期中檢測考點分類專題（選擇填空篇）考查范圍：三角形實數(shù)的初步認識勾股定理平面直角坐標系目錄TOC\o"1-2"\h\u一：選擇題十大考點 1【考點1】全等三角形判定的辨析 1【考點2】實數(shù)的分類識別 3【考點3】平方根與算術平方根的概念辨析 4【考點4】勾股定理逆定理的應用 5【考點5】平面直角坐標系點的坐標特征 7【考點6】等腰三角形的分類討論 8【考點7】實數(shù)的估算 10【考點8】線段垂直平分線性質的辨析應用 10【考點9】角平分線性質的辨析應用 12【考點10】勾股數(shù)的識別 14二：填空題十大考點 16【考點1】全等三角形對應元素的計算 16【考點2】平方根與立方根的直接計算 17【考點3】實數(shù)的混合運算 19【考點4】勾股定理的基本應用 20【考點5】平面直角坐標系點的變換坐標 23【考點6】直角三角形斜邊上的中線與含30度的直角三角形 24【考點7】勾股定理的最短路徑應用（平面） 27【考點8】線段垂直平分線的作圖與計算 30【考點9】角平分線的作圖與計算 32【考點10】實數(shù)與數(shù)軸的對應關系 34一：選擇題十大考點【考點1】全等三角形判定的辨析【例題1】（25-26八年級上·江蘇宿遷·期中）如圖，，，添加下列條件，不能判定的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定定理（、、）是解題的關鍵．根據(jù)已知條件，，得出，然后分別結合每個選項給出的條件，依據(jù)全等三角形的判定定理（、、）來判斷能否判定．解：∵∴，即又∵選項A：∵，，∴，故A項不符合題意．選項B：雖然，，，但這是“邊邊角”的情況，不能判定兩個三角形全等，故B項符合題意．選項C：∵，，∴，故C項不符合題意．選項D：∵，，∴，故D項不符合題意．故選：B．【變式1】（2025八年級上·全國·專題練習）根據(jù)下列條件，能畫出唯一的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了全等三角形的判定定理和三角形三邊關系，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關鍵，注意：全等三角形的判定定理有，兩直角三角形全等還有．根據(jù)全等三角形的判定定理和三角形的三邊關系逐個判斷即可．解：A、，不符合三角形的三邊關系，不能畫出三角形，故本選項不符合題意；B、，不能畫出唯一的三角形，故本選項不符合題意；C、，只有一角一邊，不能畫出唯一的三角形，故本選項不符合題意；D、，符合全等三角形的判定定理，能畫出唯一的三角形，故本選項符合題意；故選：D．【變式2】（24-25八年級上·江蘇徐州·期中）的個元素，如圖所示，下面甲、乙、丙三個三角形中和全等的是（

）A．只有乙 B．只有丙 C．甲和乙 D．乙和丙【答案】D【分析】本題考查了全等三角形的判定，靈活運用全等三角形的判定是本題的關鍵．由全等三角形的判定可求解．解：由“”可證圖乙和全等，由“”可證圖丙和全等．故選：D．【考點2】實數(shù)的分類識別【例題2】（25-26八年級上·江蘇泰州·階段練習）在下列實數(shù)中：，0，，，，π，，…（每兩個4之間1的個數(shù)依次加1），無理數(shù)的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】本題考查了無理數(shù)的定義，算術平方根、立方根，先化簡，再結合無限不循環(huán)小數(shù)即為無理數(shù)，即可作答．解：依題意，，，，（每兩個4之間1的個數(shù)依次加1），都是無理數(shù)，∴無理數(shù)的個數(shù)是3個，故選：C．【變式1】（24-25八年級上·江蘇蘇州·期中）下列實數(shù)中的無理數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了無理數(shù)，算術平方根，立方根，根據(jù)無理數(shù)的定義，即可求解．解：A.是整數(shù)，不是無理數(shù)，故該選項不符合題意；

