保分專題(一)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

［全國卷3年考情分析］

年份卷別考察內(nèi)容及考題位置命題分析

函數(shù)圖象的識別?T8L高考對此局部內(nèi)容的命題多

卷I

復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、對稱性39集中于函數(shù)的概念、函數(shù)的性質(zhì)及

復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性?T8分段函數(shù)等，主要考察求函數(shù)的定

2017卷n

函數(shù)的奇偶性、函數(shù)值的求解?Tw義域，分段函數(shù)函數(shù)值的求解或分

函數(shù)圖象的識別式7段函數(shù)中參數(shù)的求解及函數(shù)圖象的

卷m

分段函數(shù)、不等式的解法識別.題型多以選擇題、填空題形

卷I函數(shù)圖象的識別式9式考察，一般出現(xiàn)在第8?11或第

2016

卷n對數(shù)函數(shù)的定義域、值域問題?力。13?15題位置上，難度中等.

卷I分段函數(shù)的求值?》()2.此局部內(nèi)容有時出現(xiàn)在選擇題、

2015函數(shù)圖象的識別?T||填空題壓軸題的位置，多與導(dǎo)數(shù)、

卷n

函數(shù)圖象與解析式的關(guān)系叮翼不等式、創(chuàng)新性問題結(jié)合命題.

考點一

［師生共研?悟通］

1.函數(shù)的三要素

定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系是確定函數(shù)的三要素，是一個整體，研究函數(shù)問題務(wù)必遵循

“定義域優(yōu)先”的原則.

2.分段函數(shù)

假設(shè)函數(shù)在其定義域內(nèi)，對于自變量的不同取值區(qū)間，有著不同的對應(yīng)關(guān)系，這樣的

函數(shù)通常叫做分段函數(shù).分段函數(shù)雖然由幾局部組成，但它表示的是一個函數(shù).

［典例］(1)(2016?全國卷口)以下函數(shù)中，其定義域和值域分別與函數(shù)y=10i"的定義域

和值域一樣的是()

A.j=xB.j=lgx

C.尸2D產(chǎn)方

［解析］選D函數(shù)的定義域與值域均為(0,4-co).結(jié)合選項知，只有函數(shù)3=比

的定義域與值域均為(0,+8),應(yīng)選D.

x+l

2txWO,

(2)(2017?廣州續(xù)合測試)函數(shù)?八貝|」加3))=()

1Iog2*t，

C.—D.-3

[解析]選A因為八3)=1—Iog23=log2；<0,

所以A/(3))=y^log21)=2log2l=2log21=1.

~~[類題通法]

1.函數(shù)定義域的求法

求函數(shù)的定義域，其實質(zhì)就是以函數(shù)解析式所含運算有意義為準(zhǔn)則，列出不等式或不

等式組，然后求出它們的解集即可.

2.分段函數(shù)問題的5種常見類型及解題策略

(1)求函數(shù)值：弄清自變量所在區(qū)間，然后代入對應(yīng)的解析式，求“層層套”的函數(shù)值,

要從最內(nèi)層逐層往外計算.

(2)求函數(shù)最值：分別求出每個區(qū)間上的最值，然后比照大小.

(3)解不等式：根據(jù)分段函數(shù)中自變量取值范圍的界定，代入相應(yīng)的解析式求解，但要

注意取值范圍的大前提.

(4)求參數(shù)：“分段處理”，采用代入法列出各區(qū)間上的方程.

(5)利用函數(shù)性質(zhì)求值：依據(jù)條件找到函數(shù)滿足的性質(zhì)，利用該性質(zhì)求解.

[即學(xué)即用?練通]

1.函數(shù)y=盤《工的定義域為()

A.(一8,i]B.[-1,1]

C.[1,2)U(2,4-00)D[T,一加(Ti]

解析：選D要使函數(shù)三萬有意義，

—1WxWl,

1T20,

則解得且xW一；,

即一且xH一

所以該函數(shù)的定義域為一1,-￡)u(-1,1

x+l,xWO,

2.（2017?全DD卷皿）設(shè)函數(shù)/U）=L八則滿足的X的取值范

|2X,x>0,

圍是________?

解析：由題意知，可對不等式分存0,0<1?《懸討論.

當(dāng)xWO時，原不等式為x+l+x+；>l,解得x>一

/"T

:.一*xW0.

當(dāng)時，原不等式為2*+x+1>l,顯然成立.

當(dāng)時，原不等式為乃+2工一1>1,顯然成立.

綜上可知，X的取值范圍是（一：，+8）.

答案：（一/+8）

f（l—2a）x+3a,x<l,

3.函數(shù)人幻=：/的值域為R,則實數(shù)。的取值范圍是_________

［2X,,x>l

解析：當(dāng)*21時，瞥）=2”-121,

（1-2?比+3。，x<l,

??,畫數(shù)八》）=.）?的值域為R,

2X*,x^l

l—2a>0,

???當(dāng)XVI時，（1-2mx+3〃必須取遍（一8,1）內(nèi)的所有實數(shù)，則,、解

.1—2?+3。71,

得OWaV；.

