專題6立體幾何與空間向量考點(diǎn)考情考向考頻立體幾何與空間向量柱、錐、臺(tái)、球的表面積與體積2022年新課標(biāo)Ⅰ卷T4、T82022年新課標(biāo)Ⅱ卷T7、T112023年新課標(biāo)Ⅰ卷T12、T142023年新課標(biāo)Ⅱ卷T9、T142024年新課標(biāo)Ⅰ卷T52024年新課標(biāo)Ⅱ卷T73年10考空間線線、線面、面面平行與垂直的判定與應(yīng)用2022年新課標(biāo)Ⅰ卷T9、T192022年新課標(biāo)Ⅱ卷T202023年新課標(biāo)Ⅰ卷T182023年新課標(biāo)Ⅱ卷T202024年新課標(biāo)Ⅰ卷T172024年新課標(biāo)Ⅱ卷T173年7考空間向量及應(yīng)用2022年新課標(biāo)Ⅰ卷T192022年新課標(biāo)Ⅱ卷T202023年新課標(biāo)Ⅰ卷T182023年新課標(biāo)Ⅱ卷T202024年新課標(biāo)Ⅰ卷T172024年新課標(biāo)Ⅱ卷T173年6考空間角與距離及求法2022年新課標(biāo)Ⅰ卷T9、T192022年新課標(biāo)Ⅱ卷T202023年新課標(biāo)Ⅰ卷T182023年新課標(biāo)Ⅱ卷T202024年新課標(biāo)Ⅰ卷T172024年新課標(biāo)Ⅱ卷T7、T173年8考近三年的高考命題，重點(diǎn)考查棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征及表面積與體積，圓柱、圓錐與球的結(jié)構(gòu)特征及表面積與體積，直線與直線、直線與平面、平面與平面平行或垂直的判定與性質(zhì)，直線與平面所成的角、二面角的求法、空間向量在求空間角時(shí)的應(yīng)用．高考命題形式呈現(xiàn)“一(或二)小一大趨勢(shì)”，小題(客觀題)以容易題、中檔題或難題形式出現(xiàn)，且試題創(chuàng)新度高，形式新穎；大題(解答題)側(cè)重考查線面位置關(guān)系的論證和空間角(二面角)的求法．本專題主要考查直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模和邏輯推理等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)．

立體幾何是每年高考考查的重要內(nèi)容，新高考舊結(jié)構(gòu)以“二小一大”的形式考查，而新高考新結(jié)構(gòu)以“一小一大”的形式考查．客觀題主要考查柱、錐、臺(tái)、球的表面積或體積，多面體與組合體的有關(guān)側(cè)面展開(kāi)圖，與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，線線、線面、面面的位置關(guān)系的性質(zhì)與判定，試題難度易、中、難均有可能，有時(shí)與數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)應(yīng)用綜合．解答題一般設(shè)置兩問(wèn)，其中第一問(wèn)是位置關(guān)系的證明，主要涉及線線垂直、線面平行、面面垂直、線段相等，第二問(wèn)主要涉及二面角、線面角、異面直線所成角的計(jì)算，側(cè)重二面角的計(jì)算．立體幾何一般排在前三題，試題難度是中等題．立體幾何是培養(yǎng)學(xué)生直觀想象和邏輯推理數(shù)學(xué)素養(yǎng)的良好素材，主要以兩個(gè)載體(直觀圖、點(diǎn)線面的位置關(guān)系)來(lái)幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)空間圖形及其位置關(guān)系，提高直觀想象能力，并在幾何直觀的基礎(chǔ)上，初步形成對(duì)空間圖形的邏輯推理能力．在復(fù)習(xí)時(shí)要注意如下幾個(gè)方面：1．明確柱、錐、臺(tái)、球的幾何特征，并能進(jìn)行表面積、體積的運(yùn)算．高考常以此為載體考查空間想象能力及運(yùn)算求解能力．2．空間位置關(guān)系特別是空間中平行與垂直關(guān)系的判斷與證明是高考必考內(nèi)容，要將平行與垂直的判定定理及性質(zhì)定理靈活運(yùn)用，提高邏輯推理數(shù)學(xué)素養(yǎng)．3．空間向量的考查重在其工具性，主要是計(jì)算空間角(異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的平面角)和空間距離等，也可用來(lái)證明位置關(guān)系，運(yùn)用空間向量，思路清晰，可化難為易，克服平面的垂線難作、角難找、圖難畫(huà)等難點(diǎn)，但計(jì)算的要求相應(yīng)提高，在復(fù)習(xí)過(guò)程中，應(yīng)在重視空間向量坐標(biāo)法的同時(shí)關(guān)注構(gòu)建法的運(yùn)用，重視法向量的計(jì)算，重視向量公式的正確使用．第33講空間幾何體的結(jié)構(gòu)及表面積、體積[課標(biāo)要求]1.了解柱、錐、臺(tái)、球的定義、性質(zhì)及它們之間的關(guān)系.2.掌握柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征．會(huì)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出它們的直觀圖.3.了解柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積的計(jì)算公式.4.通過(guò)對(duì)空間幾何體的表面積與體積的計(jì)算，進(jìn)一步理解簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)特征．eq\o(\s\up7(),\s(授課提示：聽(tīng)課手冊(cè)P145))1．柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征名稱結(jié)構(gòu)特征圖例棱柱兩底面相互平行，其余各面都是__平行四邊形__；側(cè)棱平行且__相等__棱錐底面是多邊形，各側(cè)面均是__三角形__；各側(cè)面有一個(gè)公共頂點(diǎn)棱臺(tái)兩底面相互平行；是用一個(gè)__平行__于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分圓柱兩底面相互平行；側(cè)面的母線__平行__于圓柱的軸；是以矩形的一邊所在直線為_(kāi)_軸__，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體圓錐底面是__圓__；是以直角三角形的一條__直角邊__所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體圓臺(tái)兩底面互相平行；是用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分球球心到球面上各點(diǎn)的距離__相等__；是以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體2.直觀圖空間幾何體的直觀圖常用__斜二測(cè)畫(huà)法__來(lái)畫(huà)，基本步驟是：(1)畫(huà)幾何體的底面①在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸交于點(diǎn)O.畫(huà)直觀圖時(shí)，把它們畫(huà)成對(duì)應(yīng)的x′軸與y′軸，兩軸相交于點(diǎn)O′，且使∠x(chóng)′O′y′＝__45°(或135°)__，它們確定的平面表示水平面．②已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫(huà)成__平行于x′軸或y′軸__的線段．③已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中__保持原長(zhǎng)度不變__，平行于y軸的線段，在直觀圖中長(zhǎng)度為_(kāi)_原來(lái)的一半__．(2)畫(huà)幾何體的高在已知圖形中過(guò)O點(diǎn)作z軸垂直于Oxy平面，在直觀圖中對(duì)應(yīng)的z′軸也垂直于O′x′y′平面，已知圖形中平行于z軸的線段在直觀圖中仍平行于z′軸且長(zhǎng)度__相等__．(3)成圖根據(jù)實(shí)際圖形順次連接線段的端點(diǎn)，并整理(去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線)，就得到了幾何體的直觀圖．3．表面積多面體的表面積就是圍成多面體各個(gè)面的面積的和．4．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖及側(cè)面積公式eq\o(\s\up7(),\s\do15(S圓柱側(cè)＝2πrl))eq\o(\s\up7(),\s\do15(S圓錐側(cè)＝πrl))eq\o(\s\up7(),\s\do15(S圓臺(tái)側(cè)＝π(r＋r′)l))5．空間幾何體的表面積和體積公式幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝Sh錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝eq\f(1,3)Sh臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上·S下))h球S表面積＝4πR2V球＝eq\f(4,3)πR31．用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的水平放置的平面圖形的直觀圖的面積是原圖形面積的eq\f(\r(2),4).2．與體積有關(guān)的幾個(gè)結(jié)論(1)一個(gè)組合體的體積等于它的各部分體積的和或差．(2)底面面積及高都相等的兩個(gè)同類幾何體的體積相等．3．幾個(gè)與球有關(guān)的切、接的常用結(jié)論(1)正方體的棱長(zhǎng)為a，球的半徑為R.①若球?yàn)檎襟w的外接球，則2R＝eq\r(3)a；②若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R＝a；③若球與正方體的各棱相切，則2R＝eq\r(2)a.(2)若長(zhǎng)方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).