期中真題百練通關(guān)（45題12大壓軸題型）選填小壓軸解答壓軸題型1三角形面積問題題型7勾股定理的解決應(yīng)用題型2三角形角平分線與折疊問題題型8無刻度尺作圖題型3多解問題題型9全等模型題型4全等三角形動點問題題型10折疊問題題型5多結(jié)論問題題型11等腰（全等）三角形動點求t題型6最值問題題型12新定義問題題型一三角形面積問題1．（20-21七年級下·河北石家莊·期末）如圖，在中，點D、E、F分別在三邊上，E是的中點，，，，交于一點G，，，則的面積是（

）A．30 B．28 C．56 D．60【答案】D【分析】本題考查了三角形面積的求法，根據(jù)得出和面積之間的關(guān)系，根據(jù)E是的中點得出和面積之間的關(guān)系，從而求出的面積，再根據(jù)是的中線即可求出的面積，熟知三角形的中線把三角形分成兩個面積相等的三角形．【詳解】解：∵，∴，∴，∵E是的中點，∴，∴，∵E是的中點，∴，故選：D．2．（22-23九年級下·浙江紹興·自主招生）如圖，在四邊形中，，對角線，交于點，點為線段上的點，且，已知，的面積分別為18和21，則的面積是（）A．36 B．48 C．82 D．84【答案】D【分析】本題主要考查了平行線間的距離，根據(jù)，可得，從而得到，，進而得到，再由，可得，從而得到，進而得到，即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴．故選：D3．（24-25七年級下·吉林長春·期中）如圖，三邊的中線、、的公共點為，若，則圖中陰影部分的面積是．【答案】9【分析】本題考查三角形中線的性質(zhì)，重心的性質(zhì)．要求圖中陰影部分的面積，可以先求出兩部分陰影的面積，即和的面積，再求和；由題意可知點G是的重心，由三角形的中線把三角形的面積分成相等的兩部分可得；利用三角形重心的性質(zhì)可得、，代入已知條件即可求出和的面積．【詳解】解：是的中線，，三邊的中線、、的公共點為，點G是的重心，，，圖中陰影部分的面積，故答案為：9．題型二三角形角平分線與折疊問題4．（25-26八年級上·全國·階段練習(xí)）如圖，射線，分別是的外角，的角平分線，射線與直線交于點D，射線與直線交于點E，若，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角，運用方程思想是解題的關(guān)鍵；設(shè)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角分別求出，，再根據(jù)列方程求解即可．【詳解】解：設(shè)，，，，，，，分別是的外角，的角平分線，，，，，，，，，，故選：．5．（25-26八年級上·廣西南寧·開學(xué)考試）如圖，中，，沿將此三角形對折，又沿再一次對折，點C落在上的處，此時，則原三角形的的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】此題主要考查了圖形的折疊變換及三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用等知識；熟練掌握折疊的性質(zhì)，得出和的倍數(shù)關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．先根據(jù)折疊的性質(zhì)得，，，則，即，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得，在中，利用三角形內(nèi)角和定理得，則，可計算出，即可得出結(jié)果．【詳解】解：如圖，沿將此三角形對折，又沿再一次對折，點落在上的處，，，，，，在中，，，在中，，，即，，．故選：A．6．（25-26八年級上·黑龍江哈爾濱·開學(xué)考試）如圖，在中，，分別平分，交于，為外角的平分線，的延長線交于點，若，則．【答案】/25度【分析】本題考查了角平分線的定義、三角形的外角定理，理解角平分線的定義，熟練掌握三角形的外角定理是解題的關(guān)鍵．首先根據(jù)角平分線的定義及平角的定義證明，然后根據(jù)三角形外角定理得，據(jù)此求解．【詳解】解：∵，分別平分，，∴，，∵，∴，∴；∵平分，∴，∴，∵，∴．故答案為：．題型三多解問題7．（25-26八年級上·江蘇無錫·階段練習(xí)）如圖，，點A是延長線上的一點，，動點P從點A出發(fā)沿以的速度移動，動點Q從點O出發(fā)沿以的速度移動，如果點P、Q同時出發(fā)，用t(s)表示移動的時間，當(dāng)t等于多少時，是等腰三角形？（）A．3 B．3或6 C．6 D．6或12【答案】B【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是進行分類討論，分類時注意不能遺漏，也不能重復(fù)．根據(jù)是等腰三角形，分兩種情況進行討論：①點P在上，②點P在上，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)列出方程求解即可．【詳解】解：①如圖，當(dāng)點P在上，時，是等腰三角形，∵，，∴當(dāng)時，，解得；②如圖，當(dāng)P在上時，由，是等腰三角形，得是等邊三角形，則，∵，，∴當(dāng)時，，解得；綜上可得：當(dāng)或6秒時，是等腰三角形，故選B．8．（25-26八年級上·全國·期中）在等腰三角形中，，是邊上任意一點(點不與、兩點重合)，過點作的垂線，與直線交于點，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】本題考查了垂線的定義，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，以及三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)垂線的定義得到，從而求得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)計算即可，注意分兩種情況進行討論．掌握這些相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：依題意，①如圖1，∵，∴．