導(dǎo)數(shù)的概念及其意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算專項(xiàng)訓(xùn)練一、單項(xiàng)選擇題1.一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移s(單位:m)與時(shí)間t(單位:s)滿足函數(shù)關(guān)系式s=3t3-(2t+1)2+1,則當(dāng)t=1s時(shí),該質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度為()A.2m/s B.3m/sC.-3m/s D.-2m/s2.已知函數(shù)f(x)=x3-2x+2f'(2),其中f'(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),則f(2)=()A.12 B.20 C.10 D.243.設(shè)函數(shù)f(x)在R上存在導(dǎo)函數(shù)f'(x),f(x)的圖象在點(diǎn)M(1,f(1))處的切線方程為y=12x+2,那么f(1)+f'(1)等于(A.1 B.2C.3 D.44.已知直線y=ex-2是曲線y=lnx的切線,則切點(diǎn)坐標(biāo)為()A.1e,-C.1e,5.若直線y=2x是曲線y=x(ex-a)的切線,則a=()A.-e B.-1 C.1 D.e6.已知函數(shù)f(x)=x3-x和點(diǎn)P(1,-1),則過點(diǎn)P且與該函數(shù)圖象相切的直線的條數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.47.已知函數(shù)f(x)=lnx+x的零點(diǎn)為x0,過原點(diǎn)作曲線y=f(x)的切線l,切點(diǎn)為P(m,n),則mx0ex0等于(A.1e B.eC.1e2 二、多項(xiàng)選擇題8.已知直線l與函數(shù)f(x)=lnx+x2的圖象相切,則下列直線中可能與l垂直的是()A.l1:x+4y=0 B.l2:2x+5y=0C.l3:2x+3y=0 D.l4:2x-y=09.已知函數(shù)y=f(x)(x∈R)圖象上任一點(diǎn)(x0,y0)處的切線方程為y-y0=(x0-2)(x0+4)(x-x0),那么下列結(jié)論正確的是()A.f'(1)=-5B.在x=2處的切線平行或重合于x軸C.切線斜率的最小值為1D.f'(4)=12三、填空題10.若函數(shù)f(x)=x2+ax的圖象在點(diǎn)P(1,f(1))處的切線方程為y=mx+m,則實(shí)數(shù)a=11.已知函數(shù)f(x)=(x2+2x-1)ex的圖象在x=0處的切線與g(x)=alnx-1的圖象交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),且x2=2x1,則a=.12.請(qǐng)寫出與曲線y=sinx在原點(diǎn)(0,0)處具有相同切線的另一個(gè)函數(shù):.

四、解答題13.(13分)已知曲線y=x3+x-2在點(diǎn)P0處的切線l1平行于直線4x-y-1=0,且點(diǎn)P0在第三象限.(1)求切點(diǎn)P0的坐標(biāo);(2)若直線l⊥l1,且l也過切點(diǎn)P0,求直線l的方程.14.(15分)設(shè)函數(shù)f(x)=ax-bx,曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程為7x-4y-12=0(1)求f(x)的解析式;(2)證明曲線f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x=0和直線y=x所圍成的三角形面積為定值,并求此定值.15.(15分)已知函數(shù)f(x)=2x3-3x.(1)求曲線y=f(x)在x=0處的切線方程;(2)若過點(diǎn)P(-1,t)存在3條直線與曲線y=f(x)相切,求t的取值范圍.