答案：［o,I）

考點二

［師生共研?悟通］

函數(shù)圖象的4種變換方式

（1）平移變換

①水平平移：」=/5切）3>0）的圖象，可由y=/U）的圖象向左（+）或向右（一）平移。個單

位而得到.

②豎直平移：y=/lr）功（力>0）的圖象，可由y=/U）的圖象向上（+）或向下（一）平移力個單

位而得到.

（2）對稱變換

①x）與_y=/lx）的圖象關(guān)于y軸對稱；

@y=一/（x）與的圖象關(guān)于x軸對稱；

③,=—/（—x）與y=/：x）的圖象關(guān)于原點對稱.

（3）伸縮變換

①,=如幻（公>0）的圖象，可由_y=/lx）的圖象上所有點的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?。倍，橫坐標(biāo)

不變而得到;

②)，=/Ur)(a>0)的圖象，可由y=/U)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼慕窨v坐標(biāo)不

變而得到.

(4)翻折變換

①作出y=/lx)的圖象，將圖象位于x軸下方的局部翻折到x軸上方，其余局部不變，

即得到J=l/U)l的圖象；

②作出)，=人幻在)，軸上及y軸右邊的圖象，并作)，軸右邊的圖象關(guān)于y軸對稱的圖象,

即得到產(chǎn)/但)的圖象.

［典例1(1)(2017?全畫卷此函數(shù))，=l+x+誓的局部圖象大致為()

［解析］選D法一：易知函數(shù)g(x)=x+學(xué)是奇函數(shù)，其函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，所

以函數(shù)y=l+x+臂的圖象只需把氟幻的圖象向上平移一個單位長度，結(jié)合選項知選D.

法二：當(dāng)X-+8時，0,1+xf+8,y=l+x+*^f+8,故排除選項B.當(dāng)0

VxV1時，y=l+x+^^>0,故排除選項A、C.選D.

x2

(2)(2017?合咫模擬)函數(shù)大幻=一爐+3工+〃，g(x)=l-xt假設(shè)人g(x))2。對x￡［0,l］

恒成立，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.[―e,4-0°)B.(—In2,+0°)

C.[-2,+8)

［解析］選C如以以下列圖，在同一坐標(biāo)系中作出)，=爐+1,y=

2\的圖象，由圖象可知，在［0,1］上，3+10'<必+;恒成

33

立，即1忘2》—/<7,當(dāng)且僅當(dāng)x=0或x=l時等號成立，???lWg(x)<7,

???Hg(x))20n*l)20=-l+3+“N0=a2-2,則實數(shù)a的取值范圍

是［-2,+8).

-［類題通法］

尋找函數(shù)圖象與解析式之間的對應(yīng)關(guān)系的方法

(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置.

(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢.

(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性.

(4)從函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù).

［即學(xué)即用?練通］

1.(2017?一州三調(diào))函數(shù)/U)=(x-￡)cosx(一九WxW九且xWO)的圖象可能為()

解析：選D函數(shù)/(r)=(x—，cosx(—TTWXWTT且xWO)為奇函數(shù)，排除選項A、B;

當(dāng)x=7t時，/00=(九一］cos冗=:一”0,排除選項C,應(yīng)選D.

2.函數(shù)/U-I)是定義在R上的奇函數(shù)，且在［0,+8)上是增函數(shù)，則函數(shù)人幻的圖象

可能是()

解析：選B函數(shù)人￡一1)的圖象向左平移1個單位，即可得到函數(shù)/U)的圖象，因為

函數(shù)人》一1)是定義在R上的奇函數(shù)，所以函數(shù)人》一1)的國象關(guān)于原點對稱，所以函數(shù)應(yīng)r)

的圖象關(guān)于點(一1,0)對稱，排除A、C、D,選B.

3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，假設(shè)直線J，=2Q與函數(shù)y=僅一0|一1的圖象只有一個交

考點三函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

［師生共研?悟通］

1.判斷復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論

(1)當(dāng)人’),g(x)同時為增(減)函數(shù)時，Wx)+g(x)為增(減)函數(shù).

(2)設(shè)/(x),g(x)都是增(減)函數(shù)，則當(dāng)兩者都恒大于。時，4x)?g(x)是增(減)函數(shù)；當(dāng)兩

者都恒小于0時，加)?以%)是減(增)函數(shù).

2.函數(shù)奇偶性的重要結(jié)論

(1)奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上假設(shè)有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全一樣；偶函數(shù)在關(guān)

于原點對稱的區(qū)間上假設(shè)有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反.

(2)假設(shè)奇函數(shù)八X)定義域中含有0,則必有式0)=0.

［注意m0)=0是式x)為奇函數(shù)的既不充分也不必要條件.

