典型環(huán)形跑道行程題講解環(huán)形跑道行程問題是行程問題中一種重要且常見的類型，其特殊性在于運(yùn)動(dòng)軌跡是封閉的環(huán)形，這使得物體的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系和相遇、追及的條件與直線行程問題有所不同。理解這類問題的核心在于把握“周期性”和“方向性”對(duì)運(yùn)動(dòng)過程的影響，并能準(zhǔn)確分析速度、時(shí)間、路程三者之間的關(guān)系。本文將對(duì)環(huán)形跑道行程問題的典型題型進(jìn)行梳理與講解，希望能為讀者提供清晰的解題思路。一、核心概念與基礎(chǔ)模型環(huán)形跑道問題的研究對(duì)象通常是在同一條環(huán)形跑道上運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)或多個(gè)物體。我們首先要明確幾個(gè)基本要素：1.跑道周長(zhǎng)（L）：環(huán)形跑道一圈的長(zhǎng)度，是衡量路程的基準(zhǔn)。2.運(yùn)動(dòng)方向：物體可以沿順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)，也可以沿逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)。方向相同的物體，涉及追及問題；方向相反的物體，涉及相遇問題。3.速度（v）：物體單位時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)的路程，是解決問題的關(guān)鍵物理量。4.時(shí)間（t）：物體運(yùn)動(dòng)所經(jīng)歷的時(shí)長(zhǎng)。5.路程（s）：物體在一定時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)的軌跡長(zhǎng)度，通常與速度和時(shí)間相關(guān)，即s=v×t。（一）反向運(yùn)動(dòng)（相遇模型）當(dāng)兩個(gè)物體在環(huán)形跑道上沿相反方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，它們的相對(duì)速度為兩者速度之和（v?+v?）。*同地出發(fā)：*首次相遇：兩物體共同運(yùn)動(dòng)的路程之和等于跑道的一個(gè)周長(zhǎng)（L）。因此，相遇時(shí)間t?=L/(v?+v?)。*多次相遇：每相遇一次，兩物體共同運(yùn)動(dòng)的路程之和就增加一個(gè)周長(zhǎng)（L）。因此，第n次相遇時(shí)，兩者共同運(yùn)動(dòng)的總路程之和為nL，相遇時(shí)間t?=nL/(v?+v?)。*異地出發(fā)：*若兩物體從環(huán)形跑道上相距s（s<L）的兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，反向運(yùn)動(dòng)。*首次相遇：兩物體共同運(yùn)動(dòng)的路程之和等于s。相遇時(shí)間t?=s/(v?+v?)。*之后的相遇：首次相遇后，問題轉(zhuǎn)化為同地反向出發(fā)的情況，每再相遇一次，共同路程增加L。例題1：甲、乙兩人在一個(gè)周長(zhǎng)為400米的環(huán)形跑道上跑步，甲的速度是每分鐘200米，乙的速度是每分鐘160米。若兩人同時(shí)同地出發(fā)，反向而行，問：（1）經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間兩人第一次相遇？（2）從出發(fā)開始，經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間兩人第三次相遇？解析：（1）兩人反向而行，相對(duì)速度為200+160=360米/分鐘。首次相遇時(shí)，共同跑過的路程為一圈400米。時(shí)間t?=400/360=10/9≈1.11分鐘（或66又2/3秒）。（2）第三次相遇時(shí)，共同跑過的路程為3×400=1200米。時(shí)間t?