B.是有理數(shù)，不是無理數(shù)，故該選項不符合題意；

C.是分數(shù)，不是無理數(shù)，故該選項不符合題意；

D.是無理數(shù)，故該選項符合題意；故選：D．【變式2】（24-25七年級下·江蘇南通·期末）在實數(shù)中，是無理數(shù)的是（

）A．1 B． C．0 D．【答案】B【分析】本題考查無理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)，據(jù)此進行判斷即可．解：A、1是整數(shù)，屬于有理數(shù)，不符合題意；B、是無限不循環(huán)小數(shù)，屬于無理數(shù)，符合題意；C、0是整數(shù)，屬于有理數(shù)，不符合題意；D、是整數(shù)，屬于有理數(shù)，不符合題意．故選：B．【考點3】平方根與算術平方根的概念辨析【例題3】（24-25八年級下·江蘇無錫·階段練習）下列計算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查的就是立方根、平方根、算術平方根的計算，屬于基礎題型．一個非負數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)；表示的算術平方根，表示的平方根．本題只要根據(jù)算術平方根、平方根以及立方根的計算法則即可得出答案．解：A、，故該選項不符合題意；B、，故該選項不符合題意；C、，正確，故該選項符合題意；D、，故該選項不符合題意；故選：C．【變式1】（24-25八年級下·江蘇南京·開學考試）下列運算中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此題考查了算術平方根，平方根，熟練掌握算術平方根和平方根的定義是解本題的關鍵．利用算術平方根及平方根定義判斷即可．解：A中，，選項不正確，故不符合題意；B中，，選項不正確，故不符合題意；C中，，選項正確，故符合題意；D中，∵，∴，選項不正確，故不符合題意．故選：C．【變式2】（24-25八年級上·江蘇宿遷·階段練習）以下說法正確的選項是（

）A．的平方根是4 B．1的平方根是1C．的平方根是 D．是的立方根【答案】D【分析】本題考查了平方根、算術平方根、立方根的相關概念，熟練掌握這幾個概念是解題的關鍵．根據(jù)平方根、算術平方根、立方根的概念逐一判斷選項即可．解：A．的平方根是，選項錯誤，不符合題意；B．1的平方根是，選項錯誤，不符合題意；C．沒有平方根，選項錯誤，不符合題意；D．是的立方根，正確，符合題意；故選：D．【考點4】勾股定理逆定理的應用【例題4】（24-25八年級上·江蘇揚州·期末）下列四組數(shù)中是勾股數(shù)的一組是（）A．，， B．，，C．5，， D．，，【答案】C【分析】此題考查了勾股數(shù)的知識，滿足的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)，掌握以上知識是解答本題的關鍵；本題欲求證是否為勾股數(shù)，這里給出三邊的長，只要驗證兩小邊的平方和等于最長邊的平方，即可求解．解：A、因為，，都不是整數(shù)，所以它們不是勾股數(shù)，故本選項不合題意；B、因為，，都不是整數(shù)，所以它們不是勾股數(shù)，故本選項不合題意；C、因為，所以它們是勾股數(shù)，故本選項符合題意；D、因為，，，，所以它們不是勾股數(shù)，故本選項不合題意．故選：C．【變式1】（24-25八年級下·江蘇南通·期末）下列各組數(shù)能作為直角三角形的三邊長的是（

）A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．6，8，9【答案】C【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，三角形的三邊關系，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．根據(jù)勾股定理逆定理：驗證每組數(shù)中較小兩數(shù)的平方和是否等于最大數(shù)的平方，以及三角形三邊關系判斷即可．解：A、∵，∴不能組成三角形，故此選項不符合題意；B、∵，，∵，∴不能組成直角三角形，故此選項不符合題意；C、∵，∴，∴能組成直角三角形，故此選項符合題意；D、∵，，∴，∴不能組成直角三角形，故此選項不符合題意；故選：C．【變式2】（2025·江蘇南京·二模）下列長度的兩條線段與長度為12的線段首尾依次相連能組成直角形三角形的是（

