第2章直線與圓的位置關(guān)系

2.1直線與圓的位置關(guān)系（12大題型）

分層練習(xí)

基礎(chǔ)練

考查題型一判斷直線和圓的位置關(guān)系

1.（2023?浙江杭州?統(tǒng)考二模）已知O的直徑為4,圓心。到直線/的距離為2,則直線/與G>O（）

A.相交B.相切C.相離D.無法確定

【答案】B

【分析】根據(jù)OO的半徑和圓心。到直線/的距離的大小，相交：d<一相切：4一廠；相內(nèi)：d>r；即

可選出答案.

【詳解】解：團(tuán)。。的直徑為4,

0（。的半徑為2,

團(tuán)圓心。到直線/的距離為2,

Rid-r,

團(tuán)直線/與OO的位置關(guān)系是相切，故B正確.

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查對直線與圓的位置關(guān)系的性質(zhì)的理解和掌握，能熟練地運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行判斷是解此題

的關(guān)鍵.

2.（2023下?浙江杭州?九年級?？茧A段練習(xí)）已知的半徑是一元二次方程/一21-3=0的一個根，圓心

O到直線/的距離J=4，則直線/與GV的位置關(guān)系是—.

【答案】相離

【分析】先解一元二次方程得到a的半徑，再根據(jù)圓與直線的位置關(guān)系與半徑關(guān)系即可得到結(jié)論.

【詳解】解：解方程/一21-3=0得：N=3,x2=-l（舍去），

0（O的半徑為3,

13圓心。到直線/的距離d=4,3<4,

國直線/與《。的位置關(guān)系是相因，

故答案為：相離.

【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程、圓與直線的位置關(guān)系，解答的關(guān)鍵是熟練掌握直線與圓的位置關(guān)系：

設(shè)圓半徑為廣，圓心與直線的距離為％當(dāng)時，相交；=/?時，相切：當(dāng)d>/■時，相離.

3.(2023上?江蘇南京?九年級統(tǒng)考期中)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(2,5),8(4,5),C(6,3).&M經(jīng)

過,4,B,C三點(diǎn).

⑴點(diǎn)M的坐標(biāo)是

(2)判斷M與y軸的位置關(guān)系，并說明理由.

【答案】⑴M(3,2)

⑵相交，理由見解析

【分析】此題考查了過三點(diǎn)的圓，圓與直線的位置關(guān)系，熟練掌握圓心的確定方法，理解圓與直線的位置

關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.

(1)連接A8,BC,分別作ABBC的垂直平分線交于點(diǎn)以點(diǎn)〃為圓心；

(2)先利用勾股定理求出加4=而，即得，加的半徑為「=而，再根據(jù)點(diǎn)M的坐標(biāo)求出點(diǎn)歷到y(tǒng)軸的距

離d=3,然后比較d與「的大小即可得出0M于y軸的位置關(guān)系.

【詳解】(1)連接ABBC,分別作8c的垂直平分線交于點(diǎn)M,如圖所示：

根據(jù)網(wǎng)格的特征可得：點(diǎn)M的坐標(biāo)為M(3,2),

故答案為：M(3,2).

（2）相交.

根據(jù)網(wǎng)格特征可得：

A，的半徑r=M4=J15

圓心M到y(tǒng)軸的距離d=MD=3

0J<r

121（M與歹釉相交.

考查題型二已知直線和圓的位置關(guān)系求半徑的取值

1.（2023?上海浦東新??？既＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，以點(diǎn)A（4,3）為圓心、以R為半徑作圓力與x軸相交，

且原點(diǎn)。在圓/的外部，那么半徑R的取值范圍是（）

A.0</?<5B.3<??<4C.3<R<5D,4<??<5

【答案】C

【分析】分別根據(jù)原點(diǎn)。在圓力的外部，圓力與x軸相交，可得半徑H的取值范圍.

【詳解】解：A（4,3）,

團(tuán)CA=j32+4?=5,

團(tuán)原點(diǎn)。在圓力的外部，

^R<OA,即Rv5,

團(tuán)圓力與x軸相交，

0/e>3,

03</?<5,

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，勾股定理，直線、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等知識點(diǎn)，能熟記直線、點(diǎn)與

圓的位置關(guān)系是解此題的關(guān)鍵.

2.（2022上?河北秦皇島?九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知ZAC3=30。，CM=2,AM=5,以“為圓

心，，一為半徑作M,0M與線段AC有交點(diǎn)時，則「的取值范圍是.

,A

CMB

【詳解】（1）解：團(tuán)四邊形A8CD為矩形，

0ZB=Z￡>=9O°,

ADA.DC,

團(tuán)圓心A到BC邊的距崗為人8=3,:4與直線8。相切,

0r=/IB=31

則當(dāng)半徑廣為3時，與直線5c相切；

（2）連接30.過A作AE_L8O：交BDF點(diǎn)E,

田在RtZk/VW）中，AB-3,AD=4,

^BD=y/AB2+AD2=5'

^S,AB［）=^BDAE=^ABAD,

12

團(tuán)圓心A到8D邊的距離AE=—=2A,

又OA與直線80相切，

0r=AE=2.4,則當(dāng)半徑廣為2.4時，川與直線8。相切；

（3）（3OA與直線BC相交，圓心A到8c邊的距離為A8=3,

fflr>3,

又（4與直線C。相離，圓心人到。的距禽為45=4,

團(tuán)r<4,

則當(dāng)半徑廣的取值范圍為3vr<4時，）4與直線8c相交且與直線相離.

【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓之間的位置關(guān)系.熟練掌握圓心到苣線的距離等于半徑時，直線與圓相切，小

于半徑時，直線與圓相交，大于半徑時，直線與圓相離，是解題的關(guān)鍵.

