材料力學簡明教程第七章彎曲變形主要內(nèi)容：

彎曲變形的計算

梁的剛度計算

簡單超靜定梁的解法

提高梁剛度的措施

根據(jù)工程上的需要,為了限或利用彎曲構(gòu)件的變形,必須研究彎曲變形的規(guī)律。

車床主軸

汽車輪軸上的疊板彈簧

§7－1彎曲變形的計算梁彎曲變形的概念梁變形的撓曲線方程梁的撓曲線：梁軸線變形后所形成的光滑連續(xù)的曲線。②撓度：梁橫截面形心的豎向位移

w，向下的撓度為正①轉(zhuǎn)角：梁橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)動的角度q，逆時針轉(zhuǎn)動為正梁的變形程度的度量積分法求梁的變形梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程為例如圖為鏜刀對工件鏜孔的示意圖。為了保證鏜孔的精度,鏜刀桿的彎曲變形不能過大。已知鏜刀桿的直徑d=10mm,長度l=500mm,彈性模量E=210Gpa,切削力F=200N。試用積分法求鏜刀桿上安裝鏜刀處截面B的撓度和轉(zhuǎn)角。

解

將鏜刀桿簡化為懸臂梁,選坐標系Axω，梁的彎矩方程為積分得邊界條件為：當x=0時，ωA=0，θA=0得得梁的撓曲線近似微分方程為把所得積分常數(shù)C和D代回方程，即得懸臂梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為以截面B處的橫坐標x=l代入以上兩式，即得截面B的轉(zhuǎn)角和撓度分別為用疊加法求梁的變形

疊加法：即當梁上同時受幾個垂直于梁軸線的載荷作用時，任一截面的撓度和轉(zhuǎn)角,等于各載荷單獨作用時該截面的撓度和轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。例試用疊加法求圖示懸臂梁截面A的撓度和自由端B的轉(zhuǎn)角,已知EI為常數(shù)。

解：將懸臂梁分解為單獨在F和Me作用下的懸臂梁,如圖所示。分別查表，可得由疊加原理得梁的剛度條件為

§7－2梁的剛度計算例懸臂梁自由端受集中力F=10kN,如圖所示。已知許用應力[σ]=170MPa，許用撓度[ω]=10mm，若梁由工字鋼制成,選擇工字鋼型號。解：(1)按照強度條件選擇截面查表選用No.20a工字鋼(2)按照剛度條件選擇截面，由剛度條件得查表選用No.32a工字鋼，綜合強度條件和剛度條件，應選用No.32a工字鋼，最大撓度和最大應力為§7－3簡單超靜定梁的解法

超靜定梁的概念

未知反力的數(shù)目超過了所能列出的獨立平衡方程的數(shù)目時，僅用靜力平衡方程已不能完全求解，這樣的梁成為超靜定梁（或靜不定梁）

未知反力的數(shù)目與獨立的靜定平衡方程數(shù)目的差數(shù)，稱為超靜定次數(shù)。用變形比較法解超靜定梁

解超靜定梁的方法：選取適當?shù)幕眷o定梁；利用相應的變形協(xié)調(diào)條件和物理關(guān)系建立補充方程；然后與平衡方程聯(lián)立解出所有的支座約束力,這種解超靜定梁的方法，稱為變形比較法例某管道可簡化為有三個支座的連續(xù)梁,受均布載荷

q作用。已知跨度為l，求支座反力,并繪彎矩圖。解：該梁可看作在簡支梁AB上增加1個活動鉸支座C，這樣就有1個多余約束反力Fc，因此是1次靜不定問題。解除支座C并用約束反力Fc代之,得到基本靜定系如圖(b)所示。變形協(xié)調(diào)條件為：在載荷q和多余約束反力Fc的共同作用下,基本靜定系上C截面處的撓度為零。根據(jù)疊加原理,C截面撓度為q單獨作用下的撓度ωcq與多余約束反力Fc單獨作用下?lián)隙圈豤c之和。故變形協(xié)調(diào)條件為由表查得得由平衡力程，求得其余約束力彎矩圖如圖§7－4提高梁剛度的措施改善結(jié)構(gòu)形式以減小彎矩

