2025年計算機科學專升本算法設(shè)計測試試卷（含答案）考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題1.下列關(guān)于算法時間復雜度的大O表示法的敘述中，正確的是（）。A.算法的實際執(zhí)行時間取決于算法的時間復雜度B.時間復雜度只關(guān)注算法執(zhí)行次數(shù)最少的情況C.O(n^2)的算法一定比O(nlogn)的算法效率低D.時間復雜度描述的是算法執(zhí)行時間隨輸入規(guī)模增長的變化趨勢2.在下列排序算法中，平均情況下時間復雜度最低的是（）。A.冒泡排序B.選擇排序C.插入排序D.快速排序3.下列數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中，適合表示先進先出（FIFO）特性的結(jié)構(gòu)是（）。A.棧B.隊列C.鏈表D.樹4.在二分查找算法中，要求被查找的數(shù)據(jù)序列必須（）。A.有序B.無序C.遞增D.遞減5.下面關(guān)于遞歸的說法中，正確的是（）。A.遞歸算法效率一定低于迭代算法B.遞歸算法不需要使用?？臻gC.遞歸算法必須有終止條件D.遞歸算法只適用于小型問題6.連接兩個頂點u和v的邊(u,v)具有相等的權(quán)值，則稱該圖為（）。A.有向圖B.無向圖C.有權(quán)圖D.無權(quán)圖7.在圖G中，從頂點u出發(fā)進行深度優(yōu)先搜索（DFS），頂點v被訪問，且v是u的鄰接點，則（）。A.頂點v一定在頂點u之前被訪問B.頂點v一定在頂點u之后被訪問C.邊(u,v)一定在遍歷過程中被訪問D.頂點v一定不在頂點u之前被訪問8.在解決最優(yōu)化問題時，貪心算法通常在每個階段都選擇一個（）的候選解，希望最終得到全局最優(yōu)解。A.當前看起來最優(yōu)B.最復雜C.最簡單D.隨機9.動態(tài)規(guī)劃算法通常用于解決具有哪些性質(zhì)的問題？（）A.遞歸關(guān)系B.最優(yōu)子結(jié)構(gòu)C.無后效性D.以上都是10.用鏈表存儲隊列時，通常采用（）結(jié)構(gòu)。A.頭指針B.尾指針C.頭尾指針D.循環(huán)鏈表二、填空題1.若一個算法的時間復雜度為O(n^2)，當輸入規(guī)模n增加2倍時，算法執(zhí)行時間大約增加______倍。2.快速排序算法通常采用______交換來對數(shù)組進行分區(qū)。3.在棧中，插入和刪除元素的操作都只能在______端進行。4.對于一個具有n個頂點的無向連通圖，至少有______條邊。5.在有向無環(huán)圖（DAG）中，頂點的入度定義為______。6.二分查找算法在最壞情況下的時間復雜度是______。7.在動態(tài)規(guī)劃中，解決子問題的順序通常采用______策略。8.貪心算法不一定能保證得到問題的______。9.哈希表通過計算鍵值（Key）來直接確定數(shù)據(jù)元素的存儲地址，其沖突解決方法主要有______和______兩種。10.在二叉樹中，若某節(jié)點的度為0，則稱該節(jié)點為______節(jié)點。三、判斷題1.算法的空間復雜度是指算法執(zhí)行過程中臨時占用的存儲空間大小。()2.插入排序是一種穩(wěn)定的排序算法。()3.棧是一種先進后出（LIFO）的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。()4.圖的遍歷包括深度優(yōu)先搜索和廣度優(yōu)先搜索兩種方式。()5.任何問題都可以用動態(tài)規(guī)劃算法來解決。()6.貪心算法總能找到問題的最優(yōu)解。()7.在鏈式存儲結(jié)構(gòu)中，邏輯上相鄰的元素物理上一定相鄰。()8.哈希表的平均查找效率比二分查找高。()9.遞歸算法轉(zhuǎn)換為迭代算法通常需要使用棧來模擬遞歸過程。()10.樹是一類特殊的圖，其中任何兩個頂點之間最多只有一條邊。()四、算法設(shè)計題1.設(shè)計一個算法，判斷一個給定的非空字符串s是否是回文字符串（即正讀和反讀都相同）。僅要求給出算法的核心思想描述（偽代碼或C/C++/Java代碼片段均可，無需注釋），無需考慮輸入輸出格式。2.假設(shè)一個無向圖用鄰接矩陣G表示，其中G[i][j]=1表示頂點i和頂點j之間存在一條邊，G[i][j]=0表示不存在邊。設(shè)計一個算法，計算圖中連通分量的數(shù)量。僅要求給出算法的核心思想描述（偽代碼或C/C++/Java代碼片段均可，無需注釋），無需考慮輸入輸出格式。五、算法分析題1.給定以下算法的偽代碼，分析其時間復雜度（用大O表示法表示）：```pseudoProcedureSumOfSquares(n)sum<-0i<-1Whilei<=nDoj<-1Whilej<=iDosum<-sum+i*jj<-j+1EndWhilei<-i+1EndWhileReturnsum```2.考慮以下遞歸函數(shù)的偽代碼，分析其時間復雜度T(n)（可以用遞歸方程表示，并盡可能求解）：```pseudoFunctionF(n)Ifn<=1ThenReturn1ElseReturnF(n/2)+F(n/2)+nEndIfEndFunction```試卷答案一、選擇題1.D2.D3.B4.A5.C6.C7.A8.A9.D10.C二、填空題1.42.