第5章圖像的增強

圖像增強的目的是針對給定的應(yīng)用場合，改善圖像的視覺效果、滿足某些特殊分析的需要。有目的地強調(diào)圖像的整體或局部特性，擴大圖像中不同物體特征之間的差別，突出圖像中的某些感興趣的特征，而衰減其它的不感興趣的特征，使處理后的圖像與原圖像相比更適合于特定應(yīng)用。改善降質(zhì)圖像的方法有兩類：一類是不考慮圖像降質(zhì)的原因，只將圖像中感興趣的部分加以處理或突出有用的圖像特征，故改善后的圖像并不一定要去逼近原圖像。這一類圖像改善方法稱為圖像增強，主要目的是要提高圖像的可懂度。另一類方法是針對圖像降質(zhì)的具體原因，設(shè)法補償降質(zhì)因素，使改善后的圖像盡可能地逼近原始圖像。這類方法稱為圖像恢復(fù)或圖像復(fù)原技術(shù)。圖像增強處理的方法基本上可分為空間域法和頻率法兩大類。前者是在原圖像上直接進行數(shù)據(jù)運算，對像素的灰度值進行處理。它又分為兩類，一類是對圖像作逐點運算，稱為點運算；另一類是在與處理像素點鄰域有關(guān)的空間域上進行運算，稱為鄰域運算。頻域法是在圖像的變換域上進行處理，增強感興趣的頻率分量，然后進行反變換，得到增強了的圖像?；诳沼虻乃惴ǚ譃辄c運算算法和鄰域去噪算法。點運算算法包括灰度變換和直方圖修正等，目的或使圖像成像均勻，或擴大圖像動態(tài)范圍，擴展對比度。鄰域增強算法包括圖像平滑和銳化兩種。平滑一般用于消除圖像噪聲，但是也容易引起邊緣的模糊，常用的平滑算法有均值濾波、中值濾波。銳化的目的在于突出物體的邊緣輪廓，便于目標識別，但在銳化的同時會增強圖像中的噪聲，常用算法有梯度法、高通濾波、掩模匹配法、統(tǒng)計差值法等?；陬l域的增強算法主要包括低通濾波法和高通濾波法。低通濾波（即只讓低頻信號通過）法，可去掉圖中的噪聲；高通濾波法，則可增強邊緣等高頻信號，使模糊的圖像變得清晰。本章所講述的圖像增強方法可分為以下幾大部分：空間域圖像增強、頻率域圖像增強、彩色圖像增強方法、代數(shù)運算增強。5.1空間域圖像增強

空間域是指圖像平面本身，這類方法是以對圖像像素的直接處理為基礎(chǔ)的，空間域處理可由下式定義：（5-1-1）其中代表圖像中的某個點，是原圖像中點的灰度值，是處理后的圖像中點的灰度值，T代表變換方法。如果處理后的灰度值g(x,y)只和原圖像灰度值f(x,y)、變換方法T有關(guān)的話，此時的增強是點運算增強；如果處理后的灰度值g(x,y)不僅和原圖像灰度值f(x,y)、變換方法T有關(guān)，還與點(x,y)相鄰的點的灰度值有關(guān)的話，此時的增強是鄰域運算增強。5.1.1灰度變換

基本概念在成像的時候由于照明不足、成像傳感器動感范圍太小或者透鏡光圈設(shè)置錯誤，會形成低對比度的圖像。由于圖像的對比度小，所以圖像的細節(jié)不容易分辨。這時，我們可以利用灰度變換來提高圖像的對比度，從而能夠容易的分辨出圖像的細節(jié)信息?；叶茸儞Q是空間域圖像增強方法之一，也是圖像增強技術(shù)中最簡單的一類，其目的在于使圖像灰度級擴大，對比度增強。2．常用方法（1）圖像反轉(zhuǎn)對于灰度級為L的圖像，點(x,y)處的灰度值f(x,y)經(jīng)反轉(zhuǎn)后變?yōu)間(x,y)，g(x,y)與f(x,y)的關(guān)系滿足式（5-1-2）（5-1-2）由式（5-1-2）可知，圖像反轉(zhuǎn)這種變換倒轉(zhuǎn)了圖像的強度，即原來灰度值大的點的灰度經(jīng)過反轉(zhuǎn)后其灰度值變小了；原來灰度值小的點的灰度經(jīng)過反轉(zhuǎn)后其灰度值變大了。這種方法適用于當黑色占主導(dǎo)地位時增強暗色區(qū)域中的白色或灰色細節(jié)如圖5-1所示。例5-1-1用圖像反轉(zhuǎn)法對圖5-1的原始圖像進行處理，結(jié)果如圖5-1的右圖所示，程序代碼如下：Dimi,j,r,ccAsInteger