采用合理的截面形狀

采用Iz和Wz大的截面

截面積分布應盡可能遠離中性軸

矩形改成工字形截面成型截面

脆性材料制成的梁

采用變截面梁

在彎矩較大的部位采用較大的截面，在彎矩較小的部位采用較小的截面。

習題參考答案第八章應力狀態(tài)分析和強度理論主要內(nèi)容：

應力狀態(tài)概論

平面應力狀態(tài)分析

利用應力圓確定主應力大小和主平面方位

用應力圓確定極值切應力及其所在平面的位置

三向應力圓及最大切應力

廣義胡克定律

強度理論§8－1應力狀態(tài)概念

一點的應力狀態(tài)：就是受力構(gòu)件內(nèi)任一點處不同方位的截面上應力的分布情況。單元體上切應力為零的平面稱為主平面主平面上的正應力稱為主應力由主平面組成的單元體稱為主應力單元體。一點的應力狀態(tài)常用主應力單元體表示

單向應力狀態(tài)二向應力狀態(tài)三向應力狀態(tài)單向應力狀態(tài)和二向應力狀態(tài)統(tǒng)稱為平面應力狀態(tài)。二向應力狀態(tài)和三向應力狀態(tài)統(tǒng)稱為復雜應力狀態(tài)。σ1≥σ2≥σ3

§8－2平面應力狀態(tài)分析

平面應力狀態(tài)應力分析的解析法任意斜截面上的應力

在圖示單元體上取任意斜截面a,其外法線n與x軸正向的夾角為α

。規(guī)定：α角自x軸正向逆時針轉(zhuǎn)到n為正。設σx≥σy。截面ef把單元體分成兩部分,現(xiàn)研究aef部分的平衡。斜截面ef上的應力以正應力σα和切應力τα表示。若ef的面積為dA，則af面和ae面的面積分別是dAsinα和dAcosα

。由靜力平衡方程

式中τxy=τyx，代入上式，化簡后得

平面應力狀態(tài)任意斜截面上的應力計算公式

將式對α求導數(shù)，并令dσ/dα=0，得

主平面和主應力

設該主平面的外法線n與x軸正向的夾角為α0，可得最大正應力

在上面各式中假定了σx≥σy,在此假定下,確定的兩個角度α0中,絕對值最小的一個確定σmax所在的平面。

極值切應力

令dτx/dα=0，由式這說明極值切應力所在平面與主平面成45o角。此處所指的極值切應力是指平面應力狀態(tài)下與零應力面垂直的各斜截面中的切應力的極值,并不是指三向應力狀態(tài)下單元體的最大切應力。得

例一鑄鐵材料的圓軸,試分析扭轉(zhuǎn)時邊緣上點A的應力情況。

解：圓軸受扭時，橫截面邊緣處切應力最大，其值為：取邊緣上的點A分析主應力方向：平面應力狀態(tài)應力分析的圖解法---應力圓圓心的坐標為半徑為應力圓

例圖示單元體，σx=100MPa,τx=-20MPa，σ

y=30MPa,

試用圖解法求α=40°斜截面上的正應力與切應力。解：首先，在σ-τ平面內(nèi)，按選定的比例尺，由坐標(100，-20)與(30,20)分別確定A與B點，然后，以AB為直徑畫圓，即得相應的應力圓。為確定a截面上的應力，將半徑CA沿逆時針力向旋轉(zhuǎn)2a=80°至CD處，所得D點即為a截面的對應點。按選定的比例尺，量得=91MPa,=31MPa，由此得a截面的正應力與切應力分別為§8－3利用應力圓確定主應力大小和主平面方位用應力圓確定主應力大的小用應力圓確定主平面方位根據(jù)轉(zhuǎn)向夾角的關(guān)系，主平面的位置可以從應力圓來確定。將應力圓上的Dx點順時針轉(zhuǎn)2α0，便得到了A點。對應單元體，將x面順時針轉(zhuǎn)α0

，就得到了σ的作用面。σ1作用面必和σ2作用面相垂直。在確定了σ1

的作用面后，σ2

的作用面也就被確定了§8－4利用應力圓確定極值切應力及其所在平面的方位

三向應力狀態(tài)的最大應力

應力圓上的最高點D0和最低點D0′的縱坐標值分別表示應力圓中最大切應力和最小切應力。極值切應力作用面和主應力作用面相差45o。

§8－5三向應力圓及最大切應力三向應力圓分別表示與某個主應力平行的斜面上的應力。一點的最大正應力σ1及一點的最大切應力τ最大發(fā)生在與σ2平行，與σ1，σ3作用面成45o的斜面上。§8－6廣義胡克定律

