23.2.1中心對稱

1通過具體實例，理解中心對稱與中心對稱圖形的概念以及中心對稱與中心對稱圖形的區(qū)別

,聯(lián)系

；2.探索并掌握中心對稱的性質(zhì)，會畫已知圖形關(guān)于已知點成中心對稱的圖形

.掌握關(guān)于原點對稱的點的坐標特征，能畫出已知圖形關(guān)于原點對稱的圖形

S運用中心對稱的性質(zhì)以及關(guān)于原點對稱的點的坐標特征解決相關(guān)的問題

知識點一中心對稱

1.中心對稱及其相關(guān)概念

把一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180°,如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖

形關(guān)于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中心（簡稱中心）.這兩個圖形在旋轉(zhuǎn)后

能重合的對應點叫做關(guān)于對稱中心的對稱點

如圖所示，AABC與關(guān)于點0對稱，也就是說，ZXABC繞點。旋轉(zhuǎn)180°后能與

△力'8'。'重合，點A與點⑷，點B與點"，點C與點c，分別是關(guān)于點0的對稱點.

2.中心對稱與軸對稱的區(qū)別與聯(lián)系

變換區(qū)別軸對稱

圖形繞某一點（對稱中心）旋轉(zhuǎn)180。圖形沿某一直線（對稱軸）對折180°

區(qū)別圖形旋轉(zhuǎn)后與另一個圖形重合圖形折疊后與另一個圖形重合

對稱中心只有一個至少有一條對稱軸

聯(lián)系都是兩個圖形之間的位置關(guān)系，兩個圖形全等

即學即練1（2223下?泰州?階段練習）下列圖標中，是中心對稱圖形的是（）

<S>B<t>c?0<$>

【答案】D

【分析】根據(jù)中心對稱圖舫定義把一個圖形繞某一點旋耕180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與

原來的圖形重合，那么這人圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心：可分析出答案.

【詳解】解：A、不是中心對稱圖形，故不符合題意；

B、不是中心對稱圖形，故不符合題意；

C、不是中心對稱圖形，故不符合題意；

D、是中心對稱圖形，故符合題意；

故選：D.

【點睛】此題主要考查了中心對稱圖形的概念，熟記中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)

180°后兩部分重合是解建的關(guān)鍵.

即學即練2（2223上?保定?期中）如圖，△/4c與"EC'關(guān)于點°成中心對稱，下列結(jié)論

中不成立的是（）

A.OB=OBB.Z1ACB=A'B'C

C.點A的對稱點是點HD.BC〃EC

【答案】B

【分析】根據(jù)中心對稱的性質(zhì)解決問題即可.

【詳解】解：△48c與△HB'C關(guān)于點°成中心對稱，

-.OB=OB\=點A的對稱點是點H.BC〃BC,

故A,C,D正確，

故選：B.

【點睛】本題考查中心對稱，解題的關(guān)鍵是掌握中心對稱的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型.

知識點二中心對稱的性質(zhì)

1.中心對稱的兩個圖形，對稱點所連線段都經(jīng)過對稱中心，而且被對稱中心所平分

2.中心對稱的兩個圖形是全等圖形

即學即練1（22-23下?德州?期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，AC,BD為對角線，BC=6,

4c邊上的高為5,則陰影部分的面積為（）

A.8B.10C.15D.30

【答案】C

【分析】圖中陰影部分的字一塊都與非陰影部分的某一塊關(guān)于平行四邊形的中心對稱，所以

可以由中心對稱圖形的姓盾得到解答.

【詳解】解：由圖可知，圖中陰影部分的每一塊關(guān)于平行四邊形的中心對稱圖形都在平行四

邊形上，且都是非陰影的部分，

—Sfn=-x6x5=15

則陰影部分的面積為2一2,

故選：C.

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、中心對稱圖形的性質(zhì)，熟練掌握中心對稱圖形的性

質(zhì)是解題關(guān)鍵.

即學即練2(2223下?宿州?期中)如圖,"5C由"EC繞。點旋轉(zhuǎn)180。而得到,則下列

結(jié)論不成立的是()

A.點力與點4是對應點B.BO=BO

C.ZACB=ZCAB'D.AB=AB

【答案】0

【分析】根據(jù)中心對稱圖杉的性質(zhì)，逐項進行判斷即可.

【詳解】解：???與”'"C'關(guān)于點0成中心對稱，

，點A與H是一■組對應點，°B=OB,Z.AOB=/.A'OB't故A,B,D都不合題意.

???N4C8與NCR*不是對應角，

.?.N4C8與NC4B'不一定相等，NACB=NCA'B'不限立,故C符合題意.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了中心對稱的性質(zhì)，熟練掌握成中心對稱的兩個圖形，對應點的連線

被對稱中心平分，對應角相等，對應線段相等，是解題的關(guān)鍵.