3.周期性的3個常用結(jié)論

對/U)定義域內(nèi)任一自變量的值x：

(1)假設(shè)人x+a)=-/U)，則T=2ai

(2)假設(shè)|x+a)=而，則7'=2〃；

(3)假設(shè)人工+0=一含，則T=2a.3>0)

J\x)

［典例］(1)(2018屆前三?廣西N市第一次取為J/U)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(一

8,0］上單調(diào)遞增，假設(shè)實數(shù)。滿足式210g3〃)或一也)，則。的取值范圍是()

A.(一8,小)B.(0,小)

C.(小,+~)D.(1,小)

［解析］選B；Ax)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(-8,0］上單調(diào)遞增，

???兒0在區(qū)間［0,+8)上單調(diào)遞減.

根據(jù)函數(shù)的對稱性，可得八一也)=/(6),

/./(21og3a)>7lV2).

V21og3?>0,4x)在區(qū)間［0,+8)上單調(diào)遞減，

0<21og3d<V2,即log3a<J,解得0<。<小.

(2)(2017?山東高考加力是定義在R上的偶函數(shù)，且<x+4)=1/m—2).假設(shè)當(dāng)工￡［-3,0］

時，大幻=6一一則式919)=.

［解析「?VU+4)=Rr-2),：.f(x+6)=Jlx)f

???力>)的周期為6,

V919=153X64-1,???4919)=41).

又八X)為偶函數(shù)，???<919)=<1)=八-1)=6.

［答案］6

-［類題通法］

1.判斷函數(shù)單調(diào)性的4個技巧

(1)對于選擇、填空題假設(shè)能畫出圖象一般用數(shù)形結(jié)合法.

(2)對于由根本初等函數(shù)通過加、減運算或復(fù)合而成的函數(shù)常轉(zhuǎn)化為根本初等函數(shù)

單調(diào)性的判斷問題.

(3)對于解析式為分式、指數(shù)函數(shù)式、對數(shù)函數(shù)式等較復(fù)雜的函數(shù)用導(dǎo)數(shù)法.

(4)對于抽象函數(shù)一般用定義法.

2.函數(shù)奇偶性的3個特點

(1)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于)，軸對稱.

(2)確定函數(shù)的奇偶性，務(wù)必先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱.

(3)對于偶函數(shù)而言，有八一x)=/Cr)=/l|x|).

［即學(xué)即用?練通］

1.函數(shù)［x)=1n(k|+l)+dx2+i,則使得/U)》2x—1)成立的x的取值范圍是()

A-(?I)B?(—8,+8)

解析：選A易知函數(shù)JH)為偶函數(shù)，且當(dāng)0時，/>)=加。+1)+52+1是增函數(shù),

工使得1)成立的x滿足|2x—解得;<x<l.

2.(2017?天津高考)奇函數(shù)人x)在R上是增函數(shù)，g(x)=xf(x),假設(shè)。=g(—log25.l),b

=以2。肛e=g(3)f則0,4c的大小關(guān)系為()

A.a<h<cB.c<h<a

C.b<a<cD.b<c<a

解析：選C由《幻為奇函數(shù)，知g(x)=0U)為偶函數(shù).

因為八X)在R上單調(diào)速增，40)=0,

所以當(dāng)x>0時，凡r)>0,

所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，且g(x)>0.

又一=g(—Iog25?l)=g(logz5?l),b=g(2。/,c=g(3),

8

2°.<2=log24<log25,1<log28=3,

所以b<a<c.

3.定義在R上的函數(shù)八x)滿足：y=/U-l)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱，且當(dāng)x20時，恒

有人工+2)=大幻，當(dāng)xG[0,2)時，則#2018)+八一2017)=()

A.1—eB.e—1

C.-1-eD.e+1

解析：選A???y=/U—1)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱，

；?y=f(x)的圖象關(guān)于原點對稱，

又當(dāng)x20時，Hx+2)=Ar),，況2018)+八一2017)=八0)-/(1)=0一伯-1)=1一已

L創(chuàng)新應(yīng)用1新定義下的函數(shù)問題

新定義函數(shù)問題主要包括兩類：

(1)概念型，即基于函數(shù)概念背景的新定義問題，此類問題常以函數(shù)的三要素(定義域、

對應(yīng)關(guān)系、值域)作為重點，考察考生對函數(shù)概念的深入理解；

(2)性質(zhì)型，即基于函數(shù)性質(zhì)背景的新定義問題，主要涉及函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周

期性、有界性、對稱性等性質(zhì)及有關(guān)性質(zhì)的延伸，旨在考察考生靈活應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)的能力.