廣義胡克定律

對應于主應力σ1、σ2、σ3方向的線應變分別為ε1、ε2、ε3，稱為主應變。在σ1的單獨作用下，沿σ1方向的主應變?yōu)樵讦?和σ3的單獨作用下，在σ1方向引起的主應變分別為根據(jù)疊加原理，在σ1、σ2、σ3三個主應力的共同作用下，沿σ1、σ2、σ3方向的主應變?yōu)橥?，可求出沿?和σ3方向的主應變ε2和ε3，結(jié)果有廣義胡克定律

廣義胡克定律

例

直徑為50mm的鋼質(zhì)圓柱，放入剛體上直徑為50.01mm的盲孔中,圓柱承受軸向壓力F=300kN的作用。材料的彈性模量為E=200GPa，泊松比μ=0.3,試求圓柱的主應力。解：在圓柱體橫截面上的壓應力為在軸向壓縮下，圓柱將產(chǎn)生橫向膨脹。在它漲到塞滿盲孔后，盲孔與圓柱之間將產(chǎn)生徑向均勻壓強p，圓柱體的徑向應變?yōu)閳A柱體內(nèi)各點的三個主應力§8－7

強度理論

強度理論的概念由于材料破壞主要有兩種形式,相應地存在兩類強度理論。一類是斷裂破壞理論,主要有最大拉應力理論和最大拉應變理論等；另一類是屈服破壞理論,主要是最大切應力理論和形狀改變比能理論。根據(jù)不同的強度理論可以建立相應的強度條件,從而為解決復雜應力狀態(tài)下構(gòu)件的強度計算提供了依據(jù)。

常用的四種強度理論

最大拉應力理論(第一強度理論)

引起材料斷裂破壞的主要因素是最大拉應力。因此，材料發(fā)生破壞的條件為相應的強度條件是

σ1—構(gòu)件危險點處的最大拉應力；[σ]—單向拉伸時材料的許用力。

試驗表明，這個理論對于脆性材料，在單向、二向或三向拉斷裂時，最大拉應力理論與試驗結(jié)果基本一致。在存在有壓應力的情況下，則只有當最大壓應力值不超過最大拉應力值時，拉應力理論才正確。這個理論沒有考慮其他兩個主應力對斷裂破壞的影響。同時對于壓縮應力狀態(tài)，由于根本不存在拉應力，這個理論無法應用。最大伸長線應變理論(第二強度理論)

不論材料處于何種應力狀態(tài)，只要最大伸長應變ε1達到材料單向拉伸斷裂時的最大伸長應變值ε01，材料即發(fā)生斷裂破壞。因此，材料發(fā)生斷裂破壞的條件為對于鑄鐵等脆性材料，從受力到斷裂，其應力、應變關(guān)系基本符合胡克定律，強度條件為試驗表明，脆性材料在二向拉伸——壓縮應力狀態(tài)下，且壓應力絕對值較大時，試驗與理論結(jié)果比較接近；二向壓縮與單向壓縮強度有所不同，但混凝土、花崗石和砂巖在兩種情況下的強度并無明顯差別；鑄鐵在二向拉伸時應比單向拉伸時更安全，而試驗并不能證明這一點。

最大切應力理論(第三強度理論)

不論材料處于何種應力狀態(tài)，只要最大切應力τmax

達到材料單向拉伸屈服時的最大切應力τ0max

，材料即發(fā)生屈服破壞，屈服條件為相應的強度條件為

試驗表明,對塑性材料，如常用的Q235A、45鋼、銅、鋁等，此理論與試驗結(jié)果比較接近。

形狀改變比能理論(第四強度理論)

