2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)水平測(cè)試試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|log?(x-1)=0}，則A∩B=（）A.{1}B.{2}C.{1,2}D.?復(fù)數(shù)z滿足z·i=1+i（i為虛數(shù)單位），則|z|=（）A.1B.√2C.2D.4已知向量a=(1,2)，b=(m,-1)，若a⊥b，則m=（）A.-2B.-1C.1D.2函數(shù)f(x)=ln(x2-4x+5)的定義域是（）A.(-∞,1)∪(5,+∞)B.(-∞,1]∪[5,+∞)C.(1,5)D.[1,5]已知sinα=3/5，α∈(π/2,π)，則tan(α+π/4)=（）A.-7B.-1/7C.1/7D.7某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積是（）A.12πcm3B.18πcm3C.24πcm3D.36πcm3已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1=1，S3=13，則公比q=（）A.3B.-4C.3或-4D.-3或4執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的x=2，則輸出的y=（）A.0B.1C.2D.3已知直線l：y=kx+1與圓C：(x-1)2+(y+2)2=9相交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|=4√2，則k=（）A.-1B.0C.1D.2已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π/2)的部分圖象如圖所示，則ω+φ=（）A.π/6B.π/3C.π/2D.2π/3已知拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，過A作l的垂線，垂足為D，若|AF|=3|BF|，則|AD|=（）A.3B.4C.5D.6已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+ax+b在x=1處取得極值，且其圖象與直線y=2x+1相切，則a+b=（）A.-3B.-2C.0D.1二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）若x，y滿足約束條件{x+y≥2，x-y≤0，y≤2}，則z=x+2y的最大值為________。已知雙曲線C：x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的離心率為√3，且過點(diǎn)(2,√3)，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為________。在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知a=2，b=3，C=60°，則c=________。已知函數(shù)f(x)=x2-2x+3，g(x)=log?x+m，若對(duì)任意x?∈[1,3]，存在x?∈[1,4]，使得f(x?)=g(x?)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1=1，a3+a5=14。（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn=2^an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn。（本小題滿分12分）某學(xué)校為了解學(xué)生的體育鍛煉情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：性別經(jīng)常鍛煉不經(jīng)常鍛煉合計(jì)男401050女203050合計(jì)6040100（1）根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為“性別與是否經(jīng)常鍛煉”有關(guān)；（2）從經(jīng)常鍛煉的學(xué)生中按性別分層抽樣抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取2人參加體育知識(shí)競(jìng)賽，求至少有1名女生的概率。參考公式：K2=n(ad-bc)2/[(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)]，其中n=a+b+c+d。參考數(shù)據(jù)：P(K2≥k?)|0.10|0.05|0.01|0.001---|---|---|---|---k?|2.706|3.841|6.635|10.828（本小題滿分12分）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，D，E分別是BC，B1C1的中點(diǎn)。（1）求證：DE//平面A1ABB1；（2）求二面角A1-DE-B的余弦值。（本小題滿分12分）已知橢圓C：x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的離心率為√2/2，且過點(diǎn)(1,√2/2)。（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OA⊥OB，求證：直線l恒過定點(diǎn)。（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=lnx-ax+1(a∈R)。（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）設(shè)x1，x2是函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，求證：x1+x2>2。（本小題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C1的參數(shù)方程為{x=2+2cosα，y=2sinα}（α為參數(shù)），曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ。（1）求曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)P是曲線C1上的動(dòng)點(diǎn)，Q是曲線C2上的動(dòng)點(diǎn)，求|PQ|的最小值。參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題B2.B3.D4.C5.A6.B7.C8.C9.A10.B11.D12.A二、填空題614.x2/3-y2/6=115.√716.[1,3]三、解答題解：（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，因?yàn)閍1=1，a3+a5=14，所以2a1+6d=14，即2+6d=14，解得d=2，所以an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1。（5分）（2）由（1）知bn=2^an=2^(2n-1)=2×4^(n-1)，所以數(shù)列{bn}是以2為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，所以Sn=2(1-4^n)/(1-4)=2(4^n-1)/3。（10分）解：（1）由列聯(lián)表得K2=100×(40×30-10×20)2/[50×50×60×40]=100×(1200-200)2/[50×50×60×40]=100×1000000/600000≈16.667>3.841，所以有95%的把握認(rèn)為“性別與是否經(jīng)常鍛煉”有關(guān)。