第04講利用幾何法解決空間角和距離19種常見考法歸類

學(xué)習(xí)目標(biāo)

學(xué)會利用幾何法求空間角及空間距離.

|［豳基礎(chǔ)知識］

，miiiiiiiiiuiiiiuiiiMiiiiaiNiiiiaiii——

1、異面直線所成的角

r

(1)定義：已知，，。是兩條異面直線，經(jīng)過空間任意一點。作直線d〃mb//bf把/與//所成的角叫

做異面直線a與b所成的角(或夾角).

(2)范圍：(()，2..

注：兩異面直線所成的角歸結(jié)到一個三角形的內(nèi)角時，容易忽視這個三角形的內(nèi)角可能等于兩異面直

線所成的角，也可能等于其補(bǔ)角.

2、直線和平面所成的角

(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角叫做這條直線和這個平面所成的角，一條直線

垂直于平面，則它們所成的角是90。；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，則它們所成的角是0°.

n

(2)范圍：|_0,2_.

3、二面角

(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.

(2)二面角的平面角

若有①OU/；②。Aua,OB5③OA_U,OBA.I,則二面用a/〃的平面角是NAO".

(3)二面角的平面角a的范圍：0°<a<180°.

4、點到平面的距離

已知點P是平面。外的任意一點，過點P作/%垂足為4,則PA唯一，則尸A是點P到平面。

的距離。即：一點到它在一個平面內(nèi)的正射影的距離叫做這一點到這個平面的距離(轉(zhuǎn)化為點到點的距離)

結(jié)論：連結(jié)平面。外一點。與。為一點所得的線段中，垂線段P4最短.

||詢解題策略］

MllllUBIMIMIIIIUIIBIIilUIIIIUIII

I、求異面直線所成的角的方法和步驟

（1）求異面直線所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三種類型：利用圖中已有的平行線平

移；利用特殊點（線段的端點或中點）作平行線平移；補(bǔ)形平移.

（2）求異面直線所成角一般步驟：一作、二證、三求

①平移：經(jīng)常選擇“端點、中點、等分點”，通過作三角形的中位線，平行四邊形等進(jìn)行平移，平移異

面直線中的一條或兩條成為相交直線，作出異面直線所成的角.

②證明：證明所作的角是異面直線所成的角.

③尋找：在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之.

④取舍：因為異面直線所成角。的取值范圍是0,-,所以所作的角為鈍角時，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為異

I2.

面直線所成的角.

2、求直線與平面所成的角的方法和步驟

（1）垂線法求線面角：

①先確定斜線與平面，找到線面的交點B為斜足；找線在面外的一點A,過點A向平面。做垂線，確

定垂足O;

②連結(jié)斜足與垂足為斜線AB在面a上的投影；投影BO與斜線AB之間的夾角為線面角；

③把投影BO與斜線AB歸到一個三角形中進(jìn)行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）.

（2）平移法求線面角

是指利用圖形平移變換的性質(zhì)，構(gòu)造滿足求解的條件，進(jìn)而得出結(jié)論的方法.在運(yùn)用平移法求解線面角

問題時，我們可以利用圖象平移的性質(zhì)：圖形移動位置后其大小、形狀、面積等都不改變，籽分散的條件

關(guān)聯(lián)起來，以便將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來求解.

（3）等體積法求線面角

通過換底求體積求出斜線上一點到平面的距離，再求直線與平面所成角的正弦值，如圖，已知平面a與

PO

斜線AP,PO_La,則P0線面角為NPAO,sin/PAO=——，要求線面角，關(guān)健是求垂線段PO的長度，而垂

AP

線段PO的長度可看作點P到平面a的距離，在平面a內(nèi)找一個三角形（點A是其中一個頂點）與點P構(gòu)成三

棱錐，在三棱錐中借助等體積法就可以求PO的長度，從而達(dá)到簡便求解線面角的目的.

A

3、求二面角的平面角的方法和步驟

（1）求二面角大小的步驟是：

①作：找出這個平面角；

②證：證明這個角是二面角的平面角；

③求：將作出的角放在三角形中，解這個三角形，計算出平面角的大小.

（2）確定二面角的平面角的方法

①定義法（棱上一點雙垂線法）：提供了添輔助線的一種規(guī)律

在二面角的棱上找?個特殊點，在兩個半平面內(nèi)分別過該點作垂直于棱的射線.

