《圖形的相似》章末考點(diǎn)復(fù)習(xí)與小結(jié)

比例線段及比例的性質(zhì)

(

)

C5

3.小慧同學(xué)在學(xué)習(xí)了九年級(jí)上冊(cè)“23.1成比例線段”2節(jié)課后,發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)內(nèi)容是一個(gè)逐步特殊化的過(guò)程,請(qǐng)?jiān)跈M線上填寫(xiě)適當(dāng)?shù)臄?shù)值,感受這種特殊化的學(xué)習(xí)過(guò)程.

(1)如圖1.若AC=20cm,則AB=

cm;

(2)如圖2,用邊長(zhǎng)為20cm的正方形紙片進(jìn)行如下操作:對(duì)折正方形ABCD,得折痕EF,連結(jié)CE,將CB折疊到CE上,點(diǎn)B對(duì)應(yīng)點(diǎn)H,得折痕CG.試說(shuō)明點(diǎn)G是AB的黃金分割點(diǎn);解:(2)如答案圖,連結(jié)GE.設(shè)BG=xcm,則GA=(20-x)cm.∵四邊形ABCD是正方形,∴∠A=∠B=∠D=90°.由折疊性質(zhì)得CH=BC=20cm,GH=BG=xcm,∠GHC=∠B=90°,AE=ED=10cm.

(3)如圖3,小明進(jìn)一步探究:在邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD的邊AD上任取點(diǎn)E(AE>DE),連結(jié)BE,作CF⊥BE,交AB于點(diǎn)F,延長(zhǎng)EF、CB交于點(diǎn)P.他發(fā)現(xiàn)當(dāng)PB與BC滿足某種關(guān)系時(shí),點(diǎn)E、F恰好分別是AD、AB的黃金分割點(diǎn),請(qǐng)猜想小明的發(fā)現(xiàn),并說(shuō)明理由.

平行線分線段成比例5.(2025·重慶八中)如圖,直線l1∥l2∥l3,直線AC分別交l1、l2、l3于點(diǎn)A、B、C,直線DF分別交l1、l2、l3于點(diǎn)D、E、F,直線AC與DF相交于點(diǎn)G,若AG=2,BG=1,BC=5,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(

)

D

(

)

C

8.如圖,△ADE由△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到,且點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在BC的延長(zhǎng)線上,AD、EC相交于點(diǎn)P.(1)求∠BDE的度數(shù);(1)解:由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,AB=AD,∠BAD=90°,△ABC≌△ADE,在Rt△ABD中,∠B=∠ADB=45°,∴∠ADE=∠B=45°.∴∠BDE=∠ADB+∠ADE=90°.(2)點(diǎn)F是EC延長(zhǎng)線上的點(diǎn),且∠CDF=∠DAC.①判斷DF和PF的數(shù)量關(guān)系,并證明;(2)①解:DF=PF.證明如下:由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,AC=AE,∠CAE=90°,在Rt△ACE中,∠ACE=∠AEC=45°.∵∠CDF=∠CAD,∠ACE=∠ADB=45°,∴∠ADB+∠CDF=∠ACE+∠CAD,即∠FPD=∠FDP,∴DF=PF.

相似三角形的判定9.如圖,下列條件不能判定△ABC∽△ADE的是(

)

D

(

)A.①②③ B.②④C.①③④ D.①②③④A

11.如圖,在△ABC中,∠B=90°,AB=12mm,BC=24mm,動(dòng)點(diǎn)P以2mm/s的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)B移動(dòng)(不與點(diǎn)B重合),動(dòng)點(diǎn)Q以4mm/s的速度從點(diǎn)B向點(diǎn)C移動(dòng)(不與點(diǎn)C重合).若點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā),經(jīng)過(guò)

s后,以點(diǎn)B、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似.

【應(yīng)用拓展】(2)如圖3,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,D是邊BC上一點(diǎn).連結(jié)AD,將△ACD沿AD所在直線折疊,點(diǎn)C恰好落在邊AB上的點(diǎn)E處.若AC=1,AB=2,求DE的長(zhǎng).

13.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD為Rt△ABC的角平分線.(1)如圖1,若AD+AC=BC,求∠ADC的度數(shù);解:(1)如答案圖1,在CB上截取CE=CA.∵CD為Rt△ABC的角平分線,∠ACB=90°,∴∠ACD=∠ECD=45°.又∵CD=CD,∴△ACD≌△ECD,∴∠A=∠CED,AD=DE.∵AD+AC=BC,CE+BE=BC,∴BE=AD,∴DE=BE,∴∠B=∠EDB.∵∠CED=∠B+∠EDB=2∠B=∠A,∠ACB=90°,∴∠B=30°,∴∠ADC=∠B+∠DCB=30°+45°=75°.(2)如圖2,當(dāng)AC≠BC時(shí),將線段BD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BE.點(diǎn)F是線段BC上一點(diǎn),且CF=CD,連結(jié)EF,當(dāng)∠CEF=∠CBE時(shí),請(qǐng)判斷AC、CD與BC的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