考查題型三己知直線和圓的位置關(guān)系求圓心到直線的距離

1.（2022上?九年級單元測試）已知G。和直線/相交，圓心到直線/的距離為4cm,則的直徑可能為（）

A.9cmB.8cmC.7cmD.6cm

【答案】A

【分析】設(shè)O的半徑為，圓心。到直線/的距離為d,然后根據(jù)。和直線/相交，確定，?和d的關(guān)系,

然后再確定廠的取值范圍，進(jìn)而確定直徑的取值范圍即可解答.

【詳解】解：設(shè)8的半徑為「，圓心。到直線/的距離為d,

?「Q和直線/相交，

又二圓心到直線/的距離為4cm,

r>4cm,

直徑大于8cm.

故選A.

【點(diǎn)睛】本題t要考查了直線與圓的位置關(guān)系、圓的基本概念等知識點(diǎn)，根據(jù)6。和直線/相交得到dvr是

解答本題的關(guān)鍵.

2.（2021上?廣東韶關(guān)?九年級校考期中）已知（）0的半徑為7,直線/與相交，點(diǎn)O到直線/的距離為4,

則（）。上到直線/的距離為3的點(diǎn)的個數(shù)為個.

【答案】3

【分析】根據(jù)平行線間的距離處處相等，先過點(diǎn)。作A3_LOC,即可求得：。上到直線/的距離為3的點(diǎn)

的個數(shù).

【詳解】解：如圖，團(tuán)。。的半徑為7,點(diǎn)。到直線/的距離為4,即QE=4,

回CE=3,

在E。上截取比）=3,過點(diǎn)。作交0。于4、B兩點(diǎn),

加。上到直線/的距離為3的點(diǎn)為力、B、C,

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系、平行線間的距離處處相等的性質(zhì)，正確畫出符合題意的圖形、

數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

3.(2021?全國?九年級專題練習(xí))如圖，。的半徑是5,點(diǎn)A在：。上.P是。所在平面內(nèi)一點(diǎn).且八夕=2,

過點(diǎn)P作直線/,使/

(1)點(diǎn)。到直線/距離的最大值為:

(2)若〃，N是直線/與：O的公共點(diǎn)，則當(dāng)線段MN的長度最大時，OP的長為

【答案】(1)7：(2)后.

【分析】⑴當(dāng)點(diǎn)尸在圓外且。",P三點(diǎn)共線時，點(diǎn)。到直線/距離的最大，由此即可得;

(2)先確定線段MN是，。的宜徑，畫出圖形，再在RtAAOP中，利用勾股定理即可得.

【詳解】解：(1)如圖1,l±PA,

丁?當(dāng)點(diǎn)P在圓外且O,AP三點(diǎn)共線時，點(diǎn)。到直線I距高的最大，

止匕時最大值為八。+a=5+2=7,

故答案為：7；

(2)如圖2,M.N是直線/與；。的公共點(diǎn)，當(dāng)線段MN的長度最大時，線段削是(O的直徑,

ILPA,

/.Z4PO=90°,

AP=2,0A=5,

..OP=yJO^-PA2=y/2\，

故答案為：V21.

【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系、勾股定理，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵.

考查題型四求圓平移到與直線相切時圓心經(jīng)過的距離

1.（2022上?江蘇揚(yáng)州?九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-3,0）,以

點(diǎn)P為圓心，2為半徑的P以每秒2個單位的速度沿x軸正方向移動，移動時間為3當(dāng)P與y軸相切時，

z的值為（）

【答案】c

【分析】當(dāng)圓的圓心到直線的距離等于圓半徑時，直線與圓相切，即可求解.

【詳解】解：（1）當(dāng)。尸的圓心〃在），軸左側(cè)時，

P到y(tǒng)軸距離"=廠=2時，0P與7軸相切，

團(tuán)（，移動時間，=（3-2）+2=0.5（秒）；

（2）當(dāng)P的圓心。在y軸右側(cè)時，

尸到y(tǒng)軸距離d=〃=2時，，P與y軸相切，

團(tuán)（力移動時間，=（3+2）+2=2.5（秒）.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查直線和圓位置關(guān)系的判定，關(guān)鍵是掌握判定方法：圓心到直線的距離等于圓的半徑.

2.（2023?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，直線。助,垂足為，，點(diǎn)尸在直線b上/〃=4cm。為直線力上一動點(diǎn),

若以1cm為半徑的團(tuán)0與直線。相切，則OP的長為.

【答案】3cm或5cm

【詳解】（3直線流”。為直線人上一動點(diǎn)，

團(tuán)團(tuán)。與直線。相切時,切點(diǎn)為H,

067?/=1cm.

當(dāng)點(diǎn)。在點(diǎn)〃的左側(cè)M0與直線a相切時，如圖1所示，

a

P~&百b

圖1

a

______竺G—

P⑦b

圖2

貝IJ。尸=P〃-O〃=4-l=3（cm）;

當(dāng)點(diǎn)。在點(diǎn)〃的右側(cè),團(tuán)0與直線”相切時，如圖2所示，

貝I」OP=P〃+O〃=4+l=5（cm）;

釀。與直線a相切,O尸的長為3cm或5cm.

3.（2022下?九年級單元測試）如圖，半圓。的直徑。E=12cm,在0J8C中，0JC5=9O°,0J8C=3O°,

8C=12cm.半圓。以2cm/s的速度自左向右運(yùn)動，在運(yùn)動過程中，點(diǎn)。，E始終在直線4C上.設(shè)運(yùn)動時間

為/s,當(dāng)/=0時，半圓。在陰〃。的左側(cè)，OC=8cm.

⑴當(dāng)/=s時，半圓。與AC所在直線第一次相切；點(diǎn)C到直線48的距離為.