如：“三線合一型”、“全等型”

②三垂線法（面上一點雙垂線法）一一最常用

自二面角的一個面上一點向另外一個面作垂線，再由垂足向棱作垂線得到棱上的點（即斜足），斜足

和面上一點的連線與斜足和垂足的連線所夾的角，即為二面角的平面角

③等體積法

利用三棱錐等體積法求出點A到平面PBC的距離d,如圖，點A到二面角A-PBC的棱PB的距離為

h（即△PAB中PB邊上的高），則二面角人4^（的正弦值為5由。=幺.

③垂面法（空間一點垂面法）

過空間一點作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角。

④射影面積法

已知平面a內(nèi)的平面圖形「的面積為S,它在平面￡內(nèi)的射影『的面積為S',設(shè)平面a與平面,6所成二面角

的平面角為e,則當(dāng)e￡［o,卵寸，cose=q；當(dāng)ew（Q］時，cose=-p

4、求解點面距的方法和步驟

（i）定義法（直接法）：找到或者作出過這一點且與平面垂直的直線，求出垂線段的長度；

（2）等體積法：通過點面所在的三棱錐，利用體積相等求出對應(yīng)的點線距離：

（3）轉(zhuǎn)化法：轉(zhuǎn)化成求另一點到該平面的距離，常見轉(zhuǎn)化為求與面平行的直線上的點到面的距離.

Q考點剖析

考點一：直接平移法求異面直線所成的角

（2023春?廣東廣州高一廣州市第六十五中學(xué)校考期中）在正方體ABC。-48cA中,反尸分

另I］為AB.AD的中點，則異面直線4。與”所成角的大小為（

A.30B.45°C.60D.90

變式I.（2023春?山東濱州?高一山東省北鎮(zhèn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在長方體中,

==且七為?！钡闹悬c，則直線8。與從￡所成角的大小為（）

變式2.（2023春?江蘇南京?高一南京市第九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，圓柱的底面直徑A8與母線A。相等,

E是弧A8的中點，則4E與8。所成的角為（）

n兀nn

A.B.c.D.

67T2

考點二：中位線平移法求異面直線所成的角

（2023春?全國?高一專題練習(xí)）在四棱錐S-44C。中，SA_L平面ABC。，A3=AS=2,底面

A6CO是菱形，ZABC=60°,E,F,G分別是SA,SB,8C的中點，則異面直線。E與AG所成角的余弦

值為（）

A.紅B.1

33

C.男D.叵

55

變式1.（2023春?廣東深圳?高一深圳市羅湖高級中學(xué)校考期中）如圖，在三棱錐D-A8C中，AC=6BD,

且AC18D,E,尸分別是棱。C,人8的中點，則b和AC所成的角等于

變式2.（2023春?陜西西安?高一西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在四棱錐夕-A8C。中，所有側(cè)棱

長都為4a，底面是邊長為2面的正方形，O是P在平面ABCD內(nèi)的射影，M是PC的中點，則異面直線

OP與BM所成角為.

變式3.（2023春?廣東廣州?高一廣州市天河中學(xué)?？计谥校┤鐖D，矩形ABCD中，AB=6正方形ADEF

的邊長為1,且平面A8CO/平面ADEF,則異面直線BD與FC所成角的余弦值為（）

c-Y

變式4.（2023春?上海寶山?高一上海市行知中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，已知四棱錐P-488的底面是正

方形，B4_L底面ABC。，AP=A8=AO=2,￡是側(cè)棱心的中點.

（1）證明4￡_1_平面尸3。.

（2）求異面直線HE與P。所成的角；

變式5.（2023春?甘肅定西?高一甘肅省臨洲中學(xué)校考期中）如圖，四棱錐尸-ABCZ）中，/H_L平面ABCQ,

底面A8CZ＞是邊長為1的正方形，PA=AD,E為幺的中點，尸為P。的中點.

⑴求證：A少_L平面尸DC；

（2）求異面直線鴕與?。所成角的余弦值.

考點三：平行四邊形平移法求異面直線所成的角

3.（2023春?上海奉賢?高一上海市奉賢中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在長方體ABCQ-A8CQ中,

AB=AD=4,CC,=5,M、N分別是G。、AC的中點，則異面直線DN和CM所成角的余弦值為（）

B

AbR1r3炳n廊

A.D.-C.----------U.

