2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)林群試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）已知集合(A={x|x^2-3x+2<0})，(B={x|\log_2(x-1)<1})，則(A\capB=)（）A.((1,2))B.((2,3))C.((1,3))D.((2,+\infty))復(fù)數(shù)(z=\frac{2+i}{1-i})（(i)為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限已知向量(\vec{a}=(2,m))，(\vec=(1,-2))，若(\vec{a}\perp(\vec{a}-2\vec))，則(m=)（）A.(-4)B.(-2)C.(2)D.(4)函數(shù)(f(x)=\frac{\sinx+x^3}{x^2+1})的部分圖像大致為（）（選項(xiàng)圖像略，提示：奇函數(shù)，(x>0)時(shí)(f(x)>0)，且(f(\pi)>0)）已知等差數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和為(S_n)，若(a_3+a_7=10)，則(S_9=)（）A.(45)B.(50)C.(90)D.(100)某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為（）（三視圖描述：正視圖和側(cè)視圖均為直角三角形，俯視圖為邊長為2的正方形，直角邊分別為2和3）A.(4,\text{cm}^3)B.(6,\text{cm}^3)C.(8,\text{cm}^3)D.(12,\text{cm}^3)已知(\sin\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{3})，則(\cos\left(2\alpha+\frac{\pi}{3}\right)=)（）A.(-\frac{7}{9})B.(-\frac{1}{3})C.(\frac{1}{3})D.(\frac{7}{9})執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的(x=1)，則輸出的(y=)（）（程序框圖描述：初始(x=1)，(y=0)；循環(huán)條件(x\leq4)，循環(huán)體：(y=y+x)，(x=x+1)；輸出(y)）A.(5)B.(10)C.(15)D.(20)已知拋物線(C:y^2=4x)的焦點(diǎn)為(F)，準(zhǔn)線為(l)，過點(diǎn)(F)的直線交拋物線于(A,B)兩點(diǎn)，過點(diǎn)(A)作(l)的垂線，垂足為(M)，若(|AF|=3)，則(|MF|=)（）A.(2\sqrt{2})B.(2\sqrt{3})C.(3)D.(4)已知函數(shù)(f(x)=\begin{cases}\log_2(x+1),&x\geq0,\2^x-1,&x<0,\end{cases})若(f(a)=f(b)=2)（(a\neqb)），則(a+b=)（）A.(-1)B.(0)C.(1)D.(2)在三棱錐(P-ABC)中，(PA\perp)平面(ABC)，(AB=AC=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(PA=3)，則該三棱錐外接球的表面積為（）A.(13\pi)B.(16\pi)C.(20\pi)D.(25\pi)已知函數(shù)(f(x)=e^x-ax-1)（(a\in\mathbb{R})），若對任意(x\geq0)，(f(x)\geq0)恒成立，則(a)的最大值為（）A.(0)B.(1)C.(e)D.(e^2)二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）若(x,y)滿足約束條件(\begin{cases}x+y\leq4,\x-y\geq0,\y\geq1,\end{cases})則(z=x+2y)的最大值為________。已知等比數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和為(S_n)，若(a_1=1)，(S_3=7)，則公比(q=)________。已知函數(shù)(f(x)=\sin(\omegax+\varphi))（(\omega>0)，(|\varphi|<\frac{\pi}{2})）的最小正周期為(\pi)，且圖像關(guān)于直線(x=\frac{\pi}{3})對稱，則(\varphi=)________。已知函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2+2)，過點(diǎn)(P(1,m))作曲線(y=f(x))的切線，若切線有且僅有兩條，則(m)的取值范圍是________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）在(\triangleABC)中，內(nèi)角(A,B,C)所對的邊分別為(a,b,c)，已知(a=2\sqrt{3})，(b=2)，(\cosA=-\frac{1}{2})。（1）求角(B)的大??；（2）求(\triangleABC)的面積。（本小題滿分12分）某學(xué)校為了解學(xué)生的體育鍛煉情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)了他們每周的鍛煉時(shí)間（單位：小時(shí)），得到如下頻率分布直方圖：（頻率分布直方圖描述：分組為[0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10]，對應(yīng)的頻率分別為0.1，0.2，0.3，0.3，0.1）（1）求這100名學(xué)生每周鍛煉時(shí)間的平均數(shù)和中位數(shù)；（2）若從每周鍛煉時(shí)間在[8,10]的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求這2人鍛煉時(shí)間均在[9,10]的概率（注：[8,10]組中數(shù)據(jù)均勻分布）。（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=BC=2)，(\angleABC=90^\circ)，(AA_1=4)，(D)為(A_1C_1)的中點(diǎn)。（1）求證：(BD\perp)平面(ACC_1A_1)；（2）求二面角(B-AC_1-C)的余弦值。