⑵當(dāng)/為何值時，直線48與半圓O所在的圓相切？

DB

【答案】（1）1,6cm：（2）當(dāng)，為4或16時，直線彳8與半圓。所在的圓相切.

【分析】（1）求出路程EC的長，即可以求時間t=l,作C到AB的距離CF,利用直角三角形中30。角所對的

直角邊是斜邊的一半可以得：CF=5：

(2)根據(jù)C到AB的距離為6cm,圓的半徑為6cm,所以。與C重合，即當(dāng)。點(diǎn)運(yùn)動到C點(diǎn)時，半圓0與

團(tuán)ABC的邊AB相切，t=8+2=4秒.

【詳解】(l)QE=12cm,

團(tuán)OE=OQ=6cm.

圖0C=8cm,

0EC=8—6=2(cm),

團(tuán)/=2+2=l(s),

故當(dāng)/=1時，半圓。與所在直線第一次相切.

如圖①，過點(diǎn)。作CWL48于點(diǎn)尸.

在RtEECT中，瞪L48c=30°,8c=12cm,

aCF=yi?C=6cm.

故答案為1，6cm.

(2］如圖②，當(dāng)半圓O在直線48的左側(cè)，與直線相切時，過點(diǎn)。作于點(diǎn)“，則0M=6cm.

回毗BC=30°,

^08=2OM=12cm.

又(2BC=：12cm,

團(tuán)當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)。重合，即當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動到點(diǎn)C時，半圓。與出I8C的邊力4相切，此時，點(diǎn)O運(yùn)動了8cm,運(yùn)

動時間/=8+2=4.

如圖③，當(dāng)半圓。所在的圓在直線48的右側(cè)與直線48相切時，設(shè)切點(diǎn)為0,則。赳8,00=6cm.

在代回。。8中，回O80=0J8C=3O°,則08=200=12cm,此時點(diǎn)。運(yùn)動了12+12+8=32(cm),運(yùn)動時

間『=32+2=16.

綜上所述，當(dāng)/為4或16時，直線48與半圓。所在的圓相切.

【點(diǎn)睛】考查了直線與圓的位置關(guān)系和點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.利用時間t來表示線段之間的關(guān)系是動點(diǎn)問題中

是常用的方法之一，要會靈活運(yùn)用.并能根據(jù)圓心到直線的距離來判斷直線與圓的位置關(guān)系.

考查題型五求直線平移到與圓相切時運(yùn)動的距離

1.（2022上?江蘇泰州?九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，O半徑OC=l（）cm,直線/_LOC,垂足為〃，且/交O

于44兩點(diǎn)，AB=16cm,將直線/沿OC所在直線向下平移，若/恰好與（。相切時，則平移的距離為（）

A.2cmB.4cmC.6cmD.16cm

【答案】B

【分析】連接04,由垂徑定理和勾股定理得O”=6,當(dāng)點(diǎn)〃平移到點(diǎn)C時，直線與圓相切，求得

CH=OC-OH=2cm.

【詳解】解：連接0A,

0/1OC,

^AH=-AB=S,OA=OC=\O

2t

0Oli-y/oA1-AH2_>/102-82-6>

團(tuán)將直線/沿OC所在直線向下平移，若/恰好與，。相切時,

0CH=OC—OH=4cm，

即直線在原有位置向卜移動4cm后與圓相切.

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題利用了垂徑定理，勾股定理，及切線的概念求解，正確掌握各定理并應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

2.（2022上?福建南平?九年級順昌縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，直線AB、C。相交于點(diǎn)。，Z4OC=30°,

半徑為1cm的圓的圓心夕在直線A8上，且與點(diǎn)0的距離為8cm，若點(diǎn)〃以1cm/s的速度由力向4的方向運(yùn)

動，當(dāng)運(yùn)動時間f為時，P與直線。。相切.

【分析】P在射線OA上或在射線。5上，設(shè)對應(yīng)的圓的圓心分別在M,根據(jù)切線的性質(zhì)，在RtZXOEM中，

根據(jù)30度的角所對的直角邊等于斜邊的一半，即可求得OM的長，進(jìn)而求得的長，從而求得由Q到河

移動的時間；根據(jù)ON=OM,即可求得PN,也可以求得由。到M移動的時間.

【詳解】解：當(dāng)尸在射線0A上，設(shè)尸與。。相切于點(diǎn)E,0移動到M時，連接ME.

0ZOE/VZ=90°,

團(tuán)在中，ME=1cm,ZAOC=30°,

團(tuán)OW=2ME=2（cm）,

則PM=OP-OM=8-2=6（cm）,

0（P以1cm/s的速度沿由力向8的方向移動，

回。尸移動6s時與直線CO相切.

當(dāng)（尸在射線08上時,同理可求肘「移動10s時與直線8相切.

故答案為：10s或6s.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，注意已知圓的切線時，常用的輔及線是連接圓

心與切點(diǎn)，本題中注意到分兩種情況討論是解題的關(guān)鍵.

3.（2020上?全國?九年級期末）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，半徑為2的臚的圓心P的坐標(biāo)為（-3,

0）,將臚沿x軸正方向平移，使（3P與y軸相切，求平移的距離.

【分析】平移分在y軸的左側(cè)和y軸的右側(cè)兩種情況寫出答案即可.

【詳解】當(dāng)即位于y軸的左側(cè)且與y釉相切時，平移的距離為1；

當(dāng)即位于V軸的右側(cè)且與V軸相切時，平移的距離為5.

故答案為：1或5.

【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是了解當(dāng)圓與直線相切時.，點(diǎn)到圓心的距離等于圓的

半徑.