332929

變式1.（2023春?江西南昌?高一南昌十中校考階段練習(xí)）如圖，在正三棱柱A"”A4G中，2叫=3A3,。

是棱8c的中點，E在棱CG上，且CG=3CE,則異面直線4。與片E所成角的余弦值是（）

1

A-VB-VC.邛D.f

變式2.（2023春?浙江?高一?路橋中學(xué)校聯(lián)考期中）在直三棱柱ABC-A^C.4>,AC==2,BC=1,

4c8=120。，E是的中點，則異面直線CE與AG所成的角的余弦值是（)

A.[B.?C.1D,-1

考點四：補(bǔ)形法求異面直線所成的角

[、T|例4.（2023?全國?高一專題練習(xí)）在長方體ABC。-ABCQ中，AD=

=DC=2,AA,=2x/3,則異

面直線8G與。片所成角的正弦值為（）

A.：B.竽C,D.乎

變式1.（2023春?浙江寧波?高一效實中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在止三棱臺A8C-4用孰中，底面ABC是邊長

為4的正三角形，且AA=4G=2.

⑴證明：4A■LAC；

（2）求異面直線4/、8。所成角的余弦值.

變式2.（2023?全國?高一專題練習(xí)）在正方體ABC。-A4GA中，E為4a的中點，平面49由與平面C￡G

的交線為1，則1與AB所成角的余弦值為（）

D-T

考點五：通過證線面垂直證異面直線所成的角為90。

5.（2023春?廣東廣州?高一廣州四十七中校考期中）如圖，在正四面體A8c。中，必是BC的中

點，P是線段4M上的動點，則直線DP和所成角的大?。ǎ?/p>

A.一定為90°B.一定為60。C.一定為45°D.與P的位置有關(guān)

變式1.（2023秋?河南鶴壁?高一鶴壁高中校考階段練習(xí)）三棱桂S-A8C中，NS8A=NSC4=90°,

是斜邊的等腰直角三角形，則以下結(jié)論中：

①異面直線SB與AC所成的角為90。；②直線SB_L平面ABC；

③平面SBCJL平面MC；④點C到平面SAB的距離是;a.

其中正確的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.1

變式2.（2023?高一課時練習(xí)）如圖，正方體ABC。-A4G。中，A8的中點為M，的中點為N,則

異面直線4M與CN所成角的大小為

C.60°D.90°

變式3.（2023春?重慶九龍坡?高一重慶實驗外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，三棱柱ABC-ABC中，底

面三角形是正三角形，￡是5。的中點，則下列敘述正確的是（）

A.直線CG與直線修E相交

B.CG與AE共面

C.4石與86是異面直線但不垂直

D.平面八8聲垂直于平面

考點六：由異面直線所成的角求其他量

6.（2023春?湖北武漢?高一武漢市第六中學(xué)校考階段練習(xí)）在長方體ABCQ-ANGA中，與。與

CC和所成的角均為60。，則卜面說法正確的是（）

A.AB二五隊B.AD=AB

C.AC=—BCD.AC.=—BD

313

變式1.（2023?高一單元測試）在空間四邊形ABC。中，E,廣，G,〃分別是48,BC,CD,的

中點.若AC=BD=2,且AC與81）所成的角為60。，則EG的長為（）

A.IB.V2C.1或GD.夜或G

變式2.（2023春?貴州畢節(jié)?高一統(tǒng)考期末）在空間四邊形A8C￡＞中，AB=CD,E,r分別為8C,A。的

中點，若AB與CO所成的角為40。，則所與A8所成角的大小為（）

A.20°B.70°

C.20°或70°D.40°或140°

變式3.（2023?高一課時練習(xí)）如圖，在三楂錐O—A3C中，ZDAC=ZLBCA=Z.BCD=90°,DC=g4笈=3,

且直線AB與DC所成角的余弦值為迪，則該三棱錐的外接球的體積為（）

19

457r075萬125〃

A.-----B.-----V**■D.容

246

考點七：垂線法求直線與平面所成的角

7.（2023春?海南?高一海南華僑中學(xué)?？计谀┤鐖D所示，四棱錐S-A8CQ的底面為正方形，SD1

平面ABCD,則下列結(jié)論中不正確的是（）

A8//平面SC。

C.直線S4與平面SBD所成的角等于30

D.直線SA與平面SBO所成的角等于直線SC與平面SBD所成的角.