相似三角形的性質(zhì)14.(2025·重慶南開(kāi))如圖,將△ABC沿BC方向平移至△DEF,點(diǎn)A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是D、E、F,使得BC∶EC=5∶3,則△ABC與△GEC的周長(zhǎng)之比為(

)A.2∶3 B.2∶5 C.5∶3 D.3∶5C15.如圖,△ABC是等邊三角形,被一矩形所截,AB被截成三等份,EH∥BC.若圖中陰影部分的面積是12,則四邊形BCGF的面積為(

)A.16 B.20 C.36 D.40B16.(1)如圖,在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)E為AD的中點(diǎn),已知△DEF的面積為2,則平行四邊形ABCD的面積為

;24(2)如圖,在△ABC中,AC=BC,矩形DEFG的頂點(diǎn)D、E在AB邊上,頂點(diǎn)F、G分別在BC、AC邊上.若CF=4,BF=3,且DE=2EF,則EF的長(zhǎng)為

;

17.如圖,在平行四邊形ABCD中,過(guò)點(diǎn)A的直線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,且BC=2CE,AE交BD、CD于點(diǎn)F、G.(1)證明:DG=2CG;

(2)若FG=4,求EF的長(zhǎng).

相似三角形的應(yīng)用18.(2025·成都武侯區(qū))大約在兩千四五百年前,墨子和他的學(xué)生做了世界上第1個(gè)小孔成倒像的實(shí)驗(yàn),并在《墨經(jīng)》中有這樣的精彩記錄:“景到,在午有端,與景長(zhǎng),說(shuō)在端”.如圖所示的小孔成像實(shí)驗(yàn)中,若物距為10cm,像距為15cm,蠟燭火焰倒立的像的高度是8cm,則蠟燭火焰的高度是(

)

C19.小穎及其小組成員利用所學(xué)知識(shí)測(cè)量一個(gè)廣告牌的高度EF.在第一次測(cè)量中,小穎來(lái)回走動(dòng),走到點(diǎn)D時(shí),其影子末端與廣告牌影子末端重合于點(diǎn)H,其中DH=1m.隨后,組員在直線DF上平放一平面鏡,在鏡面上做了一個(gè)標(biāo)記,這個(gè)標(biāo)記在直線DF上的對(duì)應(yīng)位置為點(diǎn)G.鏡子不動(dòng),小穎從點(diǎn)D沿著直線FD后退5m到點(diǎn)B時(shí),恰好在鏡子中看到頂端E的像與標(biāo)記G重合,此時(shí)BG=2m.如圖,已知AB⊥BF,CD⊥BF,EF⊥BF,小穎的身高為1.5m(眼睛到頭頂距離忽略不計(jì),平面鏡的厚度忽略不計(jì)).根據(jù)以上信息,求廣告牌的高度EF.

中位線20.(2024·蘭州)如圖,小張想估測(cè)被池塘隔開(kāi)的A、B兩處景觀之間的距離,他先在AB外取一點(diǎn)C,然后步測(cè)出AC、BC的中點(diǎn)D、E,并步測(cè)出DE的長(zhǎng)約為18m,由此估測(cè)A、B之間的距離約為(

)A.18m B.24m C.36m D.54mC21.如圖,DE是△ABC的中位線,∠ABC的平分線交DE于點(diǎn)F,AB=8,BC=12,則EF的長(zhǎng)為

.222.如圖,平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E、F分別是線段AO、BO的中點(diǎn).若AC+BD=12cm,△OAB的周長(zhǎng)是10cm,則EF=

cm.2

圖形坐標(biāo)與變換24.(2025·重慶育才)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,△ABC關(guān)于直線y=1對(duì)稱,已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是(4,4),則點(diǎn)B的坐標(biāo)是(

)A.(4,-4) B.(-4,2) C.(4,-2) D.(-2,4)C25.如圖,在直角坐標(biāo)系中,線段A1B1是將△ABC繞著點(diǎn)P(3,2)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后得到的△A1B1C1的一部分,則點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C1的坐標(biāo)是(

)A.(-2,3) B.(-3,2) C.(-2,4) D.(-3,3)A

(

)A.2 B.3 C.4 D.5C27.(2024·山東)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,有若干個(gè)整數(shù)點(diǎn),其順序按圖中“→”方向排列,如(1,0),(2,0),(2,1),(3,2),(3,1),(3,0),(4,0),….根據(jù)這個(gè)規(guī)律探索可得,第2024個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為(

)A.(2024,8)B.(63,7)C.(64,7)D.(64,8)C28.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形OABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是O(0,0),A(1,0),B(2,3),C(-1,2).若四邊形OA'B'C'與四邊形OABC關(guān)于原點(diǎn)O位似,且四邊形OA'B'C'的面積是四邊形OABC面積的4倍,則第一象限內(nèi)點(diǎn)B'的坐標(biāo)為

.(4,6)

29.如圖,在8×11的網(wǎng)格中,△ABC與△A1B1C1是位似圖形.(1)在網(wǎng)格上建立平面直角坐標(biāo)系,使得點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-6,