考查題型六切線的應(yīng)用

1.（2022?四川樂山?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，點(diǎn)P在拋物線y=/-3x+l上運(yùn)動，若以P為圓心的圓與x軸、y

軸都相切，則符合上述條件的所有的點(diǎn)。共有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】B

【分析】若以P為圓心的圓與x軸、y軸都相切，則點(diǎn)P的橫縱坐標(biāo)的絕對值相等，即乂='或X=?人再

判斷一元二次方程解的情況即可求解.

【詳解】解：???若以P為圓心的圓與X軸、V軸都相切,

?匕=卜或％=-y,

當(dāng)x=y時，即/-3x+l=x,

VA=62-4ac=12>0,

，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)解；

當(dāng)x=-y時，即x2-3.v+l=-x,

*/A=b2-44c=0,

???方程有兩個相等的實(shí)數(shù)解；

綜上可知符合上述條件的所有的點(diǎn)尸共有3個，

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的性質(zhì)以及切線的性質(zhì)，根據(jù)題意得到、="或*=-y是解題的關(guān)鍵.

2.（2020上?河北滄州?九年級?？计谥校┤鐖D，已如回O是以數(shù)軸上原點(diǎn)。為圓心，半徑為2的圓，同AOB=

45。，點(diǎn)P在x正半軸上運(yùn)動，若過點(diǎn)P且與OA平行的直線與團(tuán)0有公共點(diǎn)，設(shè)P點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為X,則x的

取信范圍是—.

【答案】OVXGTI

【分析】根據(jù)題意可知，直線和圓有公共點(diǎn)，則直線與圓相交或相切.如圖，當(dāng)直線與圓相切時，x值最大，

設(shè)切點(diǎn)為C,連接0C,根據(jù)團(tuán)AOB=45。，OA0PC,可知OPC為等腰直角三角形，進(jìn)而求出斜邊的長度，即

可得到x的取值范圍.

【洋解】解：設(shè)切點(diǎn)為C,連接CC,則圓的半徑0C=2,OC0PC,

團(tuán)團(tuán)AOB=45°,OA0PC,

酶）PC=45°,

團(tuán)PC=0C=2,

團(tuán)0P=2拉，

團(tuán)P在x正半軸上運(yùn)動，

取的取值范圍是0VXS2及，

故答案為；0Vx=2五.

A

【點(diǎn)睛】此題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，根據(jù)題目已知條件，作出切線找出直線與圓有交點(diǎn)的分界

點(diǎn)是解決問題的關(guān)鍵.

3.（2020上?安徽合肥?九年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)尸為。。上一點(diǎn)，點(diǎn)C在直徑48的延長線上，且

/CPB=/CAP,過點(diǎn)A作。的切線，交CP的延長線于點(diǎn)。.

⑴判斷直線CQ與O的位置關(guān)系，并說明理由;

（2）若CO-2,C，—4,求:①CQH勺半徑，②PD的長.

【答案】⑴直線CP與G。相切；見解析（2）①3；②6.

【分析】（1）首先由圓的性質(zhì)得=然后由圓內(nèi)接直角三角形得出NQ45+NP84=90。，

NCPB+NBPO=90。,進(jìn)而得出OP_LCE,即可判定其相切；

（2）①首先根據(jù)根據(jù)元的性質(zhì)得出NOPA=NOAP,4BPC=NPAB,進(jìn)而可判定VCM:VC4P,即可得

出半徑；

②首先由OP、0B得出0C,然后由切線性質(zhì)得出ZM_LAC,再由NOPC=NZMC=90。判定VOCQ:7DCA

進(jìn)而利用相似性質(zhì)構(gòu)建方程，即可得解.

【詳解】（1）直線CQ與I。相切；

理由:連接。尸,

D

OP=OB,

:.NPBA=/BPO,

那是O的直徑，

ZAra-9O°,

:.ZPAB+^PBA=90°,

NCPB=NCAP,

.?.NCPB+NBPO=90。,

ZCPO=90°OPICE,

P為。上的一點(diǎn)，

???直線CP與〈O相切：

⑵①OP=OB,

:.NOPB=4OBP,

ABPC+ZOPB=90°,^PAB+ZABP=90°,

NBPC=4PAB,

NPCB=ZACP,

:qCPB-CAP,

"C工包

CBCP

/.AB=AC-BC=8-2=6,

???圓的半徑為3;

②OP=OB=3,

:.0C=OB+BC=5，

回過點(diǎn)A作的cO切線交C力的延長線于點(diǎn)D,

:.DAA.AC,

OPLCD,

^OPC=ADAC=90Q

.NOCP=NDCA,

OCP_DCA,

，空監(jiān)雇」

CADC8DC

/.DC=10,

：.I,D=DC-CP=\0-4=6.

【點(diǎn)睛】此題主要考查直線和圓的位置關(guān)系以及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握。即可解題.

考查題型七有關(guān)切線的說法辨析

1.（2023上?江蘇連云港?九年級統(tǒng)考期中）下列命題中正確的是（）

A.半圓不是弧B.經(jīng)過半徑一端且與這條半徑垂直的宜線是圓的切線

C.平面內(nèi)三點(diǎn)確定一個圓D.三角形的外心到三角形的各個頂點(diǎn)的距離相等.

【答案】D

【分析】本題考查圓的基本知識，圓的切線的定義，確定圓的條件，三角形的外心等，根據(jù)相關(guān)定義或性

質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.

【洋解】解：半圓是弧，故A選項(xiàng)命題不正確；

B,經(jīng)過半徑的非圓心一端，并且垂直于這條半徑的直線，是圓的一條切線，故B選項(xiàng)命題不正確；

C,平面內(nèi)不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個圓，故C選項(xiàng)命題不正確；

D,三角形的外心到三角形的各個頂點(diǎn)的距離相等，故D選項(xiàng)命題正確；

故選D.

