2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)試卷一、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)模塊（一）情境探究題背景：某城市居民用電實行階梯電價政策，具體收費標(biāo)準(zhǔn)如下：月用電量不超過180度時，電價為0.56元/度；超過180度但不超過400度的部分，電價為0.61元/度；超過400度的部分，電價為0.86元/度。問題：設(shè)月用電量為(x)度，電費為(y)元，試建立(y)關(guān)于(x)的函數(shù)關(guān)系式，并畫出函數(shù)圖像。若某家庭2025年10月電費為320元，計算該家庭當(dāng)月的用電量。探究：當(dāng)用電量處于不同區(qū)間時，電價調(diào)整對家庭電費支出的影響。例如，若第二檔電價上調(diào)0.05元/度，第三檔電價不變，分析月用電量為300度和500度的家庭電費分別增加多少。（二）開放探究題背景：已知函數(shù)(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d)的圖像經(jīng)過點((0,2))，且在(x=-1)處取得極大值4，在(x=2)處取得極小值。問題：求函數(shù)(f(x))的解析式；若函數(shù)(g(x)=f(x)-kx)在區(qū)間([-2,3])上單調(diào)遞增，求實數(shù)(k)的取值范圍；設(shè)計一個實際問題情境，使該函數(shù)能用于描述該情境中的變化規(guī)律（例如：物體運動的路程與時間的關(guān)系、利潤與產(chǎn)量的關(guān)系等），并說明函數(shù)單調(diào)性、極值的實際意義。二、幾何與代數(shù)模塊（一）立體幾何探究題背景：某工廠要設(shè)計一個直三棱柱形儲物倉庫，其底面為直角三角形，側(cè)棱長為5米，底面周長為12米。問題：設(shè)底面直角三角形的一條直角邊長為(x)米，另一條直角邊長為(y)米，寫出(y)關(guān)于(x)的函數(shù)關(guān)系式，并求出該函數(shù)的定義域；如何設(shè)計底面直角三角形的邊長，使得倉庫的體積最大？最大體積是多少？若倉庫的頂面和側(cè)面使用鋼板，底面使用混凝土，鋼板單價為200元/平方米，混凝土單價為100元/平方米，探究當(dāng)倉庫體積最大時，建造倉庫的材料總費用是否最低，并說明理由。（二）解析幾何探究題背景：在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，且過點((2,1))。問題：求橢圓(C)的標(biāo)準(zhǔn)方程；過橢圓(C)的右焦點(F)作直線(l)交橢圓于(A,B)兩點，若線段(AB)的中點為(M)，直線(OM)（(O)為坐標(biāo)原點）的斜率為(-\frac{1}{2})，求直線(l)的方程；類比橢圓的定義和性質(zhì)，提出一個關(guān)于雙曲線(\frac{x^2}{m^2}-\frac{y^2}{n^2}=1(m>0,n>0))的探究問題，并給出解決思路（例如：探究雙曲線中過焦點的弦長與斜率的關(guān)系）。三、概率與統(tǒng)計模塊（一）數(shù)據(jù)分析題背景：某學(xué)校為了解學(xué)生每天的體育鍛煉時間，隨機(jī)抽取了高一年級100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，得到如下頻數(shù)分布表：鍛煉時間（分鐘）[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]頻數(shù)1025352010問題：計算這100名學(xué)生每天體育鍛煉時間的平均數(shù)和中位數(shù)（精確到0.1）；若該校高一年級共有800名學(xué)生，估計每天鍛煉時間不少于60分鐘的學(xué)生人數(shù)；現(xiàn)從鍛煉時間在[0,20)和[80,100]的學(xué)生中按分層抽樣的方法抽取5人，再從這5人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行訪談，求抽取的2人來自不同區(qū)間的概率。（二）數(shù)學(xué)建模題背景：某電商平臺在“雙十一”期間推出促銷活動，規(guī)定：購物金額滿200元可減免20元，滿500元可減免50元，滿1000元可減免120元。已知某類商品的單價為80元/件，每位顧客限購15件。問題：設(shè)顧客購買(x)件該商品，實際支付金額為(y)元，寫出(y)關(guān)于(x)的函數(shù)關(guān)系式（(x\in{1,2,...,15})）；若顧客甲計劃購買該商品，預(yù)算為800元，求甲最多可購買多少件；該平臺發(fā)現(xiàn)，當(dāng)減免規(guī)則調(diào)整為“滿300元減免30元，滿600元減免70元，滿1200元減免150元”時，銷量明顯增加。請通過計算比較兩種減免規(guī)則下，購買10件商品的顧客實際支付金額的變化，并分析銷量增加的可能原因（從消費者心理、支付金額差異等角度說明）。四、綜合實踐與創(chuàng)新模塊（一）跨學(xué)科探究題背景：某生物實驗室在培養(yǎng)一種細(xì)菌，其數(shù)量(N(t))（單位：個）與時間(t)（單位：小時）的關(guān)系近似滿足(N(t)=N_0e^{kt})（(N_0)為初始數(shù)量，(k)為常數(shù)）。實驗數(shù)據(jù)顯示，當(dāng)(t=2)時，(N=200)；當(dāng)(t=5)時，(N=800)。問題：求(N_0)和(k)的值（(k)精確到0.01）；若細(xì)菌數(shù)量達(dá)到10000個時需要進(jìn)行處理，求首次處理的時間（精確到0.1小時）；結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，解釋函數(shù)(N(t))在(t=3)處的導(dǎo)數(shù)值的實際含義，并說明細(xì)菌數(shù)量增長的快慢與時間的關(guān)系。（二）項目式探究題背景：學(xué)校計劃在一塊矩形空地上建造一個如圖所示的“L”形花園，矩形空地的長為10米，寬為8米，“L”形花園由兩個長方形區(qū)域組成（如圖，其中一個長方形的長為(a)米，寬為(b)米，另一個長方形的長為(c)米，寬為(d)米，且(a+c=10)，(b+d=8)，陰影部分為花園，空白部分為道路）。問題：設(shè)花園的總面積為(S)平方米，用含(a)和(d)的代數(shù)式表示(S)；若道路的寬度為1米（即(c=1)且(b=1)），求花園的總面積；為使花園