變式1.（2023春?山西?高一統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在圓柱OP中，底面圓的半徑為2,高為4,AB為底面

圓0的直徑，C為人B上更靠近A的三等分點，則直線PC與平面PAB所成角的正弦值為（）

A?嚕B?嚕口?半

L?-----

5

變式2.（2023?高一單元測試）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，其形狀可視為一個正四棱錐,

x/5-l

已知該金字塔的塔高與底面邊長的比滿足黃金比例，即比值約為,則它的側(cè)棱與底面所成角的正切值

2

約為（）

A師-&R75-1「亞+\nM+無

A.-------------15.--------C.--------L）.--------

2222

變式3.（2023?高一課時練習(xí)）如圖，在正方體ABC。-中，E,F分別是人兒，4片的中點，則直

線E尸與對角面AGC4所成角的大小是（）

A.30°B.45°C.60°D.150°

變式4.（2023春?江蘇宿遷?高一泗陽縣實驗高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）直三棱柱ABC-A^Q中,

A6=4C=A4，ABJ.AC,則A片與平面4CC內(nèi)所成的角為（）

n「兀〃兀、九

A.—B.—C.—D.一

6432

變式5.（2023春?浙江寧波?高一效實中學(xué)校考期中）如圖，四棱錐P-ABCD中，底面AACO為矩形，PA±

平面ABC。，E為。。的中點.

P

（1）證明：尸3〃平面AEC；

⑵設(shè)直線與底面A8CO所成角的正切值為g,AP=\,AD=B求直線PC與平面小。所成角的正弦

值.

變式6.（2023春?重慶九龍坡?高一重慶市楊家坪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在四棱錐P-/WCO中，PA±

平面人BCD,底面是棱長為1的菱形，ZADC=6O?PA=2,"是產(chǎn)。的中點.

（I）求證：PB/fACM；

（2）求直線CM與平面/X。所成角的正弦值.

變式7.（2023春?湖南長沙?高一長沙一中?？茧A段練習(xí)）如圖，多面體48CZ）律中，四邊形4BCO為矩形,

二面角A-8-歹的大小為45、DE//CF,CD上DE,AD=2,DC=3.

⑴求證：BF〃平面AZ）E；

（2）求直線AC與平面CDEF所成角的正弦值.

考點八：等體積法求直線與平面所成的角

8.（2023春?北京朝陽?高一清華附中朝陽學(xué)校?？计谥校┤鐖D，在四棱錐P-A8C。中，底面48co

是邊長為a的正方形，PAJL平面A8CZ）.若PA=a,則直線分與平面PCD所成的角的大小為（）

n71

C.D.

32

變式I.（2023春?河南?商一校聯(lián)考期末）如圖，三棱柱A8C-A用G中，為等邊三角形，AB=BC=2,

CA=C^,CA±CB,.

(1)正明：平面J.平面

(2)求直線BB1和平面A^C,所成用的正弦值.

變式2.(2023春?浙江杭州?高一?校考期中)如圖，四棱錐尸-4BCD中，PC_L平面ABCD,PC=1,底面

ABCD是矩形，且48=&，AD=y/3.

⑴求證：40_L平面PCD；

(2)求直線AC與平面APD所成的角的正弦值;

考點九：平移法求直線與平面所成的角

9.(2023?江蘇?高一專題練習(xí))如圖，邊長是6的等邊三角形AAAC和矩形AC/無:.現(xiàn)以4c為軸

將面ABC進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，使之形成四棱錐A-BCDE,。是等邊三角形"BC的中心，M,N分別是BC,DE

的中點，且A8=2ON,O”//面3CDE,交A。于產(chǎn).

(1)求證0尸_1,面4""

(2)求。尸和面AMN所成角的正弦值.

變式1.（2023春?天津和平?高一天津一中?？计谥校┤鐖D，已知平面ABC,叫〃AA,,AB=AC=3,

BC=2后,AAi=y/7,網(wǎng)=2不，點E和尸分別為8C和的中點.

⑴求證：4€_1平面8。片；

（2）求直線44與平面3c4所成角的大小.

考點十：由線面角求其他量

（2023春?湖南?高一校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐P-48CD中，底面ABC。為矩形，PA1

平面A8CQ,E為線段PD上一點，PB//AEC.