(3)正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3∶1.4．球的截面的性質(zhì)(1)過(guò)球心的平面截球所得的截面是一個(gè)圓，稱為球的大圓，不過(guò)球心的平面截球所得的截面也是圓，稱為球的小圓．(2)球的截面的性質(zhì)：①球的小圓圓心與球心連接的線段與小圓面__垂直__；②該球心到球的截面的距離為d，小圓的半徑r，球的半徑R，則R2＝__d2＋r2__．1．下列說(shuō)法正確的是()A．以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)所得到的旋轉(zhuǎn)體是圓錐B．以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)C．以半圓的直徑為軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體是球D．圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為扇形，這個(gè)扇形所在圓的半徑等于圓錐底面圓的半徑解析：CA是錯(cuò)誤的，以直角三角形的直角邊為軸旋轉(zhuǎn)所得到的旋轉(zhuǎn)體才是圓錐；B是錯(cuò)誤的，以直角梯形垂直于底的腰為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)；C是正確的；D是錯(cuò)誤的，圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為扇形，這個(gè)扇形所在圓的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)．故選C.2．下列關(guān)于棱錐、棱臺(tái)的說(shuō)法正確的是()A．有一個(gè)面是多邊形，其余各面是三角形的幾何體是棱錐B．有兩個(gè)面平行且相似，其他各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)C．用一個(gè)平面去截棱錐，底面與截面之間那部分所圍成的幾何體叫做棱臺(tái)D．棱臺(tái)的各側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn)解析：D有一個(gè)面是多邊形，其余各面是三角形，若其余各面沒(méi)有一個(gè)共同的頂點(diǎn)，則不是棱錐，A錯(cuò)誤；兩個(gè)面平行且相似，其他各面都是梯形的多面體不一定是棱臺(tái)，還要滿足各側(cè)棱的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，B錯(cuò)誤，D正確；用一個(gè)平行于底面的平面去截棱錐，底面與截面之間那部分所圍成的幾何體叫做棱臺(tái)，C錯(cuò)誤．故選D.3．(2024·新課標(biāo)Ⅰ卷)已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為eq\r(3)，則圓錐的體積為()A．2eq\r(3)πB．3eq\r(3)πC．6eq\r(3)πD．9eq\r(3)π解析：B設(shè)圓柱的底面半徑為r，則圓錐的母線長(zhǎng)為eq\r(r2＋3)，而它們的側(cè)面積相等，所以2πr×eq\r(3)＝πr×eq\r(3＋r2)，即2eq\r(3)＝eq\r(3＋r2)，故r＝3，故圓錐的體積為eq\f(1,3)π×9×eq\r(3)＝3eq\r(3)π.故選B.4．(2025·湖北武漢期中)如圖，四邊形ABCD的斜二測(cè)畫(huà)法直觀圖為等腰梯形A′B′C′D′，已知A′B′＝4，C′D′＝2，則四邊形ABCD的面積為_(kāi)_________．解析：6eq\r(2)如圖，過(guò)D′作DE⊥O′B′，由等腰梯形A′B′C′D′可得△A′D′E是等腰直角三角形，即A′D′＝eq\r(2)A′E＝eq\f(1,2)×(4－2)×eq\r(2)＝eq\r(2)，四邊形ABCD的面積為eq\f(1,2)×(4＋2)×2eq\r(2)＝6eq\r(2).5．(2024·重慶二模)將一個(gè)半徑為eq\f(3,2)cm的鐵球熔化后，澆鑄成一個(gè)正四棱臺(tái)形狀的鐵錠，若這個(gè)鐵錠的底面邊長(zhǎng)為1cm和2cm，則它的高為_(kāi)_________cm.解析：eq\f(27π,14)球的體積為V1＝eq\f(4,3)π×(eq\f(3,2))3＝eq\f(9π,2)，設(shè)鐵錠的高為hcm，則正四棱臺(tái)的體積為V2＝eq\f(1,3)(1＋4＋eq\r(1×4))h＝eq\f(7,3)h，由V1＝V2得h＝eq\f(27π,14).eq\o(\s\up7(),\s(授課提示：聽(tīng)課手冊(cè)P148))探究點(diǎn)1空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征【例1】(1)給出下列命題：①在正方體上任意選擇4個(gè)不共面的頂點(diǎn)，它們可能是正四面體的4個(gè)頂點(diǎn)；②底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐；③若有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱．其中正確命題的序號(hào)是________．(2)給出下列命題：①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線；②直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐；③棱臺(tái)的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長(zhǎng)一定相等．其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．0B．1C．2D．3解析：(1)①①正確，正四面體是每個(gè)面都是等邊三角形的四面體，如正方體ABCD-A1B1C1D1中的四面體A-CB1D1；②錯(cuò)誤，反例如圖所示，底面△ABC為等邊三角形，可令A(yù)B＝VB＝VC＝BC＝AC，則△VBC為等邊三角形，△VAB和△VCA均為等腰三角形，但不能判定其為正三棱錐；③錯(cuò)誤，必須是相鄰的兩個(gè)側(cè)面．(2)A①錯(cuò)誤，只有當(dāng)這兩點(diǎn)的連線平行于軸時(shí)才是母線；②錯(cuò)誤，當(dāng)以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體不是圓錐，如圖所示，它是由兩個(gè)同底圓錐組成的幾何體；③錯(cuò)誤，棱臺(tái)的上、下底面相似且是對(duì)應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，但是側(cè)棱長(zhǎng)不一定相等．故選A.(1)熟記柱、錐、臺(tái)、球的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，以便在以柱、錐、臺(tái)、球?yàn)檩d體的綜合問(wèn)題中靈活準(zhǔn)確地應(yīng)用其性質(zhì)進(jìn)行推理與計(jì)算．(2)求解幾何體的結(jié)構(gòu)特征的相關(guān)問(wèn)題時(shí)，要注意：①充分利用正方體、長(zhǎng)方體模型，注意所研究的幾何體與其有什么關(guān)系．②善于根據(jù)題目特點(diǎn)構(gòu)造幾何圖形和空間幾何體．③善于通過(guò)截面將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題.變式探究1．給出下列四個(gè)命題：①圓錐是由正方形繞對(duì)角線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面圍成的幾何體；②圓錐是由三角形繞其一邊上的高旋轉(zhuǎn)所形成曲面圍成的幾何體；③圓錐是∠AOB繞其平分線旋轉(zhuǎn)一周所形成曲面圍成的幾何體；④底面在水平平面上的圓錐用平行于底面的平面所截得的位于截面上方的部分是圓錐．其中正確命題的序號(hào)是__________．解析：④正方形繞對(duì)角線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面圍成的幾何體為兩個(gè)圓錐，①錯(cuò)誤；圓錐是由直角三角形繞其一條直角邊旋轉(zhuǎn)所形成曲面圍成的幾何體，②③錯(cuò)誤；④正確．2．下列結(jié)論正確的是()A．底面是平行四邊形的棱柱是平行六面體B．各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐C．以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐D．圓臺(tái)的上底面圓周上的任意一點(diǎn)與下底面圓周上的任意一點(diǎn)的連線都是母線解析：A對(duì)于A，底面是平行四邊形的四棱柱為平行六面體，A正確；對(duì)于B，如果兩個(gè)相同的三棱錐疊放在一起，得到的幾何體各個(gè)面都是三角形，但幾何體不是三棱錐，如圖所示，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體叫圓錐，顯然若旋轉(zhuǎn)未滿一周，則幾何體不是圓錐，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，過(guò)圓臺(tái)上下底面平行的直徑同一側(cè)的端點(diǎn)的連線叫做圓臺(tái)的母線，D錯(cuò)誤．故選A.探究點(diǎn)2簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積【例2】(1)(2024·山東濰坊三模)陀螺是由兩個(gè)底面重合的圓錐組成的．已知該陀螺上、下兩圓錐的體積之比為1∶2，上圓錐的高與底面半徑相等，則上、下兩圓錐的母線長(zhǎng)之比為()A.eq\f(\r(10),5)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(\r(15),5)(2)(2023·新課標(biāo)Ⅱ卷)底面邊長(zhǎng)為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺(tái)的體積為_(kāi)_______．