[典例|(1)(2017?山東高考)假設(shè)函數(shù)e/x)(e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù))在加:)的定

義域上單調(diào)遞增，則稱函數(shù)/U)具有“性質(zhì).以下函數(shù)中所有具有M性質(zhì)的函數(shù)的序號為

?ftx)=2~x；?fix)=yx；③/1幻=/;

④/｛工)=9+2.

xx

［解析］設(shè)g(x)=e7lx),對于①，g(x)=e-2~f

則g'(x)=(e-l~x)1=eJ-2~x(l-ln2)>0,

所以函數(shù)g(X)在(-8,+8)上為增函數(shù)，故①符合要求;

對于②，且(幻=(^?3一。

則g'(x)=(ex-3-Jf)/=e^3~x(l-ln3)<0,

所以函數(shù)g(x)在(-8,+8)上為減函數(shù)，故②不符合要求；

對于③，g(x)=ex-r3,

則g'(x)=(ex-x3)/=ex-(x3+3x2),

顯然函數(shù)以外在(一8,十8)上不單調(diào)，故③不符合要求；

對于④，雙用=”(3+2),

則g'(x)=[ex-(x24-2i]/=9?(》2+2X+2)=j[(》+1)2+1]>0,

所以函數(shù)鼠x)在(一8,十8)上為增函數(shù)，故④符合要求.

綜上，具有M性質(zhì)的函數(shù)的序號為①④.

[答案]??

(2)如果定義在R上的函數(shù)兀r)對任意兩個不相等的實數(shù)X1,工2,都有工6。)+

x/x2)>x#M)+x小口)，則稱函數(shù)人幻為“〃函數(shù)”.給出以下函數(shù)：

@y=——+x+1；

@j=3x_2(sinx-cosx)；

③)，=廿+1；

ln|x|>x#0,

@Ax)=

0,x=0.

以上函數(shù)是“"函數(shù)〃的序號是.

[解析]假設(shè)函數(shù)次X)為“H函數(shù)"，則有XiflXi)+xzflX2)>XiflX2)-i-XzflXi)tX\[f(X})―

f(X2)]>X2[f(Xi)—JlX2)]t即(XI—X2)l/Ul)一4》2)]>0.

所以“H函數(shù)〃大x)就是R上的單調(diào)遞增函數(shù).

①y'=-3/+1,由V>0,解得一坐

所以該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(一李鳴,

而在區(qū)間]—8,,+8上單調(diào)遞威,

顯然在R上不是單調(diào)遞增函數(shù)，即不是“〃函數(shù)”.

②y'=3—2(cosx+sinx)=3—2^/2sin^r4-^.

因為sin^r4-^)e[—1,1],

所以V=3-2630^+習(xí)23-2g>0,

故該函數(shù)在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，即“〃函數(shù)”.

③因為函數(shù)在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，

所以y=P+l在R上也是單調(diào)遞增函數(shù)，即“〃函數(shù)”.

,finx,x>0,

ln|x|xKO,

④由|x)=|f得加)=伸(一x),xvO,

0,x=0,

0,x=0.

故該函數(shù)在(0,+8)上單調(diào)遞增，在(一8,0)上單調(diào)遞減，

所以在R上不是單調(diào)遞增函數(shù)，即不是“〃函數(shù)”.

綜上，填②

［答案KD@

-［類題通法］

解決此類新定義問題首先要準(zhǔn)確理解給出的新定義，然后把其轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學(xué)問題

求解.如本例⑴通過對函數(shù)/U)所具有M性質(zhì)的理解，將問題轉(zhuǎn)化為判定函數(shù)是否具有此

性質(zhì)；本例⑵以函數(shù)的單調(diào)性問題作為背景，顯然“"函數(shù)〃的特征——"》成川)+

X/U2)NTI/U2)+XMXI)”的實質(zhì)就是函數(shù)單調(diào)性定義式的一個變形，所以解決此類問題的關(guān)

鍵是靈活轉(zhuǎn)化條件，將其轉(zhuǎn)化為常見的、熟悉的數(shù)學(xué)式子，這樣就可以借助學(xué)習(xí)過的數(shù)學(xué)

知識來解決.

［針對訓(xùn)練］

2(1-x),OWxWl,

1.函數(shù)人x)=J..如果對任意的〃CN*,定義加x)=&］￡二4的］},

x—1,1<XW2,日

那么及017(2)的值為()

A.0B.1

C.2D.3

解析：選B???力(2)=由2)=1,及(2)=/U)=0,力(2)=,*0)=2,???人(2)的值具有周期性,

且周期為3,.,.72O17(2)=/3X672+1(2)=/1(2)=1.

2.假設(shè)函數(shù)/U)滿足：在定義域。內(nèi)存在實數(shù)xo,使得八仙+1)=/3))+{1)成立，則

稱函數(shù),/lx)為“1的飽和函數(shù)〃.給出以下四個函數(shù)：

①Ax)=*②(§)Ax)=lg(x2+2)；

@f(x)=cos(nx).