又∵，∴．∵是等腰三角形，∴；②如圖2，∵，∴．又∵，∴，∵是等腰三角形，∴；綜上所述：或故選：C．9．（24-25八年級上·廣東汕頭·期中）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，則頂角的度數(shù)為．【答案】或【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，分頂角為鈍角和頂角為銳角兩種情況，分別求解即可得出答案，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，采用分類討論的思想是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，當(dāng)頂角為鈍角時，則頂角為；如圖，當(dāng)頂角為銳角時，則頂角為；綜上所述，底角的度數(shù)為或．故答案為：或．題型四全等三角形動點問題10．（24-25八年級上·河北石家莊·期中）題目：“如圖，與相交于點，且，點從點出發(fā)，沿方向以的速度運動，點從點出發(fā)，沿方向以的速度運動，、兩點同時出發(fā)，當(dāng)點到達點時，、兩點同時停止運動，設(shè)點的運動時間為．連接，當(dāng)線段經(jīng)過點時，求的值．”對于其答案，甲答：，乙答：，則正確的是（

）A．只有甲答的對 B．只有乙答的對C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙答案合在一起也不完整【答案】C【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，分類討論是銀題的關(guān)鍵．利用全等三角形的性質(zhì)得到，，，再證明得到，討論：當(dāng)點由點運動到點時，；當(dāng)點由點運動到點時，，然后分別解方程即可．【詳解】解：，，，，在和中，，，，當(dāng)點由點運動到點時，，解得；當(dāng)點由點運動到點時，，解得；綜上所述，的值為或．∴甲、乙答案合在一起才完整．故選：C．11．（22-23八年級上·河南商丘·開學(xué)考試）如圖，，，點M在線段上以的速度由點C向點B運動，同時，點N在射線上以的速度運動，它們運動的時間為（當(dāng)點M運動結(jié)束時，點N運動隨之結(jié)束）．在射線上取點A，在M、N運動到某處時，有與全等，則此時的長度為（）

A．1cm B．2cm或 C．2cm D．1cm或【答案】D【分析】本題主要考查了有關(guān)動點問題的全等三角形應(yīng)用，掌握和兩種全等情況是解本題的關(guān)鍵．根據(jù)題意分兩種全等情況：①，②，然后利用全等的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：①若，則，，可得：，，解得：，；②若，則，，可得：，，解得：，的長度為1cm或．故選：D．12．（24-25七年級下·廣東深圳·期中）如圖，與相交于點C，，，，點P從點A出發(fā)，沿方向以的速度運動，點Q同時從點D出發(fā)，沿方向以的速度運動，當(dāng)點P到達點A時，P、Q兩點同時停止運動，設(shè)點P的運動時間為．當(dāng)P，Q，C三點共線時，t的值為．【答案】8或【分析】本題主要考查代數(shù)式和全等三角形的判定和性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是分類討論思想．根據(jù)題意即可利用證明，得，，由三點共線得，即可證明，有，利用分類討論當(dāng)時，當(dāng)時，列方程求解即可．【詳解】解：∵∴，，在和中，，，；如圖，∵P，Q，C三點共線，，在和中，，，，∵點P從點A出發(fā)，沿方向以的速度運動，點Q同時從點D出發(fā)，沿方向以的速度運動，∴當(dāng)時，，則，，，當(dāng)時，，，，解得：，∴綜上所述，當(dāng)P、C、Q三點共線時，t的值為8或．題型五多結(jié)論問題13．（24-25七年級下·重慶·期中）如圖，在中，，角平分線、交于點I，交于點F，于點H，下列結(jié)論：①；②；③；其中正確結(jié)論的個數(shù)為（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】D【分析】本題主要考查了角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定等待，由三角形內(nèi)角和定理可得，由角平分線的定義可得，由垂直的定義和三角形內(nèi)角和定理可得，則由三角形外角的性質(zhì)可得，據(jù)此可判斷①；求出，則可得到，再由垂線的定義即可判斷②；延長交于，利用“角邊角”證明和全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得，再求出，然后利用“角邊角”證明和全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得，再根據(jù)等量代換即可得到，即可判斷③．【詳解】解：∵，∴，∵角平分線、交于點I，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，故①正確；∵，∴，∵，∴，∴，故②正確；延長交于，在和中，，，，，，，在和中，，，，，，故③正確；故選：D．14．（20-21八年級上·江蘇·期中）如圖，在等邊三角形中，，D為內(nèi)一點，且，E為外一點，且，連接，，有下列結(jié)論：①；②；③；④若，則．其中正確結(jié)論的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、平行線的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用．熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)與全等三角形的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得到等邊三角形的邊角關(guān)系，然后利用“邊邊邊”證明，從而可證明結(jié)論①正確；利用“邊角邊”證明，從而可證明結(jié)論③正確；利用平行線的性質(zhì)得出，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出，求得，則可證明是的中垂線，再根據(jù)含的直角三角形性質(zhì)求出中邊上的高，即可求得，即結(jié)論④正確；證明，則有，根據(jù)對頂角相等有，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得，若，則，而不一定等于，故結(jié)論②錯誤；【詳解】解：如圖，連接，是等邊三角形，，，，，，，；結(jié)論①正確；，，，，，．結(jié)論③正確；，，，，設(shè)，，，，，解得：，，，是的中垂線，，邊上的高為，，結(jié)論④正確；，，，，又，若，則，而不一定等于，故結(jié)論②錯誤；故①③④正確，共3個結(jié)論正確，故選C．15．（24-25七年級下·四川成都·期中）如圖，在中，，，，延長至點，使得，連接并延長，交的延長線于點，現(xiàn)給出以下結(jié)論：①；②；③；④若，則．其中正確的是（寫出所有正確結(jié)論的序號）．【答案】①③④【分析】根據(jù)，即可證明，得出①正確；結(jié)合，得出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，設(shè)，則，結(jié)合，得出，根據(jù)和三角形內(nèi)角和得出，根據(jù)同角的余角相等得出，結(jié)合，即可得出，得出③正確；根據(jù)，得出，即可證明，根據(jù)，得出，，不能證明與全等，故②錯誤；當(dāng)時，結(jié)合，得出，即可得，，證出，結(jié)合和，即可得，故④正確；【詳解】解：∵在中，，∴，故①正確；，，，，設(shè)，則，∵，，，，，∵，，，，，，故③正確；，，，，，，，，與不能證明全等，故②錯誤；當(dāng)時，，∴，∴，，，，，，，∴，故④正確；綜上分析可知，正確的有①③④．故答案為：①③④．【點睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，三角形面積的計算，全等三角形的判定，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì)．題型六最值問題16．（25-26八年級上·全國·期中）如圖，在中，，，，是邊上的高，若，分別是和上的動點，則的最小值是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、垂線段最短、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的面積，由等腰三角形的三線合一可得出垂直平分，過點B作于點Q，交于點P，則此時取最小值，最小值為的長，在中，利用面積法可求出的長度，此題得解．利用點到直線垂線段最短找出的最小值為是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，是邊上的高，∴垂直平分，∴，過點B作于點Q，交于點P，則此時取最小值，最小值為的長，如圖所示．∵，∴．故選：D．17．（2024八年級上·全國·專題練習(xí)）如圖，等腰三角形中，，平分，交于點，為上一點，為上一點，且，連接，．當(dāng)?shù)淖钚≈禐?時，的長（）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等得出結(jié)論．作，使得，連接，證明，即可得到，進而得出當(dāng)，，三點共線時，的最小值等于的長，再根據(jù)△是等邊三角形，即可得到的長．【詳解】解：∵，，∴，∵平分，∴，如圖所示，作，使得，連接，，在△和△中，，，，，當(dāng)，，三點共線時，的最小值等于的長，又的最小值為8，的長為8，，，是等邊三角形，，，故選：C．18．（24-25八年級下·陜西西安·期中）如圖，在中，，，，是直角邊上的一個動點，連接，以為邊向外作等邊，連接．在點運動的過程中，線段的長的最小值為．【答案】【分析】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，線段最短問題，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識，并正確作出輔助線．延長到點，使得，連接，，由，，，可得：，，證明是等邊三角形，得到，結(jié)合是等邊三角形，可證明，得到，推出，得到點在經(jīng)過點且與垂直的射線上運動，作交射線于點，則，得到，由可得，即可求解．【詳解】解：延長到點，使得，連接，，，，，，，，，是等邊三角形，，是等邊三角形，，，，在和中，，，，，點在經(jīng)過點且與垂直的射線上運動，作交射線于點，則，，，，的最小值為，故答案為：．題型七勾股定理的解決應(yīng)用19．（19-20八年級上·江蘇無錫·期中）如圖，雜技團演員在圓柱形場地表演蕩秋千節(jié)目，小丑甲在A處坐上秋千，小丑乙在離秋千的B處保護（即）．(1)當(dāng)甲蕩至乙處時，乙發(fā)現(xiàn)甲升高了，即米．請你嘗試求出秋千繩索的長度；(2)在（1）小題繩索長度不變的情況下，已知圓柱場地的底面直徑為20米，為了保證表演的安全性，小丑甲相比點A最多升高多少米（豎直距離）？【答案】(1)秋千繩索的長度為(2)小丑甲相比點A最多升高【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理構(gòu)建方程或算式．（1）設(shè)．在中，根據(jù)，構(gòu)建方程即可解決問題；（2）由題意，最大寬度為，根據(jù)勾股定理，求出，即可解決問題．【詳解】（1）解：如圖，連接交于點D．設(shè)秋千繩索長為，則．由對稱性知，垂直平分，∵，∴，在中，∵，∴，∴，答：秋千繩索的長度為．（2）解：由題意可知：最大寬度為，此時，在中，，∴（m），∴（m）．答：比點A最多升高．20．（24-25八年級下·廣西南寧·期中）實踐與探究八年級的同學(xué)學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后，“綜合與實踐”小組進行測量旗桿的高度的實踐活動，他們設(shè)計了如下方案：課題：測量風(fēng)箏的高度．

