴EF=EB∠DEF=∠PEB∵∠DEP=60o∴BEF=60o∴△BEF是等邊三角形∴BE=BF∴BD=DF＋BF=BP＋BE一題多解7、如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120o，D是BC中點，連接AD.點M在線段AD上(不與點A，D重合)，連接MB，點E在CA的延長線上且ME=MB，連接EB。(1)比較∠ABM與∠AEM的大小，并證明;(2)用等式表示線段AM,AB,AE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.(1)證明：連接MC,∵AD是BC的垂直平分線AB=ACBM=CMAM=AM∴△ABM≌△ACM∴∠1=∠2∵BM=CM=EM∴∠2=∠3∴∠1=∠3即∠ABM=∠AEM(2)證明：在AB上截取AF=AE∵∠BAC=120o∴∠EAF=60o∴△EAF是等邊△∵∠ABM=∠AEM∠AHE=∠MHB∴∠BME=∠EAB=60oH∴△BME是等邊△∴EB=EMEF=EA∠AEF=∠BEM=60o∴∠AEM=∠BEF∴△AEM≌△BEF∴AM=BFAB=AF＋BF=AE＋AM一題多解②③做AG=AM8、在正方形ABCD中，點O為對角線AC的中點，點E在對角線AC上，連接EB，點F在直線AD上(點F與點D不重合)，且EF=EB.(1)如圖1，當(dāng)點E在線段AO上(不與端點重合)時，①求證:∠AFE=∠ABE;②用等式表示線段AB，AE，AF的數(shù)量關(guān)系并證明;(2)如圖2，當(dāng)點E在線段OC上(不與端點重合)時，補(bǔ)全圖形，并直接寫出線段AB，AE，AF的數(shù)量關(guān)系.(1)①證明：過E點做AD、AB的垂線分別交AD、AB于H、G∵E在正方形對角線上∴AGEH是正方形∴EH=EG又EF=EB∠EHF=∠EGB=90o∴△EHF≌△EGB∴∠AFE=∠ABE(1)②證明：∵△EHF≌△EGB∴AH=BGAB=AG+BG=AG＋HF=AG＋AH＋AF=2AG＋AF=√2AE＋AF(2)證明：過E點做AD、AB的垂線分別交AD、AB于H、G∵E在正方形對角線上∴AGEH是正方形∴EH=EG=AG=AH又EF=EB∠EHF=∠EGB=90o

∴△EHF≌△EGB∴HF=GBAB=AG＋GB=AG＋HF=AG＋AH-AF=AG＋AG-AF=2AG-AF=√2AE-AF9、在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，點D為射線CA上一點，過點D作DE∥CB且DE=CB(點E在點D的右側(cè))，射線ED交射線BA于點F，點H是AF的中點，連接HC，HE.(1)如圖1，當(dāng)點D在線段CA上時，判斷線段HE與HC的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系;(2)當(dāng)點D在線段CA的延長線上時，依題意補(bǔ)全圖2.用等式表示線段CB，CD，CH之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.(1)證明：

連接DH，∵DE∥CB∴∠ADE=90oAH=HF∴AH=HF=DH∵等腰直角三角形ABC∴△ADF、△AHD也是等腰直角三角形∴∠ADH=∠AFD=45o∴∠HDC=∠HFE=135oAB=CBAD=DF∴DC=FE∴△HDC≌△HFE∴HE=HC∠DHC=∠FHE∠CHF＋∠DHC=90o∠CHF＋∠FHE=90o∴∠CHE=90o∴HE⊥HC(2)證明：

當(dāng)點D在線段CA的延長線上時，同①△HDA≌△HDEHE=HCH