知識點三確定對稱中心的方法

方法1:連接任意一對對稱點，取這條線段的中點，則該點為對稱中心

方法2:連接任意兩對對稱點，這兩條線段的交點即是對稱中心

:注意；.......................................................................

:(1)中心對稱是一種特殊的旋轉(zhuǎn)，因此，它具有旋轉(zhuǎn)的一切特征

；(2)中心對稱的特征(性質(zhì))是畫已知圖形關(guān)于某點對稱的圖形的主要依據(jù)

:(3)可以利用中心對稱的性質(zhì)來證明有關(guān)的線段相等、平行及三角形全等

I

L一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一

即學即練1(2122下?來賓?期中)如圖，和△￡>/關(guān)于點O成中心對稱.

(1)找出它們的對稱中心；

(2)若XC=6,AB=5,BC=4,求心"'的周長；

(3)連接力“，CD,試判斷四邊形48b的形狀，并說明理由.

【答案】(1)見解析

(2)15

⑶平行四邊形，理由見解析

【分析】(1)根據(jù)中心好稱的性質(zhì)，對稱中心在線段AD、CF上，則連接AD和CF,它們的

交點即為對稱中心0：

(2)根據(jù)中心對稱的兩個三角形全等可得到aDEF各邊的長，然后計算4DEF的周長；

(3)根據(jù)中心對稱的性質(zhì)得0A=0D,0C=OF,則根據(jù)平行四邊形的判定方法可判斷四邊形ACDF

為平行四邊形.

【詳解】(1)如圖，點。為所作：

(2)/△ABC和ADEF關(guān)于點0成中心對稱，

/.△ABC^ADEF,

，DF二AC二6,DE二AB二5,EF二BC二4,

AADEF的周長=4+5+6=15：

(3)四邊形ACDF為平行四邊形.理由如下：

VAABC和4DEF關(guān)于點0成中心對稱,

.\OA=OD,OC=OF.

???四邊形ACDF為平行四邊形.

【點睛】本題考查了中心對稱的性質(zhì).也考查了平行四邊形的判定.熟練掌握中心對稱的性

質(zhì)和平行四邊形的判定方法是解答本題的關(guān)鍵.

知識點四畫已知圖形關(guān)于某一點對稱的圖形

1.畫圖關(guān)鍵

先確定對稱中心，再作出原圖形上關(guān)鍵點關(guān)于對稱中心的對稱點

2.畫圖步驟

(1)連接：分別將原圖形上的所有關(guān)鍵點與對稱中心連接并延長：

⑵截取等長截取在延長線上截取長度等于關(guān)鍵點與對稱中心所連線段的長度，截取的

交點就是該關(guān)鍵點的對稱點：

⑶順次連接:將對稱點參照原圖形順次連接起來，即可得出關(guān)于對稱中心對稱的圖形

畫已知圖形關(guān)于某一點對稱的圖形

即學即練1(2324上?廈門?階段練習)如圖，在』8c中，48=6,AC=10,8C'邊上的

中線45=4.

⑴以點。為對稱中心，作出△力8。的中心對稱圖形；

⑵求“8C的面積的值.

【答案】(1)見解析

⑵24

【分析】（1）延長力。到點M,使M。=力。，然后連接CM即可；

（2）證明△4。8g4￡。。得到?！?48=6,NM=NBAD,再利用勾股定理的逆定理得到

△4V/C為直南三語形，Z.W=90°,4^-=+^CD=^fCD+LACD=^c\>進

行求解即可.

【詳解】（1）解：如圖所示，△MC。即為所求；

（2）解：如圖所示，過點A作4〃~L8C于比

?.?4。為中線，

?-?BD=CD9

又-;AD=MD,ZADB=/MDC,

."。噲AMOC（SAS）

??9

/,CM-AD-6,乙M—4BAD,S△皿二S^”,

在中，?/CM=6AM=AD+DM=8AC=10

222

;tCM+AM=AC

.?.△/"（?為直角三角形，NM=90。，

SgBC=S&4BD+S*4CD=^^MCD+,^AJCD=^^AC.Kf="X6x8=24

Z.2.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理的逆定理，畫中心對稱圖形等

等，靈活運用所學知識是解題的關(guān)鍵.

即學即練2（1920上?江門?期末）如圖，已知AABC與AAB2關(guān)于點。成中心對稱，點A

的對稱點為點A，,請你用尺規(guī)作圖的方法，找出對稱中心。，并作出△ABU.（要求：尺規(guī)

作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）.

【答案】見解析

【分析】連接AA，,作AA'的垂直平分線得到它的中點0,則點0為對稱中心，延長B0到

B',使OB'=0B,延長CO到C’,使0C'=0C,則4A'B'C'滿足條件.

【詳解】如圖，點0和4A'B，C'為所作.

