義務(wù)教育教科書魯教版（五四制）數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊(cè)第六章第三節(jié)回顧《九章算術(shù)》第七章“盈不足”第一題：今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四。問人數(shù)、物價(jià)各幾何？盈不足問題解應(yīng)用題一般步驟：

審、設(shè)、列、解、驗(yàn)、答借助：表格回顧學(xué)習(xí)目標(biāo)一、知識(shí)技能：1.掌握用一元一次方程解決“盈不足”問題的方法，能通過表格分析理清數(shù)量關(guān)系。2.了解《九章算術(shù)》中的

“盈不足術(shù)”，理解其基本原理，并能與方程法進(jìn)行對(duì)比分析。二、關(guān)鍵能力1.能夠從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型，合理設(shè)未知數(shù)并建立方程。2.具備邏輯推理能力，能通過兩種不同情境的對(duì)比，找到變量間的等量關(guān)系。3.能運(yùn)用對(duì)比分析的方法，評(píng)價(jià)“盈不足術(shù)”與方程法的優(yōu)缺點(diǎn)。任務(wù)一評(píng)價(jià)量規(guī)得分活動(dòng)1：分析解決問題1.會(huì)借助表格正確的分析出數(shù)量關(guān)系，設(shè)未指數(shù)。2.能根據(jù)不同的未知數(shù)列出不同的方程變正確解答。3.積極思考主動(dòng)發(fā)言。3活動(dòng)2：探究總結(jié)方法1.能通過對(duì)比觀察發(fā)現(xiàn)兩個(gè)題目的區(qū)別與聯(lián)系。2.能夠總結(jié)解決“贏不足”問題的關(guān)鍵。3.在小組討論中能夠積極發(fā)言完成任務(wù)。3任務(wù)一：探究盈不足問題的方程解法任務(wù)一：探究盈不足問題的方程解法

不足四。問人數(shù)、物價(jià)各幾何？譯文：幾個(gè)人合伙買東西，若每人出8錢，會(huì)多出3錢；若每人出7錢，則還少4錢，問合伙人數(shù)、物品價(jià)格各是多少？活動(dòng)1：分析解決問題

例：《九章算術(shù)》第七章“盈不足”第一題：原文：今有共買物，人出八，盈三；人出七，(1)問題中有哪些已知量和未知量？

它們之間有怎樣的等量關(guān)系？

審已知量：

①每人出8錢

②每人出7錢多3錢少4錢未知量：總?cè)藬?shù)總物價(jià)等量關(guān)系：人數(shù)不變物價(jià)相等有關(guān)量每人出8錢每人出7錢人數(shù)xx出錢總數(shù)8x8x-37x7x+4物價(jià)任務(wù)一：探究盈不足問題的方程解法(2)設(shè)人數(shù)為x，其它未知量能用含x的代數(shù)式表示嗎？請(qǐng)完成下表。

設(shè)、列

根據(jù)等量關(guān)系，列出方程：

___________________________。

例：《九章算術(shù)》第七章“盈不足”第一題：原文：今有共買物，人出八，盈三；人出七，

不足四。問人數(shù)、物價(jià)各幾何？譯文：幾個(gè)人合伙買東西，若每人出8錢，會(huì)多

出3錢；若每人出7錢，則還少4錢，問合

伙人數(shù)、物品價(jià)格各是多少？

方程的兩邊就是

物價(jià)的兩種不同

表達(dá)方式任務(wù)一：探究盈不足問題的方程解法

例：《九章算術(shù)》第七章“盈不足”第一題：原文：今有共買物，人出八，盈三；人出七，

不足四。問人數(shù)、物價(jià)各幾何？譯文：幾個(gè)人合伙買東西，若每人出8錢，會(huì)多

出3錢；若每人出7錢，則還少4錢，問合

伙人數(shù)、物品價(jià)格各是多少？解、驗(yàn)、答

解：設(shè)人數(shù)為x。

根據(jù)等量關(guān)系，列出方程：

8x-3=7x+4

解這個(gè)方程，得x=7。

8×7-3=53

因此，人數(shù)為7人，物價(jià)為53錢。任務(wù)一：探究盈不足問題的方程解法

例：《九章算術(shù)》第七章“盈不足”第一題：原文：今有共買物，人出八，盈三；人出七，

不足四。問人數(shù)、物價(jià)各幾何？譯文：幾個(gè)人合伙買東西，若每人出8錢，會(huì)多

出3錢；若每人出7錢，則還少4錢，問合

伙人數(shù)、物品價(jià)格各是多少？思考：如果設(shè)物價(jià)為y錢，你會(huì)做嗎？任務(wù)一：探究盈不足問題的方程解法評(píng)價(jià)練習(xí)：《九章算術(shù)》第七章“盈不足”第五題：原文：今有共買金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百。問人數(shù)、金價(jià)各幾何？譯文：今有幾人合伙買金，每人出400錢，會(huì)多出3400錢；每人出300錢，會(huì)多出100錢，問合伙人數(shù)、金價(jià)各是多少？對(duì)比例題和評(píng)價(jià)練習(xí)，它們有什么相同點(diǎn)與不同點(diǎn)？

