21.2.2公式法單元主題回顧在“一元二次方程”單元中，我們已學(xué)習(xí)用直接開平方法、配方法解一元二次方程。本節(jié)課將學(xué)習(xí)更通用、高效的解法——公式法，它能解決所有有實(shí)數(shù)根的一元二次方程。情境導(dǎo)入：舊法新問用配方法解下列一元二次方程：（1）\(x^2+4x-1=0\)（2）\(2x^2-3x+1=0\)思考：用配方法解不同的一元二次方程時(shí)，步驟是否有重復(fù)？能否推導(dǎo)一個(gè)通用公式，直接代入方程系數(shù)求解？通過回顧配方法的“重復(fù)步驟”，引出本節(jié)課核心——推導(dǎo)一元二次方程的求根公式。知識(shí)鋪墊：一元二次方程的一般形式我們知道，任何一個(gè)一元二次方程都可以整理為一般形式：\(\boxed{ax^2+bx+c=0}\)（其中\(zhòng)(a\neq0\)，\(a\)、\(b\)、\(c\)為常數(shù)）\(a\)：二次項(xiàng)系數(shù)（不能為0，否則方程不是二次方程）\(b\)：一次項(xiàng)系數(shù)（可為0，此時(shí)方程不含一次項(xiàng)）\(c\)：常數(shù)項(xiàng)（可為0，此時(shí)方程有常數(shù)項(xiàng)為0的特殊形式）小練習(xí)：將下列方程化為一般形式，并確定\(a\)、\(b\)、\(c\)的值：（1）\(3x^2=2x-1\)→

