必刷大題18統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)分析

1.某中學(xué)為了解學(xué)生數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)情況，在3000名學(xué)生中隨機(jī)抽取200名，并統(tǒng)計(jì)這200名學(xué)生的某

次數(shù)學(xué)考試成績(滿分100分)，得到了樣本的頻率分布直方圖(如圖).

［頻率/組距

0.002—TIIIIII一

o3()4050607()8090100成績/分

一般學(xué)校認(rèn)為成績大于等于80分的學(xué)生為優(yōu)秀.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)3C00名學(xué)生在該次數(shù)學(xué)考試中成績優(yōu)秀的學(xué)生數(shù)；

⑵依據(jù)樣本的頻率分布直方圖，估計(jì)總體成績的眾數(shù)和平均數(shù)(每組數(shù)據(jù)以所在區(qū)間的中點(diǎn)值為代表).

解(1)由樣本的頻率分布直方圖可知，

在該次數(shù)學(xué)考試中成績優(yōu)秀的頻率是

(0.020+0.008)X10=0.28,

則估計(jì)300()名學(xué)生在該次數(shù)學(xué)考試中成績優(yōu)秀的學(xué)生有3000X0.28=840(名).

70+8()

⑵由樣本的頻率分布直方圖可知，估計(jì)總體成績的眾數(shù)為下一=75,

平均數(shù)為().002X10X35+0.006X10X45+0.012X10X55+0.024X10X65+0.028X10X75+

0.020XI0X85+0.008X10X95=71.2.

所以估計(jì)總體成績的眾數(shù)為75,平均數(shù)為71.2.

2.(2024.海南模擬)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，猴痘病毒與天花病毒有共同抗原，兩者之間有很強(qiáng)的血清交叉反應(yīng)和交叉免

疫，故猴痘流行的時(shí)候可接種牛痘疫苗預(yù)防.某醫(yī)學(xué)研究機(jī)構(gòu)對120個(gè)接種與未接種牛痘疫苗的密切接觸

者進(jìn)行醫(yī)學(xué)觀察后，統(tǒng)計(jì)了感染病毒情況，得到下面的2X2列聯(lián)表：

感染猴痘病毒未感染猴痘病毒

未接種牛痘疫苗2030

己接種牛痘疫苗1060

⑴根據(jù)上表，分別估計(jì)在未接種牛痘疫苗和已接種牛痘疫苗的情況下，感染猴痘病毒的概率;

(2)是否能依據(jù)小概率值?=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為密切接觸者未感染猴痘病毒與接種牛痘疫苗有關(guān)?

〃=〃+力+c+4.

a0.10.050.01

Xa2.7063.8416.635

解(1)由題意可知，估計(jì)未接種牛痘疫苗者感染猴痘病毒的概率為p=不忍米=本

已接種牛痘疫苗者感染猴痘病毒的概率為

Pp、2_-1_0m+6_0_-17-

(2)列聯(lián)表如表所示:

感染猴痘病毒未感染猴痘病毒合計(jì)

未接種牛痘疫苗203050

已接種牛痘疫苗106070

合計(jì)3090120

零假設(shè)為“0：密切接觸者未感染猴痘病毒與接種牛痘疫苗無關(guān).

120X(20X60-1QX3Q)2

則N=%10.286>6.635=xo.oi,

30X90X50X70

所以根據(jù)小概率值a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷從不成立，即認(rèn)為密切接觸者未感染猴痘病毒與接種

牛痘疫苗有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01.

3.(2024.滄州模擬)“綠水青山就是金山銀山”的口號已經(jīng)深入民心，人們對環(huán)境的保護(hù)意識日益增強(qiáng)，質(zhì)

檢部門也會不時(shí)地對一些企業(yè)的生產(chǎn)污染情況進(jìn)行排查，并作出相應(yīng)的處理，本次排查了3()個(gè)企業(yè)，共查

出510個(gè)污染點(diǎn)，其中造成污染點(diǎn)前10名的企業(yè)分別造成的污染點(diǎn)數(shù)為58,36,36,35,33,32,28,26,24,22.

⑴求這30個(gè)企業(yè)造成污染點(diǎn)的第80百分位數(shù)：

(2)已知造成污染點(diǎn)前10名的企業(yè)的方差為92.4,其他20個(gè)企業(yè)造成污染點(diǎn)的方差為44.7,求這30個(gè)企業(yè)

造成污染點(diǎn)的總體方差.

