2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）已知神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中某神經(jīng)元的輸入向量為(\mathbf{x}=(1,2,3))，權(quán)重向量為(\mathbf{w}=(0.5,-1,0.3))，偏置項(xiàng)(b=0.2)，激活函數(shù)為(\sigma(z)=\frac{1}{1+e^{-z}})，則該神經(jīng)元的輸出為（）A.(\frac{1}{1+e^{-0.6}})B.(\frac{1}{1+e^{-0.8}})C.(\frac{1}{1+e^{-1.0}})D.(\frac{1}{1+e^{-1.2}})在二分類問題中，某神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出層使用sigmoid激活函數(shù)，若輸出值為0.8，則該樣本被預(yù)測為正類的概率為（）A.0.2B.0.5C.0.8D.1.0已知損失函數(shù)(L(y,\hat{y})=(y-\hat{y})^2)，其中(y)為真實(shí)標(biāo)簽，(\hat{y})為預(yù)測值，則(\frac{\partialL}{\partial\hat{y}})等于（）A.(2(y-\hat{y}))B.(-2(y-\hat{y}))C.((y-\hat{y}))D.(-(y-\hat{y}))下列關(guān)于梯度下降法的說法中，錯(cuò)誤的是（）A.學(xué)習(xí)率過大會(huì)導(dǎo)致模型無法收斂B.學(xué)習(xí)率過小會(huì)導(dǎo)致訓(xùn)練時(shí)間過長C.隨機(jī)梯度下降每次迭代使用全部樣本更新參數(shù)D.批量梯度下降每次迭代使用全部樣本更新參數(shù)某神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)包含輸入層、隱藏層和輸出層，輸入層有3個(gè)神經(jīng)元，隱藏層有5個(gè)神經(jīng)元，輸出層有2個(gè)神經(jīng)元，則該網(wǎng)絡(luò)的權(quán)重矩陣(\mathbf{W}^{(1)})（輸入層到隱藏層）的維度為（）A.(3\times5)B.(5\times3)C.(5\times2)D.(2\times5)已知某神經(jīng)元的輸入為(z=2)，激活函數(shù)為ReLU函數(shù)，則該神經(jīng)元的輸出為（）A.-2B.0C.1D.2在反向傳播算法中，梯度的計(jì)算順序是（）A.從輸入層到輸出層B.從輸出層到輸入層C.從隱藏層到輸入層D.從隱藏層到輸出層下列哪種激活函數(shù)可能導(dǎo)致梯度消失問題（）A.ReLUB.LeakyReLUC.sigmoidD.tanh已知某神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的損失函數(shù)關(guān)于權(quán)重(w)的梯度為(\frac{\partialL}{\partialw}=4)，學(xué)習(xí)率(\eta=0.1)，則根據(jù)梯度下降法，權(quán)重(w)的更新量為（）A.-0.4B.0.4C.-4D.4某神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在訓(xùn)練過程中出現(xiàn)過擬合現(xiàn)象，下列措施中不能緩解過擬合的是（）A.增加訓(xùn)練樣本數(shù)量B.減小網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜度C.使用正則化方法D.增加學(xué)習(xí)率已知樣本數(shù)據(jù)((x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots,(x_n,y_n))，使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行回歸預(yù)測，若采用均方誤差作為損失函數(shù)，則損失函數(shù)的表達(dá)式為（）A.(L=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}|y_i-\hat{y}i|)B.(L=\frac{1}{n}\sum{i=1}^{n}(y_i-\hat{y}i)^2)C.(L=-\frac{1}{n}\sum{i=1}^{n}[y_i\ln\hat{y}_i+(1-y_i)\ln(1-\hat{y}_i)])D.(L=\max|y_i-\hat{y}_i|)下列關(guān)于卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（CNN）的說法中，正確的是（）A.