工具：皮尺，計算器等．

測量示意圖：如圖1．說明：如圖1，表示地面水平線，表示放風(fēng)箏的同學(xué)牽風(fēng)箏牽引線的手到地面的距離，且垂直于地面于點A，線段表示風(fēng)箏牽引線（近似為線段），表示風(fēng)箏到地面的垂直高度，于點E，于點D．測量數(shù)值：點B到的距離米；風(fēng)箏牽引線的長度：米；的長度：米；(1)求風(fēng)箏的垂直高度；(2)如圖2，如果風(fēng)箏沿方向上升28米至點F（），求風(fēng)箏牽引線的長．【答案】(1)風(fēng)箏的垂直高度為13.6米(2)風(fēng)箏的牽引線的長是41米【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用．（1）由勾股定理得米，再根據(jù)即可求解；（2）由勾股定理得米．【詳解】（1）解：∵，∴，在中，由勾股定理得：，，答：風(fēng)箏的垂直高度為13.6米；（2）解：在中，由勾股定理得：

，答：風(fēng)箏的牽引線的長是41米．21．（24-25八年級下·福建廈門·期中）閱讀下列材料，回答問題：任務(wù)：測量墻體是否與地面垂直，即是否垂直于于點．工具：足夠多、足夠長的無彈性繩子、剪刀．某興趣小組設(shè)計了如下兩個方案：方案一如圖1，在射線上取一點，取兩條等長的繩子（繩長大于），將兩條繩子的一段固定在點處，分別往兩側(cè)拉直，至另一端分別交射線，于，兩點，用疊合法比較與的長度，若，則于點，否則不垂直．方案二如圖2，在射線，上分別取點，，放置繩子，對折得到繩子的中點，放置繩子，用疊合法比較與的長度，若，則墻體與地面垂直，即于點，否則不垂直．(1)方案一的設(shè)計依據(jù)是______________________________________．(2)判斷方案二是否可行．如果可行，請給出證明；若不可行，請說明理由．(3)請寫出一個原理不同于上述兩個方案的測量方案，并畫出測量示意圖．【答案】(1)三線合一(2)可行，證明見解析(3)見解析【分析】本題主要考查了勾股定理的逆定理、三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是利用勾股定理的逆定理、三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)證明．（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得答案；（2）根據(jù)，可得：，，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可證，從而可證；（3）結(jié)合勾股定理的逆定理進行設(shè)計即可.【詳解】（1）解：方案一的設(shè)計依據(jù)是等腰三角形的三線合一；（2）解：方案二可行，理由如下：證明：如下圖所示，∵為的中點，∴，∵，則，，，又，，，．（3）解：模仿古埃及人用結(jié)繩的方法，在一條繩子上打個結(jié)，得到條線段，且用疊合法使得這條線段都相等，設(shè)每一條線段長為．如下圖放置這總長是的繩子，使在上的繩子，在上的繩子，若，則，即于點，否則不垂直．證明如下：∵，，∴，，，.題型八無刻度尺作圖22．（24-25八年級上·湖北武漢·期中）如圖是由小正方形組成的網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點．的三個頂點都是格點，僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖．(1)如圖1，先在上畫點，使平分的面積；再在射線上畫點．使；(2)如圖2．點是與網(wǎng)格線的交點，先畫的高；再在上畫點．使．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】此題考查了格點作圖，三角形中線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，（1）首先根據(jù)三角形中線平分三角形面積得到的中點即為所求的點D，然后利用網(wǎng)格的特點構(gòu)造等腰直角三角形，即可得到；（2）延長到格點E，取格點G，連接，與的交點即為點F；取格點H，連接與網(wǎng)格線的交點為M，連接與的交點即為所求點Q．【詳解】（1）解：如圖所示，點D，E即為所求；（2）解：如圖所示，，點Q即所求．由網(wǎng)格可得，∴即為的高；由網(wǎng)格可得，，，∴∴又∵∴∴點Q即為所求．23．（24-25八年級上·湖北武漢·期中）如圖是由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格，已知點A，B，C均為格點，僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中按下列步驟完成畫圖，并回答問題（格線的交點稱為格點，保留畫圖過程的痕跡）．(1)圖中的面積為______；(2)在圖1中畫出的高；(3)在圖2中的邊上畫一點E，使；(4)已知，在圖2中畫出的角平分線．【答案】(1)8(2)見解析(3)見解析(4)見解析【分析】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計作圖，三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，（1）由三角形面積公式可得答案；（2）取格點G，連接并延長交于D，線段即為所求；（3）取格點G，連接交于E，點E即為所求；（4）取格點M、N，連接、、，與交于點F，則即為所求．解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形判定與性質(zhì)定理和網(wǎng)格的特征．