交換3.棧頂4.n-15.與頂點u有邊的其他頂點的數(shù)目6.O(logn)7.自頂向下8.最優(yōu)解9.開放地址法；鏈地址法10.葉三、判斷題1.√2.√3.√4.√5.×6.×7.×8.√9.√10.√四、算法設(shè)計題1.核心思想描述(偽代碼示例):```FunctionIsPalindrome(s)left<-0right<-length(s)-1Whileleft<rightDoIfs[left]!=s[right]ThenReturnFalseEndIfleft<-left+1right<-right-1EndWhileReturnTrueEndFunction```解析思路:判斷回文可以通過雙指針法。設(shè)置兩個指針，一個指向字符串的開頭（left），一個指向字符串的結(jié)尾（right）。循環(huán)比較兩個指針所指向的字符，如果相等，則同時向中間移動（left++，right--）；如果不相等，則字符串不是回文，直接返回False。如果循環(huán)結(jié)束（left>=right），說明所有對應位置的字符都相等，字符串是回文，返回True。2.核心思想描述(偽代碼示例):```FunctionCountComponents(G,n)visited<-arrayofsizen,initializedtoFalsecount<-0Fori<-0ton-1DoIfNotvisited[i]Thencount<-count+1PerformDFS(G,i,visited)'或BFS(G,i,visited)EndIfEndForReturncountEndFunctionProcedureDFS(G,v,visited)visited[v]<-TrueForeachneighboruofvDoIfNotvisited[u]ThenDFS(G,u,visited)EndIfEndForEndProcedure```解析思路:計算連通分量的關(guān)鍵是找出圖中所有連通的頂點子集?？梢允褂蒙疃葍?yōu)先搜索（DFS）或廣度優(yōu)先搜索（BFS）算法。初始化一個訪問標記數(shù)組visited，用于記錄每個頂點是否已被訪問。遍歷所有頂點，對于每個尚未訪問的頂點v，將其標記為已訪問，并從v開始執(zhí)行DFS或BFS，將所有與v連通（即存在路徑）的頂點都標記為已訪問。每次啟動DFS/BFS時，都意味著發(fā)現(xiàn)了一個新的連通分量，因此計數(shù)器count加1。遍歷結(jié)束后，count的值即為圖中連通分量的數(shù)量。五、算法分析題1.時間復雜度分析:該算法包含一個嵌套的while循環(huán)。外層循環(huán)變量i從1到n。對于外層循環(huán)的每次執(zhí)行（即當i=k時），內(nèi)層循環(huán)變量j從1到k。*當i=1時，內(nèi)層循環(huán)執(zhí)行1次。*當i=2時，內(nèi)層循環(huán)執(zhí)行2次。*...*當i=n時，內(nèi)層循環(huán)執(zhí)行n次。整個算法的執(zhí)行次數(shù)T(n)=1+2+3+...+n=n(n+1)/2。時間復雜度T(n)=O(n^2)。解析思路:分析時間復雜度需要計算算法總的執(zhí)行次數(shù)。觀察偽代碼，核心在于兩層嵌套循環(huán)。外循環(huán)變量i的范圍是1到n，內(nèi)循環(huán)變量j的范圍是1到i。對于每一個固定的i，內(nèi)循環(huán)執(zhí)行i次。因此，總的操作次數(shù)是1+2+...+n，這是一個求和問題，結(jié)果為n(n+1)/2。該表達式的主項是n^2，因此時間復雜度為O(n^2)。2.時間復雜度分析:遞歸函數(shù)F(n)的調(diào)用關(guān)系是：F(n)=2F(n/2)+n。這是一個遞歸方程。假設(shè)T(n)表示F(n)的時間復雜度。*基本情況：當n<=1時，假設(shè)執(zhí)行常量時間操作，T(1)=O(1)。*遞歸情況：當n>1時，T(n)=2T(n/2)+O(n)。這是一個標準的分治遞歸模型（非平衡），可以用主定理或遞歸樹方法分析。*主定理應用:形式為aT(n/b)+f(n)。這里a=2,b=2,f(n)=n。計算b^log_b(a)=2^log_2(2)=2。比較f(n)和n^log_b(a)：*n^log_b(a)=n^1=n。*f(n)=n，與n^log_b(a)成正比。*根據(jù)主定理第3種情況（f(n)=θ(n^log_b(a))），T(n)=θ(n^log_b(a))=θ(n)。*遞歸樹方法:*根節(jié)點代價：n。*子節(jié)點：2個F(n/2)，總代價2*(n/2)=n。*孫節(jié)點：4個F(n/4)，總代價4*(n/4)=n。*...第k層有2^(k-1)個節(jié)點，每個節(jié)點的代價為n/(2^(k-1))*2^(k-1)=n。*樹的深度：遞歸直到n<=1，需要遞歸log_2(n)次。*總代價：T(n)=n*(樹的深度)=n*log_2(n)。兩種方法都得到相同的結(jié)果。時間復雜度T(n)=O(nlogn)。解析思路:分析遞歸算法的時