第四章圖形的相似8圖形的位似

九年級(jí)上冊(cè)第四章圖形的相似

圖形的位似(1)1.

位似多邊形的定義：如果兩個(gè)相似多邊形任意一組對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)P，P'所

在的直線都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)O，且有OP'＝k·OP(k≠0)，那么這樣的兩個(gè)多邊

形叫做

，點(diǎn)O叫做

，

?就是這兩個(gè)相似

多邊形的相似比.2.

圖例位似多邊形

位似中心

k

3.

位似圖形的性質(zhì)(1)位似圖形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于位似中心；(2)位似圖形的對(duì)應(yīng)邊互相

?或在同一條直線上；(3)位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，到位似中心的距離之比

?

相似比.平行

等于

知識(shí)點(diǎn)1

位似圖形的定義【例1】下列四組相似圖形中，不是位似圖形的是(

C

)

【變式1】下列圖形中不是位似圖形的是(

B

)

A

B

C

DA

B

C

DCB知識(shí)點(diǎn)2

位似圖形的性質(zhì)【例2】如圖，△DEF和△ABC是位似圖形，點(diǎn)O是位似中心，位似比

為1∶2.若△DEF的面積是3，則△ABC的面積是

?.12

【變式2】如圖，點(diǎn)O是位似中心，且OA'＝2OA，BC＝2，則B'C'的值

為(

C

)A.2B.3C.4D.5C知識(shí)點(diǎn)3

找位似中心【例3】如圖，△ABC與△A'B'C'是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，畫(huà)

出位似中心O.

解：如圖，點(diǎn)O即為所求.

解：如圖，點(diǎn)O即為所求.

解：如圖，點(diǎn)O即為所求.

【變式3】如圖，兩個(gè)三角形是位似圖形，它們的位似中心是(

A

)A.

點(diǎn)AB.

點(diǎn)BC.

點(diǎn)CD.

點(diǎn)DA知識(shí)點(diǎn)4

位似作圖【例4】如圖，以點(diǎn)O為位似中心，將△ABC放大為原來(lái)的2倍.解：如圖所示.

解：如圖所示.

【變式4】如圖，在10×10的正方形網(wǎng)格中，四邊形ABCD是格點(diǎn)四邊形

(頂點(diǎn)在網(wǎng)格線的交點(diǎn)上)，以點(diǎn)O為位似中心，在網(wǎng)格中把四邊形ABCD

的邊放大到原來(lái)的3倍.解：如圖，四邊形A'B'C'D'即為所求.

解：如圖，四邊形A'B'C'D'即為所求.

課堂總結(jié)：1.

位似是一種特殊的相似，因此它具有相似的所有性質(zhì).2.

畫(huà)位似多邊形有兩種畫(huà)法，對(duì)應(yīng)點(diǎn)可以在位似中心的同一側(cè)，也可以

在不同的兩側(cè).1.

如圖，以點(diǎn)O為位似中心，把△ABC放大為原圖形的2倍得到

△A'B'C'，以下說(shuō)法中錯(cuò)誤的是(

C

)A.

△ABC∽△A'B'C'B.

點(diǎn)C，O，C'三點(diǎn)在同一直線上C.

AO∶AA'＝1∶2D.

AB∥A'B'第1題圖C2.

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC與△DEF是位似圖形，且它們的

頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則位似中心的坐標(biāo)為

?.第2題圖(2，2)

3.

如圖，點(diǎn)O是四邊形ABCD與四邊形A'B'C'D'的位似中心，OA'∶AA'＝

2∶1.若四邊形ABCD的面積為9，則四邊形A'B'C'D'的面積為

?.第3題圖4

4.

如圖，在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中，給出了格點(diǎn)平

行四邊形ABCD，請(qǐng)你以點(diǎn)A為位似中心，在網(wǎng)格中畫(huà)出平行四邊形

AB'C'D'，使平行四邊形AB'C'D'與平行四邊形ABCD的位似比為1∶2.解：如圖，平行四邊形AB'C'D'即為所求.

解：如圖，平行四邊形AB'C'D'即為所求.

5.

如圖，△ABC與△A'B'C'是位似圖形，點(diǎn)A，B，A'，B'，O共線，點(diǎn)

O為位似中心.(1)AC與A'C'平行嗎？為什么？解：(1)AC與A'C'平行.理由如下：∵△ABC與△A'B'C'是位似圖形，點(diǎn)A，B，A'，B'，O共

線，∴△ABC∽△A'B'C'.∴∠A＝∠C'A'B'.∴AC∥A'C'.解：AC與A'C'平行.理由如下：∵△ABC與△A'B'C'是位似圖形，點(diǎn)A，B，A'，B'，O共

線，∴△ABC∽△A'B'C'.∴∠A＝∠C'A'B'.∴AC∥A'C'.

