第5講指對(duì)冪函數(shù)及其應(yīng)用學(xué)校____________姓名____________班級(jí)____________一、知識(shí)梳理指數(shù)和指數(shù)函數(shù)1.根式的概念及性質(zhì)(1)概念：eq\r(n,a)稱為根式，n稱為根指數(shù)，a稱為被開(kāi)方數(shù).(2)性質(zhì)：(eq\r(n,a))n＝a；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，eq\r(n,an)＝a，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，eq\r(n,an)＝|a|.2.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪規(guī)定：正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是aeq\f(m,n)＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是a－eq\f(m,n)＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0；0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義.3.指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：asat＝as＋t，(as)t＝as__t，(ab)s＝asbs，其中a>0，b>0，s，t∈R.4.指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(1)概念：一般地，函數(shù)y＝ax稱為指數(shù)函數(shù)，其中a是常數(shù)，a>0且a≠1.(2)指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)a>10<a<1圖像性質(zhì)定義域定義域?yàn)镽值域值域?yàn)?0，＋∞)，即對(duì)任何實(shí)數(shù)，都有ax>0過(guò)定點(diǎn)過(guò)定點(diǎn)(0，1)，即x＝0時(shí)，y＝1函數(shù)值的變化當(dāng)x>0時(shí)，y>1；當(dāng)x<0時(shí)，0<y<1當(dāng)x>0時(shí)，0<y<1；當(dāng)x<0時(shí)，y>1單調(diào)性在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)對(duì)稱性y＝ax與y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))eq\s\up12(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱對(duì)數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)1.對(duì)數(shù)的概念在表達(dá)式ab＝N(a>0且a≠1，N∈(0，＋∞))中，當(dāng)a與N確定之后，只有唯一的b能滿足這個(gè)式子，此時(shí)，冪指數(shù)b稱為以a為底N的對(duì)數(shù)，記作b＝logaN，其中a稱為對(duì)數(shù)的底數(shù)，N稱為對(duì)數(shù)的真數(shù).2.對(duì)數(shù)的性質(zhì)、運(yùn)算性質(zhì)與換底公式(1)對(duì)數(shù)的性質(zhì)：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).(2)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)①loga(MN)＝logaM＋logaN，②logaMα＝αlogaM，③logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN.其中，a>0且a≠1，M>0，N>0，α∈R.(3)換底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).3.對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(1)概念：一般地，函數(shù)y＝logax稱為對(duì)數(shù)函數(shù)，其中a是常數(shù)，a>0且a≠1.(2)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)a>10<a<1圖像性質(zhì)定義域定義域?yàn)?0，＋∞)，圖像在y軸的右邊值域值域?yàn)镽過(guò)定點(diǎn)過(guò)定點(diǎn)(1，0)，即x＝1時(shí)，y＝0函數(shù)值的變化當(dāng)0<x<1時(shí)，y<0，當(dāng)x>1時(shí)，y>0當(dāng)0<x<1時(shí)，y>0，當(dāng)x>1時(shí)，y<0單調(diào)性增函數(shù)減函數(shù)對(duì)稱性y＝logax與y＝logeq\s\do9(\f(1,a))x的圖像關(guān)于x軸對(duì)稱4.指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖像關(guān)于直線y＝x對(duì)稱.冪函數(shù)和二次函數(shù)1.冪函數(shù)(1)冪函數(shù)的定義一般地，函數(shù)y＝xα稱為冪函數(shù)，其中α為常數(shù).(2)常見(jiàn)的五種冪函數(shù)的圖像(3)冪函數(shù)的性質(zhì)①所有的冪函數(shù)在區(qū)間(0，＋∞)上都有定義，因此在第一象限內(nèi)都有圖像，并且圖像都通過(guò)點(diǎn)(1，1).②如果α>0，則冪函數(shù)的圖像通過(guò)原點(diǎn)，并且在區(qū)間[0，＋∞)上是增函數(shù).③如果α<0，則冪函數(shù)在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)，且在第一象限內(nèi)；當(dāng)x從右邊趨向于原點(diǎn)時(shí)，圖像在y軸右方且無(wú)限地逼近y軸；當(dāng)x無(wú)限增大時(shí)，圖像在x軸上方且無(wú)限地逼近x軸.2.二次函數(shù)(1)二次函數(shù)解析式的三種形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).頂點(diǎn)式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(m，n).零點(diǎn)式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2為f(x)的零點(diǎn).(2)二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)圖像(拋物線)定義域R值域eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))對(duì)稱軸x＝－eq\f(b,2a)頂點(diǎn)坐標(biāo)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))奇偶性當(dāng)b＝0時(shí)是偶函數(shù)，當(dāng)b≠0時(shí)是非奇非偶函數(shù)單調(diào)性在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上是減函數(shù)；在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上是增函數(shù)在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上是增函數(shù)；在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上是減函數(shù)考點(diǎn)和典型例題1、指數(shù)和指數(shù)函數(shù)【典例1-1】（2020·黑龍江·東寧市第一中學(xué)高二階段練習(xí)）關(guān)于函數(shù)的結(jié)論正確的是（