答案1.C因?yàn)閟=3t3-(2t+1)2+1,所以s'=9t2-4(2t+1),當(dāng)t=1時(shí),s'=-3.故當(dāng)t=1s時(shí),該質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度為-3m/s.故選C.2.D由題意得f'(x)=3x2-2,故f'(2)=3×4-2=10,則f(x)=x3-2x+20,故f(2)=8-4+20=24.故選D.3.C由題意得f(1)=12×1+2=52,f'(1)=12,所以f(1)+f'(1)=4.A設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(t,lnt),因?yàn)?lnx)'=1x,所以在點(diǎn)(t,lnt)處切線的斜率為1t,所以曲線y=lnx在點(diǎn)(t,lnt)處的切線方程為y-lnt=1t(x-t),即y-lnt=1tx-1,所以1t=e,-2=ln5.B設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,x0(ex0-a)),因?yàn)閥=x(ex-a),所以y'=(ex-a)+xex=(1+x)ex-a,所以在切點(diǎn)處的切線的斜率為(1+x0)ex0-a,切線方程為y-x0(ex0-a)=[(1+x0)ex0-a](x-x0),即y=[(1+x0)ex6.B因?yàn)閒(1)=13-1=0,所以點(diǎn)P(1,-1)沒有在函數(shù)f(x)的圖象上.設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),則y0=x03-x0,f'(x0)=3x02-1.由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知,切線的斜率為k=3x02-1,又k=y0+1x0-1,所以y0=x03-x0所以切點(diǎn)有兩個(gè),因而有兩條切線.7.Bf'(x)=1x+1,切點(diǎn)為P(m,lnm+m),則切線方程為y=1m+1(x-m)+lnm+m,因?yàn)閘過原點(diǎn),所以0=1m+1(-m)+lnm+m,解得m=e,則P(e,e+1),由lnx0+x0=0,可得x0=-lnx0,故mx0ex0=ex0·e8.ABf(x)的定義域?yàn)?0,+∞),可得f'(x)=1x+2x≥22(當(dāng)且僅當(dāng)1x=2x,即x=22時(shí),等號(hào)成立),則直線l的斜率k≥22.設(shè)與l垂直的直線的斜率為m(m≠0),則k=-1m,所以-1m≥22,所以-9.AB由題意可得f'(x)=(x-2)(x+4),對(duì)于A,f'(1)=-5,A正確;對(duì)于B,當(dāng)x=2時(shí),f'(2)=0,故在x=2處的切線平行或重合于x軸,B正確;對(duì)于C,f'(x)=(x-2)(x+4)=x2+2x-8=(x+1)2-9≥-9,最小值為-9,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,f'(4)=(4-2)×(4+4)=16,D錯(cuò)誤.故選AB.10.1由函數(shù)f(x)=x2+ax求導(dǎo)得f'(x)=2x-ax2,依題意,m=f'(1)=2-a.又因?yàn)辄c(diǎn)P(1,f(1))在直線所以f(1)=1+a=2m,因此1+a=2(2-a),解得a=1.11.2ln2因?yàn)閒'(x)=(x2+4x+1)ex,所以f'(0)=1,又因?yàn)閒(0)=-1,所以切線方程為y=x-1.由題意可知,alnx1-1=x1-1,aln(2x1)-1=2x1-1,兩式相減,解得x1=aln2,所以alnx1=aln2,即x1=2,所以12.y=x3+x(答案不唯一)∵y=sinx的導(dǎo)函數(shù)為y'=cosx,又y=sinx過原點(diǎn),∴y=sinx在原點(diǎn)(0,0)處的切線斜率k=cos0=1,∴y=sinx在原點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y=x.所求曲線只需滿足過點(diǎn)(0,0)且在x=0處的導(dǎo)數(shù)值y'=1即可,如y=x3+x,∵y'=3x2+1,∴y=x3+x在原點(diǎn)處的切線斜率為1,又y=x3+x過原點(diǎn),∴y=x3+x在原點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y=x.13.解(1)由y=x3+x-2,得y'=3x2+1,由已知令3x2+1=4,解得x=±1.當(dāng)x=1時(shí),y=0;當(dāng)x=-1時(shí),y=-4.又點(diǎn)P0在第三象限,∴切點(diǎn)P0的坐標(biāo)為(-1,-4).(2)∵直線l⊥l1,l1的斜率為4,∴直線l的斜率為-1∵l過切點(diǎn)P0,點(diǎn)P0的坐標(biāo)為(-1,-4),∴直線l的方程為y+4=-14(x+1),即x+4y+17=014.解(1)方程7x-4y-12=0可化為y=74x-3,當(dāng)x=2時(shí),y=12,又f'(x)=a+bx2∴f(x)=x-3(2)設(shè)P(x0,y0)為曲線y=f(x)上任一點(diǎn),由y'=1+3x2知曲線在點(diǎn)P(x0,y0)處的切線方程為y-x0-3令x=0,得y=-6x0,∴切線與直線x=0令y=x,得y=x=2x0,∴切線與直線y=x的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2x0,2x0).∴曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,y0)處的切線與直線x=0和y=x所圍成的三角形的面積S=12-6x0·|2x0|=6.故曲線y=f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x=0和15.解(1)因?yàn)閒'(x)=6x2-3,所以f'(0)=-3,又因?yàn)閒(0)=0,所以曲線y=f(x)在x=0處的切線方程為y=-3x.(2)設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0),則f'(x0)=6x02-3,所以切線方程為y-y0=(6x02-3)(x-x0),將y0=2x03-3x0代入,整理可得y=3(2x又因?yàn)辄c(diǎn)P(-1,t)在切線上,所以t=-3(2x02-1)-4x03=-4x03-6x要使過點(diǎn)P(-1,t)存在3條直線與曲線y=f(x)相切,則方程(*)有3個(gè)解,令g(x0)=-4