2.（2023上?九年級課時練習(xí)）下列直線中可以判定為圓的切線的是（）

A.與圓有公共點(diǎn)的直線B.經(jīng)過半徑外端的直線

C.垂直于圓的半徑的直線D.與圓心的距離等于半徑的直線

【答案】D

【分析】根據(jù)切線的判定方法逐項(xiàng)分析即可.

【詳解】解：A.與圓有且僅有一個公共點(diǎn)的直線是圓的切線，放該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

B.經(jīng)過半徑外端的直線且垂直于半徑的直線是圓的切線，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

C.經(jīng)過半徑外端的直線且與半徑垂直的直線是圓的切線，故不正確；

D.與圓心的距離等于半徑的直線，故該選項(xiàng)正確，符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定方法，如果直線與圓只有一個公共點(diǎn)，這時直線與圓的位置關(guān)系叫做相切，

這條直線叫做圓的切線，這個公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)；經(jīng)過半徑外端點(diǎn)并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

3.（2022上?遼寧大連?九年級統(tǒng)考期末）如圖，在.㈤無?中，分別以點(diǎn)力和點(diǎn)8為圓心，大于;4B的長為

半徑作弧，兩弧相交于Q,￡兩點(diǎn)，作直線QE；分別以點(diǎn)3和點(diǎn)C為圓心，大于的長為半徑作弧，

兩瓠相交于凡G兩點(diǎn)，作直線心.直線。石與AG相交于點(diǎn)O,若以點(diǎn)。為圓心，Q4為半徑作圓，則下

列說法錯誤的是（）

A.點(diǎn)4在CO上B.是的外接圓

C.A3是的弦D.AC是的切線

【答案】D

【分析】根據(jù)作圖可得直線。石與m分別為AB,8c的垂直平分線，從而得到O是的外接圓，即可

求解.

【詳解】解：根據(jù)題意得：直線DE與AG分別為AR8c的垂直平分線，

團(tuán)點(diǎn)0至kHBC的三個頂點(diǎn)的距離相等，

曲O是“的外接圓，故B選項(xiàng)正確，不符合題意；

團(tuán)點(diǎn)力、B、C在。上，故A選項(xiàng)正確，不符合題意；

團(tuán)AB,AC是O的弦，故C選項(xiàng)正確，不符合題意：D選項(xiàng)錯誤，符合題意;

故選:D

【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖，三角形的外接圓，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

考查題型八判斷或補(bǔ)全使直線為切線的條件

1.（2020上?浙江寧波?九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過格點(diǎn)4B,C畫圓弧，則點(diǎn)4與

下列格點(diǎn)連線所得的直線中，能夠與該圓弧相切的格點(diǎn)坐標(biāo)是（）

【答案】D

【分析】根據(jù)切線的判定在網(wǎng)格中作圖即可得結(jié)論.

過格點(diǎn)4B,。畫圓弧，則點(diǎn)4與下列格點(diǎn)連線所得的直線中，

能夠與該圓弧相切的格點(diǎn)坐標(biāo)是（6,2）.

故選：

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，掌握切線的判定定理是解題的關(guān)鍵.

2.（2022上?北京?九年級統(tǒng)考期末）在下圖中，是0O的直徑，要使得直線47是〔O的切線，需要添加

的一個條件是.（寫一個條件即可）

B

【答案】IZL447=124/3=45”（答案不唯一）

【分析】根據(jù)切線的判定條件，只需要得到團(tuán)BAT=90。即可求解，氏此只需要添加條件：曲87M羽7■慶45。即可.

【詳解】解：添加條件：m47=囪1以=45。，

團(tuán)配87=融78=45°,

回08力7=90°,

又以8是圓。的直徑，

出17是圓。的切線，

故答案為：砌〃7=必/78=45。（答案不唯一）.

【點(diǎn)睛】本題主要考杳了圓切線的判定，三角形內(nèi)角和定理，熱知圓切線的判定條件是解題的關(guān)鍵.

3.（2022下?九年級課時練習(xí)）口△A8C的斜邊A8=5cm,直角邊AC=3cm,圓心為C,半徑為2cm和

3cm的兩個圓G和G與直線AB有怎樣的位置關(guān)系？半徑為多少時，AB.與C相切？

【答案】G與AB相離；G與AB相交；當(dāng)半徑為《cm時，AB與;C相切.

【分析】過點(diǎn)C作CDJ.AB于點(diǎn)D,利用勾股定理求得BC的長，再利用三角形的面積公式求得CD的長,

進(jìn)而判定圓一G和_6與八8的位置關(guān)系，根據(jù)切線的判定得到。的半徑.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作a)_LA8于點(diǎn)D.

在RlZ\A8C中，

4c8=90。，

/.BC=《AB?-AC?=4cm，

由面積公式，得AC4C=ABC￡),

,「八3x412/、

..CD=-----=—(cm),

55v7

?32

,52，

「?與AB相離；

12

—<3,

??.G與AB相交:

I?

當(dāng)半徑為"fem時，AB與;C相切.

【點(diǎn)睛】本題主要考杳圓與直線的位置關(guān)系，切線的判定，勾股定理等，解此題的關(guān)鍵在于熟練掌握其知

識點(diǎn).

考查題型九證明某直線是圓的切線

1.(2022上?全國?九年級專題練習(xí))如圖,。是(O的直徑。。的延長線上一點(diǎn)，NP=30。，則當(dāng)ZACP=()

時，直線融是O的切線.

A.20°B.30°C.15°D.25°

【答案】B

【分析】當(dāng)N4CP=30。時，直線Q4是：。的切線.連接04結(jié)合題意可知NP=NA"=30。，從而得出

/PAC=120°.再根據(jù)。4=OC,即得出ZACP=ZOAC=30°,從而即可求：11ZOAP=ZPAC-Z.OAC=90°,

即證明直線44是（O的切線.