卷積層的作用是減少參數(shù)數(shù)量B.池化層的作用是提取特征C.全連接層的作用是進(jìn)行降采樣D.卷積操作可以保留圖像的空間信息二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）已知某神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入層有2個(gè)神經(jīng)元，隱藏層有3個(gè)神經(jīng)元，輸出層有1個(gè)神經(jīng)元，若每個(gè)神經(jīng)元都包含偏置項(xiàng)，則該網(wǎng)絡(luò)的總參數(shù)數(shù)量為________。設(shè)(\mathbf{a}^{(l)})表示第(l)層的激活值，(\mathbf{W}^{(l)})表示第(l)層到第(l+1)層的權(quán)重矩陣，(\mathbf^{(l)})表示第(l+1)層的偏置項(xiàng)，則第(l+1)層的輸入(\mathbf{z}^{(l+1)})的表達(dá)式為________。已知某樣本的真實(shí)標(biāo)簽(y=1)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測值(\hat{y}=0.3)，若使用交叉熵?fù)p失函數(shù)(L=-[y\ln\hat{y}+(1-y)\ln(1-\hat{y})])，則該樣本的損失值為________（精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位）。梯度下降法中，參數(shù)更新的公式為(w=w-\eta\frac{\partialL}{\partialw})，其中(\eta)表示________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知某神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)只有一個(gè)神經(jīng)元，其輸入為(x)，權(quán)重為(w)，偏置項(xiàng)為(b)，激活函數(shù)為線性函數(shù)(\sigma(z)=z)，損失函數(shù)為(L=(y-\hat{y})^2)，其中(y)為真實(shí)標(biāo)簽，(\hat{y})為預(yù)測值。（1）寫出該神經(jīng)元的預(yù)測值(\hat{y})關(guān)于(x,w,b)的表達(dá)式；（2）計(jì)算損失函數(shù)(L)關(guān)于權(quán)重(w)的偏導(dǎo)數(shù)(\frac{\partialL}{\partialw})。（本小題滿分12分）考慮一個(gè)簡單的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)：輸入層有2個(gè)神經(jīng)元，隱藏層有1個(gè)神經(jīng)元，輸出層有1個(gè)神經(jīng)元。隱藏層神經(jīng)元的激活函數(shù)為ReLU函數(shù)，輸出層神經(jīng)元的激活函數(shù)為線性函數(shù)。已知權(quán)重和偏置項(xiàng)如下：輸入層到隱藏層：(w_{11}=2,w_{12}=-1,b_1=1)隱藏層到輸出層：(w_{21}=3,b_2=2)當(dāng)輸入(\mathbf{x}=(1,2))時(shí)，求該神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出值。（本小題滿分12分）已知損失函數(shù)(L=\frac{1}{2}(y-\hat{y})^2)，其中(\hat{y}=\sigma(z))，(z=wx+b)，(\sigma(z)=\frac{1}{1+e^{-z}})。（1）求(\frac{\partialL}{\partial\hat{y}})；（2）求(\frac{\partial\hat{y}}{\partialz})；（3）求(\frac{\partialL}{\partialw})（用(x,y,\hat{y})表示）。（本小題滿分12分）某神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)使用梯度下降法訓(xùn)練，學(xué)習(xí)率(\eta=0.1)。已知某權(quán)重(w)的初始值為1.0，在第一個(gè)訓(xùn)練樣本上計(jì)算得到的梯度(\frac{\partialL}{\partialw}=2.0)，在第二個(gè)訓(xùn)練樣本上計(jì)算得到的梯度(\frac{\partialL}{\partialw}=-1.0)。（1）若使用隨機(jī)梯度下降（每次樣本后更新），求經(jīng)過兩個(gè)樣本后的權(quán)重值；（2）若使用批量梯度下降（兩個(gè)樣本后更新），求經(jīng)過兩個(gè)樣本后的權(quán)重值。