（1）證明：石為PD的中點：

（2）若直線CE與平面H4Z）所成的角為45。，且A尸=AD=1,求三棱錐七-48的體積.

變式1.（2023春?福建泉州?高一校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，三棱臺ABC-EFG中，口_L底面48C,

NAC8=90,/W=2E”.

(2)若4C=8C超=4,間/1為何值時.直線匯下與平面AR7所成角的正弦值為辿？

AC5

變式2.(2023春?高一單元測試)如圖，在“\用？中，O是4C的中點，4B=AC,AO=2。。=2.將△物0沿

A。折起，使B點移至圖中夕點位置.

⑴求證：AO_L平面&OC：

(2)當(dāng)三棱錐ff-AOC的體積取最大時，求二面角4-9C-O的余弦值；

(3)在(2)的條件下，試問在線段B'A上是否存在一點P,使CP與平面UQ4所成的角的正弦值為亞？證

3

明你的結(jié)論，并求的長.

變式3.(2023春?吉林延邊?高一延邊第一中學(xué)校考期中)如圖：A3是。。的直徑，Q4垂直于所在的

平面，。是圓周上不同于4,8的一動點.

(I)證明：△P8C是直角三角形；

(2)若PA=AB=2,且直線PC與平面ABC所成角的正切值為網(wǎng)，

①求4。的長：

②求直線AE與平面尸5c1所成角的正弦值.

考點十一：定義法求二面角的平面角

di］例11.（2023春?河北石家莊?高一校考期中）如圖，在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD

為正方形，平面尸AOJ_平面AACD,Q為棱。。的中點，PA1AD,PA=AB=2.

⑴求證：Q4_L平面A8CQ：

⑵求二面角P-CD-A平面角的大小.

變式1.（2023春?吉林?高一校聯(lián)考期中）如圖，四棱柱ABO-A/Ca的底面"CQ是菱形，M，平面

ABCD,AB=1,M=2,ZB>4D=60°,點P為的中點.

⑴求證：直線3。"/平面PAC；

（2）求二面角4-AC-0的余弦值.

變式2.（2023春?天津?qū)毧?高一天津市寶城區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，邊長為4的正方形ABC。中,

點瓦F分別為的中點.將△4￡。心8律必。（才分別沿?！曷?。尸折起，使48c三點重合于點P.

(1)求證：PD上EF；

(2)求三棱錐P-EFD的體積；

(3)求二面角。一比'-。的余弦值.

變式3.(2023春?浙江?高一校聯(lián)考階段練習(xí))如圖，在多面體A8CO歷中，平面J_平面A8C。，平

面￡4。_L平面ABCDABCD是菱形,NABC=60,AB=2,FC//EA,EA=\FC=\.

⑴證明：尸C_L平面A8CD：

(2)求二面角3-四-O的平面角的余弦值.

考點十二：三垂線法求二面角的平面角

(2023春?江蘇連云港?高一江蘇省海頭高級中學(xué)校考期末)如圖，在四棱錐P-A8c。中，底

面A8CO是菱形.

⑴若點E是PD的中點，證明：P3〃平面4CE；

(2)若=N3AO=120，且平面處O_L平面A8CQ,求二面角2一AC-O的正切值.

變式1.(2023春?陜西西安?高一西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校考階段練習(xí))已知正三棱柱48C-邛￡中,

43=4,D為AC邊的中點，AB、工Bg

⑴求側(cè)棱長；

(2)求三棱錐D-8CG的體積;

(3)求二面角8G-C的大小.

變式2.(2023春?山東濱州?高一山東省北鎮(zhèn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))如圖，在四棱臺/WC。-尸QS"中，底

面A8CZ)是正方形，側(cè)面底面A3CLU"。是正三角形，N是底面A8CO的中心，M是線段P0上

的點.

(1)當(dāng)加%〃平面弘4。時，求證：AM/平面PC。；

(2)求二面角P—8C-A的余弦值.

變式3.(2023春?江蘇蘇州?高一?？茧A段練習(xí))四棱錐P-A88中，P4_L平面A8CQ,四邊形ABCO為

菱形，Z4DC=60°,PA=AD=2,E為AD的中點，F(xiàn)為PC中點.