積蓄在單位體積內(nèi)的變形能，包括因體積改變和因形狀改變而產(chǎn)生的比能兩個部分。相應的強度條件為

四種強度理論的適用范圍

大量的工程實踐和實驗結(jié)果表明,上述四種強度理論的有效性取決于材料的類別以及應力狀態(tài)的類型。1)在三向拉伸應力狀態(tài)下,不論是脆性材料還是塑性材料，都會發(fā)生斷裂破壞，應采用最大拉應力理論。2)在三向壓縮應力狀態(tài)下,不論是塑性材料還是脆性材料，都會發(fā)生屈服破壞，適于采用形狀改變比能理論或最大切應力理論。3)一般而言,對脆性材料宜用第一或第二強度理論,對塑性材料宜采用第三和第四強度理論。

例轉(zhuǎn)軸邊緣上某點的應力狀態(tài)如圖所示。試用第三和第四強度理論建立其強度條件。解：對于圖示單元體，有可得所以強度條件分別為習題參考答案圖8-4

第九章組合變形主要內(nèi)容：概述

第一類組合變形—組合后為單向應力狀態(tài)第二類組合變形—組合后為復雜應力狀態(tài)§9－1概述

在外力的作用下，構(gòu)件若同時產(chǎn)生兩種或兩種以上基本變形的情況，就是組合變形。

塔器

攪拌軸

轉(zhuǎn)軸

組合變形概念

§9－2第一類組合變形—組合后為單向應力狀態(tài)將力F分解為軸向分力Fx和橫向分力Fy

彎曲軸向拉伸

梁在F力作用下發(fā)生彎曲與軸向拉伸組合變形

1.外力分析（目的是判斷桿件產(chǎn)生何種組合變形）

桿件彎曲與拉伸(或壓縮)的組合變形2.內(nèi)力分析（目的是找出危險面）

構(gòu)件在垂直于軸線的分力作用下，將引起各橫截面上產(chǎn)生不同的彎矩，最大彎矩發(fā)生在根部A截面處

軸在沿軸線的分力Fx作用下將引起各橫截面上產(chǎn)生相同的軸向拉力

危險面在根部A截面處

3.應力分析（目的是找到危險面上的危險點）根部危險截面上由軸向拉力引起的拉應力均勻分布

在最大彎矩作用下，危險截面上的應力按線性規(guī)律分布

危險截面上正應力的最大與最小值該截面的上下邊緣上各點是危險點，這些危險點上的應力都是正應力，亦即是簡單應力狀態(tài)。

抗彎截面模量

橫截面面積4.強度計算進一步分析可知上邊緣各點的拉應力最大

建立強度條件對于拉、壓許用應力相同的材料，當FN是拉力時，可由上式計算；當FN為壓力時，則式中的加號變?yōu)闇p號，取絕對值。

例圖示為25a工字鋼簡支梁。受均布荷載q及軸向壓力FN作用。已知q=10kN/m，l=3m,FN=20kN。試求最大應力。

解：(1)求最大彎矩，它發(fā)生在跨中截面。(2)分別求出最大彎矩及軸力所引起的最大應力由彎矩引起的最大正應力由軸力引起的壓應力最大總壓應力當構(gòu)件受到作用線與軸線平行,但不通過橫截面形心的拉力(或壓力)作用時,此構(gòu)件受到偏心載荷，稱為偏心拉伸(或壓縮)。

對于單向偏心拉伸桿件相當于彎曲與軸向拉伸的組合的桿件，上述公式仍成立。

偏心拉壓的應力計算

例帶有缺口的鋼板如圖所示，已知鋼板寬度b=8cm，厚度δ=1cm，上邊緣開有半圓形槽，其半徑t=1cm，，已知拉力p=80KN，鋼板許用應力[σ]=140MN／m2。試對此鋼板進行強度校核。

解：(1)由于鋼板在截面且AA處有一半圓槽，因而外力P對此截面為偏心拉伸，其偏心距之值為：截面A-A的軸力和彎矩分別為軸力和彎矩在半圓槽底的a處都引起拉應力，故得最大應力為A-A截面的b處，將產(chǎn)生最小拉應力A-A截面上的應力分布如圖所示。由于a點最大應力大于許用應力，所以鋼板的強度不夠。為了保證鋼板具有足夠的強度，在允許的條件下，可在下半圓槽的對稱位置再開一半圓槽，此時截面A-A上的應力拐軸AB段為等直圓桿,直徑為d，A端為固定端約束?，F(xiàn)討論在力F的作用下AB軸的受力情況。作出圓軸的扭矩圖和彎矩圖，如圖b、c所示。由圖看出，在固定端截面處的扭矩和彎矩都為最大值(Mmax=Fl、Fa=Mx)，故該截面為危險截面。