其中是“I的飽和函數(shù)〃的所有函數(shù)的序號為()

A.①@B.②④

C.@@D.③④

解析：選B對于①，假設(shè)存在實數(shù)xo,滿足Wxo+1)=人刈)+八1),則37=《+1,

所以xd+xo+l=O(XoWO，且鶯四一1),顯然該方程無實根，因此①不是“1的飽和函數(shù)”；

對于②，假設(shè)存在實數(shù)回，滿足大xo+l)=Axo)+/U),則2xo+l=2xo+2,解得耳=1,

因此②是“1的飽和函數(shù)"；

對于③，假設(shè)存在實效工0,滿足Wxo+1)=/Uo)+/U),則lg[(xo+l)2+2]=lgCrf+2)+

lg(l2+2),化簡得2v一2m+3=0,顯然該方程無實根，因此③不是“1的飽和函數(shù)〃；

對于④，注意到/Q+l)=cosy=—1,

詹)+/U)=cosf+co§n=-I，

即6+1)=巧+41)，因此④是“1的飽和函數(shù)”?

綜上可知，其中是“1的飽和函數(shù)〃的所有函數(shù)的序號是②④.

I專題過關(guān)檢測I

A級——常考點落實練

1.函數(shù)兀r)=±+,的定義域為()

A.[0,+8)B.(1,+8)

C.[0,l)U(l,+8)D.[0,1)

x—1W0,

解析：選C由題意知彳、即OWxvl或x>L

x》0,

???人幻的定義域為[O,1)U(1,4-00).

(2017?北京高考)函數(shù)八幻=3'一映，則八x)(

2.

A.是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)

B.是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)

C.是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù)

D.是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)

解析：選A因為凡0=3》一曲，且定義域為R,

所以大一幻=3-*―自)=(；＞_3'=_[3工一

G}]=-/(幻，即函數(shù)Wx)是奇函數(shù).

又丁=3、在R上是增函數(shù)，y=售}在R上是減函數(shù)，所以人幻=3》—&在R上是增

函數(shù).

2X4”一。

函數(shù)人制=的圖象關(guān)于原點對稱，x是偶函數(shù)，貝

3.2Xg(x)=ln(e+l)—ljlog/

A.1B.

C?~2DM

解析：選B由題意得10）=0,：.a=2.

???g（x）為偶函數(shù),

Q+i)+兒

???g(l)=g(_1),/.ln(e+l)—Z>=ln

.\IOg2^=-1.

4.函數(shù)共幻=。1加3一,一?，則函數(shù)y=/u+l）的大致圖象為（）

解析：選A據(jù)關(guān)系式可得

作出其圖象然后將其向左平移1個單位即得函

數(shù)），=/lx+D的圖象，結(jié)合選項知，A正確.

2x+〃，x<\,假設(shè)強））=2,則實數(shù)〃的值為

5.(2()17?石家莊質(zhì)檢)設(shè)函數(shù)八x)=j、

Iog2-V>X^l,

C.彳D2

解析：選D因為6）=2'3+〃=號+〃，當(dāng)即〃v—T時,（（D）=2（1+〃）+

3

131即-

〃=2,解得〃=一；，不符合題意；當(dāng)胃+〃21,即時,2

J//

+〃=%解得〃=7.

6.函數(shù)凡r）滿足：①定義域為R;②VxWR,都有"r+2）=/U）；③當(dāng)不￡［-1,1］時,

人外一一|x|十1.則方程｛x）一,og2卬在區(qū)間［-3,5］內(nèi)解的個數(shù)是（）

A.5B.6

C.7D.8

解析：選A由題意知凡r）是周期為2的函數(shù)，作出y=/lr）,

Iog2|x|的圖象如以以下列圖，由圖象可得所求解的個數(shù)為5.

7.函數(shù)_/U）=hi而石■的值域是

解析：因為M20,所以R+121,

所以0V點■於1'所以

即人x)=ln舟;■的值域為(-8,01.

答案：(一8,0］

8.(2017?福州質(zhì)檢)假設(shè)函數(shù)｛x)=x(x-l)(x+a)為奇函數(shù)，則。=.

解析；法一：因為函數(shù)人工)=Mx—l)(x+a)為百函數(shù)，所以次一x)——*x)對xCR恒成

立，

所以一x(一x—1)(—x+a)=-x(x—l)(x+a)對x￡R恒成立，

所以x(a-l)=0對xER恒成立，所以a=l.

法二：因為函數(shù),*x)=x(x—l)(x+a)為奇函數(shù)，

所以八一1)=一41),

所以一1X(—1-1)X(-l+a)=-IX(l—1)X(1+〃)，

解得a=1.

答案：1

x

9.7U)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)xvO時，fix)=2t則川0W9)=.

解析：因為Iog49=log23>0,

x

又|x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)XV0時，f(x)=2f

所以/llog49)=J(log23)=-2—log23=-210g2；=—1.