⑴求證：律〃平面必小

(2)求PC與平面PAD所成的角的上切值;

(3)求二面角4—叨—C的正弦值.

考點十三：等體積法求二面角的平面角

13.（2023春?江蘇常州?高一常州高級中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，△AC/）和△BC。都是邊長為2的

等邊三角形，AB=8,￡3_L平面86.

（1）證明：E8//平面AC。；

（2）若點E到平面ABC的距離為6,求二面角E-CD-B的正切值.

變式1.（2023?高一單元測試）已知四邊形ABCD中，ZABC=ZC4D=90°,AB=BC=^AD=近,O

2

是AC的中點，將SBC沿AC翻折至△APC.

⑴若PD=娓,證明：夕。1平面ACD；

⑵若D到平面PAC的距離為右，求平面PAC與平面ACD夾角的大小.

考點十四，垂面法求二面角

（2023?全國?高一專題練習(xí)）如圖，已知必_La,PBl.fi,垂足為A、B,若乙VY?=60。,

則二面角。-/一夕的大小是

P

A

變式I.（2023秋“Il東日照?高二?？茧A段練習(xí)）若二面角內(nèi)一點到兩個面的距離分別為5和8,兩垂足間

的距離為7,則這個二面角的大小是______.

變式2.（2023?全國?高一專題練習(xí)）已知P是二面角佐的一點，幺垂直于a于APB垂直于夕于

氏八8=86,PA=P8=8,則二面用。一/一6的大小為

變式3.（2023?高二課時練習(xí)）如圖，已知平面夕，且apl〃=/,PCLa,PDA.fi,C,。為垂足.

（1）試判斷直線/與CD的關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（2）設(shè)直線/與平面PCO交于點A,點B5,若一面角a-一夕的大小為120。，RPC=PD=AB=2f求

平面PC8與平面PC4所成的銳二面角的大小.

考點十五：射影面積法求二面角

（2023?全國?高一專題練習(xí)）如圖“WC與△8CO所在平面垂直，且/W=BC=%）,

/.ABC=ZDBC=120%則二面角A-BD-C的余弦值為1

變式1.（2023?全國?高一專題練習(xí)）在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面PAD是正三角形,

平面PAD_L底面ABCD.

（1）證明：AB_L平面PAD；

（2）求面PAD與面PDB所成的二面角的正切值.

變式2.（2023?浙江?模擬預(yù)測）如圖所示，正方形ABCDAOERAFG”平鋪在水平面上，先洛矩形

沿AO折起，使二面角￡-40一3為30。，再將正方形AbG"沿AF折起，使二面角〃造_人尸-。為30。,

則平面AUG""與平面A8CQ所成的銳二面角的正切值是（）

考點十六：由二面角大小求其他量

（2023春?廣東廣卅高一廣州市天河中學(xué)?？计谥校┤鐖D1,在平行四邊形ABCD中,

4=60。,4￡>=2,A4=4,將△AB。沿BD折起，使得點A到達(dá)點P,如圖2.

⑴證明：平面8co_L平面PAD：

（2）當(dāng)二面角D-Q4-3的平面角的正切值為指時，求直線BD與平面PBC夾角的正弦值.

變式1.（2023春?廣東佛山?高一佛山市南海區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，四棱錐S-A86的底面是正

方形，SA_L底面A8CO,E是SC上一點.

⑴求證：平面石3。_1_平面%C；

（2）當(dāng)一二的值為多少時，二面角5-SC-。的大小為120。.

AB

變式2.（2023春?河南安陽?高一安陽一中?？茧A段練習(xí)）如圖所示，在平行四邊形ABCD中，

AB=2BC=86,=E為邊AB的中點，將VAOE沿直線DE翻折為△4。石，若F為線段AC的

中點.在VAOE翻折過程中，

⑴求證：8尸〃平面ARE；

（2）若二面角A'—DE—C=60。，求AC與面所成角的正弦值.

TT

變式3.（2023?高一課時練習(xí)）如圖，在RtZ\ABC中，B=-,AA=24C=2,且E,r分別為A3,AC

的中點.現(xiàn)將△AE尸沿石尸折起，使點A到達(dá)點。的位置，連接8。，C。，M為C。的中點，連接

（1）證明：除，平面3CQ；

（2）若二面角￡一加/—。的余弦值為-且，求四棱錐。-EBB的體積.