【點暗】本題考查了根據(jù)旋轉(zhuǎn)變化作圖的知識，根據(jù)作線段的垂直平分線找到對稱中心是解

決問題的關(guān)鍵.

題型一中心對稱

例11（2023?湖北武漢?校聯(lián)考模擬預測）現(xiàn)實世界中，龍稱現(xiàn)象無處不在，中國的方塊字中

有些也具有對稱性.下列漢字是中心對稱圖形的是（）

.團.結(jié)互。助

【答案】C

【分析】利用軸對稱圖形的概念即可即可解答.

【詳解】解：A、團不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

B、結(jié)不是中心對稱圖形，故此選項不合題意：

C、互是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

D、助不是中心對稱圖形，故此選項符合題意.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了中心對稱圖形，關(guān)鍵是把一個圖形繞著某個點旋轉(zhuǎn)180°,如果旋

轉(zhuǎn)后的圖形與另一個圖形更合，那么就說明這兩個圖形的形狀關(guān)于這個點成中心對稱.

舉一反三1（2023春?江西南昌?九年級校考階段練習）如圖所示的是由6x6個邊長為1

的小正方形網(wǎng)格組成，每個小正方形的頂點稱為格點，AABC的三個頂點4B,C均在格

點上，將△48C繞著邊的中點旋轉(zhuǎn)180。，下面說法不正確的是（）

A.。各邊的中點都可通過網(wǎng)格確定

B.繞/1C的中點旋轉(zhuǎn)后得到的三角形的頂點不在網(wǎng)格的格點上

C.旋轉(zhuǎn)前后的兩個三角形可形成平行四邊形

D.△48C繞著各邊的中點旋轉(zhuǎn)后得到的三角形的頂點都在網(wǎng)格的格點上

【答案】B

【分析】將△ABC繞著邊的中點旋轉(zhuǎn)180°后根據(jù)選項依次作答.

【詳解】解：A.ZXABC各邊的中點都可通過網(wǎng)格確定，故該選項正確，不符合題意；

B.將4ABC繞著AC邊的中點旋轉(zhuǎn)180°后如圖，

繞AC的中點旋轉(zhuǎn)后得到的三角形的頂點在網(wǎng)格的格點上，故該選項不正確，符合題意；

C.旋轉(zhuǎn)前后的兩個三角形可形成平行四邊形

D.根據(jù)中心對稱的性質(zhì)可得，△ABC繞著各邊的中點旋轉(zhuǎn)后得到的三角形的頂點都在網(wǎng)格

的格點上

故選：B.

【點睛】本題考查了平行四邊形的判定，旋轉(zhuǎn)變換等知識，解題的關(guān)鍵是掌握中心對稱的性

質(zhì).

舉一反三2（2023?河北唐山?統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標系中，正方形4BCD的頂

點4的坐標為（-6,4）,點8,C在x軸匕將正方形工BCD平移后，點。成為新正方形

的對稱中心，則正方形4BCO的平移過程可能是（）

A.向右平移8個單位長度，再向下平移4個單位長度

B.向右平移4個單位長度，再向下平移4個單位長度

C.向右平移2個單位長度，再向下平移4個單位長度

D.向右平移4個單位長度，再向下平移2個單位長度

【答案】D

【分析】先根據(jù)A點坐標推出正方形ABCD中的C點坐標，再根據(jù)正方形的性質(zhì)，求出對

南線交點坐標,也就是對稱中心的坐標，最后由正方形的平移轉(zhuǎn)化到正方形的對稱中心的平

移即可就出平移過程.

【詳解】???四邊形ABCD為正方形，已知B、（:在x軸上，且點A的坐標為（-6,4）,

???根據(jù)正方形的性質(zhì)可得正方形的邊長AB=4,

???B點坐標為（-6,0）,C點坐標為（-2,0）,

???正方形的對稱中心為對角線的交點，正方形對角線相互平分，

二正方形ABCD的對稱中心的坐標為AC的中點坐標，

，對稱中心的坐標為（-4,2）,

???將正方形ABCD平移后，點0成為新正方形的對稱中心，

???正方形ABCD的平移過程即為對稱中心的平移過程，

;正方形ABCD的對稱中心的坐標為（-4,2）,平移后的正方形的對稱中心為坐標原點，

.??可得出正方形的平移方式為向右平移4個單位長度，再向下平移2個單位長度.

故選:D.

【點暗】本題考查中心對稱，正方形的性質(zhì)，點的平移等知識點，解題的關(guān)鍵是求出原來正

方形的對稱中心，結(jié)合對稱中心點的平移方式得到正方形的平移方式.

題型二畫已知圖形關(guān)于某點對稱的圖形

例2（2023?江西南昌??？级＃┤鐖D，在矩形ABCD中，E為CD的中點（保留作圖痕跡）.

（1）在圖1中作矩形ABCD關(guān)于點E成中心對稱的圖形.

（2）在圖2中作以E為頂點的矩形.