（本小題滿分12分）已知某二分類問題的數(shù)據(jù)集包含3個(gè)樣本，其真實(shí)標(biāo)簽和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測概率如下表所示：樣本序號真實(shí)標(biāo)簽(y)預(yù)測概率(\hat{y})110.8200.3310.6（1）計(jì)算該數(shù)據(jù)集的交叉熵?fù)p失值（保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）；（2）若將預(yù)測概率大于等于0.5的樣本預(yù)測為正類（1），小于0.5的預(yù)測為負(fù)類（0），計(jì)算該模型的準(zhǔn)確率（保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）。（本小題滿分10分）簡述神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中過擬合產(chǎn)生的原因，并列舉至少三種緩解過擬合的方法。參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)（僅供閱卷參考）一、選擇題A2.C3.B4.C5.B6.D7.B8.C9.A10.D11.B12.D二、填空題23（輸入層到隱藏層：(3\times2+3=9)，隱藏層到輸出層：(1\times3+1=4)，總參數(shù)：(9+4=13)——注：原答案可能存在計(jì)算錯(cuò)誤，正確應(yīng)為輸入層到隱藏層權(quán)重(5\times3=15)，偏置5；隱藏層到輸出層權(quán)重(2\times5=10)，偏置2；總參數(shù)(15+5+10+2=32)，但此處按題目13題條件：輸入層3，隱藏層5，輸出層2，每個(gè)神經(jīng)元含偏置，正確參數(shù)為(5\times3+5+2\times5+2=15+5+10+2=32)，但原填空13題條件為輸入層3，隱藏層5，輸出層2，故正確答案應(yīng)為32，此處可能題目13題條件與原答案不匹配，按題目13題條件修正）(\mathbf{z}^{(l+1)}=\mathbf{W}^{(l)}\mathbf{a}^{(l)}+\mathbf^{(l)})1.20（(L=-[1\times\ln0.3+0\times\ln0.7]=-\ln0.3\approx1.20)）學(xué)習(xí)率三、解答題（1）(\hat{y}=\sigma(wx+b)=wx+b)（3分）（2）(L=(y-(wx+b))^2)，(\frac{\partialL}{\partialw}=2(y-(wx+b))(-x)=-2x(y-\hat{y}))（7分）隱藏層輸入：(z_1=w_{11}x_1+w_{12}x_2+b_1=2\times1+(-1)\times2+1=2-2+1=1)（4分）隱藏層輸出：(a_1=\max(0,z_1)=1)（4分）輸出層輸入：(z_2=w_{21}a_1+b_2=3\times1+2=5)（2分）輸出層輸出：(\hat{y}=z_2=5)（2分）（1）(\frac{\partialL}{\partial\hat{y}}=-(y-\hat{y}))（3分）（2）(\frac{\partial\hat{y}}{\partialz}=\hat{y}(1-\hat{y}))（3分）（3）(\frac{\partialL}{\partialw}=\frac{\partialL}{\partial\hat{y}}\cdot\frac{\partial\hat{y}}{\partialz}\cdot\frac{\partialz}{\partialw}=-(y-\hat{y})\cdot\hat{y}(1-\hat{y})\cdotx=-x\hat{y}(1-\hat{y})(y-\hat{y}))（6分）（1）第一個(gè)樣本后：(w=1.0-0.1\times2.0=0.8)（3分）第二個(gè)樣本后：(w=0.8-0.1\times(-1.0)=0.9)（3分）（2）平均梯度：(\frac{2.0+(-1.0)}{2}=0.5)（3分）權(quán)重更新：(w=1.0-0.1\times0.5=0.95)（3分）（1）樣本1損失：(-1\times\ln0.8\approx0.223)，樣本2損失：(-0\times\ln0.3-1\times\ln0.7\approx0.357)，樣本3損失：(-1\times\ln0.6\approx0.511)，總損失：(0.223+0.357+0.511\approx1.09)（6分）（2）預(yù)測結(jié)果：樣本1（1），樣本2（0），樣本3（1），真實(shí)標(biāo)簽：（1，0，1），正確樣本數(shù)3，準(zhǔn)確率(\frac{3}{