解析：(1)A設(shè)上、下兩圓錐的底面半徑為r，高分別為h1，h2，體積分別為V1，V2，因?yàn)樯蠄A錐的高與底面半徑相等，所以h1＝r，則eq\f(V1,V2)＝eq\f(\f(1,3)πr2h1,\f(1,3)πr2h2)＝eq\f(h1,h2)＝eq\f(r,h2)＝eq\f(1,2)，所以h2＝2r，上圓錐的母線為eq\r(r2＋heq\o\al(2,1))＝eq\r(r2＋r2)＝eq\r(2)r，下圓錐的母線為eq\r(r2＋heq\o\al(2,2))＝eq\r(r2＋4r2)＝eq\r(5)r，所以上、下兩圓錐的母線長(zhǎng)之比為eq\f(\r(2)r,\r(5)r)＝eq\f(\r(10),5)，故選A.(2)28(方法1)如圖，由于eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)，而截去的正四棱錐的高為3，所以原正四棱錐的高為6，所以正四棱錐的體積為eq\f(1,3)×(4×4)×6＝32，截去的正四棱錐的體積為eq\f(1,3)×(2×2)×3＝4，所以棱臺(tái)的體積為32－4＝28.(方法2)棱臺(tái)的體積為eq\f(1,3)×3×(16＋4＋eq\r(16×4))＝28.(1)求幾何體的體積和表面積，要緊扣公式中的基本量，注意量與量之間的轉(zhuǎn)化．(2)當(dāng)幾何體不是正棱柱、正棱錐和正棱臺(tái)時(shí)，求表面積時(shí)，要注意判斷每一個(gè)面的形狀，先分別求出每一個(gè)面的面積，再相加.變式探究3．(2025·山東德州期中)如圖，青銅器的上半部分可以近似看作圓柱體，下半部分可以近似看作兩個(gè)圓臺(tái)的組合體，已知AB＝8cm，CD＝2cm，則該青銅器的體積為()A．87eq\r(2)πcm3 B.eq\f(87\r(2)π,4)cm3C.eq\f(43\r(2)π,2)cm3 D．43eq\r(2)πcm3解析：D設(shè)圓柱的底面圓半徑為r1，底層圓臺(tái)的上下底面圓半徑分別為r2，r3，則r1＝2，r2＝4，r3＝1，所以青銅器的體積為V圓柱＋V中間圓臺(tái)＋V底層圓臺(tái)＝2eq\r(2)πreq\o\al(2,1)＋eq\f(1,3)×3eq\r(2)(πreq\o\al(2,2)＋πreq\o\al(2,1)＋eq\r(πreq\o\al(2,2)·πreq\o\al(2,1)))＋eq\f(1,3)×eq\r(2)(πreq\o\al(2,2)＋πreq\o\al(2,3)＋eq\r(πreq\o\al(2,2)·πreq\o\al(2,3)))＝2eq\r(2)π×4＋eq\f(1,3)×3eq\r(2)(π×16＋π×4＋eq\r(16π×4π))＋eq\f(1,3)×eq\r(2)(π×16＋π×1＋eq\r(16π×π))＝43eq\r(2)π(cm3)，故選D.4．(多選)在實(shí)踐課上，小華將透明塑料制成了一個(gè)長(zhǎng)方體容器ABCD-A1B1C1D1，如圖1，AB＝BC＝2，A1A＝5，在容器內(nèi)灌進(jìn)一些水(D1H＝4DH)，現(xiàn)固定容器底面一邊BC于地面上，再將容器傾斜，如圖2，則()A．有水的部分始終呈三棱柱或四棱柱B．棱A1D1與水面所在平面平行C．水面EFGH所在四邊形的面積為定值D．當(dāng)容器傾斜成如圖3所示時(shí)，EF的最小值為2eq\r(2)解析：ABD由棱柱的定義知，A正確；對(duì)于B，由于A1D1∥BC，BC∥FG，所以A1D1∥FG，且A1D1不在水面所在平面內(nèi)，所以棱A1D1與水面所在平面平行，B正確；對(duì)于C，在圖1中，SEFGH＝FG·EF＝BC·AB＝4，在圖2中，SEFGH＝FG·EF>AB·BC＝4，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，V水＝2×2×1＝eq\f(1,2)·BE·BF·BC，所以BE·BF＝4.EF2＝BE2＋BF2≥2BE·BF＝8，當(dāng)且僅當(dāng)BE＝BF＝2時(shí)，等號(hào)成立，所以EF的最小值為2eq\r(2)，D正確．故選ABD.探究點(diǎn)3組合體的表面積與體積【例3】(1)設(shè)四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1的上、下底面積分別為S1，S2，側(cè)面積為S，若一個(gè)小球與該四棱臺(tái)的每個(gè)面都相切，則()A．S2＝S1S2 B．S＝S1＋S2C．S＝2eq\r(S1S2) D.eq\r(S)＝eq\r(S1)＋eq\r(S2)(2)(多選)(2022·新課標(biāo)Ⅱ卷)如圖，四邊形ABCD為正方形，ED⊥平面ABCD，F(xiàn)B∥ED，AB＝ED＝2FB，記三棱錐E-ACD，F(xiàn)-ABC，F(xiàn)-ACE的體積分別為V1，V2，V3，則()A．V3＝2V2 B．V3＝V1C．V3＝V1＋V2 D．2V3＝3V1解析：(1)D設(shè)內(nèi)切球的球心為O，連接OA，OB，OC，OD，OA1，OB1，OC1，OD1，如圖所示，則OA，OB，OC，OD，OA1，OB1，OC1，OD1把四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1分割成六個(gè)四棱錐，且六個(gè)四棱錐的高都為內(nèi)切球的半徑R，則四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1的高為2R，所以V四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋eq\r(S1S2))·2R＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋S)·R，化簡(jiǎn)可得S1＋S2＋2eq\r(S1S2)＝(eq\r(S1)＋eq\r(S2))2＝S.故選D.(2)CD設(shè)AB＝ED＝2FB＝2a，因?yàn)镋D⊥平面ABCD，F(xiàn)B∥ED，則V1＝eq\f(1,3)·ED·S△ACD＝eq\f(1,3)·2a·eq\f(1,2)·(2a)2＝eq\f(4,3)a3.V2＝eq\f(1,3)·FB·S△ABC＝eq\f(1,3)·a·eq\f(1,2)·(2a)2＝eq\f(2,3)a3.如圖，連接BD交AC于點(diǎn)M，連接EM，F(xiàn)M，易得BD⊥AC，又ED⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，則ED⊥AC，又ED∩BD＝D，ED，BD?平面BDEF，則AC⊥平面BDEF，又BM＝DM＝eq\f(1,2)BD＝eq\r(2)a，過(guò)F作FG⊥DE于G，易得四邊形BDGF為矩形，則FG＝BD＝2eq\r(2)a，EG＝a，則EM＝eq\r(（2a）2＋（\r(2)a）2)＝eq\r(6)a，F(xiàn)M＝eq\r(a2＋（\r(2)a）2)＝eq\r(3)a，EF＝eq\r(a2＋（2\r(2)a）2)＝3a，所以EM2＋FM2＝EF2，則EM⊥FM，S△EFM＝eq\f(1,2)EM·FM＝eq\f(3\r(2),2)a2，AC＝2eq\r(2)a，則V3＝VA-EFM＋VC-EFM＝eq\f(1,3)AC·S△EFM＝2a3.綜上，V3＝3V2，2V3＝3V1，V3＝V1＋V2，A、B錯(cuò)誤；C、D正確．故選CD.(1)求組合體體積的基本思路是通過(guò)分割、補(bǔ)形或采用間接法的手段，先將幾何體變?yōu)橐粋€(gè)或幾個(gè)規(guī)則的、體積易求的幾何體，再計(jì)算．(2)空間幾何體的表面積是空間幾何體暴露在外的面積，求組合體的表面積，通常是采用“分割”或“補(bǔ)形”的方法將組合體轉(zhuǎn)化為常規(guī)的柱、錐、臺(tái)、球等，先求出這些柱、錐、臺(tái)、球的表面積，再通過(guò)求和或作差求得原幾何體的表面積.變式探究5．(2024·天津北辰三模)中國(guó)載人航天技術(shù)發(fā)展日新月異．從神話“嫦娥奔月”到古代“萬(wàn)戶飛天”，從詩(shī)詞“九天攬?jiān)隆钡奖诋?huà)“仕女飛天”……千百年來(lái)，中國(guó)人以不同的方式表達(dá)著對(duì)未知領(lǐng)域的探索與創(chuàng)新．如圖可視為類似火箭整流罩的一個(gè)容器，其內(nèi)部可以看成由一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱組合而成的幾何體．圓柱和圓錐的底面半徑均為2，圓柱的高為6，圓錐的高為4.若將其內(nèi)部注入液體，已知液面高度為7，則該容器中液體的體積為()A.eq\f(325π,12)B.eq\f(76π,3)C.eq\f(215π,9)D.eq\f(325π,16)解析：A由題意可知，容器中液體的下半部分為圓柱，上半部分為圓臺(tái)，取軸截面，如圖所示，O1，O2，O3分別為AB，CD，EF的中點(diǎn)．易知AB∥CD∥EF，且O1B＝O2C＝2，O1O2＝6，O2P＝4，O2O3＝1，O3P＝3，可得eq\f(O3F,O2C)＝eq\f(O3P,O2P)＝eq\f(3,4)，即O3F＝eq\f(3,2)，所以該容器中液體的體積為π×22×6＋eq\f(1,3)[π×22＋π×(eq\f(3,2))2＋eq\r(π×22×π×（\f(3,2)）2)]×1＝eq\f(325π,12).故選A.6．(2025·浙江模擬預(yù)測(cè))如圖，已知長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的體積為V，E是棱C1D1的中點(diǎn)，平面AB1E將長(zhǎng)方體分割成兩部分，則體積較小的一部分的體積為()A.eq\f(7,24)VB.eq\f(7,17)VC.eq\f(7,15)VD.eq\f(1,2)V解析：A如圖，取DD1的中點(diǎn)F，連接EF，AF，A1F，B1F，易知EF∥DC1∥AB1，所以平面AB1E與DD1的交點(diǎn)為F.設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)AB、寬BC、高AA1分別為a，b，c，則V＝abc.平面AB1EF將長(zhǎng)方體分割成兩部分，則體積較小的一部分的體積為VF-AB1A1＋VF-A1B1ED1＝eq\f(1,3)×b×eq\f(1,2)×a×c＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)c×eq\f(1,2)(a＋eq\f(1,2)a)b＝eq\f(7,24)abc＝eq\f(7,24)V.故選A.7．