2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)科學(xué)觀試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）已知集合(A={x|x^2-3x+2<0})，(B={x|\log_2(x-1)<1})，則(A\capB=)（）A.((1,2))B.((2,3))C.((1,3))D.((2,+\infty))函數(shù)(f(x)=\frac{\sinx+\cosx}{\sinx-\cosx})的最小正周期為（）A.(\frac{\pi}{2})B.(\pi)C.(2\pi)D.(4\pi)已知向量(\vec{a}=(1,2))，(\vec=(m,1))，若(\vec{a}\perp(\vec{a}-\vec))，則(m=)（）A.3B.5C.7D.9某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為（）A.(12\pi)B.(16\pi)C.(20\pi)D.(24\pi)已知等比數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和為(S_n)，若(S_3=7)，(S_6=63)，則(a_7+a_8+a_9=)（）A.128B.256C.512D.1024若(x,y)滿足約束條件(\begin{cases}x+y\geq2\x-y\leq2\y\leq2\end{cases})，則(z=x+2y)的最大值為（）A.4B.6C.8D.10函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2+2)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.0B.1C.2D.3已知直線(l:y=kx+1)與圓(C:x^2+y^2-2x-3=0)相交于(A,B)兩點(diǎn)，若(|AB|=2\sqrt{3})，則(k=)（）A.(\pm\frac{\sqrt{3}}{3})B.(\pm\sqrt{3})C.(\pm1)D.(\pm2)從5名男生和4名女生中任選3人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，要求至少有1名女生，則不同的選法共有（）A.80種B.84種C.90種D.96種已知雙曲線(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0))的離心率為(\sqrt{3})，則其漸近線方程為（）A.(y=\pm\sqrt{2}x)B.(y=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}x)C.(y=\pm2x)D.(y=\pm\frac{1}{2}x)已知函數(shù)(f(x)=\begin{cases}2^x,x\leq0\\log_2x,x>0\end{cases})，則(f(f(-1))=)（）A.-1B.0C.1D.2在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所對(duì)的邊分別為(a,b,c)，若(a=2)，(b=3)，(\cosC=\frac{1}{3})，則(c=)（）A.(\sqrt{3})B.(\sqrt{7})C.(\sqrt{10})D.(\sqrt{13})二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）若復(fù)數(shù)(z=\frac{2+i}{1-i})（(i)為虛數(shù)單位），則(|z|=)________。已知函數(shù)(f(x)=x^3+ax^2+bx+c)在(x=-1)處取得極大值，在(x=2)處取得極小值，則(a+b=)________。已知拋物線(y^2=4x)的焦點(diǎn)為(F)，準(zhǔn)線為(l)，過點(diǎn)(F)且斜率為(\sqrt{3})的直線與拋物線交于(A,B)兩點(diǎn)（(A)在第一象限），則(|AF|=)________。已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+1)，則(a_5=)________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知等差數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和為(S_n)，且(a_3=5)，(S_5=25)。（1）求數(shù)列({a_n})的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)(b_n=2^{a_n})，求數(shù)列({b_n})的前(n)項(xiàng)和(T_n)。（本小題滿分12分）在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所對(duì)的邊分別為(a,b,c)，且滿足(\sinA+\sinC=2\sinB)，(a=2c)。（1）求(\cosB)的值；（2）若(\triangleABC)的面積為(\sqrt{15})，求(b)的值。（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐(P-ABCD)中，底面(ABCD)是矩形，(PA\perp)底面(ABCD)，(PA=AB=2)，(AD=4)，點(diǎn)(E)是(PD)的中點(diǎn)。（1）求證：(AE\parallel)平面(PBC)；（2）求直線(AE)與平面(PCD)所成角的正弦值。（本小題滿分12分）某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為(C(x)=2x+100)（元），其中(x)為日產(chǎn)量（件）。已知該產(chǎn)品的日銷售量(p)（件）與銷售價(jià)格(m)（元/件）之間的關(guān)系為(p=150-m)，且每日生產(chǎn)的產(chǎn)品全部售出。（1）求該產(chǎn)品的日利潤(L(x))（元）關(guān)于日產(chǎn)量(x)的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)日產(chǎn)量為多少時(shí)，日利潤最大？最大日利潤是多少？（本小題滿分12分）已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的離心率為(\frac{\sqrt{2}}{2})，且過點(diǎn)((2,\sqrt{2}))。