整理為\(3x^2-2x+1=0\)（\(a=3\)，\(b=-2\)，\(c=1\)）（2）\(x(x-5)=0\)→

整理為\(x^2-5x+0=0\)（\(a=1\)，\(b=-5\)，\(c=0\)）核心推導(dǎo)：求根公式的推導(dǎo)（基于配方法）目標(biāo)：從一元二次方程的一般形式\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)）出發(fā)，用配方法推導(dǎo)\(x\)的表達(dá)式。步驟1：移項(xiàng)（將常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)右邊）\(ax^2+bx=-c\)步驟2：二次項(xiàng)系數(shù)化為1（方程兩邊同時(shí)除以\(a\)）\(x^2+\frac{a}x=-\frac{c}{a}\)步驟3：配方（在等號(hào)兩邊同時(shí)加“一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方”）一次項(xiàng)系數(shù)為\(\frac{a}\)，其一半為\(\frac{2a}\)，平方為\(\left(\frac{2a}\right)^2=\frac{b^2}{4a^2}\)方程兩邊加\(\frac{b^2}{4a^2}\)：\(x^2+\frac{a}x+\frac{b^2}{4a^2}=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}\)步驟4：左邊化為完全平方式，右邊通分左邊：\(\left(x+\frac{2a}\right)^2\)（完全平方公式：\((m+n)^2=m^2+2mn+n^2\)）右邊：\(\frac{b^2-4ac}{4a^2}\)（通分后合并：\(-\frac{c}{a}=-\frac{4ac}{4a^2}\)，再與\(\frac{b^2}{4a^2}\)相加）此時(shí)方程變?yōu)椋篭(\left(x+\frac{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\)步驟5：分析右邊的取值，確定方程是否有實(shí)數(shù)根由于\(4a^2>0\)（\(a\neq0\)，平方恒正），右邊的符號(hào)由分子\(b^2-4ac\)決定：若\(b^2-4ac>0\)：右邊為正，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；若\(b^2-4ac=0\)：右邊為0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；若\(b^2-4ac<0\)：右邊為負(fù)，而左邊是平方數(shù)（恒非負(fù)），方程無實(shí)數(shù)根。我們把\(b^2-4ac\)叫做一元二次方程的根的判別式，用符號(hào)\(\boxed{\Delta}\)（讀作“德爾塔”）表示，即\(\Delta=b^2-4ac\)。步驟6：開平方求解（僅當(dāng)\(\Delta\geq0\)時(shí)）當(dāng)\(\Delta\geq0\)時(shí)，對(duì)等式兩邊開平方：\(x+\frac{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)（注意右邊有“\(\pm\)”，對(duì)應(yīng)兩個(gè)根）將\(\frac{2a}\)移到等號(hào)右邊，得到：\(\boxed{x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}\)（\(a\neq0\)，\(\Delta=b^2-4ac\geq0\)）這就是一元二次方程的求根公式，用這個(gè)公式解一元二次方程的方法叫做“公式法”。公式法的應(yīng)用步驟（四步走）用公式法解一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)），可按以下步驟進(jìn)行：步驟1：化“一般形式”將方程整理為\(ax^2+bx+c=0\)的形式，確定\(a\)、\(b\)、\(c\)的值（注意符號(hào)，如\(-3x\)的\(b=-3\)）。步驟2：算“判別式”計(jì)算\(\Delta=b^2-4ac\)，判斷方程是否有實(shí)數(shù)根：若\(\Delta<0\)：直接得出“方程無實(shí)數(shù)根”；若\(\Delta\geq0\)：繼續(xù)下一步。步驟3：代“求根公式”將\(a\)、\(b\)、\(c\)和\(\sqrt{\Delta}\)代入求根公式\(x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\)。步驟4：算“方程的根”計(jì)算出兩個(gè)根（若\(\Delta=0\)，則兩個(gè)根相等，寫作\(x_1=x_2=\dots\)）。例題解析（典型例題+規(guī)范步驟）例1：用公式法解方程\(2x^2-4x-1=0\)解：化一般形式：方程已為\(2x^2-4x-1=0\)，則\(a=2\)，\(b=-4\)，\(c=-1\)。算判別式：\(\Delta=b^2-4ac=(-4)^2-4\times2\times(-1)=16+8=24>0\)（方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根）。代求根公式：\(x=\frac{-(-4)\pm\sqrt{24}}{2\times2}=\frac{4\pm2\sqrt{6}}{4}\)。化簡(jiǎn)結(jié)果：約分可得\(x=\frac{2\pm\sqrt{6}}{2}\)，即\(x_1=\frac{2+\sqrt{6}}{2}\)，\(x_2=\frac{2-\sqrt{6}}{2}\)。例2：用公式法解方程\(x^2-6x+9=0\)解：化一般形式：\(x^2-6x+9=0\)，\(a=1\)，\(b=-6\)，\(c=9\)。算判別式：\(\Delta=(-6)^2-4\times1\times9=36-36=0\)（方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根）。代求根公式：\(x=\frac{-(-6)\pm\sqrt{0}}{2\times1}=\frac{6}{2}=3\)。寫結(jié)果：\(x_1=x_2=3\)。例3：用公式法解方程\(3x^2+2x+1=0\)解：化一般形式：\(3x^2+2x+1=0\)，\(a=3\)，\(b=2\)，\(c=1\)。算判別式：\(\Delta=2^2-4\times3\times1=4-12=-8<0\)。結(jié)論：方程無實(shí)數(shù)根。易錯(cuò)點(diǎn)警示（避坑指南）符號(hào)錯(cuò)誤：確定\(a\)、\(b\)、\(c\)時(shí)，忘記帶方程中的“負(fù)號(hào)”（如方程\(x^2-5x+3=0\)中，\(b=-5\)而非\(5\)）。判別式計(jì)算錯(cuò)誤：忽略“\(4ac\)”的符號(hào)（如\(\Delta=b^2-4ac\)，當(dāng)\(c\)為負(fù)時(shí)，\(-4ac\)應(yīng)為正）。公式代錯(cuò)：混淆求根公式中的“\(-b\)”（如\(b=-3\)時(shí)，\(-b=3\)，而非\(-3\)）。結(jié)果未化簡(jiǎn)：如\(\frac{4\pm2\sqrt{2}}{2}\)應(yīng)化簡(jiǎn)為\(2\pm\sqrt{2}\)，避免保留分母中的公因數(shù)。課堂練習(xí)（分層訓(xùn)練）基礎(chǔ)題（必做）用公式法解下列方程：\(x^2-3x+2=0\)（答案：\(x_1=1\)，\(x_2=2\)）\(2x^2+x-1=0\)（答案：\(x_1=\frac{1}{2}\)，\(x_2=-1\)）提升題（選做）若關(guān)于\(x\)的一元二次方程\(x^2+(k-1)x+1=0\)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求\(k\)的值（答案：\(k=3\)或\(k=-1\)）。用公式法解方程\((x+1)(x-3)=2\)（提示：先化為一般形式\(x^2-2x-5=0\)，答案：\(x_1=1+\sqrt{6}\)，\(x_2=1-\sqrt{6}\)）。方法對(duì)比：公式法與配方法的聯(lián)系與區(qū)別對(duì)比維度配方法公式法核心邏輯通過配方將方程化為完全平方式，再開平方求解直接代入通用公式，省去重復(fù)配方步驟適用場(chǎng)景簡(jiǎn)單方程（如二次項(xiàng)系數(shù)為1、一次項(xiàng)系數(shù)為偶數(shù)）所有有實(shí)數(shù)根的一元二次方程（通用）優(yōu)點(diǎn)能理解方程變形的本質(zhì)，培養(yǎng)代數(shù)變形能力步驟固定、高效，適合復(fù)雜方程缺點(diǎn)步驟重復(fù)，對(duì)復(fù)雜系數(shù)（如分?jǐn)?shù)、小數(shù)）計(jì)算繁瑣需記憶公式，若公式記錯(cuò)則結(jié)果全錯(cuò)結(jié)論：公式法是配方法的“升華”，兩者本質(zhì)一致，公式法更適合日常解題。課堂小結(jié)核心知識(shí)：一元二次方程的求根公式：\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)（\(a\neq0\)，\(\Delta\geq0\)）；根的判別式：\(\Delta=b^2-4ac\)（判斷方程是否有實(shí)數(shù)根及根的個(gè)數(shù)）。關(guān)鍵步驟：化一般式→算判別式→代公式→求根。易錯(cuò)提醒：注意\(a\)、\(b\)、\(c\)的符號(hào)，判別式計(jì)算要仔細(xì)，結(jié)果需化簡(jiǎn)。課后作業(yè)教材對(duì)應(yīng)練習(xí)題（如人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)P42第5、6題）；拓展思考：若一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)的兩個(gè)根為\(x_1\)、\(x_2\)，觀察求根公式，你能發(fā)現(xiàn)\(x_1+x_2\)、\(x_1x_2\)與\(a\)、\(b\)、\(c\)的關(guān)系嗎？（為后續(xù)“根與系數(shù)的關(guān)系”鋪墊）。2025-2026學(xué)年人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)【公開課課件】授課教師：