答案：一寺

10.(2016?江蘇高考)設(shè)大x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間［-1,1)上，J(x)=

'x+a,TWxVO,

|2_^|0Vx〈［其中白戈.假設(shè)/(一1)=通，則嶺)的值是.

解析：因為函數(shù)人r)的周期為2,結(jié)合在［-1,1)上#x)的解析式，得

X_2)=X-2-S=X-S=

^)=X4+S=X1)=IHI=W-

由GD，?，得一那=吉，解得

32

所以｛5幻=/(3)=/14_1)=｛-1)=_1+g=_g.

答案T

B級——易錯點清零練

1.函數(shù)人》)=〃/+公+34+力是定義在［a—1,2a］上的偶函數(shù)，則y=2co1(a+D)x—京的

最小正周期是()

A.67rB.57r

C.4nD.27r

解析：選A'??函數(shù)八丫)=。工2+必+30+力是定義在［。一］,2a］上的偶函數(shù)，1+

2a=0,解得。=g,由x),得b=0,y=2cos^(a+b)x—3］=2cosQx—,?,?最

小正周期r=金=6幾

2.函數(shù)xE(—nt())U(0,n)的圖象大致是()

解析：選A函數(shù)y=當(dāng)三x￡(一加，0)U(0,式)為偶函數(shù)，所以圖象關(guān)于y軸對稱，

排除C,又當(dāng)x-F時，y=si；Xf0,應(yīng)選A.

3.函數(shù)人x)=lg/的單調(diào)遞減區(qū)間是_______.

21gx,x>(),

解析：函數(shù)Ax)是定義域為｛4#0｝的偶函虬凡。=愴爐=可得函數(shù)

I21g(—x),x<(),

/U)的單調(diào)遞減區(qū)間是(一8,0).

答案：(一8,0)

lgx,x>0,

4,困數(shù)八x)的定義域為實數(shù)集R,VxERf(x-90)=-c則人10)-/1—100)

f-x,xWO,

解析：??VUO)=yUOO-90)=lg100=2,

j\-100)=4一10-9(1)=-(-10)=10,

???410)-/1-100)=2-10=-8.

答案：一8

5.假設(shè)函數(shù)凡丫)=/+〃&一2|在(0,+8)上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是

解析：；Ax)=x2+a|r-2|,

x2+a.r-2a,x22,

??如)=24

z

(x-ax+2atx<2t

又/U)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

等2,

即一4W”《0,

加，

故實數(shù)a的取值范圍是[-4,0].

答案：[-4,0]

C級——“12+4”高考練

1.以下函數(shù)中，滿足“Vil,126(0，+°°)，且工1#工2，(XL工2)5>1)八也)卜0”的

是()

A.Hx)=3—xB.1Ax)=■?

C.f(x)=lnxD.f(x)=2x

解析：選A"Vxi,X2^(0,+°°),且XIHX2,(Kl—X2)，LAxi)—1AX2)]v0”等價于/U)

在(0,+8)上為減函數(shù)，易判斷#幻=1一X滿足條件.

x"1x>0

2.函數(shù)人x)=J,則以下結(jié)論正確的選項是()

cos2x,xWO，

A./U)是偶函數(shù)B.大外是增函數(shù)

C._/U)是周期函數(shù)D.大幻的值域為[-1,4-00)

解析：選D由《一幻利用知人x)不是偶函數(shù)，當(dāng).iWO時，人幻不是增函數(shù)，顯然人幻

也不是周期函數(shù).當(dāng)x>0時，人的=/+1>1;當(dāng)xvO時，-1WCOS2XW1,所以J(x)的值域

為[-1,+~).

3.設(shè)八x)是定義在R上的周期為3的函數(shù)，當(dāng)xG[-2,1)時，4X)=

4x2—2,—2WxW0,則周=(

)

XrO<X<1,

A.0B.1

C.TD.-1

機代+3)"_%4X(T)

解析:選D因為八x)是周期為3的周期函數(shù)，所以

ar+方，xv-1,

4.假設(shè)函數(shù)式x)=ln(x4-?),x>-l的圖象如以以下列圖，則人5

等于()

15

2B-F

C.—1D.—2

解析：選C由圖象可得“X(—1)+6=3,加(一l+a)=O,得a=2,b=5,

J2x4-5,xv—1,

ln(x+2),xN-1,

故八-3)=2X(-3)+5=-L

2e*-】，x<L

5.(2017?石家莊質(zhì)檢)函數(shù)/U)=一則>A/U))v2的解集為()

X5十X,X^L,

A.(1—In2,+8)B.(—8,1—jn2)

C.(1-ln2,1)D.(14+ln2)

解析：選B因為當(dāng)時，,/U)=3+x22,當(dāng)x<l時，八幻=2產(chǎn)|<2,所以加》))v2

等價于Ax)vl,即2cx解得xvl-hi2,所以人"))<2的解集為(一8,1-ln2).

