2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)競賽拓?fù)涑醪皆嚲硪弧⑦x擇題（每題5分，共30分）下列集合中，與區(qū)間((0,1))同胚的是（）A.單位圓(S^1={(x,y)\in\mathbb{R}^2|x^2+y^2=1})B.閉區(qū)間([0,1])C.實(shí)數(shù)集(\mathbb{R})D.平面上的三角形區(qū)域（含邊界）設(shè)(X)是拓?fù)淇臻g，(A\subseteqX)，則下列命題正確的是（）A.若(A)是開集，則(A)的補(bǔ)集是閉集B.若(A)是閉集，則(A)的內(nèi)部等于(A)C.若(A)是連通集，則(A)的導(dǎo)集必非空D.若(A)是緊致集，則(A)是有界閉集在歐式拓?fù)湎拢铝锌臻g中不連通的是（）A.二維球面(S^2={(x,y,z)\in\mathbb{R}^3|x^2+y^2+z^2=1})B.平面上的雙曲線(xy=1)C.閉區(qū)間([0,1]\cup[2,3])D.三維歐氏空間(\mathbb{R}^3)設(shè)(f:X\toY)是拓?fù)淇臻g之間的連續(xù)映射，下列說法錯(cuò)誤的是（）A.若(X)是緊致空間，則(f(X))是(Y)的緊致子集B.若(X)是連通空間，則(f(X))是(Y)的連通子集C.若(f)是同胚映射，則(f)將(X)的開集映為(Y)的開集D.若(f)是滿射且連續(xù)，則(Y)的緊致性蘊(yùn)含(X)的緊致性關(guān)于度量空間的性質(zhì)，下列命題正確的是（）A.度量空間中的所有子集都是閉集B.度量空間中的緊致子集必是有界閉集C.度量空間中的連通子集必是道路連通的D.度量空間之間的連續(xù)映射一定是一致連續(xù)的在實(shí)直線(\mathbb{R})上賦予余有限拓?fù)洌撮]集為有限集或(\mathbb{R})本身），則下列說法正確的是（）A.(\mathbb{R})是緊致空間B.(\mathbb{R})是Hausdorff空間C.單點(diǎn)集({0})是開集D.區(qū)間((0,1))是閉集二、填空題（每題6分，共30分）設(shè)(X={a,b,c})，賦予平凡拓?fù)洌磧H有(\emptyset)和(X)是開集），則(X)的所有連通分支為________。在歐式空間(\mathbb{R}^2)中，單位圓盤(D={(x,y)|x^2+y^2\leq1})的邊界(\partialD)的拓?fù)渚S數(shù)是________。設(shè)(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R})是連續(xù)函數(shù)，且滿足(f(f(x))=x)對所有(x\in\mathbb{R})成立，則(f)的拓?fù)湫再|(zhì)是________（填“單射”“滿射”或“同胚”）。在實(shí)直線(\mathbb{R})上，集合(A={1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots}\cup{0})的緊致性判斷：________（填“緊致”或“非緊致”）。設(shè)(X)是拓?fù)淇臻g，若對任意兩個(gè)不同點(diǎn)(x,y\inX)，存在開集(U,V)使得(x\inU)，(y\inV)且(U\capV=\emptyset)，則(X)稱為________空間（填拓?fù)淇臻g分離性公理名稱）。三、解答題（每題20分，共100分）（1）證明：歐式空間(\mathbb{R})中的開區(qū)間((0,1))與(\mathbb{R})本身同胚；（2）舉例說明：存在兩個(gè)非空拓?fù)淇臻g(X,Y)，使得(X)與(Y)不同胚，但它們的笛卡爾積(X\timesY)與(Y\timesX)同胚。設(shè)(X)是緊致拓?fù)淇臻g，(f:X\to\mathbb{R})是連續(xù)函數(shù)，證明：(f)在(X)上有界且能取到最大值與最小值。（1）證明：平面上的單位圓(S^1)與閉區(qū)間([0,1])不同胚；（2）判斷：去掉(S^1)上一個(gè)點(diǎn)后所得空間與(\mathbb{R})是否同胚，并說明理由。設(shè)(X)是連通拓?fù)淇臻g，(A\subseteqX)是既開又閉的子集，證明：(A=\emptyset)或(A=X)。在實(shí)直線(\mathbb{R})上賦予歐式拓?fù)洌紤]集合(E={x\in\mathbb{R}|\sin\frac{1}{x}=0,x\neq0}\cup{0})。（1）求(E)的導(dǎo)集（即所有聚點(diǎn)構(gòu)成的集合）；（2）判斷(E)是否為緊致集，并說明理由；（3）判斷(E)是否為連通集，并說明理由。四、附加題（每題25分，共50分，不計(jì)入總分，供學(xué)有余力者選做）證明：任何拓?fù)淇臻g的連通分支都是閉集。設(shè)(X)是Hausdorff空間，(K\subseteqX)是緊致子集，(x\inX\setminusK)，證明：存在開集(U,V)使得(x\inU)，(K\subseteqV)，且(U\capV=\emptyset)。