（1）求橢圓(C)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線(l:y=kx+m)與橢圓(C)交于(A,B)兩點(diǎn)，(O)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若(OA\perpOB)，求(m^2)的取值范圍。（本小題滿分12分）已知函數(shù)(f(x)=x\lnx-ax^2+(2a-1)x)（(a\in\mathbb{R})）。（1）當(dāng)(a=1)時(shí)，求函數(shù)(f(x))的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)(f(x))在區(qū)間((1,+\infty))上單調(diào)遞減，求(a)的取值范圍；（3）證明：對(duì)任意的(n\in\mathbb{N}^*)，不等式(\ln(n+1)<\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n+1})成立。參考答案及解析（注：此處僅為試卷結(jié)構(gòu)示例，實(shí)際考試中需提供詳細(xì)解析過程，包括選擇題答案、填空題答案及解答題步驟分。）A解析：解集合(A)得((1,2))，解集合(B)得((1,3))，交集為((1,2))。B解析：化簡(jiǎn)(f(x)=\tan\left(x+\frac{\pi}{4}\right))，周期為(\pi)。C解析：(\vec{a}-\vec=(1-m,1))，由垂直得(1\cdot(1-m)+2\cdot1=0)，解得(m=3)。D解析：由三視圖知幾何體為圓柱與圓錐的組合體，體積(V=\pi\cdot2^2\cdot4+\frac{1}{3}\pi\cdot2^2\cdot3=24\pi)。C解析：(S_3,S_6-S_3,S_9-S_6)成等比數(shù)列，即(7,56,a_7+a_8+a_9)，公比為8，故結(jié)果為(56\times8=448)（注：原選項(xiàng)可能有誤，此處按等比性質(zhì)推導(dǎo)）。C解析：可行域頂點(diǎn)為((0,2),(2,0),(4,2))，代入(z)得最大值8。C解析：(f'(x)=3x^2-6x)，零點(diǎn)為(x=0)和(x=2)，均為極值點(diǎn)。A解析：圓心((1,0))，半徑2，弦長公式得圓心到直線距離為1，解得(k=\pm\frac{\sqrt{3}}{3})。A解析：總選法(C_9^3=84)，無女生選法(C_5^3=10)，至少1女生為(84-10=74)（注：原選項(xiàng)可能有誤，此處按組合數(shù)計(jì)算）。A解析：(e=\frac{c}{a}=\sqrt{3})，(c^2=3a^2)，(b^2=2a^2)，漸近線(y=\pm\sqrt{2}x)。A解析：(f(-1)=2^{-1}=\frac{1}{2})，(f\left(\frac{1}{2}\right)=\log_2\frac{1}{2}=-1)。C解析：余弦定理(c^2=a^2+b^2-2ab\cosC=4+9-2\times2\times3\times\frac{1}{3}=9)，(c=3)（注：原選項(xiàng)可能有誤，此處按公式計(jì)算）。(\frac{\sqrt{10}}{2})解析：(z=\frac{(2+i)(1+i)}{2}=\frac{1+3i}{2})，模長為(\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{3}{2}\right)^2}=\frac{\sqrt{10}}{2})。-3解析：(f'(x)=3x^2+2ax+b)，由極值點(diǎn)得(f'(-1)=0)，(f'(2)=0)，解得(a=-\frac{3}{2})，(b=-6)，(a+b=-\frac{15}{2})（注：原題目可能需調(diào)整參數(shù)）。4解析：焦點(diǎn)(F(1,0))，直線方程(y=\sqrt{3}(x-1))，聯(lián)立拋物線方程得(x=3)（(A)點(diǎn)橫坐標(biāo)），(|AF|=x+1=4)。31解析：迭代得(a_2=3)，(a_3=7)，(a_4=15)，(a_5=31)。（1）設(shè)公差為(d)，由(a_3=a_1+2d=5)，(S_5=5a_1+10d=25)，解得(a_1=1)，(d=2)，(a_n=2n-1)；（2）(b_n=2^{2n-1}=\frac{1}{2}\cdot4^n)，(T_n=\frac{2(4^n-1)}{3})。（1）由正弦定理得(a+c=2b)，結(jié)合(a=2c)得(b=\frac{3c}{2})，余弦定理(\cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{11}{16})；（2）(\sinB=\frac{3\sqrt{15}}{16})，面積(S=\frac{1}{2}ac\sinB=\sqrt{15})，解得(c=4)，(b=6)。（1）取(PC)中點(diǎn)(F)，連接(BF,EF)，證明四邊形(ABFE)為平行四邊形，得(AE\parallelBF)，進(jìn)而證線面平行；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求平面(PCD)的法向量，利用向量夾角公式得正弦值為(\frac{\sqrt{5}}{5})。（1）由(x=p=150-m)得(m=150-x)，利潤(L(x)=xm-C(x)=-x^2+148x-100)；（2）對(duì)稱軸(x=74)，最大利潤(L(74)=74^2-148\times74+100=5476-10952+100=-5376)（注：成本函數(shù)可能需調(diào)整，此處按給定條件計(jì)算）。（1）由離心率(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2})得(a^2=2b^2)，代入點(diǎn)((2,\sqrt{2}))得(a^2=8)，(b^2=4)，方程為(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1)；（2）聯(lián)立直線與橢圓，利用韋達(dá)定理及(OA\perpOB)得(x_1x_2+y_1y_2=0)，化簡(jiǎn)得(3m^2=8k^2+4)，結(jié)合判別式得(m^2\geq\frac{4}{3})。（1）當(dāng)(a=1)時(shí)，(f'(x)=\lnx-2x+1)，導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)為(x=1)，單調(diào)增區(qū)間((0,1))，減區(qū)間(