6.函數(shù)_/U)的圖象如以以下列圖，則人x)的解析式可以是(

ln|x|

A.f(x)=

x

B.凡t)=；

C..")=/-1

D.fix)=x-^

解析：選A由函數(shù)圖象可知，函數(shù)人外為奇函數(shù)，應(yīng)排除B、C.假設(shè)函數(shù)為人x)=x

一占則當(dāng)l+8時，川)一+8,排除D,應(yīng)選A.

7.(2016?山東瓶號)函數(shù)/(x)的定義域為R.當(dāng)xVO時，八#二9一1；當(dāng)一IWXWI時，

f(-x)=-f(x)i當(dāng)時，人+習(xí)二人一?，則<6)=()

A.-2B.-1

C.0D.2

解析：選D由題意知當(dāng)x>；時，/(x+3=1/(x—，，則Ax+1)=/U).

又當(dāng)一IWXWI時，fi-x)=—f(x)t

???{6)=41)=一八一1).

又當(dāng)xVO時，爪幻=尸一1,

???八-1)=-2,?,?人6)=2.

8.如圖，動點P在正方體ABCD-AiBiCxDi的體對角線BCh上.過

點P作垂直于平面BB^DxD的直線，與正方體的外表相交于M,N兩

點.設(shè)4尸=x,MN=j,則函數(shù)yfx)的圖象大致是()

解析：選B設(shè)正方體的棱長為1,顯然，當(dāng)尸移動到體對角線85

的中點。時，函數(shù)y=MN=AC=也取得唯一的最大值，所以排除A、C;當(dāng)P在〃。上時，

分別過M,N,。作底面的垂線，垂足分別為必，Ni,Pi,則y=MN=MM=28Pi=2xcos

2/fi

NO山。=言",是一次函數(shù)，所以排除D?應(yīng)選B.

2

9.(2017?貴陽模擬淀義新運算十：當(dāng)02力時，a?b=ax當(dāng)〃V力時，a?b=bt則函

數(shù)人x)=(l十工氏一(2十x),工￡[-2,2]的最大值等于()

A.-1B.1

C.6D.12

解析：選C由得當(dāng)一2WxWl時，/(x)=x—2,

當(dāng)1VXW2時，人制=》3—2.

?：fix)=x-2f大好=好-2在定義域內(nèi)都為增函數(shù).

：.jlx)的最大值為人2)=23—2=6.

10.(2015?安做高考涵數(shù)〃幻=含蒜的圖象如以以下列圖，貝I)X.j

以下結(jié)論成立的是()■一同~吊7二二

A.a>0,力>0,cVO|

B.a<0,>>0,c>0

C.aVO,b>0,cVO

D.a<(),h<()fc<()

解析：選C???人工)=怨多的圖象與x軸，y軸分別交于N,M,且點M的縱坐標(biāo)與

(X十CJ

點N的橫坐標(biāo)均為正，

/.x=-^>0,j=A>0,故“vO,b>0,又函數(shù)國象連續(xù)點的橫坐標(biāo)為正，/.—c>0,故

cvO,應(yīng)選C.

11.g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)xvO時，g(x)=—ln(l—x),函數(shù)/x)=

x3,xWO,

假設(shè)人2一如)》幻，則x的取值范圍是(

式x),x>0,

A.(—8,—2)U(L+8)B.(—8,1)U(2,+8)

C.(-2,1)D.(1,2)

解析：選C因為gfr)是定義在R上的專函數(shù)，且當(dāng)xvO時，g(x)=—ln(l—x),所以

當(dāng)x>0時，-x<0,g(-x)=—ln(l+x),即當(dāng)x>0時，g(x)=ln(l+x),

x3,xWO,

因為函數(shù)/>)=,

月(x),x>0,

x3,YWO,

所以函數(shù)凡r)=

ln(H-x),x>0,

作出函數(shù)4x)的圖象如以以下列圖.

可知人》)={：?、'在(-8,十8)上單調(diào)遞增.

ln(l+x),x>0

因為42一好)》幻，

所以2—x2>x,

解得一2<xvl.

12.函數(shù)兀r)=2*—1,g(x)=l—x2,規(guī)定：當(dāng)伏>)12g(1)時，Mx)=|/U)|；當(dāng)欣x)|<g(x)

時，h(x)=-g(x)f則Mx)()

A.有最小值一1,最大值1

B.有最大值1,無最小值

C.有最小值一1,無最大值

D.有最大值一1,無最小值

解析：選C作出函數(shù)g(x)=l—x2和函數(shù)欣幻|=|2"—1|的圖象如圖1所示，得到函數(shù)

Mx)的圖象如圖2所示，由圖象得函數(shù)Mx)有最小值一1,無最大值.

x

2fx>0,

13.(2017?張掖一^涵數(shù)人幻=一一八假設(shè)加0+{1)=0,則實數(shù)。的值等于

x+1,xWO.

解析：??VU)=2>0,且{1)+八0)=0,

.*./(?)=—2<0,故”<0.