3

考點十七：直接法求點面距

17.（2023?高一課時練習(xí)）如圖，在長方體中，已知人4=4,BC=2,84=3,

則點B到上底面A4GA的距離為（）

D.3

變式1.（2023春?黑龍江哈爾濱?高一哈爾濱市第六中學(xué)校校考期末）如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD

為直角梯形，PA=AB=BC=lt/A6C=9O。，N2/5=120。，AB//DCfDC=PC=2,則點P到平面

ABCD的距離為（）

A.立B.BC.2D.1

423

變式2.（2023春?山西晉中?高一?？茧A段練習(xí)）已知是面積為之叵的等邊三角形，且其頂點都在球。

4

的球面上，若球。的體積為3牛2乃，則。到平面48c的距離為（）

A.6B.-C.1D.立

22

考點十八：轉(zhuǎn)化法求點面距

18.（2023?陜西西安?西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校考模擬預(yù)測）在三棱柱ABC-A&G中，\-ABC

是棱長為2的正四面體，則點A到平面8CG&的距離為（）

A.5/6B.石C.y/2D.1

變式1.（2023?江西?江西師大附中?？既＃┘褐睦忮FP-A8CD的底面是正方形,

ACcBD=O,PA=PD=?PO=6A￡>=2,E是棱尸C上任點.

（1）求證：平面?平面PAC：

（2）若尸E=2EC,求點A到平面坑出的距離.

考點十九：等體積法求點面距

19.（2023春?貴州貴陽?高一貴陽市民族中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖在棱長為2的正方體

ABC?！狝UG。中，E是。。上一點，且平面ACE.

⑴求證：石為。，的中點;

⑵求點。到平面4CE的距離.

變式1.（2023春?黑龍江哈爾濱?高一哈爾濱市第四中學(xué)校?？计谥校┤鐖D，RlaAOB,。4=1,08=2,

點C是0B的中點，繞OB所在的邊逆時針旋轉(zhuǎn)一周.設(shè)0A逆時針旋轉(zhuǎn)至OD時，旋轉(zhuǎn)角為0,。40,兀）.

（1）求AABC旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積V和表面積S；

⑵當(dāng)。時，求點O到平面ABD的距離.

變式2.（2023春?廣東江門?高一江門市第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在四棱錐尸-A8C。中，。是邊長為4

的正方形A8C。的中心，P0上平面ABCD,M,E分別為AB,8C的中點.

（2）若PE=3,求點B到平面的距離；

⑶若尸石=3,求直線P3與平面PEM所成角的余弦值.

變式3.（2023春?山東濱州?高一山東省北鎮(zhèn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖①，在梯形A8CO中,

AB//CD,AB=ZZA=60°,?ABD90?,NCBD=45。，將沿邊BD翻折至AA'BD，使得AC=2"，

如圖②，過點3作一平面與AC垂直，分別交4RAC于點EE.

圖①圖②

⑴求證：BE_L平面ACQ；

（2）求點尸到平面ABD的距離.

［《圓真題演―

?■-iiiiiiiiiiiiiMiiiiMiiiiiaiiiitiiMMiii?■■.一，

1.【多選】（2023?全國?統(tǒng)考高考真題）已知圓錐的頂點為P,底面圓心為O,AB為底面直徑，乙針8=120。,

24=2,點C在底面圓周上，且二面角尸-AC-O為45。，則（）.

A.該圓錐的體積為兀B.該圓錐的側(cè)面積為467t

C.AC=242D.△0AC的面積為打

2.（2023.北京.統(tǒng)考高考真題）坡屋頂是我國傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)元素.安裝燈帶可以

勾勒出建筑輪廓，展現(xiàn)造型之美.如圖，某坡屋頂可視為一個王面體，其中兩個面是全等的等腰梯形，兩

個面是全等的等腰三角形.若AB=25m,8c=4。=10m，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面

與平面48co的夾角的正切值均為理，則該五面體的所有棱長之和為（）

A.102mB.H2m

C.117mD.125m

3.（2023?全國?統(tǒng)考高考真題）已知AABC為等腰直角三角形，AB為斜邊，△A8O為等邊三角形，若二面

角為150。，則直線CD與平面ABC所成角的正切值為（）

A1Ran2

A.-n.C.1J.一

5555

4.（2023?全國?統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱柱ABC-AB?中，底面ABC,乙4cB=90。,/U,=2,

A到平面5CCM的距離為i.