Fori=0ToPicture1.Width-1Forj=0ToPicture1.Height-1c=Picture1.Point(i,j)r=cAnd&HFFcc=255-rPicture2.PSet(i,j),RGB(cc,cc,cc)NextjNexti（2）線性變換設(shè)變換之前點的灰度值是，圖像變換后該點的灰度值是。則變換關(guān)系式為：（5-1-3）其中，稱為變換函數(shù)的斜率。線性變換如圖5-2所示：根據(jù)和的取值大小可有如下幾種情況：1擴展動態(tài)范圍：若，即，則結(jié)果會使圖像灰度取值的動態(tài)范圍展寬，這樣就可改善曝光不足的缺陷、或充分利用圖像顯示設(shè)備的動態(tài)范圍。2改變?nèi)≈祬^(qū)間：若，即，則變換后圖像灰度動態(tài)范圍不變，但圖像灰度取值區(qū)間會隨a和c的大小而平移。3縮小動態(tài)范圍：若，即，則變換后圖像灰度動態(tài)范圍會變窄。為了突出感興趣的目標或灰度區(qū)間，相對抑制那些不感興趣的灰度區(qū)域，可采用分段線性變換，通常采用三段線性變換法。根據(jù)不同的變換目的，三段線性變換法可分為以下兩種情況：1擴展感興趣的，犧牲其它。對于感興趣的區(qū)間，采用斜率大于1的線性變換來進行擴展，而把其它區(qū)間用a或b來表示。變換函數(shù)為：（5-1-4）例5-1-2：當a=20,b=50,c=20,d=140,時，此變換函數(shù)為：2擴展感興趣的，壓縮其它。在擴展感興趣的區(qū)間的同時，為了保留其它區(qū)間的灰度層次，也可以采用壓縮其它區(qū)間的方法。變換函數(shù)為：通過細心調(diào)整折線拐點的位置及控制各線段的斜率，可對任一灰度區(qū)間進行擴展或壓縮，此變換函數(shù)如圖5-3所示。這種變換方法可以減輕照片中的劃痕，由于變換后在［0,a］以及［b,］之間的灰度值受到壓縮，因而使劃痕的影響得到減弱。例5-1-3：當a=20,b=50,c=10,d=150，時，變換函數(shù)為：（3）非線性變換1對數(shù)變換對數(shù)變換的一般表達式為：（5-1-8）其中f(x,y)是原圖像的灰度值，g(x,y)是變換后圖像的灰度值，為一個調(diào)節(jié)常數(shù)，用它來調(diào)節(jié)變換后的灰度值，使其符合實際要求（為了讓變換后的圖像顯示清楚，此調(diào)節(jié)常數(shù)一般取大于1的值，其具體取值視不同圖像、不同情況而定）。對數(shù)變換的作用是擴展圖像的低灰度范圍，同時壓縮高灰度范圍，使得圖像灰度分布均勻，與人的視覺特性相匹配。例5-1-4：當=30時，此對數(shù)變換函數(shù)為2指數(shù)變換與對數(shù)變換的效果相反，指數(shù)變換使得高灰度范圍得到擴展，而壓縮了低灰度范圍，其一般表達式為：

(5-1-9)其中和y為常數(shù)，具體是多少要根據(jù)具體情況而定。y值的選擇對于變換函數(shù)的特性有很大影響，當y<1時會將原圖像的灰度向高灰度映射；當y>1時會將原圖像的灰度向低灰度映射；而當y=1時相當于正比變換，即變換后圖像的灰度值等于變換前圖像灰度值的倍。5.1.2直方圖修正