解(1)根據(jù)定義可得，此30個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列，且30X80%=24,

所以這30個(gè)企業(yè)造成污染的第80百分位數(shù)是第24個(gè)數(shù)據(jù)與第25個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即前10名中第六名與

2?4-32

第七名數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即一『=30.

(2)按照企業(yè)造成的污染點(diǎn)數(shù)從小到大排列，記為即，刈，…，也o,其乎均數(shù)記為工，方差記為金;

把剩下10個(gè)數(shù)據(jù)記為爪及，…，yio,其平均數(shù)記為y,方差記為檢

把總樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為三，方差記為P

—510

由題意可知，z=合萬=17,

—11

?=15乂(58+36+36+35+33+32+28+26+24+22)=而乂330=33,

則工=*X(510—330)=9,

由題知噓=44.7,#=92.4,

，=5X{20氏+(x—z)2]+10[.s?+(y—z)2]}

代人數(shù)據(jù)可得，X{20X[44.7+(9—17月+10X[92.4+(33—17)2]}=188.6,

JU

所以這3()個(gè)企業(yè)造成污染點(diǎn)的總體方差為188.6.

4.(2023?淄博模擬)某電商平臺統(tǒng)計(jì)了近七年小家電的年度廣告黃支出雙萬元)與年度銷售量亢萬臺)的數(shù)據(jù),

如表所不：

年份2016201720182019202020212022

廣告費(fèi)支出X1246111319

銷售量y1.93.24.04.45.25.35.4

其中?必=279.4,￡rf=708.

產(chǎn)1i=i

⑴若用線性回歸模型擬合)，與x的關(guān)系，求出)，關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；

⑵若用產(chǎn)。+八n模型擬合得到的回歸方程為；=1.63+().99亞，經(jīng)計(jì)算(1)中的回歸模型及該模型的R?分別

為0.75和0.88,請根據(jù)R2的數(shù)值選擇更好的回歸模型擬合)，與x的關(guān)系，進(jìn)而計(jì)算出年度廣告費(fèi)x為何值

時(shí)，利潤z=200.yr的預(yù)報(bào)值最大？

力％一〃xyX（即一%）6v-y）

AI*1產(chǎn)|AA

參考公式：b==9a-y-bx.

?〃X2Z（Xi-X）2

1=1J=]

解（1）由題意可得

—1+2+4+6+11+13+19

x=j=8,

—1.9+3.2+4.0+4.4+5.2+5.3+5.4

y=7=4.2,

》》一7Ay

AL1279.4~7X8X4.2_

所以--------708-7X82-=0J7'

￡r?-7T2

a=y-bx=4.2-0.17X8=2.84,

1y關(guān)于工的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=0.17x+2.84.

⑵因?yàn)?.75<0.88,R?越大擬合效果越好，

A

所以選用回歸方程)，=1.63+0.9%%更好，

A

z=200(1.63+0.9砧)一工=一上+198^/1+326

=一(五一99)2+10127,

即當(dāng)出=99,即x=9801時(shí)，利潤的預(yù)報(bào)值最大.

5.(2023?福州模擬)國內(nèi)某大學(xué)想了解本校學(xué)生的運(yùn)動狀況，采用簡單隨機(jī)抽樣的方法從全校學(xué)生中抽取2

00C人,調(diào)查他們平均每天運(yùn)動的時(shí)間(單位：小時(shí))，統(tǒng)計(jì)表明咳校學(xué)生平均每天運(yùn)動的時(shí)間范圍是[0,3],

記平均每天運(yùn)動的時(shí)間不少于2小時(shí)的學(xué)生為“運(yùn)動達(dá)人”，少于2小時(shí)的學(xué)生為“非運(yùn)動達(dá)人”.整理

分析數(shù)據(jù)得到的列聯(lián)表如表所示(單位：人)：

運(yùn)動時(shí)間

性別合計(jì)

“運(yùn)動達(dá)人”“非運(yùn)動達(dá)人”

男生11003001400

女生400200600

合/p>

零假設(shè)為“o：運(yùn)動時(shí)間與性別之間無關(guān)聯(lián).根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，算得/2比31.746,根據(jù)小概率值a=0.001

的/獨(dú)立性檢驗(yàn)，則認(rèn)為運(yùn)動時(shí)間與性別有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.001.