如圖，在三棱錐P-ABC的平面展開(kāi)圖中，AC＝1，AB＝AD＝eq\r(3)，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為_(kāi)_______________．解析：7π還原出如圖所示的三棱錐B-PAC，因?yàn)锳B⊥AC，AB⊥AD，AC，AD?平面PAC，AC∩AD＝A，所以AB⊥平面PAC.設(shè)平面PAC的截面圓心為O′，半徑為r，球心為O，球半徑為R，在△PAC中，由余弦定理可得PC2＝AC2＋AP2－2AC·AP·cos30°＝1＋3－2×1×eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝1，則PC＝1.由正弦定理得2r＝eq\f(PC,sin30°)＝2，即r＝1.因?yàn)镺O′＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(\r(3),2)，所以R＝eq\r(12＋（\f(\r(3),2)）2)＝eq\f(\r(7),2)，所以外接球的表面積S＝4π(eq\f(\r(7),2))2＝7π.eq\o(\s\up7(),\s(授課提示：訓(xùn)練手冊(cè)P378))1．以下結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A．經(jīng)過(guò)不共面的四點(diǎn)的球有且僅有一個(gè)B．平行六面體的每個(gè)面都是平行四邊形C．正棱柱的每條側(cè)棱均與上下底面垂直D．棱臺(tái)的每條側(cè)棱均與上下底面不垂直解析：D對(duì)于A，經(jīng)過(guò)不共面的四點(diǎn)的球，即為該四面體的外接球，有且僅有一個(gè)，A正確；對(duì)于B，平行六面體的每個(gè)面都是平行四邊形，B正確；對(duì)于C，正棱柱的每條側(cè)棱均與上下底面垂直，C正確；對(duì)于D，棱臺(tái)的每條側(cè)棱延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，側(cè)棱有可能與底面垂直，D錯(cuò)誤．故選D.2．如圖，△ABC是水平放置的△ABC的斜二測(cè)直觀圖，其中O′C′＝O′A′＝2O′B′，則以下說(shuō)法正確的是()A．△ABC是鈍角三角形B．△ABC是等邊三角形C．△ABC是等腰直角三角形D．△ABC是等腰三角形，但不是直角三角形解析：C將其還原成原圖，如圖，設(shè)A′C′＝2，則可得OB＝2O′B′＝1，AC＝A′C′＝2，從而AB＝BC＝eq\r(2)，所以AB2＋BC2＝AC2，即AB⊥BC，故△ABC是等腰直角三角形．故選C.3．下列說(shuō)法中正確的是()A．各側(cè)棱都相等的棱錐為正棱錐B．各側(cè)面都是面積相等的等腰三角形的棱錐為正棱錐C．各側(cè)面都是全等的等腰三角形的棱錐為正棱錐D．底面是正多邊形且各側(cè)面是全等三角形的棱錐為正棱錐解析：D對(duì)于A，各側(cè)棱都相等，但無(wú)法保證底面為正多邊形，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，各側(cè)面都是面積相等的等腰三角形，但無(wú)法保證各個(gè)等腰三角形全等且腰長(zhǎng)均為側(cè)棱長(zhǎng)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，但無(wú)法保證等腰三角形的腰長(zhǎng)為側(cè)棱長(zhǎng)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，底面是正多邊形，各側(cè)面是全等三角形，則可以保證頂點(diǎn)在底面的射影為底面中心，滿足正棱錐定義，D正確．故選D.4．已知一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為4，且其側(cè)面積是其軸截面面積的4倍，則該圓錐的高為()A．π B.eq\f(3π,2)C.eq\f(2π,3) D.eq\f(π,2)解析：A不妨設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l，高為h.根據(jù)題意，4×eq\f(1,2)×2rh＝πrl，所以eq\f(h,l)＝eq\f(π,4)，又l＝4，解得h＝π.故選A.5．設(shè)有三個(gè)命題：①底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體；②底面是矩形的平行六面體是長(zhǎng)方體；③直四棱柱是平行六面體．其中真命題的個(gè)數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3解析：B由平行六面體的定義可得底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體，命題①正確；底面是矩形的平行六面體的側(cè)棱不一定垂直于底面，故該幾何體不一定為長(zhǎng)方體，命題②錯(cuò)誤；直四棱柱的底面不一定為平行四邊形，故直四棱柱不一定是平行六面體，命題③錯(cuò)誤．正確的命題只有1個(gè)．故選B.6．(2025·貴州貴陽(yáng)模擬預(yù)測(cè))下圖是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖，已知BA＝12，BD＝6且∠ABC＝120°，則該圓臺(tái)的體積為()A．112eq\r(2)πB.eq\f(7\r(2),3)πC.eq\f(28\r(2),3)πD.eq\f(112\r(2),3)π解析：D設(shè)圓臺(tái)上底面圓半徑為r，下底面圓半徑為R，母線長(zhǎng)為l，高為h，依題意，2πr＝6×eq\f(2π,3)，2πR＝12×eq\f(2π,3)，解得r＝2，R＝4，而圓臺(tái)的母線長(zhǎng)l＝AD＝BA－DA＝6，因此圓臺(tái)的高h(yuǎn)＝eq\r(l2－（R－r）2)＝4eq\r(2)，所以圓臺(tái)的體積V＝eq\f(1,3)(πr2＋πR2＋πrR)h＝eq\f(1,3)×(4π＋16π＋8π)×4eq\r(2)＝eq\f(112\r(2),3)π.故選D.7．(2024·河南新鄉(xiāng)二模)在直三棱柱A1B1C1-ABC中，AB⊥BC，AC1＝2AA1＝4，則該三棱柱的體積的最大值為_(kāi)_______．解析：6如圖，AC1＝2AA1＝4，則A1C1＝2eq\r(3)，由AB⊥BC，則AB2＋BC2＝12≥2AB·BC，當(dāng)AB＝BC時(shí)，等號(hào)成立，即AB·BC的最大值為6，此時(shí)三棱柱的體積最大，最大體積為eq\f(1,2)AB·BC·AA1＝eq\f(1,2)×6×2＝6.8．在三棱錐P-ABC中，線段PC上的點(diǎn)M滿足PM＝eq\f(1,3)PC，線段PB上的點(diǎn)N滿足PN＝eq\f(2,3)PB，則三棱錐P-AMN和三棱錐P-ABC的體積之比為_(kāi)_______．解析：eq\f(2,9)在三棱錐P-ABC中，線段PC上的點(diǎn)M滿足PM＝eq\f(1,3)PC，線段PB上的點(diǎn)N滿足PN＝eq\f(2,3)PB，所以S△PMA＝eq\f(1,3)S△PAC，設(shè)N到平面PAC的距離為d1，B到平面PAC的距離為d2，則d1＝eq\f(2,3)d2，則三棱錐P-AMN的體積為V三棱錐P-AMN＝V三棱錐N-APM＝eq\f(1,3)S△PAM·d1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,3)S△PAC×eq\f(2,3)d2＝eq\f(2,9)V三棱錐B-PAC＝eq\f(2,9)V三棱錐P-ABC.故三棱錐P-AMN和三棱錐P-ABC的體積之比為eq\f(2,9).9．(2025·福建泉州模擬預(yù)測(cè))已知圓錐的側(cè)面積是2π，且它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的內(nèi)切球半徑為()A.eq\f(2\r(6),3) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(2\r(3),3) D.eq\f(\r(6),3)解析：B圓錐和它的側(cè)面展開(kāi)圖如圖所示．設(shè)圓錐底面圓的半徑為r，高為h，母線長(zhǎng)為l，由題意知，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(πrl＝2π,πl(wèi)＝2πr，))兩式相除解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(r＝1，,l＝2，))所以圓錐軸截面的頂角為eq\f(π,3)，軸截面為等邊三角形，圓錐的高h(yuǎn)＝eq\r(22－12)＝eq\r(3).如圖，設(shè)圓錐的內(nèi)切圓的圓心為O，半徑為R，Rt△AOS中，OS＝eq\f(1,2)AO，即R＝eq\f(1,2)(eq\r(3)－R)，解得R＝eq\f(\r(3),3).故選B.10．(2025·四川段考)已知正四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1的上、下底面邊長(zhǎng)分別為4，6，若正四棱臺(tái)的外接球的表面積為104π，則正四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1的體積為_(kāi)_____________________________．解析：eq\f(380\r(2),3)或eq\f(76\r(2),3)設(shè)外接球的半徑為R，則4πR2＝104π，解得R＝eq\r(26).設(shè)正方形ABCD和正方形A1B1C1D1的中心分別為O，O1，外接球的球心為M.當(dāng)外接球的球心M在線段OO1上時(shí)，如圖，在等腰梯形ACC1A1中，MA＝MA1＝R＝eq\r(26)，OA＝eq\f(1,2)AC＝2eq\r(2)，O1A1＝eq\f(1,2)A1C1＝3eq\r(2)，則MO＝eq\r(26－8)＝3eq\r(2)，MO1＝eq\r(26－18)＝2eq\r(2)，所以O(shè)O1＝5eq\r(2)，此時(shí)正四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1的高為5eq\r(2)，體積V＝eq\f(1,3)×(16＋36＋eq\r(16×36))×5eq\r(2)＝eq\f(380\r(2),3).