解：由(1)，得△ABC∽△A'B'C'，

∵AB＝2A'B'，

由(1)，得AC∥A'C'，∴△OAC∽△OA'C'.

又∵OC'＝5，∴OC＝10.∴CC'＝OC－OC'＝10－5＝5.

第四章圖形的相似

圖形的位似(2)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(－1，2)，

B(－2，0)，C(0，1).(1)將△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都乘2，得到三個(gè)點(diǎn)A1，B1，C1，

則△ABC與△A1B1C1位似嗎？如果位似，指出位似中心和相似比.解：(1)位似.位似中心為點(diǎn)O，相似比為1∶2.解：(1)位似.位似中心為點(diǎn)O，相似比為1∶2.(2)如果點(diǎn)A，B，C的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都乘－2呢？解：(2)位似.位似中心為點(diǎn)O，相似比為1∶2.解：(2)位似.位似中心為點(diǎn)O，相似比為1∶2.☆結(jié)論：在平面直角坐標(biāo)系中，將一個(gè)多邊形每個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)

都乘同一個(gè)數(shù)k(k≠0)，所對(duì)應(yīng)的圖形與原圖形

，位似中心

是

，它們的相似比為

?.位似

坐標(biāo)原點(diǎn)

知識(shí)點(diǎn)1

利用位似坐標(biāo)變化規(guī)律求點(diǎn)的坐標(biāo)或相似比【例1】在平面直角坐標(biāo)中，已知點(diǎn)A(－4，2)，點(diǎn)B(－6，－4)，以原點(diǎn)

O為位似中心，相似比為2，把△ABO放大，則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'的坐標(biāo)為

(

D

)A.(－3，－2)B.

(－3，－2)或(3，2)C.

(－12，－8)D.(－12，－8)或(12，8)

D(1，3)或(－1，－3)

【例2】如圖，△ABC和△A'B'C'關(guān)于原點(diǎn)位似，且點(diǎn)A(1，0)，它的對(duì)應(yīng)

點(diǎn)A'(－2，0)，則△ABC與△A'B'C'的相似比是

?.

1∶2

知識(shí)點(diǎn)2

利用位似坐標(biāo)變化規(guī)律畫(huà)圖【例3】如圖，已知點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(3，1)，(2，

－1).在y軸的左側(cè)以點(diǎn)O為位似中心作△OAB的位似△OCD，使新圖與原

圖的相似比為2∶1，并分別寫(xiě)出點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C，D的坐標(biāo).解：如圖所示，△OCD即為所求.C(－6，－2)，D(－4，2).

解：如圖所示，△OCD即為所求.C(－6，－2)，D(－4，2).【變式3】如圖，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(－1，－2)，B(－

3，－1)，C(－2，－3)，以原點(diǎn)O為位似中心，在第三象限內(nèi)，畫(huà)出

△ABC的位似圖形△A'B'C'，使△ABC與△A'B'C'的相似比為1∶2，并寫(xiě)

出點(diǎn)A'，B'，C'的坐標(biāo).解：如圖，△A'B'C'即為所求.由圖可得A'(－2，－4)，B'(－6，－2)，C'(－4，－6).課堂總結(jié)：1.

在平面直角坐標(biāo)系中，如果以原點(diǎn)為位似中心，新圖形與原圖形的相

似比為k，那么與原圖形上的點(diǎn)(x，y)對(duì)應(yīng)的位似圖形上的點(diǎn)的坐標(biāo)

為

或

?.2.

在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)位似圖形，有兩種方法：①利用位似的性質(zhì)

畫(huà)；②利用位似的坐標(biāo)變換規(guī)律畫(huà).(kx，ky)

(－kx，－ky)

1.

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(1，0)，B(2，1)，D(3，0)，

△ABC與△DEF位似，原點(diǎn)O是位似中心，則點(diǎn)E的坐標(biāo)是

?.第1題圖(6，3)

2.

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB與△OCD位似，點(diǎn)O是它們的位

似中心，已知點(diǎn)A(－4，2)，點(diǎn)C(2，－1)，則△OAB與△OCD的面積之

比為(

D

)A.1∶1B.2∶1C.3∶1D.4

∶1第2題圖D3.

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C(2，1)，將△ABC作下列變換，畫(huà)

出相應(yīng)的圖形.(1)以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°.解：(1)如圖，△AB1C1即為所求.解：(1)如圖，△AB1C1即為所求.(2)以點(diǎn)B為位似中心，將△ABC在圖形的同側(cè)放大到原來(lái)的兩倍.第3題圖解：(2)如圖，△A2BC2即為所求.4.

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(4，8)，

B(4，4)，C(10，4)，△A1B1C1與△ABC關(guān)于原