§9－3第二類組合變形—組合后為復雜應力狀態(tài)彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合變形選“1”點,在“l(fā)”點附近取一單元體，如圖所示。在單元體左右兩個側(cè)面上既有正應力又有切應力，則“1”點的主應力為對于彎扭組合受力的圓軸，一般用塑性材料制成，強度條件可寫為對于彎扭組合受力的圓軸，一般用塑性材料制成，得圓軸在彎曲和扭轉(zhuǎn)組合形下的強度條件為[σ]：塑性材料拉伸時的許用應力；M和T：分別為危險截面上的彎矩和扭矩。兩式不適用于非圓截面桿第三強度理論：第四強度理論：

例如圖所示的傳動軸是由電動機帶動,軸長l=1.2m,中間安裝一帶輪，重力G=5kN，半徑R=0.6m，平帶緊邊張力F1=6kN,松邊張力F2=3kN。如軸直徑d=100mm,材料許用應力[σ]=50MPa。試按第三強度理論校核軸的強度。解:將作用在帶輪上的平帶拉力F1和F2向軸線簡化,其結(jié)果如圖(b)所示。傳動軸所受鉛垂力為F。分別作出彎矩圖和扭矩圖,如圖(c)、(d)所示,由此可以判斷C截面為危險截面。C截面上的Mmax和T分別為:

根據(jù)公式得轉(zhuǎn)軸的強度足夠習題參考答案第十章壓桿穩(wěn)定主要內(nèi)容：

壓桿穩(wěn)定的概念及失穩(wěn)分析臨界力和臨界應力歐拉公式的適用范圍中、小柔度桿的臨界應力壓桿的穩(wěn)定性計算提高壓桿穩(wěn)定性的措施§10－1壓桿穩(wěn)定的概念及失穩(wěn)分析

壓桿穩(wěn)定的概念

壓桿保持其原有直線平衡狀態(tài)的能力，稱為壓桿的穩(wěn)定性；反之，壓桿喪失其原有直線平衡狀態(tài)而破壞的現(xiàn)象，稱為壓桿的失穩(wěn)。條形鋼板的失穩(wěn)

機械中的細長壓桿

壓桿失穩(wěn)分析

對于細長壓桿,其直線平衡狀態(tài)是否穩(wěn)定,與軸向壓力F的大小有關(guān)。當壓力為某一數(shù)值時,壓桿處于穩(wěn)定的直線平衡狀態(tài)和不穩(wěn)定的直線平衡狀態(tài)之間，這一狀態(tài)稱為臨界狀態(tài)壓桿處于臨界狀態(tài)的壓力值，稱為壓桿的臨界壓力，簡稱臨界力，用符號Fcr表示壓桿的臨界力越大，穩(wěn)定性越強壓桿的失穩(wěn)過程

§10－2臨界力和臨界應力

由于臨界力也認為是壓桿處于微彎平衡狀態(tài)，當撓度趨向于零時承受的壓力。因此，對一般截面形狀、載荷及支座情況不復雜的細長壓桿，可根據(jù)壓桿處于微彎平衡狀態(tài)下的撓曲線近似微分方程式進行求解，這一方法稱為靜力法。

理想壓桿的臨界力1.兩端鉸支壓桿的臨界力

EI——壓桿的抗彎剛度。

l——壓桿的長度，單位為mm。歐拉公式表明：1）壓桿的臨界力與其抗彎剛度成正比2）壓桿的臨界力與壓桿長度的平方成正比3）壓桿的臨界力與壓桿的支承情況有關(guān)，壓桿兩端的支承越牢固，壓桿抵抗彎曲變形的能力越強,臨界力越大。2.其他約束情況下壓桿的臨界力μ——壓桿的長度因數(shù)柱形鉸約束