參考答案與解析一、選擇題C解析：((0,1))與(\mathbb{R})均為一維歐式空間中的開集，通過函數(shù)(f(x)=\tan\left(\pix-\frac{\pi}{2}\right))可建立同胚映射；A選項(xiàng)(S^1)是緊致空間，((0,1))非緊致，不同胚；B選項(xiàng)([0,1])是閉集，((0,1))是開集，不同胚；D選項(xiàng)三角形區(qū)域是二維緊致集，不同胚。A解析：拓?fù)淇臻g中開集的補(bǔ)集是閉集，A正確；閉集的內(nèi)部可能為空（如(\mathbb{R})中的單點(diǎn)集），B錯(cuò)誤；單點(diǎn)集是連通集但導(dǎo)集為空，C錯(cuò)誤；緊致性不依賴于度量，如非歐式拓?fù)湎驴赡苡薪绲痪o致，D錯(cuò)誤。C解析：([0,1]\cup[2,3])可分解為兩個(gè)不相交閉集的并，故不連通；A、B、D均為連通空間。D解析：緊致空間的連續(xù)像仍緊致（A正確）；連通空間的連續(xù)像仍連通（B正確）；同胚映射是開映射（C正確）；反之不成立，如(f:\mathbb{R}\to{0})是滿射連續(xù)映射，但(\mathbb{R})非緊致而({0})緊致，D錯(cuò)誤。B解析：度量空間中緊致子集等價(jià)于有界閉集（B正確）；A錯(cuò)誤（如((0,1))不是閉集）；C錯(cuò)誤（如拓?fù)鋵W(xué)家正弦曲線連通但非道路連通）；D錯(cuò)誤（如(f(x)=x^2)在(\mathbb{R})上連續(xù)但不一致連續(xù)）。A解析：余有限拓?fù)湎拢?\mathbb{R})的任意開覆蓋有有限子覆蓋（A正確）；任意兩個(gè)非空開集交集非空，非Hausdorff空間（B錯(cuò)誤）；單點(diǎn)集是閉集（C錯(cuò)誤）；((0,1))的補(bǔ)集無限，故非閉集（D錯(cuò)誤）。二、填空題({a,b,c})解析：平凡拓?fù)湎?，空間不可分解為兩個(gè)非空不相交開集的并，故整個(gè)空間是唯一連通分支。1解析：單位圓盤的邊界是單位圓(S^1)，拓?fù)渚S數(shù)為1（曲線維數(shù)）。同胚解析：(f)是連續(xù)雙射且逆映射(f^{-1}=f)也連續(xù)，故為同胚。緊致解析：(A)是(\mathbb{R})中的有界閉集，故緊致。Hausdorff（(T_2)）解析：滿足該條件的空間稱為Hausdorff空間，是分離性公理中的(T_2)公理。三、解答題（1）證明：定義(f:(0,1)\to\mathbb{R})，(f(x)=\tan\left(\pix-\frac{\pi}{2}\right))。(f)在((0,1))上連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)，故為單射；對任意(y\in\mathbb{R})，存在(x=\frac{1}{\pi}\arctany+\frac{1}{2}\in(0,1))使得(f(x)=y)，故為滿射；逆映射(f^{-1}(y)=\frac{1}{\pi}\arctany+\frac{1}{2})連續(xù)，因此(f)是同胚。（2）舉例：設(shè)(X={0})（單點(diǎn)空間），(Y=\mathbb{R})（歐式空間）。(X)與(Y)不同胚（(X)緊致，(Y)非緊致）；(X\timesY\congY)且(Y\timesX\congY)，故(X\timesY\congY\timesX)。證明：有界性：假設(shè)(f(X))無界，則存在序列({x_n}\subseteqX)使得(|f(x_n)|>n)。因(X)緊致，({x_n})有收斂子列(x_{n_k}\tox\inX)，由連續(xù)性(f(x_{n_k})\tof(x))，與(|f(x_{n_k})|>n_k\to\infty)矛盾，故(f)有界。取最值：設(shè)(M=\supf(X))，則存在({x_n}\subseteqX)使得(f(x_n)\toM)。由緊致性，(x_n\tox\inX)，故(f(x)=M)，即(f)取到最大值；同理可證最小值存在。（1）證明：(S^1)是緊致連通空間，去掉任意一點(diǎn)后仍連通；([0,1])去掉內(nèi)部一點(diǎn)后不連通，拓?fù)湫再|(zhì)不同，故不同胚。（2）同胚：設(shè)(S^1\setminus{(1,0)}={(x,y)|x^2+y^2=1,y\neq0)或(x<1})，通過極坐標(biāo)變換(\theta\mapsto\tan\frac{\theta}{2})可建立與(\mathbb{R})的同胚映射。證明：假設(shè)(A\neq\emptyset)且(A\neqX)，則(X=A\cup(X\setminusA))，其中(A)與(X\setminusA)均為非空開集且不相交，與(X)連通矛盾，故(A=\emptyset)或(A=X)。（1）導(dǎo)集：(E=\left{\frac{1}{n}|n\in\mathbb{N}^*\right}\cup{0})，聚點(diǎn)為({0})，故導(dǎo)集為({0})。（2）緊致性：(E)是(\mathbb{R})中的有界閉集，故緊致。（3）連通性：(E)中任意兩點(diǎn)可通過包含0的路徑連接，故連通。四、附加題證明：設(shè)(C)是(X)的連通分支，任取(x\in\overline{C})，則(C\cup{x})連通（連通集的閉包仍連通），由連通分支的極大性知(x\inC)，故(\overline{C}=C)，即(C)是閉集。證明：對任意(y\inK)，由Hausdorff性，存在(U_y,V_y)