【詳解】解：當(dāng)NACP=30。時，宜.線24是1。的切線.

證明：如圖，連接。1.

回NP=30。，ZACP=30°,

0ZE4C=12O°.

團(tuán)。A=OC,

0Z4CP=ZOIC=30°,

0ZOAP=ZE4C-Z（74C=9OO,即O4_L抬，

回直線必是co的切線.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定和性質(zhì).連接常用的輔助線是解題

關(guān)鍵.

2.（2021下?九年級課時練習(xí)）如圖，人5是0。的直徑，交8c于。，DE1AC,垂足為E,請你添加

一個條件，使力￡是。的切線，你所添加的條件是.

【答案】80=8或A8=AC

【分析】結(jié)合OE1AC,只需OD〃AC,根據(jù)。是A4的中點(diǎn)，只需8O=CO即可；要使BD=CD,則連

接AO,只需A8=AC,根據(jù)等腰三角形的三線合一即可.

【詳解】解：若添加8。=。。，理由如下:

如圖,連接。力，

⑦BD=CD,OA=OB,

團(tuán)0M4C,

^DEIAC,

回。物。。，

0（O交BC于D,

同。后是CO的切線；

若添加理由如下：

如圖，連接力。，

回AB是，。的直徑，

回配。8=90°,

回點(diǎn)。是8c的中點(diǎn)，

12OA=OB,

回0/M4C,

^DEIAC,

0DEI3OD,

團(tuán)（。交8cJ-D,

團(tuán)QE是。。的切線.

故答案為：BD=CD^AB=AC

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定，三角形的中位線定理，熟練掌握切線的判定定理，三角形的中位線

定理是解題的關(guān)鍵.

3（2023上?四川德陽,九年級四川省德陽中學(xué)校校考期中）如圖,AB為，O的直徑，C為O上BF的中點(diǎn)，

CD±AF,垂足為￡）,AB.￡>C的延長線交于點(diǎn)瓦

⑴求證：co是o的切線；

（2）若BE=3,。石=36，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留無）.

【答案】（1）見解析

⑶t3

(2)5陰后=---5萬

【分析】本題考查了切線的判定以及圓周角定理和扇形的面積公式.

（1）連接OC,利用半徑相等、圓周角定理求得N3=N2,推出4￡>〃OC,從而得到OC_LCQ,即可證明

8是OO的切線；

（2）設(shè)：O半徑為廣，利用勾股定理得到,+（36Y=（r+3）2,解得r=3,再計算出NCOE=60。，然后根

據(jù)扇形的面積公式，利用%魴=Ss°E-S圖形gm進(jìn)行計算即可.

【詳解】（1）證明：連接OC，如圖，

(3OA=OC,

團(tuán)NI=N3,

(3C為C。上3“的中點(diǎn)，即〃C=FC，

0Z1=Z2,

*二N2,

^AD//OC,

0CD1AF,

團(tuán)OCJ.C7),

團(tuán)點(diǎn)。在。上，

（3CD是。。的切線：

（2）解.：連接8C,設(shè)。半徑為八

0r+（3x/3）2=（「+3『，

解得廠=3,

國OC=3,OE=,3?+（3行『=6，

則。4=8￡=3,即點(diǎn)A是斜邊0E的中點(diǎn),

^BC=-OE=3,

2

團(tuán)0B=BC=0C=3,

團(tuán)AOBC是等邊一：角形,

團(tuán)NCOE=60。，

6。?乃于

回S用影=SCOE_S&;形CO8=-x3x3x/3-

2360

考查題型十切線的性質(zhì)定理

1.（2023上?福建福州?九年級?？计谥校┤鐖D，在0。中，A4與《。相切于點(diǎn)兒連接。3交。于點(diǎn)C,

點(diǎn)D為上的點(diǎn)，連接。O.若N5=40。，則NCD4為（）

A.20°B.25°C.30°D.40°

【答案】B

【分析】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.先根據(jù)切線的性質(zhì)得到/。鉆=90。,

再利用互余計算出NAOB=50°,接著根據(jù)圓周角定理得到4DC=25。，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NOCD

的度數(shù).

【詳解】解：團(tuán)人8與。。相切于點(diǎn)兒

..OA1AB,

:.ZOAB=90°,

?.NB=4()。，

：.ZAOB=50°t

Z.ADC=-ZAOB=25°,

2

AD//OB,

.?.NOC￡)=NADC=25。.

故選：B.

2.(2023上?江蘇鎮(zhèn)江?九年級統(tǒng)考期中)如圖，A4是。的直徑，點(diǎn)C在A區(qū)延長線上，CD與。O相切點(diǎn)

【答案】125。/125度

【分析】連接。。，利用切線的性質(zhì)定理和圓周角定理解答即可得出結(jié)論.本題主要考查了切線的性質(zhì)定理,

圓周角定理，連接。。是解此題的關(guān)鍵.

CD與〔。相切于點(diǎn)

\2ODC90?,

446=20°,

/./DOC=900-ZACD=90°-20°=70°,

ZADO=Z.OAD=-ZDOC,

2

ZADO=35°,

Z4DC=35°+90o=125°,

故答案為：125。.

3.（2023上?江蘇無錫?九年級校聯(lián)考期中）如圖，A8是②。的直徑，NB4C的平分線父OO干點(diǎn)/）過點(diǎn)

。作。的切線交AC的延長線于點(diǎn)￡.

⑴若NC48=500,求NAQE的度數(shù);

(2)若4A=10,AC=6,求DE的長.