（6分）（2）從經(jīng)常鍛煉的學(xué)生中按性別分層抽樣抽取6人，其中男生4人，女生2人，記男生為A，B，C，D，女生為E，F(xiàn)，從這6人中隨機(jī)抽取2人，共有15種不同的結(jié)果：AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，其中至少有1名女生的結(jié)果有9種：AE，AF，BE，BF，CE，CF，DE，DF，EF，所以至少有1名女生的概率P=9/15=3/5。（12分）（1）證明：連接A1B，A1C，因?yàn)镈，E分別是BC，B1C1的中點(diǎn)，所以DE//A1B，又因?yàn)镈E?平面A1ABB1，A1B?平面A1ABB1，所以DE//平面A1ABB1。（6分）（2）解：以A為原點(diǎn)，AB，AC，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0,2)，B1(2,0,2)，C1(0,2,2)，因?yàn)镈，E分別是BC，B1C1的中點(diǎn)，所以D(1,1,0)，E(1,1,2)，所以A1D=(1,1,-2)，DE=(0,0,2)，DB=(1,-1,0)，設(shè)平面A1DE的法向量為n=(x,y,z)，則{n·A1D=0，n·DE=0}，即{x+y-2z=0，2z=0}，令x=1，則y=-1，z=0，所以n=(1,-1,0)，設(shè)平面BDE的法向量為m=(a,b,c)，則{m·DB=0，m·DE=0}，即{a-b=0，2c=0}，令a=1，則b=1，c=0，所以m=(1,1,0)，所以cos<n,m>=n·m/|n||m|=(1×1+(-1)×1+0×0)/[√(1+1+0)×√(1+1+0)]=0/2=0，因?yàn)槎娼茿1-DE-B為銳角，所以二面角A1-DE-B的余弦值為0。（12分）解：（1）因?yàn)闄E圓C的離心率為√2/2，所以e=c/a=√2/2，即c=√2/2a，又因?yàn)閍2=b2+c2，所以a2=b2+1/2a2，即b2=1/2a2，因?yàn)闄E圓C過點(diǎn)(1,√2/2)，所以1/a2+(1/2)/b2=1，即1/a2+1/(2b2)=1，將b2=1/2a2代入上式得1/a2+1/a2=1，即2/a2=1，解得a2=2，所以b2=1，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2/2+y2=1。（6分）（2）證明：當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+m，聯(lián)立{x2/2+y2=1，y=kx+m}，得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0，設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則x1+x2=-4km/(1+2k2)，x1x2=(2m2-2)/(1+2k2)，因?yàn)镺A⊥OB，所以O(shè)A·OB=x1x2+y1y2=0，又因?yàn)閥1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2，所以x1x2+k2x1x2+km(x1+x2)+m2=0，即(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0，將x1+x2=-4km/(1+2k2)，x1x2=(2m2-2)/(1+2k2)代入上式得(1+k2)(2m2-2)/(1+2k2)+km(-4km)/(1+2k2)+m2=0，即(2m2-2)(1+k2)-4k2m2+m2(1+2k2)=0，展開得2m2-2+2k2m2-2k2-4k2m2+m2+2k2m2=0，合并同類項(xiàng)得3m2-2-2k2=0，即3m2=2k2+2，解得m2=(2k2+2)/3，即m=±√(2k2+2)/3，所以直線l的方程為y=kx±√(2k2+2)/3，當(dāng)k=0時(shí)，直線l的方程為y=±√6/3，過定點(diǎn)(0,±√6/3)，當(dāng)k≠0時(shí)，直線l的方程為y=k(x±√6/3)，過定點(diǎn)(±√6/3,0)，綜上，直線l恒過定點(diǎn)(0,±√6/3)或(±√6/3,0)。（12分）解：（1）函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，f'(x)=1/x-a=(1-ax)/x，當(dāng)a≤0時(shí)，f'(x)>0，所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)a>0時(shí)，令f'(x)=0，得x=1/a，當(dāng)0<x<1/a時(shí)，f'(x)>0，所以f(x)在(0,1/a)上單調(diào)遞增；當(dāng)x>1/a時(shí)，f'(x)<0，所以f(x)在(1/a,+∞)上單調(diào)遞減。（4分）（2）由（1）知，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)最多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在(0,1/a)上單調(diào)遞增，在(1/a,+∞)上單調(diào)遞減，所以f(x)的最大值為f(1/a)=ln(1/a)-a×(1/a)+1=-lna-1+1=-lna，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，所以f(1/a)=-lna>0，即lna<0，解得0<a<1，又因?yàn)楫?dāng)x→0+時(shí)，f(x)→-∞；當(dāng)x→+∞時(shí)，f(x)→-∞，所以當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,1)。（8分）（3）證明：設(shè)x1<x2，因?yàn)閤1，x2是函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，所以lnx1-ax1+1=0，lnx2-ax2+1=0，兩式相減得lnx1-lnx2-a(x1-x2)=0，即ln(x1/x2)=a(x1-x2)，所以a=ln(x1/x2)/(x1-x2)，要證x1+x2>2，只需證(x1+x2)a>2a，即證(x1+x2)ln(x1/x2)/(x1-x2)>2ln(x1/x2)/(x1-x2)，因?yàn)閤1-x2<0，ln(x1/x2)<0，所以只需證x1+x2<2x1x2/(x1+x2)，即證(x1+x2)2<4x1x2，即x12+2x1x2+x22<4x1x2，即x12-2x1x2+x22<0，即(x1-x2)2<0，顯然不成立，所以原不等式不成立，因此，正確的證明方法如下：令t=x1/x2(0<t<1)，則x1=tx2，因?yàn)閘nx1-ax1+1=0，lnx2-ax2+1=0，所以ln(tx2)-a(tx2)+1=0，lnx2-ax2+1=0，兩式相減得lnt+lnx2-atx2-(lnx2-ax2)=0，即lnt-a(t-1)x2=0，所以x2=lnt/[a(t-1)]，x1=tx2=tlnt/[a(t-1)]，所以x1+x2=lnt/[a(t-1)]+tlnt/[a(t-1)]=(1+t)lnt/[a(t-1)]，要證x1+x2>2，只需證(1+t)lnt/[a(t-1)]>2，因?yàn)?<a<1，0<t<1，所以只需證(1+t)lnt<2a(t-1)，又因?yàn)閍=ln(x1/x2)/(x1-x2)=lnt/(tx2-x2)=lnt/[x2(t-1)]，所以2a(t-1)=2lnt/x2，所以只需證(1+t)lnt<2lnt/x2，即(1+t)x2<2，因?yàn)閤2>1/a，所以只需證(1+t)/a<2，即1+t<2a，因?yàn)?<a<1，0<t<1，所以1+t<2，2a<2，所以1+t<2a不一定成立，因此，正確的證明方法如下：構(gòu)造函數(shù)g(t)=lnt-2(t-1)/(t+1)(0<t<1)，則g'(t)=1/t-2[(t+1)-(t-1)]/(t+1)2=1/t