（本小題滿分12分）已知橢圓(E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，且過點(diǎn)((2,1))。（1）求橢圓(E)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線(l:y=kx+m)與橢圓(E)交于(M,N)兩點(diǎn)，(O)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若(k_{OM}\cdotk_{ON}=-\frac{1}{4})，求證：(\triangleOMN)的面積為定值。（本小題滿分12分）已知函數(shù)(f(x)=\lnx-ax^2+(2-a)x)（(a\in\mathbb{R})）。（1）討論函數(shù)(f(x))的單調(diào)性；（2）若函數(shù)(f(x))有兩個(gè)零點(diǎn)，求(a)的取值范圍。（本小題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系(xOy)中，已知曲線(C_1)的參數(shù)方程為(\begin{cases}x=2+\cos\alpha,\y=\sin\alpha\end{cases})（(\alpha)為參數(shù)），曲線(C_2)的極坐標(biāo)方程為(\rho=4\sin\theta)。（1）求曲線(C_1)的普通方程和曲線(C_2)的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)(P)在曲線(C_1)上，點(diǎn)(Q)在曲線(C_2)上，求(|PQ|)的最小值。參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)（僅供閱卷參考）一、選擇題A2.D3.C4.A5.A6.B7.A8.B9.B10.A11.D12.B二、填空題(7)14.(2)15.(-\frac{\pi}{6})16.((-\infty,-1))三、解答題（1）由余弦定理得(\cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=-\frac{1}{2})，解得(c=2)。由正弦定理(\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB})，得(\sinB=\frac{1}{2})，又(b<a)，故(B=\frac{\pi}{6})。（5分）（2）(C=\pi-A-B=\frac{\pi}{6})，面積(S=\frac{1}{2}ab\sinC=\sqrt{3})。（10分）（1）平均數(shù)(\bar{x}=1\times0.1+3\times0.2+5\times0.3+7\times0.3+9\times0.1=5.2)；中位數(shù)為(5+\frac{0.5-0.3}{0.3}\times2=\frac{17}{3}\approx5.67)。（6分）（2）[8,10]組有10人，其中[9,10]有5人，概率(P=\frac{\binom{5}{2}}{\binom{10}{2}}=\frac{2}{9})。（12分）（1）以(B)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，(B(0,0,0))，(A(2,0,0))，(C(0,2,0))，(A_1(2,0,4))，(D(1,1,4))。(\vec{BD}=(1,1,4))，(\vec{AC}=(-2,2,0))，(\vec{AA_1}=(0,0,4))，由(\vec{BD}\cdot\vec{AC}=0)，(\vec{BD}\cdot\vec{AA_1}=0)，得(BD\perp)平面(ACC_1A_1)。（6分）（2）平面(AC_1C)的法向量(\vec{n}=(1,1,0))，平面(BAC_1)的法向量(\vec{m}=(2,2,-1))，二面角余弦值(\cos\theta=\frac{|\vec{m}\cdot\vec{n}|}{|\vec{m}||\vec{n}|}=\frac{4}{3\sqrt{2}\times\sqrt{2}}=\frac{2}{3})。（12分）（1）由(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2})，(a^2=b^2+c^2)，及點(diǎn)((2,1))在橢圓上，解得(a^2=8)，(b^2=2)，方程為(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1)。（4分）（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，得((1+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-8=0)，由韋達(dá)定理得(x_1+x_2=-\frac{8km}{1+4k^2})，(x_1x_2=\frac{4m^2-8}{1+4k^2})。由(k_{OM}\cdotk_{ON}=\frac{y_1y_2}{x_1x_2}=-\frac{1}{4})，得(2m^2=4k^2+1)。原點(diǎn)到直線距離(d=\frac{|m|}{\sqrt{1+k^2}})，弦長(|MN|=\sqrt{1+k^2}\cdot\frac{\sqrt{16(8k^2+2-m^2)}}{1+4k^2}=2\sqrt{2})，面積(S=\frac{1}{2}|MN|d=\sqrt{2})（定值）。（12分）（1）(f'(x)=\frac{1}{x}-2ax+(2-a)=-\frac{(2x+1)(ax-1)}{x})。當(dāng)(a\leq0)時(shí)，(f'(x)>0)，(f(x))在((0,+\infty))單調(diào)遞增；當(dāng)(a>0)時(shí)，(f(x))在((0,\frac{1}{a}))遞增，在((\frac{1}{a},+\infty))遞減。（6分）（2）當(dāng)(a\leq0)時(shí)，(f(x))單調(diào)，最多1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)(a>0)時(shí)，(f(x)_{\text{max}}=f(\frac{1}{a})=\ln\frac{1}{a}-\frac{1}{a}+1)。令(g(t)=-\lnt-t+1)（(t=\frac{1}{a}>0)），(g(t))在((0,1))遞增，((1,+\infty))遞減，(g(1)=0)，故(a=1)時(shí)(