任務(wù)一：探究盈不足問題的方程解法活動(dòng)2：探究總結(jié)方法《九章算術(shù)》第七章“盈不足”第五題：今有共買金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百。問人數(shù)、金價(jià)各幾何？

400x-3400=300x-100《九章算術(shù)》第七章“盈不足”第一題：今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四。問人數(shù)、物價(jià)各幾何？

8x-3=7x+4任務(wù)一：探究盈不足問題的方程解法解決盈不足問題的關(guān)鍵

總數(shù)/總價(jià)等

保持不變列出方程.盈不足。以御隱親互見(盈不足:處理隱雜互見的問題)本章主要講盈虧類問題的一種算術(shù)方法，借有余、不足以求隱含之?dāng)?shù)。"盈不足”即雙設(shè)法問題，本章提出了盈不足、盈適足和不足適足、兩盈和兩不足三種類型的盈虧問題，以及若干可以通過兩次假設(shè)化為盈不足問題的一般問題的解法，這是一項(xiàng)創(chuàng)造，中世紀(jì)歐洲稱它為“雙設(shè)法"。這也是處于世界領(lǐng)先地位的成果，傳到西方后，影響極大。任務(wù)一評(píng)價(jià)量規(guī)得分活動(dòng)1：分析解決問題1.會(huì)借助表格正確的分析出數(shù)量關(guān)系，設(shè)未指數(shù)。2.能根據(jù)不同的未知數(shù)列出不同的方程變正確解答。3.積極思考主動(dòng)發(fā)言。3活動(dòng)2：探究總結(jié)方法1.能通過對(duì)比觀察發(fā)現(xiàn)兩個(gè)題目的區(qū)別與聯(lián)系。2.能夠總結(jié)解決“贏不足”問題的關(guān)鍵。3.在小組討論中能夠積極發(fā)言完成任務(wù)。3任務(wù)一：探究盈不足問題的方程解法任務(wù)二評(píng)價(jià)量規(guī)得分活動(dòng)1：了解“盈不足術(shù)”1.了解盈不足術(shù)的解法2.能用方程的求解過程解釋“盈不足術(shù)”的計(jì)算公式3.在小組討論中能夠積極發(fā)言。3活動(dòng)2：對(duì)比古今方法1.能用“盈不足術(shù)”或方程的方法正確求解問題。2.能在具體問題中感受“盈不足術(shù)”的局限性和方程法的優(yōu)勢(shì)。3.能夠積極思考，認(rèn)真完成任務(wù)。3任務(wù)二：對(duì)比古代算法與現(xiàn)代方程任務(wù)二：對(duì)比古代算法與現(xiàn)代方程古人是如何解決盈不足問題呢？

任務(wù)二：對(duì)比古代算法與現(xiàn)代方程活動(dòng)1：了解“盈不足術(shù)”與方程法的區(qū)別與聯(lián)系

例：《九章算術(shù)》第七章“盈不足”第一題：原文：今有共買物，人出八，盈三；人出七，

不足四。問人數(shù)、物價(jià)各幾何？譯文：幾個(gè)人合伙買東西，若每人出8錢，會(huì)多

出3錢；若每人出7錢，則還少4錢，問合

伙人數(shù)、物品價(jià)格各是多少？《九章算術(shù)》中給出的“盈不足術(shù)”可以解釋為:人數(shù)

=（盈

+

不足）÷（兩次出錢差）物價(jià)=每人出的錢數(shù)×人數(shù)-剩余錢數(shù)物價(jià)=每人出的錢數(shù)×人數(shù)+不足的錢數(shù)（1）利用盈不足術(shù)計(jì)算，你能理解這種解法嗎?（2）你能用方程的求解過程解釋這個(gè)計(jì)算公式