.班級(jí)：

.

時(shí)間：

.

21.2.2公式法第21章一元二次方程aiTujmiaNg舊知回顧1.用配方法解下列方程：(1)2x2-9x+8=0；(2)3x2+2x+1=0.2.回憶用配方法解方程的一般步驟.

(1)移常數(shù)項(xiàng)，二次項(xiàng)系數(shù)化為1；(2)配方，

兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；(3)寫成(x+n)2=p(p≥0)的形式；(4)直接開平方法解方程.對(duì)于一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），能不能利用配方法求出它的解呢？應(yīng)該怎樣做呢？請(qǐng)同學(xué)們?nèi)我膺x擇一個(gè)方程求解：（1）x2-2x-1=0；（2）2x2+7x-15=0.1.閱讀課本9-12頁.請(qǐng)同學(xué)們回憶并說出利用配方法解一元二次方程的步驟.（一移，把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到等號(hào)左邊，常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)右邊；二化，將二次項(xiàng)系數(shù)化為1；三配，等號(hào)兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；四開，利用平方根的定義把方程降次；五解，解一元一次方程）自主探究自主探究

自主探究3.請(qǐng)同學(xué)們思考以下問題：①在配成完全平方式后，進(jìn)行開平方運(yùn)算時(shí)，有沒有條件限制？

兩人一組編題互判，首先根據(jù)根的判別式獨(dú)立編制出三個(gè)不同根的情況的一元二次方程，然后將所編方程讓同桌判斷根的情況，并用公式法求解.小組討論小組展示我提問我回答我補(bǔ)充我質(zhì)疑提疑惑：你有什么疑惑？越展越優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)1：根的判別式（難點(diǎn)）

知識(shí)點(diǎn)2：公式法的概念（重點(diǎn)）

這個(gè)式子叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法.由求根公式可知，一元二次方程最多有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.教師講評(píng)知識(shí)點(diǎn)3：用公式法解一元二次方程的一般步驟（重點(diǎn)）

3.代入求根公式：2.求出b2－4ac的值.1.

把方程化成一般形式，并寫出a,b,c的值.4.寫出方程的解：x1，x2.特別注意：當(dāng)b2－4ac<0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)解；當(dāng)b2－4ac≥0時(shí)，一元二次方程才有實(shí)數(shù)根.

教師講評(píng)知識(shí)點(diǎn)4：一元二次方程根的情況（難點(diǎn)）注意：運(yùn)用根的判別式時(shí)要注意a,b,c的符號(hào)，若已知一元二次方程解的情況，也能得到根的判別式的符號(hào).

教師講評(píng)返回1.[2024深圳南山區(qū)期末]用配方法解方程x2－4x－1＝0時(shí)，配方后正確的是(

) A.(x＋2)2＝3

B.(x＋2)2＝17

C.(x－2)2＝5

D.(x－2)2＝17 C返回2.[2023溫州期中]若用配方法解方程x2＋4x＋1＝0時(shí)，將其配方為(x＋b)2＝c的形式，則c＝(

) A.2B.3C.0D.1 B返回3.[2023南通海門市一模]用配方法解一元二次方程2x2＋4x－5＝0時(shí)，將它化為(x＋a)2＝b的形式，則a＋b的值為(

) B返回4.將一元二次方程2y2－2＝4y化成(y－m)2＝n的形式，則(m－n)2025的值為(

) A.1 B.－2025 C.2025 D.－1 D【點(diǎn)撥】∵2y2－2＝4y，∴2y2－4y＝2，y2－2y＝1，y2－2y＋1＝1＋1，(y－1)2＝2，∴m＝1，n＝2，∴(m－n)2025＝(1－2)2025＝－1.5.[2023南寧模擬]解方程：

(1)x(x－2)－3＝0；【解】方程整理得x2－2x－3＝0，∴x2－2x＝3，∴x2－2x＋1＝3＋1