=1200/360=10/3≈3.33分鐘（或200秒）。（二）同向運(yùn)動(dòng)（追及模型）當(dāng)兩個(gè)物體在環(huán)形跑道上沿相同方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，它們的相對(duì)速度為兩者速度之差（|v?-v?|，通常設(shè)較快速度為v?）。*同地出發(fā)：*首次追及：快的物體比慢的物體多運(yùn)動(dòng)的路程等于跑道的一個(gè)周長(zhǎng)（L）。因此，追及時(shí)間t?=L/(v?-v?)。*多次追及：每追上一次，快的物體比慢的物體就多運(yùn)動(dòng)一個(gè)周長(zhǎng)（L）。因此，第n次追上時(shí)，快的物體比慢的物體多運(yùn)動(dòng)的總路程為nL，追及時(shí)間t?=nL/(v?-v?)。*異地出發(fā)：*若兩物體從環(huán)形跑道上相距s（s<L）的兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，同向運(yùn)動(dòng)（設(shè)快者在慢者后方s處，或理解為快者需要追趕的初始距離為s）。*首次追及：快的物體比慢的物體多運(yùn)動(dòng)的路程等于s。追及時(shí)間t?=s/(v?-v?)。*之后的追及：首次追及后，問題轉(zhuǎn)化為同地同向出發(fā)的情況，每再追上一次，快者比慢者多跑一圈L。*若快者在慢者前方，則初始追趕距離為L(zhǎng)-s。例題2：沿用例題1的條件，甲、乙兩人同時(shí)同地出發(fā)，同向而行，問：（1）經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間甲第一次追上乙？（2）從出發(fā)開始，經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間甲第三次追上乙？解析：（1）甲速度快于乙，相對(duì)速度為200-160=40米/分鐘。首次追上時(shí)，甲比乙多跑一圈400米。時(shí)間t?=400/40=10分鐘。（2）第三次追上時(shí)，甲比乙多跑3×400=1200米。時(shí)間t?=1200/40=30分鐘。二、進(jìn)階題型與綜合應(yīng)用環(huán)形跑道問題并非總是簡(jiǎn)單的單次相遇或追及，有時(shí)會(huì)結(jié)合周期性、變速運(yùn)動(dòng)、起點(diǎn)判斷、以及與其他知識(shí)點(diǎn)（如工程問題思想）的綜合考查。（一）結(jié)合起點(diǎn)判斷在多次相遇或追及后，判斷物體是否回到出發(fā)點(diǎn)，或在出發(fā)點(diǎn)相遇/追及。這需要結(jié)合物體運(yùn)動(dòng)的周期。物體跑一圈所需時(shí)間T=L/v。若在時(shí)間t內(nèi)，物體運(yùn)動(dòng)的圈數(shù)為整數(shù)（t/T為整數(shù)），則物體回到出發(fā)點(diǎn)。例題3：在周長(zhǎng)為300米的環(huán)形跑道上，A、B兩人同時(shí)同地出發(fā)，A的速度為5米/秒，B的速度為3米/秒，同向而行。問：經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間A、B兩人能再次同時(shí)在出發(fā)點(diǎn)相遇？解析：A跑一圈時(shí)間T?=300/5=60秒。B跑一圈時(shí)間T?=300/3=100秒。兩人再次同時(shí)在出發(fā)點(diǎn)相遇，所用時(shí)間t必須是T?和T?的公倍數(shù)。題目問“經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間”，通常指最小公倍數(shù)（LCM）。LCM(60,100)=300秒。驗(yàn)證：300秒內(nèi)，A跑了300/60=5圈，B跑了300/100=3圈，均回到出發(fā)點(diǎn)。且A比B多跑2圈，也符合追及次數(shù)（2次）。（二）多人運(yùn)動(dòng)與變速問題有時(shí)題目會(huì)涉及三個(gè)或更多物體在環(huán)形跑道上運(yùn)動(dòng)，或者物體在運(yùn)動(dòng)過程中速度發(fā)生變化。