基本概念灰度直方圖如果將圖像中像素灰度看成是一個隨機變量，則其分布情況就反映了圖像的統(tǒng)計特性，這可用ProbabilityDensityFunction(PDF)來刻畫和描述，表現(xiàn)為灰度直方圖（Histogram）。設(shè)圖像的像素總數(shù)是N，灰度級數(shù)為L，灰度為的像素共有個，則（5-1-10）稱為圖像的灰度直方圖。從理論上講，灰度直方圖的橫坐標代表灰度值，縱坐標代表某一灰度值的像素數(shù)占全圖所有像素數(shù)的百分比，但通常情況下，為了顯示方便，也可以把像素個數(shù)作為縱坐標?？梢?，圖像的灰度直方圖是圖像各灰度值統(tǒng)計特征與圖像灰度值的函數(shù)，反映了圖像中每種灰度出現(xiàn)的頻率。通過灰度直方圖，我們可以清楚的了解到圖像的動態(tài)范圍，也可以了解到圖像灰度的主要集中范圍：如果圖像偏暗的話，那么在橫坐標取值比較小的地方對應(yīng)的縱坐標的取值較大，橫坐標取值比較大的地方對應(yīng)的縱坐標的取值較??；如果圖像偏亮的話，那么在橫坐標取值比較小的地方對應(yīng)的縱坐標的取值較小，橫坐標取值比較大的地方對應(yīng)的縱坐標的取值較大；如果圖像對比度小的話，則灰度直方圖的橫坐標的取值范圍比較??；如果圖像對比度大的話，則灰度直方圖的橫坐標的取值范圍比較大。（2）灰度直方圖的性質(zhì)1灰度直方圖的位置缺失性：灰度直方圖是一幅圖像中各像素灰度值出現(xiàn)次數(shù)（或頻率）的統(tǒng)計結(jié)果，它只反映該圖像中不同灰度值出現(xiàn)的次數(shù)（或頻率），而未反映某一灰度值像素的所在位置。也就是說，它只包含了該圖像中某一灰度值的像素出現(xiàn)的概率，而丟失了其所在位置的信息。2灰度直方圖與圖像的一對多特性：任何一幅圖像，都能唯一地確定出一幅與它對應(yīng)的灰度直方圖，但是不同的圖像，可能有相同的灰度直方圖。也就是說，圖像與灰度直方圖之間是多對一的映射關(guān)系。3灰度直方圖的可疊加性：由于灰度直方圖是對具有相同灰度值的像素統(tǒng)計得到的，因此，一幅圖像各個子圖像的灰度直方圖之和就等于該圖像的灰度直方圖。2.利用直方圖來增強圖像直方圖還能反映圖像的清晰程度，當直方圖均勻分布時，圖像最清晰。因此，我們可以利用改變直方圖來達到使圖像清晰的目的。直方圖的拉伸一幅給定圖像的灰度進行歸一化之后，灰度分布在［0,1］區(qū)間內(nèi)。我們可以對此區(qū)間內(nèi)的任一個灰度值進行如下變換： （5-1-11）通過上述變換，每個原始圖像的像素灰度值r都對應(yīng)產(chǎn)生一個s值。變換函數(shù)T(r)應(yīng)滿足下列條件：1當0≤r≤1時，T(r)值單調(diào)增加；2當0≤r≤1時，有0≤T(r)≤1。其中第1個條件保證了圖像的顏色從白到黑的次序不變，第2個條件則保證了映射變換后的像素灰度值在容許的范圍內(nèi)。滿足這兩個條件的變換函數(shù)的例子如圖5-7所示。通過變換函數(shù)可以控制圖像灰度級的概率密度函數(shù)，從而改變圖像的灰度層次。這就是直方圖修改技術(shù)的理論基礎(chǔ)。