）A．6，9 B．9，15 C．10，16 D．15，18【答案】B【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷，掌握勾股定理的逆定理是解題的關鍵．解：A、，不能組成直角三角形，故選項不符合題意；B、，能組成直角三角形，故選項符合題意；C、，不能組成直角三角形，故選項不符合題意；D、，不能組成直角三角形，故選項不符合題意；故選：B．【考點5】平面直角坐標系點的坐標特征【例題5】（24-25七年級下·江蘇南通·期末）平面直角坐標系中，點所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根據(jù)，確定P得坐標特征為，解答即可．本題考查了點位置，熟練掌握點的象限判定是解題的關鍵．解：∵，∴P得坐標特征為，∴點在第二象限．故選：B．【變式1】（24-25七年級下·江蘇南通·期末）在平面直角坐標系中，點在軸上，則的值為（

）A． B．2 C．4 D．6【答案】D【分析】本題考查了平面直角坐標系中點的坐標特征，正確理解點在y軸上，其橫坐標為0是解題的關鍵．根據(jù)y軸上點的坐標特征，建立方程求解即可．解：點在y軸上，，．故選：D．【變式2】（24-25八年級上·江蘇泰州·期末）在平面直角坐標系中，點一定在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】本題考查了各象限內點的坐標的符號特征，四個象限的符號特點分別是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根據(jù)各象限內點的坐標特征解答即可．解：∵，，∴P在第四象限．故選：D．【考點6】等腰三角形的分類討論【例題6】（24-25八年級上·江蘇常州·階段練習）一個等腰三角形的兩邊長分別是4和9，則它的周長為（

）A．17 B．20 C．22 D．17或22【答案】C【分析】本題考查了等腰三角形的性質和三角形的三邊關系；題目從邊的方面考查三角形，涉及分類討論的思想方法．求三角形的周長，不能盲目地將三邊長相加起來，而應養(yǎng)成檢驗三邊長能否組成三角形的好習慣，把不符合題意的舍去．求等腰三角形的周長，即是確定等腰三角形的腰與底的長度求周長；題目給出等腰三角形有兩條邊長為4和9，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進行討論，還要應用三角形的三邊關系驗證能否組成三角形．解：（1）若為腰長，為底邊長，由于，則三角形不存在；（2）若為腰長，則符合三角形的兩邊之和大于第三邊．所以這個三角形的周長為．故選：C．【變式1】（24-25七年級下·上海楊浦·階段練習）如圖，點A，B為方格紙中的兩個格點，若以為邊在方格中畫點（點C為格點），使得為等腰三角形，則點C的個數(shù)是（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】本題主要考查格點作等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的判斷即可得到結論，掌握等腰三角形的判定是解題的關鍵．解：當為腰時，如圖，當為底邊時，點無格點，綜上可知：為等腰三角形，則點的個數(shù)有個，故選：C．【變式2】（23-24八年級上·山東濟寧·期中）若等腰三角形的一個角等于80°，則它的其余兩個角的度數(shù)為（）A．80°，20° B．50°，50°C．80°，20°或50°，50° D．30°，70°或10°，90°【答案】C【分析】分80°角是頂角與底角兩種情況討論求解．解：①80°角是頂角時，底角=（180°-80°）=50°，所以，其余兩個角是50°、50°；②80°角是底角時，頂角=180°-80°×2=20°，所以，其余兩個角是80°、20°；綜上所述，其余兩個角是50°、50°或80°、20°．故選C．【點撥】本題考查了等腰三角形兩底角相等的性質，難點在于要分情況討論．【考點7】實數(shù)的估算【例題7】（24-25八年級上·江蘇宿遷·期末）估計實數(shù)的值，它的所在范圍是（