當(dāng)外接球的球心M在線段OO1的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖．在等腰梯形ACC1A1中，MA＝MA1＝R＝eq\r(26)，OA＝2eq\r(2)，O1A1＝3eq\r(2)，則MO＝3eq\r(2)，MO1＝2eq\r(2)，所以O(shè)O1＝eq\r(2)，此時(shí)，正四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1的高為eq\r(2)，體積V＝eq\f(1,3)×(16＋36＋eq\r(16×36))×eq\r(2)＝eq\f(76\r(2),3).綜上，正四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1的體積為eq\f(380\r(2),3)或eq\f(76\r(2),3).11．(多選)(2025·山西大同期末)將一個(gè)直徑為10cm的鐵球磨制成一個(gè)零件，能夠磨制成的零件可以是()A．底面直徑為8cm，高為6cm的圓柱體B．底面直徑為8cm，高為8cm的圓錐體C．底面直徑為7cm，高為9cm的圓錐體D．各棱長(zhǎng)均為8cm的四面體解析：ABD對(duì)于A，若圓柱的底面直徑為8cm，則半徑為4cm，此時(shí)球心到圓柱底面的距離為eq\r(52－42)＝3(cm)，故圓柱的高可以為6cm，A正確；對(duì)于B，若圓錐的底面直徑為8cm，則半徑為4cm，此時(shí)球心到圓錐底面的距離為eq\r(52－42)＝3(cm)，故圓錐的高最大時(shí)為3＋5＝8(cm)，B正確；對(duì)于C，若圓錐的底面直徑為7cm，則半徑為eq\f(7,2)cm，此時(shí)球心到圓錐底面的距離為eq\r(52－（\f(7,2)）2)＝eq\f(\r(51),2)<eq\f(8,2)＝4(cm)，故圓錐的高最大時(shí)為(eq\f(\r(51),2)＋5)cm<9cm，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若將各棱長(zhǎng)均為8cm的四面體放入棱長(zhǎng)為4eq\r(2)cm的正方體中，此時(shí)正方體的外接球直徑為eq\r(3)×4eq\r(2)＝4eq\r(6)(cm)<10cm，D正確．故選ABD.12．(多選)如圖，已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1，下列命題正確的是()A．正方體外接球的直徑為eq\r(3)B．點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)，則四面體P-A1B1C1的體積不變C．與所有12條棱都相切的球的體積為eq\f(\r(2)π,3)D．M是正方體的內(nèi)切球的球面上任意一點(diǎn)，則AM長(zhǎng)的最小值是eq\f(\r(3)－\r(2),2)解析：ABC對(duì)于A，連接B1D(圖略)，則B1D為正方體外接球的直徑，又B1D＝eq\r(3)，則正方體外接球的直徑為eq\r(3)，A正確；對(duì)于B，點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P到平面A1B1C1的距離恒為1，則四面體P-A1B1C1的體積不變，B正確；對(duì)于C，與所有12條棱都相切的球的半徑為eq\f(\r(2),2)，該球體積為eq\f(4,3)π·(eq\f(\r(2),2))3＝eq\f(\r(2)π,3)，則與所有12條棱都相切的球的體積為eq\f(\r(2)π,3)，C正確；對(duì)于D，正方體的內(nèi)切球的半徑為eq\f(1,2)，球心為B1D的中點(diǎn)，M是球面上任意一點(diǎn)，則AM長(zhǎng)的最小值是eq\f(\r(3)－1,2)，D錯(cuò)誤．故選ABC.13．根據(jù)祖暅原理，介于兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被任一平行于這兩個(gè)平面的平面所截，如果兩個(gè)截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等．如圖1所示，一個(gè)容器是半徑為R的半球，另一個(gè)容器是底面半徑和高均為R的圓柱內(nèi)嵌一個(gè)底面半徑和高均為R的圓錐，這兩個(gè)容器的容積相等．若將這兩容器置于同一平面，注入等體積的水，則其水面高度也相同．如圖2，一個(gè)圓柱形容器的底面半徑為4cm，高為10cm，里面注入高為1cm的水，將一個(gè)半徑為4cm的實(shí)心球緩慢放入容器內(nèi)，當(dāng)球沉到容器底端時(shí)，水面的高度為_(kāi)_________cm(注：eq\r(3,2)≈1.26)．解析：1.48設(shè)鐵球沉到容器底端時(shí)，水面的高度為h.由圖2知，容器內(nèi)水的體積加上球在水面下的部分體積等于圓柱的體積，由圖1知相應(yīng)圓臺(tái)的體積加上球在水面下的部分體積也等于圓柱的體積，故容器內(nèi)水的體積等于相應(yīng)圓臺(tái)的體積．因?yàn)槿萜鲀?nèi)水的體積為V水＝π×42×1＝16π(cm3)，相應(yīng)圓臺(tái)的體積為eq\f(1,3)×π×42×4－eq\f(1,3)×π×(4－h(huán))2×(4－h(huán))＝eq\f(64π,3)－eq\f(（4－h(huán)）3π,3)(cm3)，所以16π＝eq\f(64π,3)－eq\f(（4－h(huán)）3π,3)，解得h＝4－eq\r(3,16)＝4－2eq\r(3,2)≈4－2×1.26＝1.48(cm)．14．(2025·河北張家口期中)球O為正四面體ABCD的內(nèi)切球，AB＝4，PQ是球O的直徑，點(diǎn)M在正四面體ABCD的表面運(yùn)動(dòng)，則eq\o(MP,\s\up6(→))·eq\o(MQ,\s\up6(→))的最大值為_(kāi)_______．解析：eq\f(16,3)如圖，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為△ABC的中心，所以DF⊥平面ABC，所以O(shè)∈DF.設(shè)球O的半徑為r，所以r＝|OF|，正四面體ABCD中，易求得|AE|＝2eq\r(3)，|AF|＝eq\f(4\r(3),3)，所以正四面體ABCD的高為|DF|＝eq\r(42－（\f(4\r(3),3)）2)＝eq\f(4\r(6),3)，所以由等體積法知4VO-ABC＝VD-ABC，得4×eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×42×r＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×42×eq\f(4\r(6),3)，解得r＝eq\f(\r(6),3).因?yàn)辄c(diǎn)M在正四面體ABCD的表面運(yùn)動(dòng)，所以|MO|max＝eq\f(4\r(6),3)－eq\f(\r(6),3)＝eq\r(6)，所以eq\o(MP,\s\up6(→))·eq\o(MQ,\s\up6(→))＝(eq\o(MO,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→)))·(eq\o(MO,\s\up6(→))＋eq\o(OQ,\s\up6(→)))＝eq\o(MO,\s\up6(→))2－eq\o(OP,\s\up6(→))2≤(eq\r(6))2－(eq\f(\r(6),3))2＝eq\f(16,3).

第34講空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系[課標(biāo)要求]1.在直觀認(rèn)識(shí)空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的定義.2.了解“四個(gè)基本事實(shí)和一個(gè)定理”，并能運(yùn)用其解決空間位置關(guān)系的簡(jiǎn)單問(wèn)題．eq\o(\s\up7(),\s(授課提示：聽(tīng)課手冊(cè)P150))1．平面的基本性質(zhì)基本事實(shí)1：過(guò)__不在一條直線上__的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．基本事實(shí)2：如果一條直線上的__兩個(gè)點(diǎn)__在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)．用符號(hào)語(yǔ)言表示為_(kāi)_A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α__．基本事實(shí)3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們__有且只有一條__過(guò)該點(diǎn)的公共直線．用符號(hào)語(yǔ)言表示為_(kāi)_P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l__．基本事實(shí)4：平行于同一條直線的兩條直線__平行__．2．空間兩條直線的位置關(guān)系(1)空間兩條直線的位置關(guān)系包括__平行、相交、異面__，其中異面直線是指不同在__任何__一個(gè)平面內(nèi)的直線．(2)等角定理：如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角__相等或互補(bǔ)__．3．空間中直線與平面的位置關(guān)系eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(直線在平面內(nèi)——有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn),\b\lc\(\a\vs4\al\co1(直線在,平面外))\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(直線與平面相交——有且只有,一個(gè)公共點(diǎn),直線與平面平行——沒(méi)有公,共點(diǎn)))))4．平面與平面的位置關(guān)系eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(兩個(gè)平面平行——沒(méi)有公共點(diǎn),兩個(gè)平面相交——有一條公共直線))1．三個(gè)推論推論1：經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面．