（2）直方圖均衡化直方圖均衡化就是對在圖像中像素個數(shù)多的灰度值進行展寬，而對像素個數(shù)少的灰度值進行合并，以增加圖像灰度值的動態(tài)范圍，從而達到增強圖像整體對比度、使圖像變清晰的效果。直方圖均衡化處理是以累積分布函數(shù)變換法為基礎(chǔ)的直方圖修正法。假定變換函數(shù)為：（5-1-12）其中：ω是積分變量，而就是r的累積分布函數(shù)。這里，累積分布函數(shù)是r的函數(shù)，并且單調(diào)地從0增加到1，所以這個變換函數(shù)滿足關(guān)于T(r)在[0，1]內(nèi)單值單調(diào)增加、在[0，1]內(nèi)有0≤T(r)≤1這兩個條件。對式中的求導(dǎo)，則（5-1-13）又因為（5-1-14）將式（5-1-13）代入式（5-1-14），得（5-1-15）從上面的推導(dǎo)可見，經(jīng)過式（5-1-12）變換后的變量s在它的定義域內(nèi)的概率密度是均勻分布的。因此，用r的累積分布函數(shù)作為變換函數(shù)，其結(jié)果就是擴展了像素取值的動態(tài)范圍，可產(chǎn)生一幅灰度級分布具有均勻概率密度的圖像。例5-1-6：圖5-8(a)是原始圖像的概率密度函數(shù)，該圖像的灰度集中在較暗的區(qū)域，是一幅曝光過強的圖像。由圖5-8(a)可知，原始圖像的概率密度函數(shù)為：（5-1-16）經(jīng)過式（5-1-12）變換后，圖像的灰度變?yōu)椋荷鲜龇椒ㄊ且赃B續(xù)隨機變量為基礎(chǔ)進行討論的。當灰度級是離散值時，可用頻率近似代替概率值，即：（5-1-18）其中，L是灰度的最大值，是取第k級灰度值的概率，是圖像中出現(xiàn)第k級灰度的次數(shù)，n是圖像的像素總數(shù)。直方圖均衡化的計算過程如下：1列出原始圖像和變換后圖像的灰度變化范圍：，其中L是灰度級數(shù)；2統(tǒng)計原圖像中各灰度的像素個數(shù)；3計算原始圖像直方圖，n為原始圖像像素總個數(shù)；4計算累積直方圖；5利用灰度變換函數(shù)計算變換后的灰度值，并四舍五入取整；6將原圖像的灰度值修正為；7統(tǒng)計變換后各灰度的像素個數(shù)；8計算變換后圖像的直方圖。變換函數(shù)如下依此類推：，，，。這里只對圖像取8個等間隔的灰度值，變換后的灰度值只能選擇最靠近的一個灰度值。因此，對上述計算值加以修正：

直方圖均衡化前后圖像的灰度分布概率密度函數(shù)由圖5-9可知，利用累積分布函數(shù)作為灰度變換函數(shù)，經(jīng)變換后得到的新直方圖雖然不很平坦，但畢竟比原始圖像的直方圖平坦的多，而且其動態(tài)范圍也大大的擴展了。因此，這種方法對于對比度較弱的圖像進行處理是很有效的。因為直方圖是近似的概率密度函數(shù)，所以用離散灰度值作變換一般得不到完全平坦的結(jié)果。另外，從例5-1-7可以看出，變換后的灰度級減少了，這種現(xiàn)象叫做“簡并”現(xiàn)象。由于簡并現(xiàn)象的存在，處理后的灰度級總是要減少的，這是像素灰度有限的必然結(jié)果。由于上述原因，數(shù)字圖像的直方圖均衡只是近似的。5.1.3平滑濾波

一幅圖像進行平滑濾波的目的是為了減少或去除噪聲的影響。圖像噪聲按其產(chǎn)生的原因可分為外部噪聲和內(nèi)部噪聲，利用平滑濾波主要去除外部噪聲。外部噪聲是指系統(tǒng)外部干擾從電磁波或經(jīng)電源傳進系統(tǒng)內(nèi)部而引起的噪聲，如電氣設(shè)備、天體放電現(xiàn)象等引起的噪聲。主要外部干擾如下：（1）由光和電的基本性質(zhì)所引起的噪聲。（2）電器的機械運動產(chǎn)生的噪聲，如各種接頭因抖動引起的電流變化所產(chǎn)生的噪聲；磁頭、磁帶抖動引起的抖動噪聲等。（3）元器件材料本身引起的噪聲，如磁帶、磁盤表面缺陷所產(chǎn)生的噪聲。（4）系統(tǒng)內(nèi)部設(shè)備電路所引起的噪聲，如電源系統(tǒng)引入的交流噪聲，偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)和箝位電路引起的噪聲等。圖像噪聲從統(tǒng)計特性可分為平穩(wěn)噪聲和非平穩(wěn)噪聲兩種，統(tǒng)計特性不隨時間變化的噪聲稱為平穩(wěn)噪聲；統(tǒng)計特性隨時間變化的噪聲稱為非平穩(wěn)噪聲。圖像中的噪聲有以下3個特點：（1）噪聲在圖像中的分布和大小不規(guī)則。（2）噪聲與圖像之間具有相關(guān)性。（3）噪聲具有疊加性。濾波的概念來源于在頻率域?qū)π盘栠M行處理的傅里葉變換。平滑濾波是空間濾波的一種，空間濾波就是在待處理圖像中逐點的移動模板（所謂的模板就是與待處理圖像有相同維數(shù)的子圖像，也叫做掩模、濾波器、核或窗口），在每一點(x,y)處，濾波之后該點的灰度值等于模板系數(shù)與模板掃過區(qū)域的各像素點的灰度值的乘積之和。濾波的目的是用于模糊處理和去除、衰減圖像中噪聲和假輪廓，其中模糊處理經(jīng)常用于預(yù)處理，例如在提取大的目標之前去除圖像中一些瑣碎的細節(jié)。一般來說，在MxX的圖像上，用的模板濾波處理后的圖像是由下式得到的：（5-1-22）其中，，，且m和n通常都取奇數(shù)。為了得到一幅完整的處理后的圖像，必須對原圖像中的所有像素點依次應(yīng)用此公式。當m=n=3時，對圖像f(x,y)進行平滑濾波，那么處理后的圖像為：