【答案】(1)見解析：

⑵見解析

【分析】(1)連接AE并延長至點M,使得AE=ME;連接BE并延長至點N,使得BE=NE,

連接DN、MN、CN,即可得到矩形DCMN為所求作；

(2)連接AC、BD,交點為點0,連接E0并延長交AB于點F,根據(jù)中位線定理，得到EF//

AD//BC,即可得到矩形ADEF或矩形BCEF為所求作.

【詳解】(1)解：如圖1中，矩形DCMN即為所求；

(2)解：如圖2中，矩形ADEF或矩形BCEF即為所求.

【點睛】本題考查了畫中心對稱圖形，矩彩的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理等知識，根據(jù)

相關(guān)性質(zhì)正確作圖是解題關(guān)鍵.

舉一反三1(2023?安徽亳州?校聯(lián)考模擬預測)如圖，在平面直角坐標系中，△A8C三個

頂點的坐標分別為/(-3,5),R(-5,1),C(0,4).

⑴作出△48C關(guān)于y軸對稱的4ABC,

(2)作出△ABC關(guān)于點。成中心對稱的△

⑶在工軸上找一點P,使P8=PG，并寫出點P的坐標.

【答案】(1)作圖見解析

(2)作圖見解析

⑶作圖見解析，(-1,0)

【分析】(1)先找出A、B、C三點關(guān)于y軸對稱的對稱點A'、B'、C',連接三點畫出三

角形：

(2)根據(jù)中心對稱的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

(3)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】(1)解：如圖所示：

??.△A'B'C'即為所求：

(2)解：如圖所示：

???△A[B[Ci即為所求：

(3)如圖所示：

???點P即為所求，坐標為(-1,0).

【點睛】本題考查作圖-旋轉(zhuǎn)變換.軸對稱變換,熟練掌握基本作圖知識是解題的關(guān)鍵.

舉一反三2（2023秋?安教合肥?九年級合肥市五十中學西校?？计谀┓礁窦堉械拿總€小

方格都是邊長為1個單位的正方形，在建立平面直角坐標系后，△4BC的頂點均在格點上,

點。的坐標為（4,一1）.

⑴以原點O為對稱中心，畫出與△ABC關(guān)于原點O對稱的△4B1C1；

⑵再畫出△A8C以。為旋轉(zhuǎn)中心，沿順時針方向旋轉(zhuǎn)90。后的圖形△々/C：

⑶在（2）的條件下，直接寫出點4旋轉(zhuǎn)到私所經(jīng)過的路徑長.

【答案】（1）見解析

（2）見解析

⑶當n

【分析】G）分別確定A,B,C關(guān)于原點對稱的A],B-,Ci，再順次連接A】，Bi，C1即可

得到答案；

（2）分別確定A,B繞C逆時針旋轉(zhuǎn)90°的對應點A2，B2,再順序連接A2，B2,C即可得

到答案；

（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可解答.

【詳解】（1）解:如圖所示，AAiBiCi即為所求；

（2）解：如圖所示，ZSA2B2c即為所求；

（3）解：由（2）可知點B的軌跡為一段;圓弧，且BC=JiU,

???點B旋轉(zhuǎn)到B2所經(jīng)過的路徑長為qX2nXX/To=^n,

故答案為：n.

【點睛】本題考查的是中心對稱的作圖，旋轉(zhuǎn)的作圖，坐標與圖形的計算，掌握旋轉(zhuǎn)與中心

對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

題型三畫兩個圖形的對稱中心

例3（2023秋?河北邢臺?九年級統(tǒng)考期末）如圖，A/IBC和aDEF關(guān)于點。成中心對稱.

⑴找出它們的對稱中心。；

（2）若AB=6,AC=5,BC=4,求△DEF的周長;

【答案】（1）見解析

⑵15

【分析】（1）連接AD,CF,其交點就是對稱中心0;

（2）依據(jù)△ABC和△DEF關(guān)于點0成中心對稱，即可得到△ABC紇△DEF,進而得出

△DEF的周長

【詳解-】（1）解：如圖所示，點。即為所求：

（2）解：:△ABC和aDEF關(guān)于點0成中心對稱，

，△AB&△DEF,

/.AB=DE=6,AC=DF=5,BC=EF=4,

.??△DEF的周長=DE+DF+EF=6+5+4=15;

答：△DEF的周長為15.

【點睛】本題主要考查了中心對稱，正確掌握中心對稱圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

舉一反三1（2023春?陜西咸陽?九年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標系中，△/次：各

頂點的坐標為4（2,4）,8（1,2）,C（4,4各頂點的坐標為。（4,-4）,E（5,-

2）,F（2.-1）.

⑴在圖中作出△ABC關(guān)于y軸對稱的^ABC'；

⑵若△ABC與^DEF關(guān)于點P成中心對稱，則點P的坐標是_.