【詳解】（1）解：由圖可知，；（2）解：取格點G，連接并延長交于D，線段即為所求，如圖：∵在和中，，∴，∴，∴，∴，∴；（3）解：取格點G，連接交于E，點E即為所求，如圖所示：∵，，，∴，∴，，∴，∴，∴；（4）解：取格點M、N，連接、、，與交于點F，則即為所求，如圖所示：∵，，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴平分．24．（24-25八年級上·江西宜春·期中）已知四邊形是等腰梯形，其中，請僅用無刻度的直尺完成下列作圖．（不寫作法，保留作圖痕跡）(1)如圖1，作出四邊形的對稱軸；(2)如圖2，M為上任意一點，在上找出點，使．【答案】(1)見詳解(2)見詳解【分析】本題主要考查等腰梯形、等腰三角形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)，（1）根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)和三角形的判定及性質(zhì)可得直線即為等腰梯形的對稱軸；（2）根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)得和，結(jié)合軸對稱的性質(zhì)得，即可知，則有成立．【詳解】（1）解：如圖，即為所求作；（2）解：如圖，點即為所求作．題型九全等模型25．（25-26八年級上·湖南長沙·開學(xué)考試）如圖，已知，，相交于點，，．(1)求證：．(2)求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．（1）利用說明，進而可得結(jié)論；（2）利用全等三角形的性質(zhì)說明，再利用對頂角相等得，因此得到，進而可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：，，在和中，，，．（2）如圖，令交于點O，，，，，．26．（24-25七年級下·廣東清遠·期末）【問題提出】（1）如圖1，直線l經(jīng)過點A，，，分別過點B，C向直線l作垂線，垂足分別為D，E．求證：；【變式探究】（2）如圖2，點A、D、E分別在直線l上，如果，，求證：；【拓展應(yīng)用】（3）如圖3所示，在和中，，，，連接，，作邊上的高，延長交DE于點．若，，求的面積．【答案】（1）見解析；（2）證明見解析；（3）【分析】本題是三角形綜合題，考查了三角形內(nèi)角和定理、直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意得出，利用全等三角形的判定即可證明三角形全等；（2）根據(jù)等量代換及三角形內(nèi)角和定理得出，由全等三角形的判定和性質(zhì)即可證明；（3）過E作于M，的延長線于N．利用全等三角形的判定和性質(zhì)得出，，由此可得，再根據(jù)即可求解．【詳解】解：（1）證明：在中，．又在和中，，∴（2），證明：在和中，∴，∴，；（3）如圖，過點作于點，作，交的延長線于點，．與（1）同理可得，，，，，∵∴27．（25-26八年級上·吉林長春·開學(xué)考試）【背景問題】老師提出了如下問題：如圖①，在中，是邊上的中線，，若邊的長度為奇數(shù)，求的長．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長至點，使，連接．由已知和作圖能得到，所以．（1）請根據(jù)小明的方法思考，直接寫出可能的長__________（寫一個即可）；【感悟方法】題目中出現(xiàn)“中點”、“中線”等條件，可考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個三角形之中．（2）如圖②，是的中線，交于，交于．探究與的關(guān)系，并說明理由．【深入探究】（3）如圖③，在和中，，且，連接為中點，連接并延長交于，則__________．【答案】（1）3或5；（2），理由見解析；（3）6【分析】（1）由“”可證，可得，由三角形的三邊關(guān)系可求解；（2）由“”可證，可得，，由等腰三角形的性質(zhì)得出，證出；（3）由“SAS”可證，可得，，由“”可證，可得，，由三角形的面積公式可求解．【詳解】解：（1）延長至點E，使，連接，則，是邊上的中線，，在和中，，，，∵，∴即；邊的長度為奇數(shù)，或5；（2），理由如下：延長到M，使，連接，如圖2所示：是的中線，，在和中，，，，，，，∴，∵，；（3）延長到R，使得，連接、點Q是的中點，，又，，∴，，，∴，∴，，，，，，，∴，，，，，，即，∴．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系等知識，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．題型十折疊問題28．（23-24八年級下·北京東城·期中）閱讀材料，回答問題：(1)中國古代數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》有著這樣的記載：“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”．這句話的意思是：“如果直角三角形兩直角邊為3和4時，那么斜邊的長為5．”上述記載表明了：在中，如果，，，，那么a，b，c三者之間的數(shù)量關(guān)系是：，利用此數(shù)量關(guān)系解決以下問題；(2)我國古代的數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一道題目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索卻行，去本八尺而索盡．問索長幾何？”譯文為“今有一豎立著的木柱，在木柱的上端系有繩索，繩索從木柱上端順木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牽索沿地面退行，在離木柱根部8尺處時，繩索用盡．問繩索長是多少？”