均值濾波均值濾波的模板特點是模板上各點的系數(shù)為相等的正數(shù)，且系數(shù)之和為1。若用大小為mXn的模板w(x,y)（模板系數(shù)均為）對大小為的圖像f(x,y)進行均值濾波，那么進行濾波處理后的圖像g(x,y)為：（2）加權(quán)濾波為了突出某些像素點的重要性，模板系數(shù)就不能再平均分配，而是有所差別的。處于模板中心位置的像素在處理后對該點的灰度值影響最大，距離中心位置越遠的像素在處理后對該點的灰度值影響越小。所以，模板中心位置的系數(shù)就最大，離模板中心位置越遠，其系數(shù)越小，且系數(shù)均為正數(shù)，系數(shù)之和為1。用這樣的模板對圖像進行的處理叫加權(quán)濾波。5.1.4中值濾波

中值濾波的依據(jù)：噪聲以孤立點的形式出現(xiàn)，這些點對應(yīng)的像素數(shù)很少，而圖像則是由像素數(shù)較多、面積較大的塊構(gòu)成。中值濾波的目的就是要把這些孤立的點去除掉。中值濾波方法：選一個含有奇數(shù)點的窗口W，將這個窗口在圖像上移動，把該窗口中所含的像素點按灰度值進行升（或降）序排列，取位于中間的灰度值，來代替該點的灰度值（這里的窗口也叫中值濾波器）。將原圖像中所有的像素點都執(zhí)行上述操作后就得到中值濾波的結(jié)果圖像。中值濾波對干擾脈沖和點噪聲有良好抑制作用，對處理脈沖噪聲（也稱為椒鹽噪聲）非常有效（因為這種噪聲是以黑白點疊加在圖像上的），而對圖像邊緣能較好地保持。中值濾波常用的窗口有條形、十字形、方形、圓形和環(huán)形等使用中值濾波時的注意事項：（1）中值濾波適合于濾除椒鹽噪聲和干擾脈沖，尤其適合于對目標物形狀是塊狀時的圖像濾波。（2）具有豐富尖角幾何結(jié)構(gòu)的圖像，一般采用十字形濾波窗，且窗口大小最好不要超過圖像中最小目標物的尺寸，否則會丟失目標物的細小幾何特征。（3）需要保持細線狀及尖頂角目標物細節(jié)時，最好不要采用中值濾波。銳化濾波的主要目的是突出圖像中的細節(jié)或者增強被模糊的細節(jié)，它可以用空間微分來完成。微分作為數(shù)學(xué)中求變化率的一種方法，可用來提取圖像中目標物輪廓和細節(jié)（統(tǒng)稱為邊緣）等突變部分。對于微分的任意定義都必須保證以下兩點：（1）在灰度不變的區(qū)域微分值為零；（2）在灰度變化的區(qū)域微分值非零。5.1.5銳化濾波