(1)證明：AC=AC；

⑵已知4A與BB\的距離為2,求A4與平面8CCI耳所成角的正弦值.

5.(2023?天津?統(tǒng)考高考真題)三棱臺ABC-A用G中，若AAL面ABC.ABJ.AC,AB=AC=AAi=2,AG=1,

M，N分別是BC8A中點.

⑴求證：AN〃平面GM4：

(2)求平面GMA與平面所成夾角的余弦值：

⑶求點C到平面GM4的距離.

6.(2023?全國?統(tǒng)考高考真題)如圖，在三棱錐P-ABC中，AB1BC,44=2,BC=26，PB=PC=R，

BP,AP,BC的中點分別為D,E,O,人。=逐。。，點F在AC上，BFLAO.

（1）證明：EV//平面4。。；

（2）證明：平面4W_L平面BEF；

（3）求二面角O-AO-C的正弦值.

|［冒過關(guān)檢測］

一IIIIIMilllllllllllMillllMlliBIMIIIUI1―'

一、單選題

1.（2023秋?上海黃浦?高二上海市向明中學(xué)?？茧A段練習(xí)）點P為平面A8C外的一個點，點M是棱8C上

的動點（包含端點），記異面直線PM與A8所成角為。，直線PM與平面A8C所成角為夕，則（）

A.a>pB.a<PC.ct>pD.a<p

2.（2023春?全國?高一專題練習(xí)）如圖，空間四邊形ABCD的時角線AC=8,BD=6,M,N分別為AB,

CD的中點，并且異面直線AC與RD所成的角為90。，則MN=（）

A.3B.4

C.5D.6

3.（2023秋?北京海淀?高二?？茧A段練習(xí)）《九章算術(shù)?商功》：“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一

為陽馬，一為鱉嚅.陽馬居二，蹩嚅居一，不易之率也.合兩鱉襦三而一，驗之以基，其形露矣文中“陽

q”是底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐.在陽中，側(cè)棱FA_L底面A6a>,且

PA=\,AB=AD=2,則點A到平面P%）的距離為（）

A.也B.如C.旦D.更

3323

4.（2023秋?高二課時練習(xí)）平面的一條斜線和這個平面所成的角。的范圍是（）

A.0°<<9<180°B.0°<6><90°C.0°<6><90°D.0°<6><90°

5.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知正方體ABCD-AiBCiDi,則DiA與平面ABCD所成的角為（）

A.45°B.60°C.90°D.135°

6.（2023?全國?模擬預(yù)測）如圖所示，在四棱錐尸-A8CD中，PA_L平面A8CD,四邊形A8CO為正方形,

Q4=A8=1,E、尸為線段夕。上的兩個動點（不包括端點），且滿足&'="，以下結(jié)論正確的個數(shù)是（）

2

（1）AC1EF,

（2）P8〃平面AEC；

（3）二面角右一皿）一。的大小為定值；

（4）四面體ACM的體積為定值.

A.4個B.3個C.2個D.1個

7.（2019秋?廣東佛山?高二佛山市順德區(qū)鄭裕彤中學(xué)?？计谥校┮阎襟w480A4GA棱長為2,則點。

到平面BOZ）4的距離為（）

A.1B.V2C.2&D.2G

8.（2023?全國?高一專題練習(xí)）在四棱錐尸-ABC。中，Q4_L平面A8C。，四邊形ABCD為矩形，阮=叵，

PC與平面所成的角為30“，則該四棱錐外接球的體枳為（）

4x/3.r:「8夜873

AA?-----itBR.4,3兀C?------itnD.------Ti

333

9.（2023?四川遂寧?四川省遂寧市第二中學(xué)校?？寄M預(yù)測）已知平面。與平面6所成二面角的平面角為

lie,球。與平面縱/相切于點兒“，則過球心。與平面聯(lián)￡均成30的直線有（）

A.2條B.3條C.4條D.5條

二、多選題

10.（2023?全國?高一專題練習(xí)）如圖，在四棱錐--ABCZ）中，平面平面A3CO,四邊形A8CO為

矩形，△小￡）是邊長為2G的正三角形，平面P4O與平面P8C所成銳二面角的余弦值為警，E是棱。。的

中點，則（）

p

A.AB=6B.AB=26

C.