）A．值域是 B．單調(diào)增區(qū)間是C．值域是 D．單調(diào)減區(qū)間是【答案】AB【詳解】令，則，又為增函數(shù)，所以，所以函數(shù)的值域?yàn)?，故A正確，C錯(cuò)誤；因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，為增函數(shù)，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，故選：AB【典例1-2】（2021·湖北省直轄縣級(jí)單位·高二階段練習(xí)）已知函數(shù)（且）的圖象如下圖所示，則下列四個(gè)函數(shù)圖象與函數(shù)解析式對(duì)應(yīng)正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【詳解】由圖可得，即，單調(diào)遞減過(guò)點(diǎn)，故A正確；為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故B正確；為偶函數(shù)，結(jié)合指數(shù)函數(shù)圖象可知C錯(cuò)誤；，根據(jù)““上不動(dòng)、下翻上”可知D正確；故選：ABD.【典例1-3】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）將函數(shù)的圖像繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角，得到曲線，若曲線仍然是一個(gè)函數(shù)的圖像，則的可能取值為（

）A． B． C． D．【答案】ABCD【詳解】如上圖所示，分別是繞著原點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，，，，所得到的的曲線，根據(jù)函數(shù)的定義可知，這四個(gè)曲線都符合函數(shù)圖像的定義.故選：ABCD．【典例1-4】（2022·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則（

）A． B． C． D．【答案】AD【詳解】因?yàn)?，所以，，．?duì)，，這三個(gè)數(shù)先取自然對(duì)數(shù)再除以，則，，,設(shè)，則，由，解得，所以在上單調(diào)遞增，故，即，則，故，故選：AD．【典例1-5】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）為排查新型冠狀病毒肺炎患者，需要進(jìn)行核酸檢測(cè)．現(xiàn)有兩種檢測(cè)方式：（1）逐份檢測(cè)：（2）混合檢測(cè)：將其中k份核酸分別取樣混合在一起檢測(cè)，若檢測(cè)結(jié)果為陰性，則這k份核酸全為陰性，因而這k份核酸只要檢測(cè)一次就夠了，如果檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，為了明確這k份核酸樣本究竟哪幾份為陽(yáng)性，就需要對(duì)這k份核酸再逐份檢測(cè)，此時(shí)，這k份核酸的檢測(cè)次數(shù)總共為次．假設(shè)在接受檢測(cè)的核酸樣本中，每份樣本的檢測(cè)結(jié)果是陰性還是陽(yáng)性都是獨(dú)立的，并且每份樣本是陽(yáng)性的概率都為，若，運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí)判斷下列哪些p值能使得混合檢測(cè)方式優(yōu)于逐份檢測(cè)方式．（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1【答案】CD【詳解】設(shè)混合檢測(cè)分式，樣本需要檢測(cè)的總次數(shù)可能取值為，故的分布列為：111設(shè)逐份檢測(cè)方式，樣本需要檢測(cè)的總次數(shù)，則要使得混合檢測(cè)方式優(yōu)于逐份檢測(cè)方式，需即，即，即又，，故選：CD2、對(duì)數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)【典例2-1】（2022·安徽省蕪湖市教育局模擬預(yù)測(cè)（理））設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，因?yàn)楹瘮?shù)為上的增函數(shù)，，所以，故，又為R上的增函數(shù)，，所以，即，所以，故選：A【典例2-2】（2022·江蘇南京·三模）我們知道，任何一個(gè)正整數(shù)N可以表示成N＝a×10n（1≤a＜10，n∈Z），此時(shí)lgN＝n＋lga（0≤lga＜1）．當(dāng)n≥0時(shí)，N是一個(gè)n＋1位數(shù)．已知lg5≈0.69897，則5100是（