示意圖如圖1所示，設(shè)繩索的長為x尺，根據(jù)題意，可列方程為；(3)如圖2，把矩形折疊，使點C與點A重合，折痕為，如果，，求的長．【答案】(1)(2)(3)的長為3【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用與折疊問題，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握折疊的性質(zhì)．（1）根據(jù)勾股定理解答即可；（2）設(shè)繩索的長為x尺，則的長為尺，根據(jù)勾股定理得，據(jù)此列出方程即可；（3）設(shè)，則，由折疊的性質(zhì)可知，，結(jié)合勾股定理列出方程，解方程即可．【詳解】（1）解：在中，，，，，由勾股定理得：，故答案為：；（2）解：設(shè)繩索的長為x尺，則的長為尺，在中，由勾股定理得，∴，故答案為：；（3）解：把矩形折疊，使點C與點A重合，折痕為，如果，，設(shè)，則，∴，由矩形的性質(zhì)可得，在中，由勾股定理得，∴，解得，則的長為3．29．（24-25八年級下·廣西南寧·開學(xué)考試）折紙藝術(shù)起源于中國，它不僅具有藝術(shù)審美價值，還蘊含著豐富的數(shù)學(xué)知識．我校數(shù)學(xué)興趣小組以“直角三角形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)探究活動．在中，，，點D在邊上，連接．將沿CD翻折后得到．(1)如圖1，當(dāng)時，，求AE的長；(2)如圖2，點F是邊與邊的交點．①當(dāng)時，興趣小組的小邕同學(xué)認為是等邊三角形，小邕的說法對嗎？請判斷并證明你的結(jié)論；②在折疊過程中，當(dāng)是等腰三角形時，請直接寫出的度數(shù)．【答案】(1)(2)①對，理由見解析；②或【分析】先求出，，，當(dāng)時，，在中可求出，由翻折的性質(zhì)得，，則點A，D，E在同一條直線上，由此可得的長；設(shè)，，由翻折的性質(zhì)得，，則，，進而得，當(dāng)時，則，進而得，則，由此可對小邕的說法進行判斷；②設(shè)，由①得，，，進而得，，則為，再求出，則，因此當(dāng)是等腰三角形時，有以下兩種情況：ⅰ時，則，即，由此解出，進而可得的度數(shù)；ⅱ當(dāng)時，則，即，由此解得，進而可得的度數(shù)，綜上所述即可得出答案．【詳解】（1）解：在中，，，，，，由勾股定理得：，當(dāng)時，，是直角三角形，在中，，，，由勾股定理得：，由翻折的性質(zhì)得：，，，點A，D，E在同一條直線上，；（2）①小邕的說法對，證明如下：設(shè)，，由翻折的性質(zhì)得：，，，在中，，，在中，由翻折得，當(dāng)時，則，在中，，，又，，是等邊三角形；②設(shè)，由①可知：，，，在中，，是的外角，，，，是的外角，，，，當(dāng)是等腰三角形時，有以下兩種情況：ⅰ當(dāng)時，則，，解得：，；ⅱ當(dāng)時，則，，解得：，，綜上所述：當(dāng)是等腰三角形時，的度數(shù)是或【點睛】此題主要考查了圖形的翻折變換及其性質(zhì)，等邊三角形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理和三角形的外角性質(zhì)，含有角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，理解圖形的翻折變換及其性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理和三角形的外角性質(zhì)，靈活運用含有角的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理進行計算是解決問題的關(guān)鍵，分類討論是易錯點．30．（24-25八年級上·陜西西安·階段練習(xí)）問題提出（1）如圖1，在中，，，則的面積為______．問題探究（2）如圖2，在中，，，，D是邊上一點，且滿足，求的面積．問題解決（3）如圖3，一件美術(shù)工藝品的制作過程如下：在中，，，，E是邊的中點，N是邊上一點，將沿折疊至，點C的對應(yīng)點為，連接，．要使工藝品符合制作要求，的面積要最大，求的面積的最大值．【答案】（1）12；（2）；（3）的面積最大值為．【分析】（1）作于點，利用等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求得的長，再利用三角形面積公式求解即可；（2）過點分別作和的垂線，垂足分別為，推出四邊形是矩形，證明，得到，再利用三角形面積公式求解即可；（3）根據(jù)對稱的性質(zhì)，和面積相等，再根據(jù)是中點，所以和面積也相等，所以和面積相等，所以求出到的最大距離即可求出最大面積．【詳解】解：（1）作于點，∵，，∴，在中，，∴，故答案為：12；（2）過點分別作和的垂線，垂足分別為，∵，∴四邊形是矩形，∴，，∵，，∴，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（3）由翻折的性質(zhì)可知，和全等，和的面積相等，∵E是邊BC的中點，∴和的面積相等，∴和的面積相等，∴和的面積相等，∵，，，∴，∵E是邊BC的中點，∴，∴當(dāng)?shù)降木嚯x最大時，的面積最大，∴當(dāng)時，到的距離最大，由翻折的性質(zhì)可知，，此時，的面積最大值為：．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，二次根式的乘法，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握等積變換是本題解題的關(guān)鍵．題型十一等腰（全等）三角形動點求t31．（20-21八年級上·陜西咸陽·階段練習(xí)）如圖，中，，，，若點P從點A出發(fā)，以每秒的速度沿折線－－－運動，設(shè)運動時間為．(1)在上是否存在點P，使得？若存在，求出的值；若不存在，說明理由；(2)若點P恰好在的角平分線上，于點M，求的值；(3)當(dāng)為何值時，為等腰三角形且？求出此時的長．