這類問題需要更細(xì)致地分析每個(gè)階段的運(yùn)動(dòng)情況，或找到其中兩個(gè)物體之間的關(guān)系，逐步突破。例題4：甲、乙、丙三人在一環(huán)形跑道上同向跑步，跑道周長(zhǎng)為600米。甲每分鐘跑120米，乙每分鐘跑100米，丙每分鐘跑70米。三人同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，問：經(jīng)過多少分鐘后，三人再次同時(shí)從出發(fā)點(diǎn)出發(fā)？解析：此問題與例題3類似，關(guān)鍵在于求三人各自跑一圈時(shí)間的最小公倍數(shù)。甲跑一圈：600/120=5分鐘。乙跑一圈：600/100=6分鐘。丙跑一圈：600/70=60/7分鐘。求[5,6,60/7]的最小公倍數(shù)?？赊D(zhuǎn)化為求分子的最小公倍數(shù)除以分母的最大公約數(shù)（對(duì)分?jǐn)?shù)而言）。5=5/1，6=6/1，60/7=60/7。分子5,6,60的最小公倍數(shù)是60。分母1,1,7的最大公約數(shù)是1。所以LCM=60/1=60分鐘。即60分鐘后，三人再次同時(shí)從出發(fā)點(diǎn)出發(fā)。（三）綜合應(yīng)用型問題這類問題通常會(huì)將環(huán)形跑道的相遇追及與其他因素結(jié)合，如“鐘表問題”（可視為特殊的環(huán)形跑道，分針追時(shí)針）、“發(fā)車間隔問題”的變種，或者需要通過列方程求解的復(fù)雜情景。例題5：一環(huán)形跑道周長(zhǎng)為400米，甲、乙兩人從同一點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿相反方向慢跑。甲的初始速度為3米/秒，乙的初始速度為2米/秒。每當(dāng)兩人相遇一次，甲的速度就減少0.5米/秒，乙的速度就增加0.5米/秒。當(dāng)兩人速度相等時(shí)，他們共相遇了多少次？解析：初始速度和：3+2=5米/秒。每次相遇，速度和不變（甲減少0.5，乙增加0.5，總和仍為5）。每次相遇所需時(shí)間：400/5=80秒。設(shè)相遇n次后，兩人速度相等。則甲的速度：3-0.5n乙的速度：2+0.5n令3-0.5n=2+0.5n解得n=1。但此時(shí)，僅僅是速度相等的瞬間。我們需要確認(rèn)，在這之前是否已經(jīng)完成了第n次相遇。第一次相遇前：甲速度3，乙速度2。相遇時(shí)間80秒。相遇后，甲2.5，乙2.5，速度相等。所以，他們共相遇了1次。三、解題策略與技巧總結(jié)解決環(huán)形跑道行程問題，關(guān)鍵在于以下幾點(diǎn)：1.明確運(yùn)動(dòng)方向：判斷是同向（追及）還是反向（相遇），這是選擇正確公式的前提。2.確定相對(duì)速度：同向時(shí)為速度差，反向時(shí)為速度和。3.分析路程關(guān)系：首次相遇/追及的路程是多少？多次相遇/追及的路程是首次的多少倍？（通常是周長(zhǎng)的整數(shù)倍）。4.善用公式：靈活運(yùn)用路程=速度×?xí)r間(s=v×t)及其變形公式。對(duì)于多次相遇或追及，要找到路程與周長(zhǎng)L的倍數(shù)關(guān)系。5.畫圖輔助：在復(fù)雜情況下，畫出簡(jiǎn)易的環(huán)形跑道示意圖，標(biāo)出物體的初始位置、運(yùn)動(dòng)方向和關(guān)鍵的相遇/追及點(diǎn)，有助于直觀理解題意。6.關(guān)注周期性：環(huán)形運(yùn)動(dòng)的顯著特點(diǎn)是周期性，物體運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后可能回到起點(diǎn)或形成某種循環(huán)。7.方程思想：對(duì)于涉及變速、多人或復(fù)雜條件的問題，設(shè)立未知數(shù)，根據(jù)等量關(guān)系（如路程關(guān)系、時(shí)間關(guān)系、速度關(guān)系）列方程求解，是一種非常有效的方法。8.細(xì)致審題