2025年統(tǒng)計(jì)學(xué)專升本概率論重點(diǎn)練習(xí)試卷（含答案）考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共5小題，每小題3分，共15分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)。）1.設(shè)事件A，B，C兩兩獨(dú)立，且P(A)=P(B)=P(C)=1/2，P(ABC)=1/8，則事件A，B，C中至少有一個(gè)發(fā)生的概率為（）。（A）1/2（B）3/4（C）7/8（D）12.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為P(X=k)=a(k+1)/10,k=1,2,3,則常數(shù)a等于（）。（A）1/10（B）1/5（C）1/2（D）13.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)={c/x^2,x>1;0,x≤1}，則常數(shù)c等于（）。（A）1（B）2（C）1/2（D）-14.設(shè)隨機(jī)變量X的期望E(X)=2，方差D(X)=4，則隨機(jī)變量Y=3X-5的期望E(Y)和方差D(Y)分別為（）。（A）1,12（B）1,36（C）6,4（D）6,125.設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且均服從參數(shù)為λ的泊松分布，則E(XY)等于（）。（A）λ^2（B）λ（C）2λ（D）1/λ二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分。請(qǐng)將答案填在題中橫線上。）6.設(shè)事件A，B互斥，P(A)=0.3，P(B)=0.4，則P(A∪B)=______。7.設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為P(X=k)=C(k+1)/20,k=1,2,3,則P(X=2)=______。8.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)={e^(-x),x>0;0,x≤0}，則P(X>1)=______。9.設(shè)隨機(jī)變量X的期望E(X)=3，方差D(X)=1，則根據(jù)切比雪夫不等式，P(|X-3|≥2)≤______。10.設(shè)隨機(jī)變量X和Y的協(xié)方差Cov(X,Y)=2，X的方差D(X)=1，Y的方差D(Y)=4，則X和Y的相關(guān)系數(shù)ρ_xy=______。三、計(jì)算題（本大題共4小題，共50分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）11.（10分）袋中有5個(gè)紅球和3個(gè)白球，從中不放回地依次取出3個(gè)球。求取出的3個(gè)球中至少有2個(gè)紅球的概率。12.（12分）設(shè)隨機(jī)變量X的分布律如下：X-101P0.20.50.3（1）求隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)；（2）求隨機(jī)變量X的期望E(X)和方差D(X)。13.（15分）設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，均服從參數(shù)為1的指數(shù)分布。求隨機(jī)變量Z=X+Y的期望E(Z)和方差D(Z)。14.（13分）設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為f(x,y)={8xy,0<x<1,0<y<x;0,其他}。（1）求隨機(jī)變量X的邊緣密度函數(shù)f_X(x)；（2）判斷隨機(jī)變量X和Y是否相互獨(dú)立。試卷答案一、選擇題1.B2.C3.B4.D5.A二、填空題6.0.77.3/208.e^(-1)9.1/410.1/2三、計(jì)算題11.解：設(shè)A=“取出的3個(gè)球中至少有2個(gè)紅球”，則其對(duì)立事件ā=“取出的3個(gè)球中紅球少于2個(gè)”，即“只有0個(gè)或1個(gè)紅球”。P(ā)=C(3,0)*(C(5,0)/C(8,0))*C(3,1)*(C(5,1)/C(7,1))+C(3,1)*(C(5,1)/C(8,1))*C(3,0)*(C(5,0)/C(6,0))=1*(1/8)*3*(5/7)+3*(5/8)*1*(1/6)=15/56+15/48=15/56+10/56=25/56所以，P(A)=1-P(ā)=1-25/56=31/56。12.解：（1）當(dāng)x<-1時(shí)，F(xiàn)(x)=P(X≤x)=0。當(dāng)-1≤x<0時(shí)，F(xiàn)(x)=P(X≤x)=P(X=-1)=0.2。當(dāng)0≤x<1時(shí)，F(xiàn)(x)=P(X≤x)=P(X=-1)+P(X=0)=0.2+0.5=0.7。當(dāng)x≥1時(shí)，F(xiàn)(x)=P(X≤x)=P(X=-1)+P(X=0)+P(X=1)=0.2+0.5+0.3=1。所以，F(xiàn)(x)={0,x<-1;0.2,-1≤x<0;0.7,0≤x<1;1,x≥1}。（2）E(X)=(-1)*0.2+0*0.5+1*0.3=-0.2+0+0.3=0.1。E(X^2)=(-1)^2*0.2+0^2*0.5+1^2*0.3=0.2+0+0.3=0.5。D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=0.5-(0.1)^2=0.5-0.01=0.49。13.解：由于X和Y相互獨(dú)立且均服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，其密度函數(shù)為f_X(x)=e^(-x),x>0；f_Y(y)=e^(-y),y>0。E(X)=1,D(X)=1。E(Y)=1,D(Y)=1。因?yàn)閄和Y相互獨(dú)立，所以E(XY)=E(X)E(Y)=1*1=1。E(Z)=E(X+Y)=E(X)+E(Y)=1+1=2。D(Z)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)=1+1=2。（注：對(duì)于相互獨(dú)立的參數(shù)為λ的指數(shù)分布隨機(jī)變量X和Y，其和Z=X+Y的期望為E(Z)=λ，方差為D(Z)=λ^2。此處λ=1。）14.解：（1）f_X(x)=∫[from0tox]f(x,y)dy=∫[from0tox]8xydy=8x*[y^2/2]|_[from0tox]=8x*(x^2/2-0)=4x^3,0<x<1。所以，f_X(x)={4x^3,0<x<1;0,其他}。（2）對(duì)于0<x<1，f_X(x)=4x^3≠0。我們需要計(jì)算f_Y(y|x)。當(dāng)0<y<x<1時(shí)，f_Y(y|x)=f(x,y)/f_X(x)=(8xy)/(4x^3)=2/y,0<y<x。當(dāng)其他y值時(shí)，f_Y(y|x)=0。