焊接或鉚接螺母和絲杠連接對于與堅實的基礎固結(jié)成一體的柱腳，可簡化為固定端。

桿端約束情況的簡化§10－3歐拉公式的適用范圍中、小柔度桿的臨界應力臨界應力的歐拉公式

i——壓桿橫截面的慣性半徑，單位為mm；λ——壓桿的柔度,無量綱，柔度越大,則臨界應力越小,壓桿越容易失穩(wěn)。

壓桿越細長、支承情況越不牢固、橫截面尺寸越小則柔度越大,臨界應力越小

歐拉公式的適用范圍

對于Q235鋼制成的壓桿,當其柔度λ≥100時，才能應用歐拉公式。λ

≥λp的壓桿稱為大柔度桿或細長桿,其臨界力或臨界應力可用歐拉公式計算。

λp為臨界應力等于材料比例極限時的柔度，是允許應用歐拉公式的最小柔度值例如：Q235鋼，其彈性模量E=200GPa，比例極限σp=200MPa，則λp值為

中、小柔度桿臨界應力的計算

λ

≤

λp的壓桿稱為小柔度桿或短粗桿小柔度桿的臨界應力按其制作材料不同分為兩種情況：

λs

≤λ

≤

λp的壓桿稱為中柔度桿中柔度桿臨界應力的計算，通常采用建立在實驗基礎上的經(jīng)驗公式

對塑性材料

對脆性材料

歸納：（1）對于大柔度桿（λ≥λp

），用歐拉公式計算（3）對于小柔度桿（λ≤λp

），材料為塑性材料時，σcr=σs

材料為脆性材料時，σcr=σby

例如圖所示,用Q235鋼制成的三根壓桿,兩端均為鉸鏈支承,橫截面為圓形，直徑d=50mm，長度分別為l1=2m，l2=1m，l3=0.5m，材料的彈性模量E=200GPa，屈服點σs=235MPa，求三根壓桿的臨界應力和臨界力。

解(1)計算各壓桿的柔度因壓桿兩端為鉸鏈支承,查表得長度系數(shù)μ=1。圓形截面對y軸和z軸的慣性矩相等,均為故圓形截面的慣性半徑為

各壓桿的柔度分別為

(2)計算各壓桿的臨界應力和臨界力對于Q235鋼λ

p=100，λ

s=60。對于壓桿1,其柔度λ

1=160>λ

p，所以壓桿1為大柔度桿，臨界應力用歐拉公式計算。

壓桿2為中柔度桿，對于Q235鋼，a=310MPa,b=1.24MPa，臨界應力為

壓桿3為小柔度桿，因為Q235鋼為塑性材料，故其臨界應力為

臨界力為σcr臨界力為σcr臨界力為

例如圖所示,一長度l=750mm的壓桿,兩端固定,橫截面為矩形,尺寸如圖。壓桿的材料為Q235鋼,其彈性模量E=200GPa，計算壓桿的臨界應力和臨界力解(1)計算壓桿的柔度壓桿兩端固定，查表得長度系數(shù)μ=0.5。矩形截面對y軸和z軸的慣性矩分別為Iy<Iz,所以壓桿的橫截面必定繞著y軸轉(zhuǎn)動而失穩(wěn)截面對y軸的慣性半徑為得壓桿的柔度為(2)計算臨界應力和臨界力對于Q235鋼λ

p=100，則λ

>λ

p，故臨界應力用歐拉公式計算。

臨界力為

σcr§10－4壓桿的穩(wěn)定性計算

壓桿穩(wěn)定計算，通常采用安全系數(shù)法。為了保證壓桿不失穩(wěn)，并具有一定的穩(wěn)定儲備，壓桿的穩(wěn)定條件可表示為

n=Fcr/F=σcr/σ≥[nW]Fcr—壓桿的臨界壓力F—壓桿的工作壓力N—壓桿工作安全系數(shù)σcr—壓桿的臨界應力σ—壓桿的工作壓應力[nW]—規(guī)定的穩(wěn)定安全系數(shù),它表示要求受壓桿件必須達到的穩(wěn)定儲備程度。幾種常用零件穩(wěn)定安全系數(shù)的參考值壓桿的臨界壓力取決于整個桿件的彎曲剛度。但在工程實際中,壓桿局部有截面削弱的情況,在確定臨界壓力或臨界應力時，此時可以不考慮桿件局部截面削弱的影響,仍按未削弱的截面面積、最小慣性矩和慣性半徑等進行計算。但對這類桿件,還需對削弱的截面進行強度校核。