【答案】⑴NU>E=65。

(2)DE=4

【分析】本題考查了切線的性質(zhì)、矩形的判定及性質(zhì)、勾股定理、垂徑定理：

（1）結(jié)合角平分線和切線的性質(zhì)，連接。。計算即可得解；

（2）連接。。，作O"_LAC廣廣利用垂徑定理得到人r=C"=；AC=3,在RtZ\OAb中利用勾股定理計

算出。尸=4,然后證明四邊形。產(chǎn)包＞為矩形，從而可求解.

熟練掌握切線的性質(zhì)及垂徑定理是解答本題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）解：連O。，如圖，

圖1

OE是，：。的切線,

...ZODE=90°,

ZC4B=50°.NBA。的平分線交O于點(diǎn)Q,

團(tuán)/BAD=Z.EAD=-ZCAB=25°,

2

OA=OD,

:.ZBAD=ZODA=25°,

：.ZADE=2ODE-乙ODA=65°.

(2)連接。。，作OF_L4C「人如圖2,

在RtZ\OAE中，0/7=^52—32=4

Z.OFE=/FED=/EDO=90°,

團(tuán)四邊形O莊。為矩形，

:.DE=OF=4.

考查題型十一切線的性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用

1.（2021上?四川德陽?九年級?？计谀┤鐖D，在矩形48co中，AO=8,E是邊力8上一點(diǎn)，且6AE=AB.已

知0。經(jīng)過點(diǎn)E,與邊CO所在直線相切于點(diǎn)G（NGE8為銳角）,與邊力8所在直線交于另一點(diǎn)片且所=AD,

當(dāng)邊力。或8c所在的直線與（。相切時，力8的長是（）

A.5或9B.6或9C.5或不D.6或不

【答案】D

【分析】邊BC所在的直線與團(tuán)。相切時，過點(diǎn)6作6湎48,垂足為N,可得EN=NF,由瓦=4),依據(jù)

勾股定理求出半徑廣，根據(jù)=計算即可；當(dāng)邊力。所在的直線與團(tuán)。相切時，同理可求.

6

【詳解】解：邊8c所在的直線與團(tuán)O相切時，

如圖,

切點(diǎn)為K,連接OK,過點(diǎn)G作GM3/18,垂足為M

國EN=NF,

又REF=AD,

⑦：.EN=FN=4

222

設(shè)RO的半徑為廣，由OE=EN-\-ONf

得：戶=16+(8-r)2,

0r=5,

^OK=NB=S,

^EB=9,

乂即

66

54

0J^=y：

當(dāng)邊力。所在的直線與團(tuán)。相切時，切點(diǎn)為〃，連接?！?，過點(diǎn)G作GM34E?,垂足為M

同理，可得OH=4N=5,

又

6

團(tuán)48=6,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)、勾股定理和垂徑定理的綜合應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵在于做好輔助線，利

用勾股定理求出對應(yīng)圓的半徑.

2.12022上?江蘇連云港?九年級階段練習(xí))如圖，在平面直角坐標(biāo)系X0，中，直線力8經(jīng)過點(diǎn)4(-6,0),8(0,

6),回。的半徑為2(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，點(diǎn)P在直線48上，過點(diǎn)P作回。的一條切線尸。，。為切點(diǎn)，則切線

長P。的最小值為

【答案】V14

【分析】連接OP.根據(jù)勾股定理知尸。？=0尸-002,當(dāng)。門町8時，線段。尸最短，即線段P。最短.

【詳解】解：連接OP、OQ.

胡。是(30的切線，

團(tuán)0。0尸0；

根據(jù)勾股定理知尸。=。尸2-00?,

團(tuán)當(dāng)產(chǎn)的18時，線段尸。最短；

又(14(-6,0)、B(0,6),

(304=08=6,

^00-2,

胡匕初尸―。。?=714，

故答案為：＞/?4-

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)等知識點(diǎn).運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)

行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角來解決有關(guān)問題.

3.（2022上?江蘇泰州?九年級統(tǒng)考期中）如圖1,已知A4為「0的直徑，點(diǎn)E在上，給出下列信息：

①后戶是：O的切線；（2）AC±EF；③AE平分/84C

⑴請在上述3條信息中選擇其中兩條作為條件，剩余的一條信息作為結(jié)論，組成一個正確的命題，你選擇

的條件是_、_，結(jié)論是J只要填寫序號），并說明理由；

（2）如圖2,在（1）的條件下，AC交QO于。，若AD=2,EC=B求AE的值.

【答案】（1）選擇的條件是①②，結(jié)論是③，理由見解析；選擇的條件是①③，結(jié)論是②，理由見解析；

選擇的條件是②③，結(jié)論是①，理由見解析

⑵26

【分析】（1）選擇的條件是①②，結(jié)論是③，理由：連接OE,可得到NQ￡4=NQ4E,再由EF是。的

切線可得。石,律，從而得到OE〃AC,即可；選擇的條件是①③，結(jié)論是②，理由：連接OE,可得

到ZOEA=NOAE，再山AE平分NBAC可證得。石〃MC,再山火是（。的切線，即可；選擇的條件是②③,

結(jié)論是①，理由：連接OE,"J"得到NO￡4=NQ4E,再由4E平分N84C可證得O￡〃AC,從而得到

OE1EF,即可；

(2)連接4230,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得NCOE=N8,再證得NCDE=NAEC,可得到

一DCEs,ECA,從而求出CO=I,即可求解.

【詳解】(1)解：選擇的條件是①②，結(jié)論是③，理由如下：

連接0E,

:.OA=OE,

ZOEA=^OAE.

?.?跖是GO的切線，

..OELEF.

??ACLEF,

:.OE//AC.

ZOEA=ZEAC,

:.Z.OAE=ZEAC,

.?.4E平分NBAC.

選擇的條件是①③，結(jié)論是②，理由如下:

連接0E,

..OA=OE,

/.Z.OEA=^OAE,

4?平分NB4C,

:.ZOAE=ZEAC,

ZOEA=ZEAC,

:.OE//AC.