【答案】（1）見解析

（2）（3,0）

【分析】G）根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標相同，先在坐標系中描出

A、B、C的對應點A'、B'、C',然后順次連接A'、B'、C'即可;

（2）如圖所示，連接AD與CF交于點P,點P即為所求.

【詳解】（1）解：如圖所示，ZkA'B'C'即為所求；

（2）解：如圖所示，連接AD與CF交于點P,

由圖可知點P的坐標為（3,0）（此坐標可以利用P是AD的中點進行求解），

故答案啊為：（3,0）.

【點睛】本題主要考查了坐標與圖形變化一軸對稱，找對稱中心，靈活運用所學知識是解題

的關(guān)鍵.

舉一反三2（2023?浙江溫州?統(tǒng)考模擬預測）在平面直角坐標系中，△彳8C三個頂點的坐

標分別是4（3,1）,B（1,4）,C（0,1）

（1）將△49C繞點。旋轉(zhuǎn)180。，請畫出旋轉(zhuǎn)后對應的△48/G；

（2）將△小乩。沿著某個方向平移一定的距離后得到△4見G,已知點小的對應點4的

坐標為(3,1),請畫出平移后的△482c2；

(3)若△48。與△482C2關(guān)于某一點中心對稱，則對稱中心的坐標為.

【答案】(1)見解析；：2)見解析：(3)0(0,0).

【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出4ABC的對應點Ai，Bi，C「連線即可；

(2)根據(jù)平移后點的坐標得出平移方式，然后畫出平移圖形即可；

(3)根據(jù)成中心對稱的兩個圖形對應點連線的交點即為對稱中線解答即可.

【詳解】解：(1)如圖，△A1B1C1即為所作；

(2)如圖，4A2B2c2即為所作；

(3)對稱中心為0(0,0).

【點睛】本題考查了坐標與圖形一旋轉(zhuǎn)、平移，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及平移的規(guī)律是解本

題的關(guān)鍵.

題型四根據(jù)中心對稱的性質(zhì)求面積、長度、角度

例4(2023秋?廣西欽州?九年級統(tǒng)考期末)如圖，AABC與△A'B'C'關(guān)于點0成中心對

稱，則下列結(jié)論不成立的是()

A.點A與點/是對稱點B.BO=BOC.ABWAB'

D.乙4cB=/.CAB

【答案】D

【分析】根據(jù)中心對稱的性質(zhì)判斷即可.

【詳解】解：:△ABC與△A'B'C'關(guān)于點0成中心對稱，

，點A與A'是一組對稱點，OA=OA',OB=OB',ZAOB=NA'OB’，

:.A,B都不合題意：

，△OAB且△OA'B',

AZBAO=NOB'A，

AAB〃A'B',

C不符合題意：

'：NACB與NC'A'B'不是對應角，

???ZACB=NC'A'B'不成立,

D符合題意：

故選:D.

【點暗】本題考查中心對稱的性質(zhì)，掌握中心對稱的性質(zhì)是求解本題的關(guān)鍵.

舉一反三1（2023?河北滄州?統(tǒng)考二模）如圖由6x6個邊長為1的小正方形組成，每個小

正方形的頂點稱為格點，AA8C的三個頂點4B,C均在格點上，。是力。與網(wǎng)格線的交

點，將△48。繞著點。順時針旋轉(zhuǎn)180。.以下是嘉嘉和淇淇得出的結(jié)論，下列判斷正確的

是（）

嘉嘉：旋轉(zhuǎn)后的三角形的三個頂點均在格點上；

淇淇：旋轉(zhuǎn)前后兩個三角形可形成平行四邊形

A.只有嘉嘉對B.只有淇淇對C.兩人都對D.兩人都不對

【答案】C

【分析】畫出旋轉(zhuǎn)后的圖開/根據(jù)圖形解答.

【詳解】如圖，取格點B',連接OB',0B,取格點E,F.

ZAEO=ZCFO,ZAOE=ZCOF,AE=CF,

.*.△AOE^ACOF,

/.0A=OF,

，點A關(guān)于點0的對稱點與點C重合，點C關(guān)于點0的對稱點與點A重合.

同理可證：點B與點B'關(guān)于點0對稱，

???旋轉(zhuǎn)后的三角形的三個頂點均在格點上，

故嘉嘉說法正確；

由中心對稱的性質(zhì)得△ABCgZ\A'BZC,

AAB=A'B',BC=B'C,

J四邊形ABA'B'是平行四邊形，

???旋轉(zhuǎn)前后兩個三角形可防成平行四邊形，

故淇淇說法正確.

故選C.

【點暗】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，中心對稱的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解答本題

的關(guān)鍵.