）A．在5與6之間 B．在6與7之間 C．在7與8之間 D．在8與9之間【答案】C【分析】本題考查了無理數(shù)的估算，估算得，即可求解．解：，，故選：C．【變式1】（24-25七年級下·江蘇南通·期末）在和之間的整數(shù)共有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【分析】本題考查了無理數(shù)的大小估算，熟練掌握無理數(shù)的估算是解題的關鍵．首先確定和的近似值，再找出兩者之間的所有整數(shù)即可．解：，，比大的最小整數(shù)是，比小的最大整數(shù)是，因此，區(qū)間內的整數(shù)為，共4個，故選：C．【變式2】（24-25九年級下·北京西城·階段練習）已知，，，．若為整數(shù)且，則的值為（

）A．43 B．44 C．45 D．46【答案】B【分析】本題主要考查無理數(shù)的估算，熟練掌握無理數(shù)的估算是解題的關鍵；先根據(jù)題干中的數(shù)據(jù)估算的大小，進而問題可求解．解：由題意可知：∴，∴；故選B．【考點8】線段垂直平分線性質的辨析應用【例題8】（25-26八年級上·江蘇揚州·階段練習）如圖，在中，，，分別以點A，點B為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點E、F，過點E、F作直線交于點D，連接，則的周長為（

）．A．7 B．8 C．10 D．13【答案】D【分析】本題考查作線段的垂直平分線，線段垂直平分線的性質．由作圖可知是線段的垂直平分線，可得，從而可得的周長．解：由作圖可知是線段的垂直平分線，∴，∵，，∴，∴，又∵，∴的周長為．故選：D．【變式1】（24-25八年級上·河北石家莊·階段練習）如圖，在中，平分，，，、為垂足，則下列四個結論：①；②；③垂直平分；④垂直平分．其中，正確的個數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】本題考查的是全等三角形的判定與性質，線段的垂直平分線的判定，角平分線的性質，先利用角平分線的性質可判定①，證明可判斷②，利用線段的垂直平分線的判定可判定③④，從而可得答案.解：解析：平分，，，、為垂足，，故①正確；平分，，在與中，，，故②正確；，，垂直平分，故③正確；與，與不一定相等，不一定垂直平分，故④錯誤；綜上所述，①②③共3個正確．故答案為：B．【變式2】（25-26八年級上·江蘇南京·階段練習）下列說法錯誤的是（

）A．到角兩邊的距離相等的點不一定在角的平分線上B．角平分線上的點到角兩邊的距離相等C．到線段兩端點的距離相等的點一定在線段的垂直平分線上D．線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等【答案】A【分析】此題考查了角平分線的判定和性質、垂直平分線的判定和性質等知識．根據(jù)相關知識進行判斷即可．解：A.到角兩邊的距離相等的點一定在角的平分線上，故選項錯誤，符合題意；B.角平分線上的點到角兩邊的距離相等，故選項正確，不符合題意；C.到線段兩端點的距離相等的點一定在線段的垂直平分線上，故選項正確，不符合題意；D.線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，故選項正確，不符合題意；故選：A【考點9】角平分線性質的辨析應用【例題9】（25-26八年級上·全國·單元測試）點P在的平分線上，點P到邊的距離等于5，D是邊上的任意一點，則下列選項正確的是A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質，垂線段最短的性質，熟記性質是解題的關鍵．根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得點到的距離為5，再根據(jù)垂線段最短解答．解：∵點在的平分線上，點到邊的距離等于5，∴點到的距離為5，∵點是邊上的任意一點，∴．故選：B．【變式1】（2025七年級下·全國·專題練習）如圖，，分別是，上的點，過點作于點，作于點，若，，則下面三個結論：①；②；③，正確的是（