例空氣壓縮機的活塞桿由45鋼制成σs=350MPa，σs=280MPa，E=210GPa。長度l=-703mm，直徑d=45mm。最大壓力Fmax=41.6kN，規(guī)定的安全系數(shù)為[nW]=8～10。試校核其穩(wěn)定性解(1)確定壓桿類型?；钊麠U可簡化為兩端鉸支壓桿，μ=1。截面為圓形，i=d/4，柔度為

λ=μli=62.5λ

<λp所以，此壓桿為中柔度桿，使用經(jīng)驗公式算臨界應力?；钊麠U屬于中柔度桿

(2)計算臨界載荷并校核。

用直線公式計算臨界應力

臨界載荷活塞的工作安全系數(shù)為

壓桿滿足穩(wěn)定要求

n=Fcr/Fmax=493/41.6=11.85>nst§10－5提高壓桿穩(wěn)定性的措施

合理選擇材料對于大柔度桿，宜選用普通鋼材。對于中柔度桿，選用高強度鋼。合理選擇截面形狀應該選擇Iz=Iy的截面，使壓桿在各個平面內(nèi)的穩(wěn)定性相同。減小壓桿長度在條件允許時，應盡量減小壓桿的長度或在壓桿中間增加支座。改善支承條件壓桿與其他構(gòu)件連接時，應盡可能制作成剛性連接或采用較緊密的配合。習題參考答案第十一章交變應力及疲勞破壞主要內(nèi)容：

交變載荷和交變應力的概念疲勞破壞和持久極限

影響構(gòu)件持久極限的因素及

強度計算簡介§11－1交變載荷和交變應力的概念

交變載荷和交變應力的概念

構(gòu)件工作時所受的載荷隨時間作周期性變化,這種載荷稱為交變載荷

構(gòu)件在交變載荷下產(chǎn)生的應力稱為交變應力齒輪的齒受交變應力火車車輪軸所受交變應力r=σmin/σmax循環(huán)特征系數(shù)

應力從某一值經(jīng)最大值和最小值后回到同一值的過程稱為一個應力循環(huán)。

應力循環(huán)有如下特征量:(1)應力循環(huán)—應力變化一個周期，稱為應力的一次循環(huán)。

(2)最大應力—一個應力循環(huán)中代數(shù)值最大的應力，用σmax表示

(3)最小應力—一個應力循環(huán)中代數(shù)值最小的應力，用σmin表示(4)平均應力—最大應力與最小應力和值的一半，即

(5)

應力幅值—最大應力與最小應力差值的一半，即

(6)循環(huán)特征—應力循環(huán)中最小應力與最大應力的比值，即§11－2疲勞破壞和持久極限

疲勞破壞的特點

桿件在長期處在交變應力下工作，常在沒有明顯塑性變形的情況下發(fā)生突然斷裂。這種現(xiàn)象稱為疲勞破壞。

疲勞破壞后的斷口

疲勞破壞的特征(1)構(gòu)件內(nèi)的工作應力遠遠低于靜荷載下材料的極限強度或屈服強度。(2)破壞前沒有明顯的塑性變形(3)破壞斷口表面呈現(xiàn)兩個截然不同的區(qū)域，光滑區(qū)和粗糙區(qū)。(4)疲勞破壞的發(fā)生需要有一個過程，即需要經(jīng)過一定數(shù)量的應力循環(huán)。材料的持久極限及其測定要建立構(gòu)件在交變應力下的強度條件，首先必須測定交變應力作用下材料的另一極限應力,稱為材料的持久極限,用σr表示。彎曲疲勞實驗機和疲勞曲線

§11－3影響構(gòu)件持久極限的因素及強度計算簡介影響構(gòu)件持久極限的因素1.應力集中的影響

、分別為在對稱循環(huán)下無應力集中與有應力集中試件的持久極限有效應力集中系數(shù)2.

構(gòu)件尺寸的影響尺寸系數(shù)

為對稱循環(huán)下大尺寸光滑試件的持久極限3.