推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面．2．異面直線的判定定理過(guò)平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，與平面內(nèi)不過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線．3．唯一性定理(1)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行．(2)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直．(3)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行．(4)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直．1．若直線a，b是異面直線，直線b，c是異面直線，則a，c的位置關(guān)系是()A．異面 B．相交C．平行 D．以上都有可能解析：D可畫(huà)圖幫助判斷，得到a與c異面、相交、平行都有可能．2．(2025·黑龍江齊齊哈爾期中)已知角α的兩邊和角β的兩邊分別平行，且α＝20°，則β＝()A．20° B．160°C．20°或160° D．不能確定解析：C因?yàn)榻铅恋膬蛇吅徒铅碌膬蛇叿謩e平行，所以α，β相等或者互補(bǔ)，所以β＝20°或160°，故選C.3．(2024·北京海淀階段練習(xí))給出的下面四個(gè)命題中正確的是()A．三個(gè)不同的點(diǎn)確定一個(gè)平面B．一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面C．空間兩兩相交的三條直線確定一個(gè)平面D．兩條平行直線確定一個(gè)平面解析：D對(duì)于A，三個(gè)不共線的點(diǎn)確定一個(gè)平面，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，一條直線和直線外一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，空間兩兩相交的三條直線，且不能交于同一點(diǎn)，確定一個(gè)平面，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，兩條平行直線確定一個(gè)平面，D正確．故選D.4．(教材母題必修8.6.1練習(xí)T3)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱AB，AD的中點(diǎn)，則異面直線B1C與EF所成角的大小為()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：C連接B1D1，D1C(圖略)，則B1D1∥EF，故∠D1B1C即為所求的角．又B1D1＝B1C＝D1C，所以△B1D1C為等邊三角形，所以∠D1B1C＝60°.故選C.5．如圖所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C?l，則平面ABC與平面β的交線是()A．直線AC B．直線ABC．直線CD D．直線BC解析：C由題意知，D∈l，l?β，所以D∈β，又因?yàn)镈∈AB，所以D∈平面ABC，所以點(diǎn)D在平面ABC與平面β的交線上．又因?yàn)镃∈平面ABC，C∈β，所以點(diǎn)C在平面ABC與平面β的交線上，所以平面ABC∩平面β＝CD.故選C.eq\o(\s\up7(),\s(授課提示：聽(tīng)課手冊(cè)P152))探究點(diǎn)1平面基本事實(shí)的應(yīng)用【例1】(1)(多選)下列說(shuō)法中正確的是()A．經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面B．兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線確定一個(gè)平面C．平面α與平面β相交，它們只有有限個(gè)公共點(diǎn)D．如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線(2)如圖，四棱錐P-ABCD，AC∩BD＝O，M是PC的中點(diǎn)，直線AM交平面PBD于點(diǎn)N，則下列結(jié)論正確的是()A．O，N，P，M四點(diǎn)不共面B．O，N，M，D四點(diǎn)共面C．O，N，M三點(diǎn)共線D．P，N，O三點(diǎn)共線解析：(1)ABD對(duì)于A，由推論3知A正確；對(duì)于B，由兩條相交直線確定唯一平面，由題意，第三條直線與相交的兩條直線分別相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，根據(jù)直線上兩個(gè)不同點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，該直線也在平面內(nèi)，B正確；對(duì)于C，由平面α與平面β相交，則兩平面一定相交于一條直線，在該直線上存在無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由基本事實(shí)3，可得D正確．故選ABD.(2)D直線AC與直線PO交于點(diǎn)O，所以平面PCA與平面PBD交于點(diǎn)O，所以必相交于直線PO，直線AM在平面PAC內(nèi)，點(diǎn)N∈AM，故N∈平面PAC，故O，N，P，M四點(diǎn)共面，A錯(cuò)誤；若點(diǎn)D與O，M，N共面，則直線BD在平面PAC內(nèi)，與題目矛盾，B錯(cuò)誤；因?yàn)镺，M分別為AC，PC的中點(diǎn)，所以O(shè)M∥PA，又易知ON∩PA＝P，故ON∩OM＝O，C錯(cuò)誤．故選D.(1)理解平面的基本性質(zhì)，掌握其基本應(yīng)用是解決“點(diǎn)、線共面，多點(diǎn)共線，多線共點(diǎn)”的關(guān)鍵．(2)基本事實(shí)1是確定一個(gè)平面的依據(jù)；基本事實(shí)2是判斷直線是否在平面內(nèi)的依據(jù)；基本事實(shí)3是判定兩個(gè)平面相交的依據(jù)和判定點(diǎn)在直線上的依據(jù)；基本事實(shí)4是判定空間兩條直線平行的依據(jù).變式探究1．(多選)如圖所示，在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)E，H分別是邊AB，AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F，G分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)＝eq\f(2,3)，則下列說(shuō)法正確的是()A．E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面B．EF與GH異面C．EF與GH的交點(diǎn)M可能在直線AC上，也可能不在直線AC上D．EF與GH的交點(diǎn)M一定在直線AC上解析：AD依題意，可得EH∥BD，F(xiàn)G∥BD，故FG∥EH，所以E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面，A正確，B錯(cuò)誤．因?yàn)镋H＝eq\f(1,2)BD，F(xiàn)G＝eq\f(2,3)BD，所以四邊形EFGH是梯形，則EF與GH必相交，設(shè)交點(diǎn)為M.因?yàn)辄c(diǎn)M在EF上，故點(diǎn)M在平面ACB上，同理，點(diǎn)M在平面ACD上，所以點(diǎn)M是平面ACB與平面ACD的交點(diǎn)．又AC是這兩個(gè)平面的交線，所以點(diǎn)M一定在直線AC上，D正確，C錯(cuò)誤．故選AD.探究點(diǎn)2空間位置關(guān)系的判斷【例2】(1)下列說(shuō)法正確的是()A．兩組對(duì)邊分別相等的四邊形確定一個(gè)平面B．和同一條直線異面的兩直線一定共面C．與兩異面直線分別相交的兩直線一定不平行D．一條直線和兩平行線中的一條相交，也必定和另一條相交(2)(多選)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為正方形ABCD的中心，當(dāng)點(diǎn)M在線段B1D1(不包含端點(diǎn))上運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列直線中一定與直線OM異面的是()A．CC1 B．A1BC．AB1 D．DB1(3)已知圓柱O1O2的底面半徑和母線長(zhǎng)均為1，A，B分別為圓O2、圓O1上的點(diǎn)，若異面直線O1B，O2A所成的角為60°，則AB＝()A.eq\r(2) B．2eq\r(2)C．2或eq\r(2) D．2或2eq\r(2)解析：(1)C兩組對(duì)邊分別相等的四邊形可能是空間四邊形，A錯(cuò)誤；如圖1，直線DD1與B1C1都是直線AB的異面直線，但DD1與B1C1也是異面直線，B錯(cuò)誤；如圖2，設(shè)直線AB與CD是異面直線，則直線AC與BD一定不平行，否則AC∥BD，有AC與BD確定一個(gè)平面α，則AC?α，BD?α，所以A∈α，B∈α，C∈α，D∈α，所以AB?α，CD?α，這與假設(shè)矛盾，C正確；如圖1，AB∥CD，而直線AA1與AB相交，但與直線CD不相交，D錯(cuò)誤．故選C.(2)BC對(duì)于A，當(dāng)M為B1D1的中點(diǎn)時(shí)，CC1∥OM，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)镺M?平面BDD1B1，B∈平面BDD1B1，B?OM，A1?平面BDD1B1，所以直線A1B與直線OM一定為異面直線，B正確；對(duì)于C，因?yàn)镺M?平面BDD1B1，B1∈平面BDD1B1，B1?OM，A?平面BDD1B1，所以直線AB1與直線OM一定為異面直線，C正確；對(duì)于D，又OM?平面BDD1B1，DB1?平面BDD1B1，D錯(cuò)誤．故選BC.(3)C如圖，過(guò)點(diǎn)B作母線BD，交下底面于點(diǎn)D，連接AD，O1O2，O2D，則O1O2∥BD，O1O2＝BD，所以四邊形O1O2DB為平行四邊形，所以O(shè)1B∥O2D，所以∠AO2D是異面直線O1B，O2A所成的角或其補(bǔ)角，所以∠AO2D＝60°或∠AO2D＝120°.