舉一反三2（2023秋?江西南昌?九年級南昌市第十七中學?？计谀┤鐖D矩形的長為10,

寬為4,點O是各組三角形的對稱中心，則圖中陰影面積為（）

A.20B.15C.10D.25

【答案】A

【分析】在矩形中，點0是各組三角形的對稱中心，由S陰影=S空白=：S矩形可求得結(jié)果.

【詳解】解：在矩形中，點0是各組三角形的對稱中心，

???S陰影=S空白=？X10X4=20,

故選：A.

【點睛】本題考查了中心對稱的性質(zhì)；理解中心對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

一、單選題

1.（23?24上?楚雄?期中）在平面直角坐標系中，平行四邊形力BC。的對稱中心是坐標原點,

頂點力、〃的坐標分別是（-1,1）、（2』），將平行四邊形/8CZ）沿x軸向左平移3個單位長度,

則頂點C的對應點。的坐標是（）

A.（-2,-1）B.（4,-1）C.（1,2）D.（2,1）

【答案】A

【分析】由題意平行四邊形力4c。的對稱中心是坐標原點，求出點C的坐標，再利用平移的

性質(zhì)求出點C1的坐標可徉姑論.

【詳解】解：???平行四邊形/8CO的對稱中心是坐標原點，

???頂點C的坐標是

?.?將平行四邊形4BCD沿x軸向左平移3個單位長度，

???對應點C1的坐標是（一ZT）.

故選：A.

【點睛】本題考查中心對稱，平行四邊形的性質(zhì)，坐標與圖形變化平移等知識，解題的關(guān)鍵

是熟練掌握中心對稱的性質(zhì)，關(guān)于原點對稱的兩個點的坐標，橫縱坐標互為相反數(shù).

2.（23?24上?朝陽?期中）下列各圖中，四邊形力8c。是正方形，其中陰影部分兩個三角形

成中心對稱的是（）

【答案】A

【分析】根據(jù)成中心對稱的定義進行判斷作答即可.

【詳解】解：由題意知，

【點睛】本題考查了成中心對稱.解題的關(guān)鍵在于熟練掌握：如果把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)

180°后能與另一個圖形重合，這兩個圖形成中心對稱.

3.（2324上?珠海?期中）如圖，兩個半圓分別以O,。為圓心，它們關(guān)于某點成中心對稱,

點4B,4，用在同一直線上，則對稱中心為（）

A.點。B.點BC.線段的中點D.線段44的中點

【答案】D

【分析】由已知兩個圖形的位置，判斷它們是否中心對稱，可以把各對應點連線，看所有連

線是否交于同一點.

【詳解】解：如圖：

作法：1.過點q作oc,.s交OO于點c,過點?作同片交0a于點。，

2.連接CO交力4于點E.

故點￡即為所求

證明：1/8,OID1AIB]

,GO是對稱點，44是對稱點，

故CD,44的交點E為對稱中心.

故選：D.

【點睛】本題考查了中心對稱，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵.

4.（22?23下?南昌?階段練習）如圖所示的是由6x6個邊長為1的小正方形網(wǎng)格組成，每個

小正方形的頂點稱為格點，/4C的三個頂點A,B,。均在格點上，將AJBC繞著邊的中

點旋轉(zhuǎn)180。，下面說法不正確的是（）

A.各邊的中點都可通過網(wǎng)格確定

B.繞4C的中點旋轉(zhuǎn)后得到的三角形的頂點不在網(wǎng)格的格點上

C.旋轉(zhuǎn)前后的兩個三角形可形成平行四邊形

D.“4C繞著各邊的中點旋轉(zhuǎn)后得到的三角形的頂點都在網(wǎng)格的格點上

【答案】B

【分析】將△48c繞著邊的中點旋轉(zhuǎn)180°后根據(jù)選項依次作答.

【詳解】解：A./XABC各邊的中點都可通過網(wǎng)格確定，故該選項正確，不符合題意；

B.將AABC繞著力C邊的中點旋轉(zhuǎn)180°后如圖，

繞10的中點旋轉(zhuǎn)后得到的三角形的頂點在網(wǎng)格的格點上，故該選項不正確，符合題意；

C.旋轉(zhuǎn)前后的兩個三角形可形成平行四邊形

D.根據(jù)中心對稱的性質(zhì)可得，&48c繞著各邊的中點旋轉(zhuǎn)后得到的三角形的頂點都在網(wǎng)格

的格點上

故選：B.

【點睛】本題考查了平行四邊形的判定，旋轉(zhuǎn)變換等知識，解題的關(guān)鍵是掌握中心對稱的性

質(zhì).