【答案】(1)存在，s(2)(3)①，；②，【分析】本題考查了勾股定理、全等三角形的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)勾股定理即可計算；（2）證明≌，在中運用勾股定理即可；（3）分兩種情況討論，當(dāng)在上時和當(dāng)在上時，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)進行解題．【詳解】（1）解：由題意知，，設(shè)存在點P，使得，此時，，在中，，即，解得：，故當(dāng)時，；（2）解：∵平分，∴，在與中，∴≌，∴，，又∵，，∴，∵，即，解得：；（3）解：①當(dāng)P在上時，，即，解得：，此時；②當(dāng)P在上時，過C作于F，如圖：若，則有，，∴，解得：，，此時，；綜上所述，或時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，．32．（23-24八年級下·吉林延邊·階段練習(xí)）如圖，在中，，，，平分交于點，．動點從點出發(fā)，沿折線以每秒1個單位長度的速度向終點運動，當(dāng)點不與點重合時，連接、、三點．設(shè)點的運動時間為秒．(1)線段的長為___________，線段的長為___________；(2)當(dāng)時，求的值；(3)當(dāng)是以為腰的等腰三角形時，直接寫出的值．【答案】(1)13，(2)5秒(3)秒或秒【分析】本題是三角形綜合題，主要考查勾股定理，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是要分情況討論．（1）利用勾股定理計算即可；（2）由得到，即可計算；（3）分兩種情況討論，可以求出t的值．【詳解】（1）解：∵，．∴．．故答案為：13，；（2）解：∵平分，，，∴，∵，∴，∴，∴（秒）；（3）解：①當(dāng)P在上時，作于M，∵，∴，由（2）知，∴，∴，∴（秒）．②當(dāng)P在上時，由（1）知，∵，，∴，∴點P運動的距離為：，∴（秒），∴秒或秒．33．（23-24八年級上·江蘇蘇州·期中）如圖1，中，，BD平分，于點B．動點P從點D出發(fā)沿線段DB以每秒2個單位的速度向點B運動，同時動點Q從點B出發(fā)沿射線BE以每秒4個單位的速度運動，運動時間為t秒，當(dāng)點P到達點B時，P、Q同時停止運動．(1)求證：；(2)若是直角三角形，求t的值．(3)若，則t的值為______（直接寫出答案，不要求書寫求解過程）．【答案】(1)見解析(2)或．(3)【分析】（1）利用角平分線的定義得到，則，再利用含30度的直角三角形性質(zhì)即可證明．（2）易求得，，，由題意得，，則，再分兩種情況討論：①點為直角頂點；②點為直角頂點．分別根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)列出方程，求解即可．（3）過點作于點，易得為含30度角的直角三角形，為等腰直角三角形，于是可得，，，再由列出方程，求解即可．【詳解】（1）證明：，，，平分，，，，在中，，，．（2）解：在中，，，，，，，，由題意得：，，則，①當(dāng)是直角三角形，且點為直角頂點時，如圖，，，即，解得：；②當(dāng)是直角三角形，且點為直角頂點時，如圖，，，即，解得：．綜上，若是直角三角形，或．（3）解：如圖，過點作于點，當(dāng)，即時，，，在中，，，，，，為等腰直角三角形，，又，，解得：．故答案為：．【點睛】本題主要考查角平分線的定義、等腰三角形的判定與性質(zhì)、含30度角的直角三角形性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、解一元一次方程，解（2）關(guān)鍵是根據(jù)直角的頂點不同畫出圖形進行分類討論求解；解（3）關(guān)鍵是根據(jù)求出，進而求出，掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型十二新定義問題34．（18-19七年級下·河南南陽·期末）我們定義：在一個三角形中，若一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的倍，則這樣的三角形稱之為“和諧三角形”．如：三個內(nèi)角分別為，，的三角形是“和諧三角形”．【概念理解】如圖，，點在邊上，過點作交于點，以為端點作射線，交線段于點（點不與重合）（）的度數(shù)為________，________（填“是”或“不是”）“和諧三角形”；（）若，試說明：是“和諧三角形”．【應(yīng)用拓展】如圖，點在的邊上，連接，作的平分線交于點，在上取點，使，．若是“和諧三角形”，請直接寫出的度數(shù)．【答案】（），不是；（）說明見解析；（）或【分析】（）根據(jù)，得到，求得，得到，進而根據(jù)“和諧三角形”的定義即可判斷；（）由是的一個外角，得到，求出，，即得，進而根據(jù)“和諧三角形”的定義即可求證；（）由，，得到，可以證明，得到，進而由得到，即得，得到，再根據(jù)得到，最后根據(jù)是“和諧三角形”解答即可求解．【詳解】解：（）∵，∴，∵，∴，∴，∴不是“和諧三角形”，故答案為：，不是；（）∵是的一個外角，∴，∵，∴，，∴，∴是“和諧三角形”；（）∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵平分，∴，∴，∵是“和諧三角形”，∴或∵∴或．【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，理解和諧三角形的概念，用分類討論的思想解決問題是解題的關(guān)鍵．35．（23-24八年級上·江蘇徐州·期中）我們定義：從三角形一個頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形，若分得的兩個小三角形中一個三角形為等腰三角形，另一個三角形的三個內(nèi)角與原來三角形的三個內(nèi)角分別相等，則稱這條線段叫做這個三角形的“等角分割線”．例如，等腰直角三角形斜邊上的高就是這個等腰直角三角形的一條“等角分割線”．