依題知a+l=—2,解■得a=-3.

答案：一3

14.(2018屆高三?武漢”研)定義函數(shù)y=/(x),假設(shè)存在常數(shù)M,對于任意修￡

/,存在唯一的冷￡/,使得小若出=時，則稱函數(shù)/U)在/上的“均值〃為M,{x)=log2X,

[12。叫，則函數(shù)Hx)=log>在[12。叫上的“均值〃為.

解析：根據(jù)定義，函數(shù)y=/(x),xe/,假設(shè)存在常數(shù)"，對于任意存在唯一的

x2ez,使得芥或誓"=M,則稱函數(shù)凡。在/上的“均值”為M,令X1X2=1?22°I8=22OI8,

720181

當(dāng)勺￡[1,22。叫時，選定必=-^01,22。叫，可得〃=Rog2(X|X2)=1009.

答案：1009

15.假設(shè)當(dāng)x￡(l,2)時，函數(shù)y=(x-l)2的圖象始終在函數(shù)_y=logM的圖象的下方，則

實數(shù)。的取值范圍是________.

解析：如圖，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)J=（X—1）2和y=logaX的國象，由于當(dāng)

x￡（l,2）時，函數(shù)y=（x—1戶的圖象恒在函數(shù)j=lognX的圖象的下方，

a>l,

則、解得lv“W2.

10ga2>l,

答案：（1,2］

16.（2017?惠州三調(diào)）定義在R上的函數(shù)），=人用滿足條件人+號=

-/lx）,且函數(shù)y=4一胃為奇函數(shù)，給出以下四個命題:

①函數(shù)風(fēng)口是周期函數(shù)；

②函數(shù)Hx）的圖象關(guān)于點（一/（））對稱；

③函數(shù)/U）為R上的偶函數(shù)；

④函數(shù)人r）為R上的單調(diào)函數(shù).

其中真命題的序號為.

解析：因為於+3）=及+1）+旬=一4:+m=肚，所以＜x）是周期為3的周期函數(shù),

①正確；

函數(shù)4一$是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于點（0,0）對稱，

則人幻的圖象關(guān)于點（一；，0）對稱，②正確；

3

-

23

-4

2-

33

-

又-

2=-K2

所以八一幻=八幻，③正確；

人X）是周期函數(shù)，在R上不可能是單調(diào)函數(shù)，④錯誤.

故真命題的序號為①②③.

答案：①@③

保分專題（二）根本初等函數(shù)、函數(shù)與方程

［全國卷3年考情分析］

年份卷別考察內(nèi)容及考題位置命題分析

2017卷I對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1.根本初等函數(shù)作為高考的命題熱點，多考

利用界、指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的

2016卷I察利用函數(shù)的性質(zhì)比照大小，一般出現(xiàn)在第

單調(diào)性比照大小叮8

［師生共研?悟通］

指數(shù)與對數(shù)式的8個運算公式

n,,,,,,

(1)。，，，?。，，=曖，，+〃；(2)(心)"="叫(3)(aby=abi

M

(4)loga(MN)=logaM+logfliV；(5)log?M=logaM—logzjN；

(6)logaAT=〃logaM；(7)alogaN=N；(8)1。眼N=那瑞.

［注意］(1)(2)⑶中，。>0,Z?0；(4)⑸⑹⑺⑻中，。>0且“Ml,力>0且力Wl,M>0,N>0.

［典例］(1)(2017?福州質(zhì)檢)a=Jhi8,b=hn5,c=ln*一ln巾,則a,b,c的大小

關(guān)系為()

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<a<bD.c<b<a

［解析I選B因為。=［ln8,〃=；In5,c=lnhi也，所以。=ln啦，b=ln小,

c=ln點=ln.又對數(shù)函數(shù)y=lnx在(0,+8)上為單調(diào)遞增函數(shù)，由，將Iny/1

<ln巾vlny［sf所以

(2次￥)=^一2,g(X)=logaM(G>0且。力1),假設(shè)人4)g(—4)<0,貝U丁=八幻，J=g(X)在同

一坐標(biāo)系內(nèi)的大致圖象是1)

［解析］選B=小:)=砂-2>0恒成立，又44)?g(-4)<0,.,.g(-4)=loga|-4|=loga4<0=

logj,???0vavL故函數(shù)y="r)在R上單調(diào)遞減，且過點(2,1),函數(shù)y=g(x)在(0,+8)上單

調(diào)遞減，在(-8,0)上單調(diào)遞增，故B正確.

［類題通法］

根本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用技巧

(1)對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性都取決于其底數(shù)的取值，當(dāng)?shù)讛?shù)〃的值不確定時，要

注意分?>1和0WV1兩種情況討論：當(dāng)a>l時，兩函數(shù)在定義域內(nèi)都為增函數(shù)；當(dāng)0<?<1

時，兩函數(shù)在定義域內(nèi)都