當(dāng)∠AO2D＝60°時(shí)，AD＝1，此時(shí)AB＝eq\r(2)；當(dāng)∠AO2D＝120°時(shí)，由余弦定理得AD＝eq\r(1＋1－2×1×1×（－\f(1,2)）)＝eq\r(3)，此時(shí)AB＝2，所以AB＝eq\r(2)或2.故選C.(1)空間兩條直線位置關(guān)系的判定，主要是異面、共面的判定．對(duì)于異面直線的判定可直接證明也可采用反證法，通過(guò)圖形分析、運(yùn)用反證法的思想是判斷線面位置關(guān)系的常用方法．判定兩直線異面，常利用結(jié)論：平面內(nèi)一點(diǎn)和平面外一點(diǎn)的連線，和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線．(2)共面的情況主要是對(duì)平行與垂直這兩種特殊位置關(guān)系的判定．對(duì)于平行關(guān)系的判定，常利用三角形(梯形)的中位線的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、基本事實(shí)4及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理；對(duì)垂直關(guān)系的判定，常利用平面幾何中特殊圖形的特點(diǎn)及線面垂直的性質(zhì)來(lái)解決.變式探究2．已知m，n為異面直線，m∥平面α，n∥平面β，α∩β＝l，則l()A．與m，n都相交B．與m，n中至少一條相交C．與m，n都不相交D．與m，n中一條相交解析：C假設(shè)l與m相交，交點(diǎn)為P，由于P∈l，l?α，所以P∈α，又P∈m，則m與α有公共點(diǎn)P，與m∥α矛盾，故l與m不相交，同理可得l與n不相交．故選C.3．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是平面ADD1A1的中心，M，N，F(xiàn)分別是B1C1，CC1，AB的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是()A．MN＝eq\f(1,2)EF，且MN與EF平行B．MN≠eq\f(1,2)EF，且MN與EF平行C．MN＝eq\f(1,2)EF，且MN與EF異面D．MN≠eq\f(1,2)EF，且MN與EF異面解析：D設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2a，則MN＝eq\r(MCeq\o\al(2,1)＋C1N2)＝eq\r(（\f(2a,2)）2＋（\f(2a,2)）2)＝eq\r(2)a.如圖，作點(diǎn)E在平面ABCD內(nèi)的射影點(diǎn)G，連接EG，GF.所以EF＝eq\r(EG2＋GF2)＝eq\r(（\f(2a,2)）2＋（\r(2)a）2)＝eq\r(3)a，所以MN≠eq\f(1,2)EF.連接A1D，因?yàn)镋為平面ADD1A1的中心，所以DE＝eq\f(1,2)A1D.連接B1C，因?yàn)镸，N分別為B1C1，CC1的中點(diǎn)，所以MN∥B1C.又因?yàn)锽1C∥A1D，所以MN∥ED，且DE∩EF＝E，所以MN與EF異面，故選D.4．平面α過(guò)正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，則m，n所成角的正弦值為()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(1,3)解析：A如圖所示，設(shè)平面CB1D1∩平面ABCD＝m1.因?yàn)棣痢纹矫鍯B1D1，α∩平面ABCD＝m，則m1∥m.又因?yàn)槠矫鍭BCD∥平面A1B1C1D1，平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，所以B1D1∥m1，所以B1D1∥m，同理可得CD1∥n.故m，n所成角的大小與B1D1，CD1所成角的大小相等，即∠CD1B1的大?。忠?yàn)锽1C＝B1D1＝CD1(均為面對(duì)角線)，所以∠CD1B1＝eq\f(π,3)，得sin∠CD1B1＝eq\f(\r(3),2).故選A.探究點(diǎn)3空間幾何體的側(cè)面展開(kāi)與截面問(wèn)題【例3】(1)(多選)如圖是正四面體的平面展開(kāi)圖，G，H，M，N分別為DE，BE，EF，EC的中點(diǎn)，在這個(gè)正四面體中，下列結(jié)論正確的是()A．直線GH與EF平行B．直線BD與MN為異面直線C．直線GH與MN所成的角為60°D．直線DE與MN垂直(2)如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，當(dāng)E，F(xiàn)，G分別是B1C1，C1D1，B1B的中點(diǎn)時(shí)，平面EFG截正方體所得截面的周長(zhǎng)為_(kāi)_______．(3)(2025·四川自貢質(zhì)檢)已知球O的半徑為4，圓O1與圓O2為球體的兩個(gè)截面圓，它們的公共弦長(zhǎng)為4，若|OO1|＝3，|OO2|＝eq\r(3)，則兩截面圓的圓心距|O1O2|＝__________．解析：(1)BCD如圖，還原成正四面體A-DEF，其中H與N重合，A，B，C三點(diǎn)重合，連接GM.易知GH與EF異面，BD與MN異面，故A錯(cuò)誤，B正確；又△GMH為等邊三角形，所以GH與MN成60°角，C正確；易證DE⊥AF，MN∥AF，所以MN⊥DE，所以D正確．故選BCD.(2)3eq\r(2)延長(zhǎng)EG交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，則BQ＝eq\f(1,2)CB.連接BD，AC，AD1，過(guò)Q作QH∥BD，交AB于H，交AD于K，如圖所示，則BH＝HA，AK＝KD，過(guò)K作KT∥AD1，交DD1于T，連接FT，則六邊形FEGHKT即為平面EFG截正方體所得截面．又F，E，G，H，K，T均為棱的中點(diǎn)，則截面的周長(zhǎng)為3eq\r(2).(3)2eq\r(3)如圖，設(shè)圓O1與圓O2公共弦為AB，其中點(diǎn)為E，則|O1A|＝eq\r(|OA|2－|OO1|2)＝eq\r(42－32)＝eq\r(7)，|O2A|＝eq\r(|OA|2－|OO2|2)＝eq\r(42－（\r(3)）2)＝eq\r(13)，所以|O1E|＝eq\r(|O1A|2－|AE|2)＝eq\r(7－4)＝eq\r(3)，|O2E|＝eq\r(|O2A|2－|AE|2)＝eq\r(13－4)＝3，所以在Rt△OO1E中，tan∠OEO1＝eq\f(3,\r(3))＝eq\r(3)，所以∠OEO1＝60°，在Rt△OO2E中，tan∠OEO2＝eq\f(\r(3),3)，所以∠OEO2＝30°，所以在△O1EO2中，∠O1EO2＝90°，所以|O1O2|＝eq\r(|O2E|2＋|O1E|2)＝eq\r(9＋3)＝2eq\r(3).1．作截面的三個(gè)原則：(1)在同一平面上的兩點(diǎn)可引直線；(2)凡是相交的直線都可以畫(huà)出其交點(diǎn)；(3)凡是相交的平面都可以畫(huà)出其交線．2．幾何體的側(cè)面展開(kāi)應(yīng)選擇一個(gè)面為“基本面”，然后借助幾何體的直觀圖，依次將其他面展開(kāi)在“基本面”內(nèi).變式探究5．已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，PA⊥平面ABC，PA＝6，AB＝2eq\r(3)，AC＝2，BC＝4，則：(1)球O的表面積為_(kāi)_______；(2)若D是BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作球O的截面，則截面面積的最小值是__________．解析：(1)52π由題意，根據(jù)勾股定理可得AC⊥AB，則可將三棱錐P-ABC放入以AB，AC，AP分別為長(zhǎng)、寬、高的長(zhǎng)方體中，則體對(duì)角線為外接球直徑，即2r＝eq\r(22＋62＋（2\r(3)）2)＝2eq\r(13)，則r＝eq\r(13)，所以球的表面積為4πr2＝4π×(eq\r(13))2＝52π.(2)4π因?yàn)椤鰽BC為直角三角形，所以D為△ABC的外接圓圓心，當(dāng)DO⊥截面時(shí)，截面面積最小，即截面為平面ABC，則外接圓半徑為2，故截面面積為π×22＝4π.6．在正四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3A1B1＝6，AA1＝4，點(diǎn)P為棱BB1上的動(dòng)點(diǎn)(含端點(diǎn))，則AP＋PC的最小值是()A．6B．6eq\r(3)C．8D．8eq\r(3)解析：B把四邊形A1ABB1，BB1C1C展開(kāi)至同一個(gè)平面，連接AC，如圖所示，過(guò)點(diǎn)B1作B1E⊥AB，則BE＝2，又BB1＝AA1＝4，則∠ABB1＝60°.在△ABC中，AB＝BC＝6，∠ABC＝120°，則AC＝2×6×eq\f(\r(3),2)＝6eq\r(3)，此時(shí)線段AC中點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離ABcos60°＝3<4＝BB1，即線段AC與BB1相交，因此AP＋PC的最小值就是展開(kāi)圖中AC的長(zhǎng)，點(diǎn)P為AC與BB1的交點(diǎn)，所以AP＋PC的最小值為6eq\r(3).故選B.7．(2024·廣西模擬預(yù)測(cè))在三棱錐V-ABC中，BV⊥平面VAC，VA＝1，AB＝AC＝eq\r(2)，∠VAC＝eq\f(π,4)，點(diǎn)F為棱AV上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作三棱錐V-ABC的截面，使截面平行于直線VB和AC，當(dāng)該截面面積取得最大值時(shí)，CF＝__________．解析：eq\f(\r(5),2)根據(jù)題意，在平面VAC內(nèi)，過(guò)點(diǎn)F作EF∥AC，交VC于點(diǎn)E.在平面VBC內(nèi)，過(guò)點(diǎn)E作EQ∥VB，交BC于點(diǎn)Q.在平面VAB內(nèi)，過(guò)點(diǎn)F作FD∥VB，交AB于點(diǎn)D，連接DQ，如圖所示．因?yàn)镋F∥AC，則△VCA∽△VEF，設(shè)其相似比為k，即eq\f(VF,VA)＝eq\f(VE,VC)＝eq\f(EF,AC)＝k，則EF＝eq\r(2)k.