）A．①③ B．②③ C．①② D．①②③【答案】C【分析】本題考查了角平分線的定義及判定、全等三角形的判定及性質，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．根據(jù)角平分線的判定，先證是的平分線，再證，可證得，成立．解：如圖所示，連接，，是的平分線，，，①正確；，，是的平分線，，，，②正確；只是過點，并沒有固定，③無法確定；故選：C．【變式2】（2025·江蘇泰州·三模）如圖，兩把相同的直尺的一邊分別與射線重合，另一邊相交于點P，則平分的依據(jù)是（

）A．在角的內部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上B．角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等C．角平分線的性質D．角平分線是對稱軸【答案】A【分析】根據(jù)在角的內部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上，由此即可得到答案．本題考查角平分線的性質，關鍵是掌握角平分線性質定理的逆定理．解：平分的依據(jù)是：在角的內部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上．故選：【考點10】勾股數(shù)的識別【例題10】（24-25八年級上·貴州·期末）下列各組數(shù)中，不是勾股數(shù)的是（

）A．5，8，12 B．30，40，50 C．9，40，41 D．6，8，10【答案】A【分析】該題考查了勾股數(shù)：滿足的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．注意：（1）三個數(shù)必須是正整數(shù)．（2）一組勾股數(shù)擴大相同的整數(shù)倍得到三個數(shù)仍是一組勾股數(shù)．（3）記住常用的勾股數(shù)再做題可以提高速度．欲判斷是否為勾股數(shù)，必須根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時還需滿足兩小邊的平方和等于最長邊的平方．解：A，，不是勾股數(shù)，此選項符合題意；B，，是勾股數(shù)，此選項不符合題意；C，，是勾股數(shù)，此選項不符合題意；D，，是勾股數(shù)，此選項不符合題意；故選：A．【變式1】（24-25八年級上·貴州畢節(jié)·期中）下面各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【分析】本題主要考查勾股數(shù)，熟練掌握勾股數(shù)的定義是解題的關鍵．根據(jù)勾股數(shù)的特點進行判斷即可．解：，故選項A不是勾股數(shù)；，故選項B不是勾股數(shù)；，故選項C是勾股數(shù)；，故選項D不是勾股數(shù)；故選：C．【變式2】（24-25八年級下·安徽馬鞍山·期末）下列各組數(shù)為勾股數(shù)的是（）A． B． C．8，15，17 D．4，5，6【答案】C【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理是解決本題的關鍵．勾股數(shù)需滿足兩個條件：一是三個正整數(shù)；二是滿足勾股定理（其中為最大數(shù)），據(jù)此分析即可．解：選項A：，三者均為小數(shù)，非正整數(shù)，不符合勾股數(shù)定義．選項B：，是整數(shù)，但和為無理數(shù)，非正整數(shù)，排除．選項C：8，15，17，均為正整數(shù)，驗證得，滿足勾股定理，是勾股數(shù)．選項D：4，5，6，均為正整數(shù)，但，不滿足勾股定理．故選：C．二：填空題十大考點【考點1】全等三角形對應元素的計算【例題1】（25-26八年級上·江蘇徐州·階段練習）如圖，，若，，則．