EF是］。的切線，

:.OELEF.

ACLEF-

選擇的條件是②③，結(jié)論是①，理由如下:

連接OE,

:.OA=OE,

NOEA=NOAE.

AE乎分NRAC,

.\ZOAE=ZEAC,

:.ZOEA=ZEAC,

:.OE//AC.

AC1EF,

:.OELEF.

i.OE是半徑，

反是(。的切線；

(2)解：如圖，連接8￡班).

因四邊形ABED是圓內(nèi)接四邊形,

0Zfi+ZADE=18O°,

0ZCDE+Z4DE=18O°,

P/CDE=/B,

AC1EF,AB為。的直徑，

0ZA￡￡?=ZACE=90°,

4￡平分/物。，

/.NOAE=NEAC,

^ZB=ZAEC,

^ZCDE=ZAEC,

0ZDCE=ZACE=9O°,

^^DCE^ECA,

CDCE

團(tuán)—=---,

CEAC

團(tuán)AD=2,EC=G，

團(tuán)絲=3L,解得：8=1或一3（舍去），

x/32+CD

團(tuán)AC—AD+CD=3,

^AE=ylAC2+CE2=2A/3-

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)和判定，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟

練掌握切線的性質(zhì)和判定，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

考查題型十二過圓外一點(diǎn)作圓的切線（尺規(guī)作圖）

1.（2022上?福建龍巖?九年級?？茧A段練習(xí)）（1）已知：如圖，求作“4。內(nèi)切圓.

（2）已知：如圖，過點(diǎn)。求作，。的切線.

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【分析】（1）圓心到各邊的距離相等，所以要作各內(nèi)角的角平分線的焦點(diǎn)，交點(diǎn)就是內(nèi)切圓的圓心，圓的

半徑是圓心到各邊的距離.

（2）利用直徑上的圓周角是直角，構(gòu)造直角，利用切線的定義判斷即可.

【詳解】（1）解：作圖如下：

步驟：第?步：作NA8C的角平分線，以點(diǎn)8為I員I心，以任意長為半徑畫弧，分別交人4、8c于點(diǎn)M和點(diǎn)

N、冉分別以點(diǎn)M和點(diǎn)N為圓心，以大;《MN的長為相同半空分別網(wǎng)弧使其相交「點(diǎn)P,連接3尸；

第二步：作NAC5的角平分線，以點(diǎn)C為圓心，以任意長為半徑畫弧，分別AC、于點(diǎn)A和點(diǎn)Q,再分

別以點(diǎn)Q和點(diǎn)R為圓心，以大于（QR長為相同半徑分別畫弧使其相交于點(diǎn)K,連接CK：

第三步：確定圓心。.30和CK的交點(diǎn)就是內(nèi)切圓的圓心0；

第四步：確定半徑.過點(diǎn)圓心。作BC的垂線，垂足為點(diǎn)E,以點(diǎn)。為圓心，以大于OE的長為半徑畫弧，

交6c于點(diǎn)。和點(diǎn)尸，再分別以點(diǎn)。和點(diǎn)尸為圓心，以大于;。尸的長為半往畫弧，使其相交于點(diǎn)L，連接

OL,交8c于點(diǎn)E，點(diǎn)E就是OL垂直于BC的垂足.

第五步：連接0E，以點(diǎn)。為圓心，以0E的長為半徑畫圓，9即為所求.

（2）如圖，直線即為所求作.

步驟：第一步：連接OP,作0尸的垂直平分線/，交OP于點(diǎn)、A；

第二步：以力為圓心，A。為半徑作圓，交。于點(diǎn)M；

第三步：作直線PM,則直線PM即為。的切線.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)切圓的尺規(guī)作圖法，明確內(nèi)切圓圓心是三角形各內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)

是解決本題的關(guān)鍵.也考查了圓的切線判定，基本作圖，切線的定義.

2.（2023上?江蘇揚(yáng)州?九年級校聯(lián)考期中）請按下列要求作圖.

。?

mi

⑴如圖1,在方格紙中，點(diǎn)/在圓上,僅用無刻度直尺過點(diǎn)N畫出圓的切線;

⑵如圖2,己知。2,點(diǎn)。在外，用尺規(guī)作：。2上所有過點(diǎn)0的切線.（保留作圖痕跡）

【答案】（1）見解析

（2）見解析

【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，過圓外一點(diǎn)作圓的切線（尺規(guī)作圖）以及方格作圖：

（1）根據(jù)方格的特征，因?yàn)?￡>=AE，ZBZM=ZAEC=90°,AD=EC,得A8是直徑，△ABD/ZXCAE,

即得ZBAD+ZABD=ZBAD+ZEAC=ZBAC=90°,據(jù)此作圖即可：

（2）連接。。2,再作線段。。2的垂直平分線，交Q。？尸一點(diǎn)，即為點(diǎn)。，以點(diǎn)。為圓心，OQ為半徑，，：。2

相交于點(diǎn)兒點(diǎn)從連接。4,QB,因?yàn)镼。?為直徑，/。4。2=90。=/。3。2,即為切線4,切線/；，即可

作答.

正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）解：如圖，直線4c即為所求：

（2）解：所有過點(diǎn)。的切線為切線切線/；，如圖所示:

3.（2023上?江蘇揚(yáng)州?九年級統(tǒng)考期中）用直尺和圓規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法:

O

圖①

⑴在圖①中,己知。，，點(diǎn)尸在OG上,

（2）在圖②中,已知。2，點(diǎn)。在，R外，過點(diǎn)。作Q的切線L

【答案】（1）見詳解

（2）見詳解

【分析】本題考查了作圖-笈雜作圖、也考杳了切線的判定.復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，

一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法.解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾

何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作

（1）以。?為圓心，