又因?yàn)閂A＝1，AC＝eq\r(2)，∠VAC＝eq\f(π,4)，由余弦定理得，VC＝eq\r(1＋2－2×1×\r(2)×\f(\r(2),2))＝1，則VC2＋VA2＝AC2，即VC⊥VA.又BV⊥平面VAC，VC，VA?平面VAC，所以BV⊥VC，BV⊥VA.又AB＝eq\r(2)，則BV＝1，BC＝eq\r(2).因?yàn)镕D∥VB，則△AFD∽△AVB，則eq\f(AF,AV)＝eq\f(AD,AB)＝eq\f(FD,VB)，因?yàn)閑q\f(AF,VA)＝eq\f(VA－VF,VA)＝1－k，所以eq\f(FD,VB)＝eq\f(AF,VA)＝1－k，即FD＝1－k.同理可得QE＝1－k，即QE＝FD.因?yàn)镋Q∥VB，F(xiàn)D∥VB，則EQ∥FD，故四邊形EFDQ為平行四邊形，而EQ?平面EFDQ，VB?平面EFDQ，故VB∥平面EFDQ，同理AC∥平面EFDQ，即四邊形EFDQ為截面圖形．又BV⊥平面VAC，EF?平面VAC，則BV⊥EF，又FD∥VB，所以FD⊥EF.故平行四邊形EFDQ為矩形，則S矩形EFDQ＝EF·FD＝eq\r(2)k·(1－k)＝－eq\r(2)(k－eq\f(1,2))2＋eq\f(\r(2),4)，所以當(dāng)k＝eq\f(1,2)時(shí)，S矩形EFDQ有最大值eq\f(\r(2),4)，則VF＝kVA＝eq\f(1,2)，在Rt△CVF中，CF＝eq\r(CV2＋VF2)＝eq\r(1＋\f(1,4))＝eq\f(\r(5),2).eq\o(\s\up7(),\s(授課提示：訓(xùn)練手冊(cè)P380))1．已知空間中不過(guò)同一點(diǎn)的三條直線l，m，n，則“l(fā)，m，n共面”是“l(fā)，m，n兩兩相交”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：B依題意l，m，n是空間不過(guò)同一點(diǎn)的三條直線，當(dāng)l，m，n在同一平面時(shí)，可能l∥m∥n，故不能得出l，m，n兩兩相交．當(dāng)l，m，n兩兩相交時(shí)，設(shè)m∩n＝A，m∩l＝B，n∩l＝C，根據(jù)基本事實(shí)1可知m，n確定一個(gè)平面α，而B(niǎo)∈m?α，C∈n?α，根據(jù)基本事實(shí)2可知，直線BC即l?α，所以l，m，n在同一平面．綜上所述，“l(fā)，m，n共面”是“l(fā)，m，n兩兩相交”的必要不充分條件．故選B.2．下列命題正確的個(gè)數(shù)是()①如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等；②如果兩條相交直線與另兩條直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角或直角相等；③如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別垂直，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)；④如果兩條直線同時(shí)平行于第三條直線，那么這兩條直線互相平行．A．1 B．2C．3 D．4解析：B①中兩角應(yīng)相等或互補(bǔ)；②的說(shuō)法正確，因?yàn)閮芍本€所成的角即夾角為銳角或直角；③在平面幾何中成立但在立體幾何中不一定成立；④根據(jù)基本事實(shí)4，是正確的．因此②④是正確的．故選B.3．若直線a，b是異面直線，A是不在a，b上的點(diǎn)，則下列結(jié)論成立的是()A．過(guò)A有且只有一個(gè)平面平行于a，bB．過(guò)A至少有一個(gè)平面平行于a，bC．過(guò)A有無(wú)數(shù)個(gè)平面平行于a，bD．過(guò)A且平行于a，b的平面可能不存在解析：D如b∥α且a，b異面，A，a均在平面α內(nèi)時(shí)，如圖所示，此時(shí)，將b平移至b′與a相交，則a與b′所在平面即為α，若要過(guò)點(diǎn)A作與a，b平行的平面，則過(guò)點(diǎn)A可以作另一個(gè)平面與α平行，而A∈α，顯然有矛盾，故上述情況不可能有過(guò)點(diǎn)A的平面同時(shí)平行于a，b，故A、B、C錯(cuò)誤，D正確．故選D.4．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A1D，AC上，且A1E＝2ED，CF＝2FA，則EF與BD1的位置關(guān)系是()A．相交但不垂直 B．相交且垂直C．異面 D．平行解析：D如圖，連接D1E并延長(zhǎng)，與AD交于點(diǎn)M.由A1E＝2ED，可得M為AD的中點(diǎn)．連接BF并延長(zhǎng)，交AD于點(diǎn)N.因?yàn)镃F＝2FA，可得N為AD的中點(diǎn)，所以M，N重合．所以EF和BD1共面，且eq\f(ME,ED1)＝eq\f(1,2)，eq\f(MF,BF)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(ME,ED1)＝eq\f(MF,BF)，所以EF∥BD1.故選D.5．(多選)下列四個(gè)命題中真命題是()A．平面外的一條直線與這個(gè)平面最多有一個(gè)公共點(diǎn)B．若平面α內(nèi)的一條直線a與平面β內(nèi)的一條直線b相交，則α與β相交C．若一條直線和兩條平行線都相交，則這三條直線共面D．若三條直線兩兩相交，則這三條直線共面解析：ABC因?yàn)橹本€在平面外即直線與平面相交或直線平行于平面，所以最多有一個(gè)公共點(diǎn)，A正確；a，b有交點(diǎn)，則兩平面有公共點(diǎn)，則兩平面相交，B正確；兩條平行直線可確定一個(gè)平面，又直線與這兩平行直線的兩交點(diǎn)在這兩條平行直線上，所以過(guò)這兩交點(diǎn)的直線也在平面內(nèi)，即三線共面，C正確；這三條直線可以交于同一點(diǎn)，但不在同一平面內(nèi)，D錯(cuò)誤．故選ABC.6．(多選)如圖是一個(gè)幾何體的平面展開(kāi)圖，其中四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為PA，PD的中點(diǎn)，在此幾何體中，下列結(jié)論正確的有()A．直線BE與直線CF異面B．直線BE與直線AF異面C．直線EF∥平面PBCD．平面BCE⊥平面PAD解析：BC將展開(kāi)圖還原為幾何體(如圖)．因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，E，F(xiàn)分別為PA，PD的中點(diǎn)，所以EF∥AD∥BC，則直線BE與CF共面，A錯(cuò)誤；因?yàn)锳F?平面PAD，B?平面PAD，E∈平面PAD，E?AF，所以BE與AF是異面直線，B正確；因?yàn)镋F∥AD∥BC，EF?平面PBC，BC?平面PBC，所以EF∥平面PBC，C正確；平面PAD與平面BCE不一定垂直，D錯(cuò)誤．故選BC.7．(2025·遼寧階段練習(xí))如圖，某圓柱的軸截面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，P，Q分別為線段BC，AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E為eq\o(AB,\s\up8(︵))上一點(diǎn)，且BE＝1，則PQ＋PE的最小值為_(kāi)_________．解析：eq\f(3\r(2),2)如圖，連接EC，將△BCE沿直線BC旋轉(zhuǎn)到△BCE′的位置，且E′在AB的延長(zhǎng)線上，則PE＝PE′.由于圓柱的軸截面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，故∠BAC＝∠BCA＝eq\f(π,4)，AE′＝AB＋BE′＝2＋1＝3，則PQ＋PE＝PQ＋PE′≥E′Q，當(dāng)Q，P，E′三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)．當(dāng)E′Q⊥AC時(shí)，E′Q最小，最小值為AE′sineq\f(π,4)＝eq\f(3\r(2),2)，即PQ＋PE的最小值為eq\f(3\r(2),2).8．如圖，AB為圓錐底面直徑，點(diǎn)C是底面圓O上異于A，B的動(dòng)點(diǎn)，已知OA＝eq\r(3)，圓錐側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角為eq\r(3)π的扇形，當(dāng)PB與BC所成的角為eq\f(π,3)時(shí)，PB與AC所成的角為_(kāi)_________．解析：eq\f(π,4)設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，則l·eq\r(3)π＝2eq\r(3)π，解得l＝2.因?yàn)镻B＝PC，所以PB與BC所成角∠PBC＝eq\f(π,3)，所以BC＝2.所以在Rt△ABC中，AC＝eq\r(AB2－BC2)＝2eq\r(2)，作BD∥AC(圖略)，與圓O交于點(diǎn)D，連接AD，四邊形ACBD為平行四邊形，BD＝AC＝2eq\r(2)，連接PD，則∠PBD為PB與AC所成的角．在△PBD中，PD＝PB＝2，BD＝2eq\r(2)，可得PD⊥PB，∠PBD＝eq\f(π,4).9．已知直線l?平面α，直線m?平面α，給出下面四個(gè)結(jié)論：①若l與m不垂直，則l與α一定不垂直；②若l與m所成的角為30°，則l與α所成的角也為30°；③l∥m是l∥α的必要不充分條件；④若l與α相交，則l與m一定是異面直線．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4解析：A對(duì)于①，當(dāng)l與m不垂直時(shí)，假設(shè)l⊥α，那么由l⊥α一定能得到l⊥m，這與已知條件矛盾，因此l與α一定不垂直，故①正確；對(duì)于②，易知l與m所成的角為30°時(shí)，l與α所成的角不一定為30°，故②不正確；對(duì)于③，l∥m可以推出l∥α，但是l∥α不能推出l∥m，因此l∥m是l∥α的充分不必要條件，故③不正確；對(duì)于④，若l與α相交，則l與m相交或異面，故④不正確．故正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為1.故選A.10．(2025·四川德陽(yáng)模擬)已知正三棱錐A-BCD的外接球是球O，正三棱錐底邊BC＝3，側(cè)棱AB＝2eq\r(3)，點(diǎn)E在線段BD上，且BE＝DE，過(guò)點(diǎn)E作球O的截面，則所得截面圓面積的取值范圍是()A．[eq\f(11π,4