5.（23?24上?鄭州?階段練習）如圖，原點。為Y"CO的對稱中心，居||x軸，與y軸交

于點E（0,l）,力。與x軸交于廣（一小0）,BE=2AE.若將△4OE繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)，

\,乙）

每次旋轉(zhuǎn)90。，則第502次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點力的對應點的坐標為（）

A.（1,-1）B.（-1,1）C.佟-1）D.（3,0）

【答案】A

【分析】連接°C,設CO與V軸交于點G,8C與X軸交于點〃，利用中心對稱的性質(zhì)確定

OF、OIL五〃的長度，利用平行四邊形的判定及性質(zhì)可以得到力8=%，再根據(jù)8E=24E

確定點A的坐標，由旋轉(zhuǎn)的周期性確定AJOE繞原點0順時針旋轉(zhuǎn)第502次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時與

△COG位直重合，從而確定點A與點C重合，即可得到點A的對應點的坐標.

【詳解】連接℃,設°。與）'軸交于點G,8c與x軸交于點〃，

???原點°為Y48CZ）的對稱中心，

???點H與點尸關(guān)于點。對稱,

OF=OH=—

?/四邊形ABFH是平行四邊形，

???AB=FH=3

文,??BE=24E,點、E（0,l）

AE=-AB=\

3

即點'（TJ）,點C（L-1）

?.?八力。內(nèi)繞原點。順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°,

、

???36090,=4，

502+4=125…2

即^OE繞原點o順時針旋轉(zhuǎn)第502次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時與ACOG位置重合，此時點A與點C重合,

，點A的對應點的坐標為（LT）.

故選A.

【點睛】本題考查了圖形與坐標，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，中心對稱的性質(zhì)，周期型規(guī)律問題，能準確

確定點A的坐標及在第5c2次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時。。E所在的位置是解決本題的關(guān)鍵.

二、填空題

6.（23?24上?商丘?期中）如圖，A8C與SEC關(guān)于點C成中心對稱，點A/、N分別是4C、

8。的中點，若MN=4,則?！?

【答案】8

【分析】本題考查了中心對稱圖形的性質(zhì)及三角形中位線的性質(zhì)，根據(jù)中位線的性質(zhì)得

川？=8,再根據(jù)中心對稱圖形的性質(zhì)得OE=/18=8,題練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：...點M,N分別是力C,8c的中點，且MN=4,

\AB=2MN=8,

與△OEC關(guān)于點c成中心對稱，

/.DE-AB-S

故答案為：8.

7.（2324上?廈門?期中）如圖，已知/七二715,4。=1,/〉=90。4。員?與“8。關(guān)于點。成

中心對稱，則的長是.

【答案】3

【分析】直接利用中心對稱的性質(zhì)得出℃="C=1,DE=AB的長,進而利用勾股定理得

出答案.

【詳解】解：:AOEC與J8C關(guān)于點c成中心對稱，“c=l,

ADC=AC=\，DE=AB?

vJ￡=Vi3,ZD=90o

9

在RtZ^EDA中,

DE=>JAE2-AD2=J13-4=3

AB=DE=3

故答案為：3.

【點睛】本題考查成中心對稱和勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握成中心對稱的性質(zhì)：對應邊相

等.

8.（23?24上?烏蘭察布?期中）如圖，菱形/8CQ的對角線彳C、8。交于點O,若小0。與

△8'0'C關(guān)于點C成中心對稱，AC=2,x*=5,則菱形力BCO的邊長是.

【答案】布

【分析】連接力"，根據(jù)菱形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得到°力=℃=℃=1，OBLOC^

OB'IO'C、RC=B'C,根據(jù)48'=5,利用勾股定理計舁0'8‘，再次利用勾股定理計算B'C

即可.

【詳解】解：連接力*,加圖：

???四邊形/8CO是菱形，力。。與△*℃關(guān)于點C成中心對稱，AC=2t

.?OA=OC=O,C=\OBIOCBC=BC

"=￡+"=2+1=3,

??.府=5,

-O'B'=yjAB,2-OfA2=A/5-32=4

??9

?B'C=，OE2+OY=8+F=后

??，

?BC=B'C=H

??，

即菱形A48c。的邊長是癡.

故答案為：M.

【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及勾股定理等知識，熟練掌握菱形的基本形

式并靈活運用勾股定理是解決本題的關(guān)鍵.

9.（23?24上?全國?課時練習）如圖，繞點。旋轉(zhuǎn)180。后能與△HB'C'重合，則"8C

與關(guān)于點。成,其中40,H三點在同一直線上，并且40=40,此外分

別在同一直線上的三點還有,，并且有80=.

co=.

【答案】中心對稱BQBC,O,CB'OCO

【分析】根據(jù)中心對稱的性質(zhì)可解答.

【詳解】解：△,繞點。旋轉(zhuǎn)180。后能與重合，則△力8c與△HB'C'關(guān)于點0成中

心對稱，其中A,O,H三點在同一直線上，并且40=40,此外分別在同一直線上的三

點還有8,0,8'和C,0,C,并且有50=80,CO=CO.

故答案為：中心對稱：B.0,8'；C,0,C.B1O.CO,

【點睛】本題考查中心對稱，掌握中心對稱的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

10.（22?23上?綏化?期中）求直線y=x+1關(guān)于點歷（1,0）成中心對稱的直線的解析式.