）位數(shù)．A．71 B．70 C．69 D．68【答案】B【詳解】，則其為70位數(shù)，故選：B【典例2-3】（2022·河南開(kāi)封·三模（理））函數(shù)的部分圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，所以為奇函?shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故CD不正確；當(dāng)時(shí)，，故B不正確.故選：A【典例2-4】（2022·全國(guó)·高三階段練習(xí)（理））已知，，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】，；，；，；，，.故選：C.【典例2-5】（2022·湖北·荊門(mén)市龍泉中學(xué)一模）有一個(gè)非常有趣的數(shù)列叫做調(diào)和數(shù)列，此數(shù)列的前n項(xiàng)和已經(jīng)被研究了幾百年，但是迄今為止仍然沒(méi)有得到它的求和公式，只是得到它的近似公式：當(dāng)n很大時(shí)，，其中稱為歐拉-馬歇羅尼常數(shù)，……，至今為止都還不確定是有理數(shù)還是無(wú)理數(shù)．由于上式在n很大時(shí)才成立，故當(dāng)n較小時(shí)計(jì)算出的結(jié)果與實(shí)際值之間是存在一定誤差的，已知，．用上式估算出的與實(shí)際的的誤差絕對(duì)值近似為（

）A．0.073 B．0.081 C．0.122 D．0.657【答案】B【詳解】解：依題意所以，又所以估算出的與實(shí)際的的誤差絕對(duì)值近似為；故選：B3、冪函數(shù)和二次函數(shù)【典例3-1】（2022·浙江·高三專題練習(xí)）下列冪函數(shù)中，定義域?yàn)榈氖牵?/p>

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】對(duì)選項(xiàng)，則有：對(duì)選項(xiàng)，則有：對(duì)選項(xiàng)，定義域?yàn)椋簩?duì)選項(xiàng)，則有：【典例3-2】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）冪函數(shù)在上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B．0或2 C．0 D．2【答案】D【詳解】因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，不符合題意，當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，符合題意，所以.故選：D.【典例3-3】（2022·安徽蚌埠·模擬預(yù)測(cè)（理））若冪函數(shù)滿足，則下列關(guān)于函數(shù)的判斷正確的是（

）A．是周期函數(shù) B．是單調(diào)函數(shù)C．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱【答案】C【詳解】由題意得，即，故，令，則，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；所以，因此方程有唯一解，解為，因此，所以不是周期函數(shù)，不是單調(diào)函數(shù)，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故選：C.【典例3-4】（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知，函數(shù)的圖象不可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)為一條射線，且函數(shù)在上為增函數(shù)，B選項(xiàng)符合；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，此時(shí)函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)，A選項(xiàng)符合；當(dāng)時(shí)，時(shí)，函數(shù)的增長(zhǎng)速度遠(yuǎn)小于函數(shù)的增長(zhǎng)速度，所以時(shí)，函數(shù)一定為減函數(shù)，選項(xiàng)D符合，C不符合.故選：C【典例3-5】（2021·湖南·長(zhǎng)沙一中高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，若當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意，，即為奇函數(shù)，同時(shí)也為增函數(shù)，∵，即，∴，即恒成立，，若不等式恒成立，只需，令，∴，∴．故選：C【典例3-6】（2021·四川省綿陽(yáng)實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)（理））冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的圖象過(guò)定點(diǎn)（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，解得，所以，故令得，所以所以的圖象過(guò)定點(diǎn)故選：D4、綜合應(yīng)用【典例4-1】（2022·安徽·南陵中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由可得，，，，由于，，，而，，所以，所以．故選：D．【典例4-2】（2022·北京·二模）若函數(shù)的定義域和值域的交集為空集，則正數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】解：因?yàn)?，所以的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞增，所以；要使定義域和值域的交集為空集，顯然，當(dāng)時(shí)，若則，此時(shí)顯然不滿足定義域和值域的交集為空集，若時(shí)在上單調(diào)遞減，此時(shí)，則，所以，解得，即故選：B【典例4-3】（2022·安徽·壽縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)（理））若為定義在上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，則（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由為