⑴如果將表中所有數(shù)據(jù)都縮小為原來的京，在相同的檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)下，再用獨(dú)、工性檢驗(yàn)推斷運(yùn)動時(shí)間與性別之

間的關(guān)聯(lián)性，結(jié)論還一樣嗎？請用統(tǒng)計(jì)語言解釋其中的原因；

⑵采用按樣本性別比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取20名同學(xué)，并統(tǒng)計(jì)每位同學(xué)的運(yùn)動時(shí)間，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)

為男生運(yùn)動時(shí)間的平均數(shù)為2.5,方差為1；女生運(yùn)動時(shí)間的平均數(shù)為1.5,方差為0.5,求這20名同學(xué)運(yùn)動

時(shí)間的均值與方差.

附：*=(〃+b)(c1d)(a+)c)(b+d)'其中"="+”+c+d.

a0.10.050.010.005().001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

解(1)方法一改變數(shù)據(jù)之后的列聯(lián)表為

運(yùn)動時(shí)間

性別合計(jì)

“運(yùn)動達(dá)人”“非運(yùn)動達(dá)人”

男生11030140

女生402060

合計(jì)15050200

rEgdj)200X(110X20-30X40)2200、.八

川璃整口的/■=I50X50X140X60=7T^3.75V1O.828=XO.OOI.

則根據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷運(yùn)動時(shí)間與性別有關(guān).

與之前結(jié)論不一樣，

原因是每個(gè)數(shù)據(jù)都縮小為原來的右，相當(dāng)于樣本容量縮小為原來的強(qiáng)，導(dǎo)致推斷結(jié)論發(fā)生了變化,

當(dāng)樣本容量越大，用樣本估計(jì)總低的準(zhǔn)確性會越高.

i\(adbc\

HAW,'IOio,w

方法二調(diào)整后的/=7廠

io)fe+mXio+ioXio+m)

I〃（ad-be）?_________y2

=K）m+〃）（c+J）（a+c）3+d）=10^3J75<10,828=必網(wǎng)'

根據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性險(xiǎn)驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷運(yùn)動時(shí)間與性別有關(guān).

與之前結(jié)論不一樣，原因是每個(gè)數(shù)據(jù)都縮小為原來的亡，相當(dāng)于樣本容量縮小為原來的吉,導(dǎo)致推斷結(jié)論

發(fā)生了變化，

當(dāng)樣本容量越大，用樣本估計(jì)總伍的準(zhǔn)確性會越高.

（2）男生抽取^^X20=14（人），文生抽取^^X20=6（人）,

由已知男生運(yùn)動時(shí)間的平均數(shù)為t=2.5,樣本方差為4=1;女生運(yùn)動時(shí)間的平均數(shù)為1y=1.5,樣本方差

為0=0.5.

、f…一小一14X2.5+6X1.5

i己樣本均值為訕，貝Uw=2Q=2.2,

、己旌—2m.1，14X[l+（2.5—2.2）2]+6X[0.5+（L5—2.2月

記樣本方差為s',則s~—20—L06,

所以這20名同學(xué)運(yùn)動時(shí)間的均值為2.2,方差為1.06.

6.（2023.泰安模擬）近年來，我國新能源汽車發(fā)展進(jìn)入新階段.某品牌2018年到2022年新能源汽車年銷后

力（萬輛汝n表所示，其中2018年?2022年對應(yīng)的年份代碼t為1-5.

年份代碼/12345

銷量也（萬輛）49141825

⑴判斷兩個(gè)變量是否線性相關(guān)，并計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.001）；

（2）①假設(shè)變量X與變量丫的〃對觀測數(shù)據(jù)為（即，yi）,（必”），…，（X”，>“），兩個(gè)變量滿足一元線性回歸模

Y=Z?x+e,

型?、八~、二（隨機(jī)誤差6=）L姐），請寫出參數(shù)〃的最小二乘估計(jì)；

E（e）=O,0（。）=<r

__Y=bx+e,

②令變量％=Li，y=w-m,則變量x與變量丫滿足一元線性回歸模型一、八~、,利用①中

E（e）=0,D（e）=（r.

結(jié)論求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測2025年該品牌新能源汽車的銷售量.

Z(4-t)(必-w)

尸?5__5_5

附：樣本相關(guān)系數(shù)r=-----1=-----1￡(z(—t)(Wi-w)=51,S(Wj—“)2=262,￡

/n_/n____/=1i=li=\

A/Z(6-f)2A/L(助-8)2

9-7)2=10,y[655^25.6.

解（1）通過作散點(diǎn)圖如圖所示，發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)大致分布在一條直線附近,

以萬輛）|

25?

20.

回.