【答案】【分析】本題考查了全等三角形的性質的應用，根據(jù)全等三角形性質求出，，根據(jù)三角形內角和定理求出即可．解：∵，，，∴，，∴，故答案為：．【變式1】（24-25七年級下·江蘇泰州·期末）如圖，點在上，，若，，則．【答案】【分析】本題考查全等三角形的性質，關鍵是掌握全等三角形的對應邊相等．由全等三角形的性質推出，即可求出的長．解：，，．故答案為：．【變式2】（23-24八年級上·廣東湛江·期末）如圖，，，，如果點P在線段上以秒的速度由B點向C點運動，同時，點Q從C點出發(fā)沿射線運動，若經過t秒后，與全等，則t的值是．【答案】1或2/2或1【分析】本題主要考查了全等三角形的性質，利用分類討論的思想方法分兩種情況討論解答：①當和②當時，利用全等三角形對應邊相等，列出方程即可求解，利用全等三角形對應邊相等，列出方程是解題的關鍵．解：由題意知，，，，①當時，∴，，；②當時，∴，，，綜上，當?shù)闹凳?或2時，能夠使與全等，故答案為：1或2．【考點2】平方根與立方根的直接計算【例題2】（25-26八年級上·江蘇泰州·階段練習）已知x，y是實數(shù)，則的立方根是．【答案】【分析】本題考查了算術平方根的非負性、完全平方式的非負性、有理數(shù)的乘法、立方根、相反數(shù)，利用非負性正確求出x、y值是解答的關鍵．根據(jù)非負性求出x、y的值，代入求解即可解答．解：∵，∴，∵，∴，即，解得：，∴，∴的立方根是．故答案為：【變式1】（2025·江蘇南京·三模）的值是；8的立方根是．【答案】42【分析】本題考查了算術平方根，立方根，根據(jù)算術平方根、立方根的定義求解即可，掌握算術平方根、立方根的定義是解題的關鍵．解：的值是，8的立方根是，故答案為：．【變式2】（25-26八年級上·廣東廣州·期中）若一個正數(shù)的平方根分別為和，則這個正數(shù)是．【答案】【分析】本題考查平方根的性質，一個正數(shù)有兩個平方根，且這兩個平方根互為相反數(shù)；利用這一性質求出的值，進而求出這個正數(shù)．解：由題可知，，解得：，則這個正數(shù)是.故答案為：．【考點3】實數(shù)的混合運算【例題3】（25-26八年級上·江蘇泰州·階段練習）如圖，數(shù)軸上表示1，的點分別為A，B，且，則點C所表示的數(shù)是．【答案】【分析】本題考查數(shù)軸與實數(shù)；首先根據(jù)數(shù)軸上表示1，的對應點分別為A，B可以求出線段的長度，然后由利用兩點間的距離公式便可解答．解題的關鍵是掌握數(shù)軸上兩點間距離公式．解：∵數(shù)軸上表示1，的對應點分別為A，B，∴，∵，∴點C的坐標為：．故答案為：．【變式1】（25-26七年級上·江蘇·階段練習）如果數(shù)軸上點A表示，則A點與原點距離為．【答案】【分析】此題重點考查學生對數(shù)軸上的點的認識，把握點到原點的距離是解題的關鍵．先估計的大小，再求A到原點的距離．解：因為，，所以A點與原點距離為，故答案為：．【變式2】（24-25八年級下·江蘇南京·期末）比較大小：（填“”“”或“”）．【答案】【分析】此題主要考查了實數(shù)大小比較的方法，根據(jù)平方大的正實數(shù)也大解答即可．解：，，∵，∴，∴，故答案為：．【考點4】勾股定理的基本應用【例題4】（24-25八年級上·浙江杭州·期中）如圖，在中，是邊上的高線，是邊上的中線，于F，，若，則．【答案】6【分析】本題考查直角三角形的性質，線段垂直平分線的性質，勾股定理．連接，先根據(jù)線段垂直平分線的性質得到的長，再判定是斜邊邊上的中線，得到的長，最后根據(jù)勾股定理即可求出．解：如圖，連接，∵，∴．∵是邊上的高線，∴是直角三角形，且．∵是邊上的中線，∴是斜邊邊上的中線，∴，∴．∴．故答案為：6．【變式1】（2025·遼寧撫順·一模）如圖，將繞點A順時針旋轉得到，點B，C的對應點分別為點D，E，連接，點D恰好落在線段上，若，則的長為．