【答案】

【分析】在直線，=、+】上取兩點N（O,1）'（TO）,求出45關(guān)于點"（1，°）的對稱點

H（Z-l）*（3,0）再根據(jù)待定系數(shù)法求解即可.

【詳解】解：在直線…+1上取兩點“（°」），/TO）

則48關(guān)于點M（L°）的對稱點為A，（，）,（，）,

設直線彳"為：y="b

2k+b=-\\k=1

則［3"b=。，解得仍=-3

即y=x-3

即直線片"1關(guān)于點M（L°）成中心對稱的直線的解析式為V=x-3

故答案為：y=x-3

【點睛】此題考查了待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是正確求得直線上H,9兩

點的坐標.

三、解答題

11.（2324上?廣州?期中）如圖，“G8與△CGO關(guān)于點G中心對稱，若點E,尸分別在

GA、GC上，KAF=CE,求證：BF=DE.

【答案】見詳解

［分析］因為△/GA與△CGO關(guān)于點G中心對稱，所以/1G=CG,BG=DG,因為AF=CEt

所以AE=CF,即EG=FG,結(jié)合NBGF=NDGE,得證△BGF/ADGE,即可作答.

【詳解】證明：因為A/GB與△CGO關(guān)于點G中心對稱，

所以△A（jB=b.C（JD

所以4G=CGBG=DG

因為%T7=CE,

則AF-EF=CE-EF

所以4E=CF,

因為AG=CG

所以4G-4E=CG-CF

即EG=FG,

因為4BGF=/DGE,BG=DG

所以△8G/?gaZ)GE(SAS)

則BF-DE

【點暗】本題考查了成中心對稱的圖形特征以及全等三角形的判定與性質(zhì)，成中心對稱的兩

個圖形必定能重合，難度較小.

12.(2324上?廣元?期中)如圖，在平面直角坐標系中，△/14。的頂點坐標分別為力(4,6),

8(5,2),C(2,l).

⑴求a!8C的面積；

(2)在圖中畫出A8C繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到的“力。并寫出點力的對應點4的坐標.

⑶在圖中畫出關(guān)于百點O中心對稱的的圖形.

【答案】⑴6.5

⑵畫圖見解析，H(-3,3)

⑶畫圖見解析

【分析】(1)由長方形的面積減去周圍三個三角形的面積即可；

(2)分別確定A,B,C繞C點順時針旋轉(zhuǎn)90。的對應點H,B=C',再順次連接即可；再

根據(jù)?的位置可得其坐標：

(3)分別確定A,B,C關(guān)于原點成中心對稱的對應點不，歹,U,再順次連接即可；

S48c=3x5-1x1x3-L1x4-L2x5=157.5-2-5=6.5

【詳解】(1)解：.222；

(2)解：如圖，△4'8'C'即為所畫的三角形，

根據(jù)4的位置可得：“‘(一3,3)：

(3)如圖，△力"8"C"即為所畫的三角形.

【點睛】本題考查的是網(wǎng)珞三角形的面積，畫旋轉(zhuǎn)圖形，畫關(guān)于原點成中心對稱的圖形，熟

記旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)并運用于作圖是解本題的關(guān)鍵.

13.(22?23下?長春?期中)如圖，在"5C中,18=5cm,4c=4cm,8C=3cm,點。為邊48

的中點，動點P從點A出發(fā)，沿著4-C-8以每秒1cm的速度向點4運動，點。與點P關(guān)于

點。成中心對稱.設點P運動的時間為，秒.

⑴/4C8的度數(shù)為度：

⑵當點。在N/1CA的角平分線上時，求線段。。的長；

⑶連結(jié)80,40,8P.

①當四邊形力04。是菱形時，求菱形力P6。的面積；

②直接寫出S四邊形.BQ=時/的值.

【答案】(1)90；

(2)3&cm.

7511

—cm2'—s

(3)?8:②，=2s或2.

【分析】(1)根據(jù)勾股定理的逆定理即可判定“8c是直角三角形，ZACB=900.

(2)由點Q在/4c8的角平分線上可得N8C0=45。，由點Q與點p關(guān)于點o成中心對稱可

1正△力OP^A8OQ(SAS)隊而NA=/QBO即因巾匕/Q8C=180°—N/C8=90°

進而△4CQ是等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理可求得。。的長；

(3)①設力2=xcm,則爪二4一x(cm),根據(jù)菱形的性質(zhì)有BP=4P=xcm,在RtABPC中，

25

,,,AP=—cm

根據(jù)勾股定理有8C-+PU=8P-,從而構(gòu)造方程求解8,利用菱形面積公式即可

解答；

2

S.sc=-BC-AC^6(cm］

②根據(jù)三角形的面積公式可得