表面加工質(zhì)量的影響表面質(zhì)量系數(shù)表示表面加工質(zhì)量不同的試件的持久極限對稱循環(huán)下構(gòu)件的持久極限為構(gòu)件的疲勞強度計算簡介在機械設計中，一般疲勞強度計算采用安全因數(shù)法。若令nσ二為工作安全因數(shù)，n為許用安全因數(shù)，則有提高疲勞強度的措施(1)合理設計構(gòu)件形狀。

(2)采用止裂措施。

(3)提高構(gòu)件表面質(zhì)量。

(4)增加表層強度。第十二章能量法主要內(nèi)容：

概述

外力功和應變能的計算

卡氏定理

單位載荷法·莫爾定理

運用能量法解超靜定問題

動載荷應力§12－1概述構(gòu)件受外力作用而變形，載荷作用點隨之產(chǎn)生位移，載荷作用點沿載荷作用方向的位移分量，稱為該載荷的相應位移。外力通過相應位移做功，同時，在構(gòu)件內(nèi)部積蓄了能量，稱為應變能，并用V表示。根據(jù)能量守恒定律可知，如果載荷由零逐漸地、緩慢地增加，以至在加載過程中，構(gòu)件的動能與熱能的變化均可忽略不計，則存儲在構(gòu)件內(nèi)的應變能V，數(shù)值上等于外力所做的功W．即V=W

利用能量原理分析構(gòu)件或結(jié)構(gòu)的位移與應力的方法稱為能量法。能量原理線性彈性體的外力功在整個加載過程中，載荷所做的總功為式中，F(xiàn)為廣義力;而△則為相應于該廣義力的廣義位移§12－2外力功和應變能的計算

克拉貝依隆原理上述載荷Fi(i=1，2，…，n)應理解為廣義力，而位移△i(i=l，2…，n)應理解為相應的廣義位移。桿件應變能計算

當桿件僅受到軸向拉伸(或壓縮)時的應變能為當軸力沿桿軸線為常數(shù)F時，則有當軸僅受到扭轉(zhuǎn)時的應變能為當扭矩沿桿軸線為常數(shù)T時，則有當梁在平面彎曲時的應變能為整個桿或桿系的應變能例求圖示桁架應變能及節(jié)點C的垂直位移△C

各桿的拉壓剛度均為EA。解：取節(jié)點C，受力情況如圖b所示，兩桿軸力分別為結(jié)構(gòu)總的應變能為△c為外力F在其作用點沿作用力方向上的位移，外力功為得設梁的應變能VS為外力F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n的函數(shù)。有應變能增量可以表示為§12－3卡氏定理

梁的應變能由3個部分組成略去高階小量，可得卡氏定理例桁架由桿件BC和BD組成，在結(jié)點占作用有鉛垂載荷F，如圖所示。已知兩桿的抗拉剛度EA相同并且為常量，試求B點的水平和鉛垂位移。解：桁架為拉壓桿件組成的桿系結(jié)構(gòu)，桁架的總應變能為根據(jù)卡氏定理，鉛垂位移根據(jù)題意需要計算B點的水平位移，而結(jié)構(gòu)中沒有對應的廣義力。因此需要施加一個虛擬的廣義力Faf，如圖(b)所示。根據(jù)平衡關(guān)系可得兩桿的內(nèi)力，如圖(c)所示，即桁架的應變能為結(jié)點位移為因為偏導數(shù)求解完成后，令內(nèi)力表達式中的虛擬廣義力Faf為0，則將上述結(jié)果代入位移表達式，可得設簡支梁在載荷F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n作用下,梁上任一截面C的位移為△(圖a))。梁的彎曲應變能為設想在C點沿位移△的方向上單獨作用數(shù)值為1的單位力(圖b))，梁在單位力作用下的應變能為§12－4單位載荷法·莫爾定理

作用于C點的單位力又產(chǎn)生位移△(圖c))，完成了1?△的功，故應變能為關(guān)于莫爾定理的應用作如下說明：(1)當外載荷在桿件橫截面上同時產(chǎn)生軸力、彎矩和扭矩時，可推出莫爾積分的普遍形式在只受節(jié)點載荷作用的桁架中，由于各桿在橫截面上只有軸力且沿桿長為定值，則表達式可寫為(2)單位力為廣義力，視所要確定位移的性質(zhì)而定。

(3)公式右端的計算