嗎？與同伴進(jìn)行交流九章算術(shù)周脾算經(jīng)孫子算經(jīng)算法統(tǒng)宗

任務(wù)二：對(duì)比古代算法與現(xiàn)代方程活動(dòng)2：對(duì)比古今方法明代數(shù)學(xué)家程大位所著的《算法統(tǒng)宗》中的問題：1、原文：隔壁聽得客分銀，不知人數(shù)不知銀七兩分之多四兩，九兩分之少半斤（注：明代時(shí)1斤=16兩，故有“半斤八兩”這個(gè)成語。）請(qǐng)選擇用“盈不足術(shù)”或方程的方法求解問題。譯文：有一群人分銀子，如果每人分七兩，則剩余四兩；如果每人分九兩，則還差八兩。問共有多少人？多少兩銀子？2、原文：以繩測(cè)井，若將繩三折測(cè)之，繩多四尺；若將繩四折測(cè)之，繩多一尺。繩長(zhǎng)井深各幾何？譯文：用繩子測(cè)井深，將繩子折成三等分，則多4尺；將繩子折成四等分，則多一尺。問繩長(zhǎng)、井深各多少尺？任務(wù)二：對(duì)比古代算法與現(xiàn)代方程任務(wù)二評(píng)價(jià)量規(guī)得分活動(dòng)1：了解“盈不足術(shù)”1.了解盈不足術(shù)的解法2.能用方程的求解過程解釋“盈不足術(shù)”的計(jì)算公式3.在小組討論中能夠積極發(fā)言。3活動(dòng)2：對(duì)比古今方法1.能用“盈不足術(shù)”或方程的方法正確求解問題。2.能在具體問題中感受“盈不足術(shù)”的局限性和方程法的優(yōu)勢(shì)。3.能夠積極思考，認(rèn)真完成任務(wù)。3任務(wù)二：對(duì)比古代算法與現(xiàn)代方程任務(wù)三評(píng)價(jià)量規(guī)得分1.找到兩道題的等量關(guān)系2.能獨(dú)立或討論完成兩道題的解答3.愿意和同學(xué)分享自己的觀點(diǎn)并幫助他人。3任務(wù)三：古學(xué)今用—解決現(xiàn)代“盈不足”問題任務(wù)三：古學(xué)今用—解決現(xiàn)代“盈不足”問題

1.某熱門景區(qū)在十一假期期間為加快游客入園速度，配置了智能檢票閘機(jī)。

若每臺(tái)閘機(jī)

每小時(shí)可檢票350人，開放

1小時(shí)后，仍有

4000人

在排隊(duì)；

若每臺(tái)閘機(jī)

每小時(shí)可檢票400人，開放

1小時(shí)后，仍有

1000人

在排隊(duì)。

該景區(qū)共配置了多少臺(tái)檢票閘機(jī)2.某旅行社組織十一假期旅游團(tuán)，需要安排游客乘坐大巴車前往景點(diǎn)。如果每輛大巴車坐45名游客，則會(huì)多出2輛空車；如果每輛大巴車坐30名游客，則會(huì)有15名游客沒車坐。共有多少名游客、多少輛大巴車？任務(wù)三評(píng)價(jià)量規(guī)得分1.找到兩道題的等量關(guān)系2.能獨(dú)立或討論完成兩道題的解答3.愿意和同學(xué)分享自己的觀點(diǎn)并幫助他人。3任務(wù)三：古學(xué)今用—解決現(xiàn)代“盈不足”問題課堂小結(jié)1.你學(xué)會(huì)了解決“盈不足”問題的哪些方法？2.如何用這些方法解決“盈不足”問題？3.你還有哪些困惑？

設(shè)未知數(shù)，根據(jù)相等關(guān)系列方程

抽象出數(shù)學(xué)模型課堂小結(jié)

實(shí)際問題

一元一次方程

的應(yīng)用一元一次方程

去分母

去括號(hào)

移項(xiàng)

合并同類項(xiàng)

系數(shù)化為1一元一次方程

的解（x=a）課堂小結(jié)一元一次方程一元一次方程

的解（x=a）一元一次方程

的應(yīng)用2.《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作之一．書中記載：“今有人共買羊，

人出五，不足四十五；人出七，不足三．問人數(shù)羊價(jià)各幾何？”其大意是：今有人合伙買羊，若每人出五錢，還差四十五錢；若每人出七錢，還差三錢．問合伙人數(shù)和羊價(jià)各是多少？當(dāng)堂檢測(cè)

1.把一些圖書分給閱讀小組的學(xué)生閱讀，如果每人分5本，則剩余3本；如果每人

分6本，則還

缺3本，求閱讀小組的學(xué)生人數(shù).3.《孫子算經(jīng)》是我國(guó)古代的重要數(shù)學(xué)著作，