【答案】【分析】本題考查旋轉的性質，勾股定理，連接，根據(jù)旋轉的性質推出，再根據(jù)勾股定理求出的長，最后在等腰直角三角形中解直角三角形求出的長即可．解：如圖，連接，∵將繞點A順時針旋轉得到，點B，C的對應點分別為點D，E，連接，點D恰好落在線段上，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：．【變式2】（2025·江蘇泰州·三模）已知，在中，，，，是直線上一點，將點繞點逆時針旋轉得其對應點，當時，則長為．【答案】或【分析】通過連接輔助線，利用旋轉性質和全等三角形的判定，確定點的運動軌跡，再分情況結合等腰直角三角形、勾股定理求解長．解：連接、，取的中點，作直線．∵將點繞點逆時針旋轉得對應點，∴，，為等邊三角形．∵，，，∴．∵是中點，，，∴，．∵，∴．在和中，，∴．∴，∴，點在直線上運動．情況一：點在的延長線上．∵，是中點，∴．∵，∴．在中，，∴．情況二：點在線段上．同理，，∴．故答案為：或．【點撥】本題主要考查了旋轉的性質、全等三角形的判定與性質、直角三角形的性質，熟練掌握旋轉性質和全等三角形判定是解題的關鍵．【考點5】平面直角坐標系點的變換坐標【例題5】（2025·江蘇淮安·中考真題）點沿y軸向上平移4個單位長度后點的坐標是．【答案】【分析】本題考查的是坐標平移，熟知“上加下減”的原則是解答此題的關鍵．根據(jù)“上加下減”的原則求得平移后點的坐標即可．解：點沿y軸向上平移4個單位長度后的點坐標是，即．故答案為：．【變式1】（24-25七年級下·江蘇南通·階段練習）在平面直角坐標系中，，．若，則線段的長度是．【答案】4【分析】本題考查了點的坐標，根據(jù)題意重新確定點A的坐標是解題關鍵．根據(jù)題意得出，確定軸，然后求出線段的長度即可．解：∵，∴，，∴，∵，∴軸，∴，故答案為：4．【變式2】（24-25八年級上·江蘇揚州·期末）已知點與點關于軸對稱，則．【答案】【分析】本題考查了點坐標與軸對稱“在平面直角坐標系中，關于軸對稱的兩個點的橫坐標互為相反數(shù)、縱坐標相等”，熟練掌握點坐標與軸對稱變換規(guī)律是解題關鍵．根據(jù)點坐標與軸對稱變換規(guī)律可得，，求出的值，代入計算即可得．解：∵點與點關于軸對稱，∴，，解得，∴，故答案為：．【考點6】直角三角形斜邊上的中線與含30度的直角三角形【例題6】（25-26八年級上·江蘇南京·階段練習）如圖，在中，，過點作于點，過點作于點，交于點．若，，則長為【答案】5【分析】本題考查了含角的直角三角形的性質，熟練掌握含角的直角三角形的性質是解題的關鍵；利用含角的直角三角形的性質，可得，求得，利用含角的直角三角形的性質，可得，求得，所以．解：，，又，，，，，，，由題知，，又，，，，．故答案為：5．【變式1】（25-26八年級上·江蘇徐州·階段練習）如圖，在中，點為的中點，連接，且，則．【答案】【分析】本題考查了斜邊上的中線等于斜邊的一半，在中，點為的中點，則，然后代入即可求解，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．解：∵在中，點為的中點，∴，∴，故答案為：．【變式2】（25-26八年級上·江蘇南京·階段練習）如圖，中，，，．為上一動點，連接，的垂直平分線分別交，于點，，線段的最大值是．【答案】/【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質、角所對直角邊是斜邊的一半以及垂線段最短的性質，將的最大值轉化為最小是解決本題的關鍵．先求出的長，過點F作于H，連接，若要使最大，則需要最小，然后根據(jù)垂線段最短列式求解即可．解：連接，中，，，，，垂直平分，，過點F作于H，若要使最大，則需要最小，設，則，，，（垂線段最短），，解得．最小值為，的最大值為，故答案為：．