因為我們處理的是數(shù)字量，灰度變化發(fā)生的最短距離是在兩相鄰像素之間。對于一元離散函數(shù)f(x,y)，一階微分的定義是個差值，對于二元函數(shù)，我們將沿著兩個空間軸處理偏微分，二階微分定義為

把圖像經(jīng)過微分運算之后得到的是圖像的邊緣。通過比較一階微分處理后的圖像和二階微分處理后的圖像，我們可以得到以下結(jié)論：（1）一階微分處理通常會產(chǎn)生較寬的邊緣；（2）二階微分處理對細節(jié)（如細線和孤立點）有較強的響應(yīng)。把提取來的邊緣加到原圖像上就得到銳化后的圖像，即細節(jié)信息增強后的圖像。（1）拉普拉斯銳化法對于數(shù)字圖像來說，我們在軸方向上的二階微分為（5-1-26）在軸方向上的二階微分為（5-1-27）而拉普拉斯算子為（5-1-28）所以圖像經(jīng)過拉普拉斯算子處理之后，就會得到圖像的邊緣。然后，把圖像的邊緣以一定的比例加到原圖像上，就得到銳化圖像。銳化公式如式（5-1-29）所示：（5-1-29）其中，是個系數(shù)，其大小可以根據(jù)實驗結(jié)果來賦值。（2）模板銳化法拉普拉斯銳化圖像也可以利用模板來實現(xiàn)，其實現(xiàn)方法和平滑濾波時是一樣的，只是模板系數(shù)不同而已。拉普拉斯銳化模板有以下兩大類：4-鄰域模板

8-鄰域模板：銳化模板有以下3個特點：（1）模板內(nèi)系數(shù)有正有負，表示差分運算；（2）模板內(nèi)系數(shù)之和為1；（3）對常數(shù)圖像，處理前后不變；對一般圖像，處理前后平均亮度不變。

5.2頻率域圖像增強

1.基本概念（1）連續(xù)函數(shù)的傅立葉變換若把一個一維輸入信號作一維傅立葉變換，該信號就被變換到頻域上的一個信號，即得到了構(gòu)成該輸入信號的頻譜，頻譜反映了該輸入信號由哪些頻率構(gòu)成。這是一種分析與處理一維信號的重要手段。當一個一維信號滿足狄里赫萊條件，即1具有有限個間斷點；2具有有限個極值點；3絕對可積。則其傅立葉變換對（傅立葉變換和逆變換）一定存在。在實際應(yīng)用中，這些條件一般總是可以滿足的。一維連續(xù)函數(shù)的傅立葉變換對的定義為：其中，稱為時域變量，稱為頻域變量。以上一維傅立葉變換可以很容易地推廣到二維，如果二維連續(xù)函數(shù)f(x,y)滿足狄里赫萊條件，則它的二維傅立葉變換對為：（2）離散函數(shù)的傅立葉變換要在數(shù)字圖像處理中應(yīng)用傅立葉變換，還需要解決兩個問題：一是在數(shù)學(xué)中進行傅立葉變換的f(x,y)為連續(xù)（模擬）信號，而計算機處理的是數(shù)字信號（圖像數(shù)據(jù)）；二是數(shù)學(xué)上采用無窮大概念，而計算機只能進行有限次計算。通常，將受這種限制的傅立葉變換稱為離散傅立葉變換（DiscreteFourierTransform，DFT)。設(shè)為一維信號f(x,y)的N個抽樣，則f(x,y)的離散傅立葉變換對為：其中，。第二個式中的系數(shù)也可以放在第一個式子中，有時也可在傅立葉正變換和逆變換前分別乘以，這是無關(guān)緊要的，它只影響到f(x,y)進行離散傅里葉變換后的頻譜的幅度值的大小，只要正變換和逆變換前系數(shù)乘積等于即可。由式（5-2-3）可知，離散序列的傅立葉變換仍是一個離散的序列，每一個u對應(yīng)的傅立葉變換結(jié)果是所有輸入序列f(x)的加權(quán)和（每一個f(x)都乘以不同頻率的正弦或余弦值），u決定了每個傅立葉變換結(jié)果的頻率。通常傅立葉變換的結(jié)果為復(fù)數(shù)形式，即：（5-2-4）式中，和分別是F(u)的實部和虛部。變換公式也可表示成指數(shù)形式，即（5-2-5）通常稱為的頻譜或傅立葉幅度譜，為的相位譜。頻譜的平方稱為能量譜或功率譜，它定義為