(1)如圖1，在中，是邊上一點，若，，則________的“等角分割線”．（填“是”或“不是”）；(2)如圖2，中，；利用直尺和圓規(guī)，作出的“等角分割線”（保留作圖痕跡，不寫做法）若，則中畫出的“等角分割線”的長度為____________；(3)在中，，若存在“等角分割線”，且是等腰三角形，試求出所有符合要求的的度數(shù)．【答案】(1)是(2)①見解析；②(3)或【分析】（1）證明出的三個內(nèi)角與的三個內(nèi)角的度數(shù)分別相等，是等腰三角形，即可得出答案；（2）①畫的角平分線，交于點，線段即為所求，再證明出的三個內(nèi)角與的三個內(nèi)角的度數(shù)分別相等，是等腰三角形，即可得出答案；②設(shè)，則，列出方程，解方程即可得出答案；（3）分和；利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理分別求解即可得出答案．【詳解】（1）解：，，，，的三個內(nèi)角與的三個內(nèi)角的度數(shù)分別相等，，，，，，，是等腰三角形，是的“等角分割線”，故答案為：是；（2）解：①畫的角平分線，交于點，線段即為所求，如圖所示：，理由如下：，，，平分，，，，的三個內(nèi)角與的三個內(nèi)角的度數(shù)分別相等，，，是等腰三角形，是的“等角分割線”；②設(shè)，中，，，，，，，解得：，，故答案為：；（3）解：當(dāng)時，，，；當(dāng)時，，，，；當(dāng)?shù)那闆r不存在；綜上所述，的度數(shù)為或．【點睛】本題是三角形綜合題目，考查了新定義“等角分割線”的定義，等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，理解新定義“等角分割線”，采用分類討論的思想是解此題的關(guān)鍵．36．【概念認識】定義：如果一個點能與另外兩個點構(gòu)成直角三角形，那么稱這個點為另外兩個點的勾股點．當(dāng)這個點是直角的頂點時，這個點又稱為強勾股點．如圖①，在中，，是，兩點的勾股點，是，兩點的勾股點，是，兩點的勾股點，也是強勾股點．(1)【概念運用】如圖②，方格紙中的每個小正方形的邊長均為1，A、B兩點均在格點上，線段CD上的8個格點中，是A、B兩點的勾股點的有個．(2)如圖③，在中，，垂足為，若，，．求證：是，兩點的強勾股點．(3)【拓展提升】如圖④，在中，，，，是的中點，是射線上一個動點，當(dāng)點P運動到成為B、C及A、B的強勾股點時，直接寫出的長．【答案】(1)4(2)證明見解析(3)，．【分析】本題是三角形綜合題，考查了勾股定理及其逆定理的應(yīng)用，新定義“強勾股點”等知識；解題關(guān)鍵是對新定義概念的性質(zhì)運用，并注意運用分類討論的思想．（1）根據(jù)新定義“勾股點”和網(wǎng)格的特點作出直角，即可得出答案；（2）由勾股定理逆定理得出是直角三角形，則可得出結(jié)論；（3）由新定義“強勾股點”畫出圖形，根據(jù)勾股定理可得出答案．【詳解】（1）解：如圖，，，，四點都分別能與，構(gòu)成直角三角形，圖中，兩點的勾股點的有4個，故答案為：4；（2）證明：．，在中，由勾股定理得：，．在中，由勾股定理得：，．在中，，又，，由勾股定理逆定理得：是直角三角形，點是，兩點的強勾股點；（3）解：∵是的中點，∴，∴，若點是，兩個頂點的強勾股點時，如圖，，，；若點是，兩個頂點的強勾股點時，如圖，，，，設(shè)，，，，；綜上所述，的長為，．1．勾股定理被譽為“幾何明珠”．在我國古算書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載．如圖所示，把一個邊長分別為3，4，5的三角形和三個正方形放置在大長方形中，則該長方形中空白部分的面積為（）A．54 B．60 C．100 D．110【答案】B【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，一線三垂直證明全等是突破本題的關(guān)鍵．利用一線三直角證明三角形全等，可得長方形的長11與寬10，計算出長方形的面積后減去三個正方形的面積即可．【詳解】解：如圖延長交于M，其他字母標注如圖示：根據(jù)題意，，，，在和中，∵，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，同理可證，∴，∴．空白部分的面積＝長方形面積三個正方形的面積和．故選：B．2．如圖，甲、乙、丙三人分別沿不同的路線從地到地．甲：，路程為．乙：，路程為．丙：，路程為．下列關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、三角形三邊之間關(guān)系，解題的關(guān)鍵是通過設(shè)的長度為a，結(jié)合圖形性質(zhì)分別計算三人的路程并比較．設(shè)，利用等邊三角形性質(zhì)得出甲、乙的路程均為，分析四邊形，得出丙的路程小于，比較得出．【詳解】設(shè)的長度為a，因為有兩個角是，故是等邊三角形，∴；由于和是等邊三角形，設(shè)的邊長為m，可得，∴；丙路程中，延長與，交于點I（如圖），∵，兩邊同加得，∴，又∴，又，因此，，只有D選項正確．故選：D．3．小明同學(xué)看到了一個設(shè)計圖（如圖1)，他聯(lián)系近期所學(xué)知識，將圖形的一部分畫成如圖所示，點是等邊內(nèi)角平分線的交點，，，若，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，含角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．延長交于點，延長交于點，連接，求出，，和為等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質(zhì)和解直角三角形即可求解．【詳解】解：如圖，延長交于點，延長交于點，連接，∵點是等邊內(nèi)角平分線的交點，∴，，，∴，，∴，∴，∵，∴為等腰直角三角形，∴，，，∵，∴為等腰直角三角形，，由勾股定理得，，解得，，，故選