【考點7】勾股定理的最短路徑應用（平面）【例題7】（24-25八年級上·江蘇宿遷·階段練習）如圖，在中，點為的中點，為外的一動點并且滿足，連若，則的最大值是．【答案】10【分析】本題考查矩形的性質，勾股定理，中位線，直角三角形斜邊中線，根據(jù)三角形的三邊關系得出三點共線時最大是解題關鍵．先利用勾股定理求出長度，再利用直角三角形斜邊中線定理，進行求解即可．解：如圖所示，當點在同一條直線上時，最大，∵，∴，∵，，點為的中點，∴，∴，故答案為：10．【變式1】（24-25八年級上·江蘇揚州·期末）如圖，在中，，，，點D、E分別是邊上的動點，且，則的最小值．【答案】【分析】此題重點考查全等三角形的判定與性質、勾股定理、兩點之間線段最短等知識，正確地作出輔助線是解題的關鍵．作，使，且點F與點E在直線的異側，連接，由，，，求得，，而，則，推導出，可證明，得，由，得，所以的最小值為，于是得到問題的答案．解：作，使，且點F與點E在直線的異側，連接，∵，，，∴，，∵，即，∴，，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴的最小值為，故答案為：．【變式2】（25-26八年級上·江蘇蘇州·期中）如圖，在中，，，的平分線交于點，、分別是和上的動點，則最小值是．【答案】【分析】本題考查的是軸對稱——最短路線問題，直角三角形的性質，角平分線的性質，解答此類問題時要從已知條件結合圖形認真思考，通過角平分線性質，垂線段最短，確定線段和的最小值．作，垂足為，交于點，過點作，垂足為，則為所求的最小值，再根據(jù)是的平分線可知，再由含度角的直角三角形的性質即可得出結論．解：如圖，作，垂足為，交于點，過點作，垂足為，則為所求的最小值．是的平分線，，是點到直線的最短距離（垂線段最短），，，，的最小值是，故答案為：．【考點8】線段垂直平分線的作圖與計算【例題8】（25-26八年級上·江蘇徐州·階段練習）如圖，在中，，分別以點和點為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于，兩點，作直線交于點，連接，若，，則的周長為【答案】【分析】本題考查了作圖——線段垂直平分線，線段垂直平分線的性質，掌握知識點的應用是解題的關鍵．由作圖可知，垂直平分，可得，然后由的周長為，然后代入求解即可．解：由作圖可知，垂直平分，∴，∴的周長為，故答案為：．【變式1】（24-25七年級下·江蘇宿遷·期末）如圖，已知線段，以點，點為圓心，取大于長為半徑，作兩條相交的弧，交點記為．作直線，連接．則下列說法：①四邊形是軸對稱圖形；②平分；③直線垂直平分線段；④是等邊三角形；其中正確的有．（填序號）【答案】①②③【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的判定定理，全等三角形的性質與判定，等邊三角形的判定，軸對稱圖形的識別，根據(jù)題意可得，據(jù)此可判斷①；可證明，得到四邊形是軸對稱圖形，，據(jù)此可判斷②③；根據(jù)現(xiàn)有條件無法證明是等邊三角形，據(jù)此可判斷④．解：由題意得，，∴直線垂直平分線段，故③正確；又∵，∴，∴四邊形是軸對稱圖形，，故①正確；∴平分，故②正確；根據(jù)現(xiàn)有條件無法證明是等邊三角形，故④錯誤，故答案為：①②③．【變式2】（24-25七年級下·四川達州·期末）如圖，在中，分別以點和點為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于、兩點；作直線分別交、于點、，若，的周長為，則的周長為．【答案】/25厘米【分析】本題考查線段垂直平分線的性質，作圖-基本作圖，先由作圖得出是中垂線，則，，得到的周長，進而可得答案．解：由題意得到：是中垂線，∴，，∴，∵的周長為，即，∴周長．故答案為：．【考點9】角平分線的作圖與計算【例題9】（23-24八年級上·江蘇宿遷·期中）如圖，在中，以點A為圓心，小于長為半徑作圓弧，分別交于點E、F，再分別以E、F為