考慮到兩個變量，就很容易將一維離散傅立葉變換推廣到二維。二維離散傅立葉變換對定義為（5-2-7）

其中，；；x,y為時域變量，u,v為頻域變量。和一維離散函數(shù)的傅立葉變換一樣，系數(shù)可以在正變換或逆變換中，也可以在正變換和逆變換前分別乘以系數(shù)，只要兩式系數(shù)的乘積等于即可。（3）離散函數(shù)傅立葉變換的性質(zhì)1可分離性由可分離性可知，一個二維傅立葉變換可分解為兩步進行，其中每一步都是一個一維傅立葉變換。先對f(x,y)按行進行傅立葉變換得到F(x,v)，再對F(x,v)按列進行傅立葉變換，便可得到f(x,y)的傅立葉變換結(jié)果，如圖5-14所示。顯然對f(x,y)先按列進行離散傅立葉變換，再按行進行離散傅立葉變換也是可行的。2平移性質(zhì)平移性質(zhì)表明，只要將f(x,y)乘以因子，再進行離散傅立葉變換，即可將圖像的頻譜原點（0，0）移動到圖像中心處。圖5-15（b）、（c）是簡單方塊圖像平移前后對應(yīng)的傅里葉變換的頻譜圖。3旋轉(zhuǎn)不變性離散函數(shù)傅立葉變換的旋轉(zhuǎn)不變性如圖5-16所示，其中，（a）是原圖像，（b）是（a）的傅立葉變換頻譜圖，（c）是（a）旋轉(zhuǎn)角度后的圖像，（d）是（c）的傅立葉變換頻譜圖。由圖5-16可知，如果在時域中離散函數(shù)旋轉(zhuǎn)角度，則在變換域中該函數(shù)的離散傅立葉變換頻譜也將旋轉(zhuǎn)同樣的角度。5.2.1低通濾波

一副圖像的傅立葉變換頻譜的高頻成分往往主要來自圖像邊緣和噪聲，所以在頻域中對高頻成分進行衰減更易于實現(xiàn)對圖像的平滑處理。在頻域中對圖像進行濾波的數(shù)學(xué)表達式為（5-2-8）其中，G(u,v)為進行低通濾波后圖像的傅立葉變換，H(u,v)為低通濾波器的傳遞函數(shù)，F(xiàn)(u,v)為原始圖像的傅立葉變換。圖5-17所示是常用的傳遞函數(shù)，其中，（a）是理想低通濾波器的傳遞函數(shù)，（b）是巴特沃思濾波器的傳遞函數(shù)，（c）是指數(shù)低通濾波器的傳遞函數(shù)。（1）理想低通濾波器（ILPF）理想低通濾波器的功能是將以截止頻率D0為半徑的圓內(nèi)的所有頻率都無損地通過，將在截止頻率D0之外的頻率分量完全衰減掉。理想低通濾波器傳遞函數(shù)的傳遞函數(shù)為

其中，D0為截止頻率，需根據(jù)需要選定，是頻率平面上點(u,v)到原點（0，0）的距離。硬件無法實現(xiàn)H(u,v)從0到1的陡峭突變，但在計算機上卻容易模擬。D0取得越小，濾除噪聲越徹底，高頻分量損失越嚴重，越易引起圖像的模糊。（5-2-9）（5-2-9）（5-2-9）（2）巴特沃思（Buttorworth）濾波器（BLPF）n階巴特沃思低通濾波器的傳遞函數(shù)為（5-2-10）

其中，n的大小決定了衰減率。使用巴特沃思低通濾波器會大大減少處理后圖像的模糊程度，因它的H(u,v)不是陡峭的截止的，其尾部包含了大量的高頻成分，帶阻和帶通之間有一個平滑的過渡帶，沒有明顯地不連續(xù)性。（5-2-10）指數(shù)低通濾波器的傳遞函數(shù)為（5-2-11）其中，它的截止頻率D0的值是最大值的。指數(shù)低通濾波器有更快的衰減率，所以它處理過的圖像比巴特沃思低通濾波器處理后的圖像稍微模糊一些，但比理想低通濾波器處理后的圖像清楚。5.2.2高通濾波

圖像的基本信息位于低頻部分，而圖像的邊緣