6.3.4空間距離的計(jì)算

一、單選題

1.在正方體48。一中，異面直線4。，8僅所成角的余弦值為()

A.yB.—C.—D.且

2223

【答案】D

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解異面直線的夾角余弦值.

【解析】如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

不妨設(shè)正方體邊長(zhǎng)為1,則。(0,0,0),力(1,0,0),8(110),A(0,0,1),

則方=(-1,0,0),西=(-1,7,1),

設(shè)異面直線力。，8。所成角為e,

則小露二山1邛

2H9

2.已知4(2,0,0),5(0,1,0),C(0,0,2),則點(diǎn)/到直線AC的距離為()

A.2B.=^~C.4D.—

55

【答案】B

【分析】首先利用空間向量求出而在於上的投影，再利用勾股定理即可求解.

——\BA-BC\1A

【解析】由題意可得，歷1=(2,-1,0),8c=(0,7,2),則函在配上的投影為^^「=耳=手，則點(diǎn)

到直線的距離為‘初嚕.

故選：B

3.兩平行平面名尸分別經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)0和點(diǎn)力(1,2,3),且兩平面的一個(gè)法向量萬=(-1,0,1),則兩平面間的

距離是()

歷

A.y/2B.—C.GD.3&

2

【答案】A

【分析】由空間向量求解

【解析】???兩平行平面名夕分別經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)。和點(diǎn)4(1,2,3),方=(1,2,3),

且兩平面的一個(gè)法向量方=(-1,0』)，

???兩平面間的距離人上色n=上=J2.

I川72

故選：A

4.正四棱錐S-"CQ的高SO=2,底邊長(zhǎng)力B=6,則異面直線和S。之間的距離

.715口舊「2石n石

A?，i5?lx?U?

55510

【答案】C

【分析】利用坐標(biāo)法，利用異面直線距離的向量公式即求.

【解析】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則

(當(dāng)一孝⑼，

樽，當(dāng),。)，B吟‘冬。)'C(4字。),0S(0,0,2).

DB—(5/2,y/2,0),C3=(———,2).

__iiDB=0

令向量斤=(x,y,l),且萬_L。民萬_LCS,貝lj{一

萬CS=0

(xj,1)(倉(cāng)屈())=0

x+y=0

與-冬2)=0x-^+2>/2=0

...萬=（一"日）.

y=\/2

???異面直線BD和SC之間的距離為：

d\0C-n\卜孝,N）

公k二|（-V2,V2,1）|

二|1+1+0|二2/

7（-V2）2+（V2）2+l25?

故選：C.

5.在空間直角坐標(biāo)系Qx產(chǎn)中，若有且只有一個(gè)平面a,使點(diǎn)42,2,2）到a的距離為1,且點(diǎn)伏機(jī),0,0）到a

的距離為4,則用的值為（）

A.2B.1或3

C.2或4D.2-痘或2+小

【答案】B

【分析】由點(diǎn)48到平面。的距離是確定的且平面。只有一個(gè)，可得44_La,且48兩點(diǎn)在平面a同側(cè),

由此可得線段48的長(zhǎng)，從而求得〃?值，

【解析】因?yàn)橛星抑挥幸粋€(gè)平面a,使點(diǎn)N（2,因2）到目的距離為1,且點(diǎn)5（叫0,0）到a的距離為4,所以

ABA-a,且4"兩點(diǎn)在平面a同側(cè)，48=4—1=3,

J（用一21+4+4=3，/〃=1或3.

因?yàn)椤辍皍平面E產(chǎn)G,所以BD//平面EFG,所以點(diǎn)8到平面E"G的距離等于點(diǎn)。到平面E/a的距高,

因?yàn)镚CJ_平面力BCQ,所以GCJL8O,又BD1.4C,GC[yAC=C,

所以801平面GMC,因?yàn)樗允て矫鍳MC,

因?yàn)镋尸u平面EFG，所以平面EFG1平面GMC,

過。作OH_LGA/,垂足為〃，則0〃_L平面￡7P,則0”為點(diǎn)。到平面七PG的距離,

在直角三角形GCM和直角三角形0〃M中，NGMC=N0MH,所以△GCMF0HM,

□…OHOM八〃GC0M

所以"=177，所?以?！?=，

GCGMGM

因?yàn)檎叫瘟?c。的邊長(zhǎng)為4,所以0河=，4。=1乂4夜=五，

44

CM=1JC=^-X4X/2=3N/2,GM=JGC?+C”=J4+18=低,

所以"二喔

所以點(diǎn)8到平面EFG的距離為了.

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查了直線與平面垂直的性質(zhì)，考杳了直線與平面垂直的判定，考行了平面與平面垂直的判

定與性質(zhì)，考查了直線與平面平行的判定，考查了求點(diǎn)到平面的距離，屬于中檔題.

7.如圖，點(diǎn)P為矩形48s所在平面外一點(diǎn)，P/1_L平面48C。，。為/1P的中點(diǎn)，AB=3,BC=4,PA=2,

則點(diǎn)P到平面8。。的距離為()

A12n13

AB.巨D(zhuǎn).——

*1313。C512

【答案】B

【分析】分別以48,AD,4尸所在直線為x軸、V軸、n軸建立空間直角坐標(biāo)系,則5(3,0,0),0(0,4,0),

P(0,0,2),。(0,0,1),再利用點(diǎn)，到平面8。。的距離包，即可得答案;

1〃1

【解析】如圖，分別以48，AD，XP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則8(3,0,0),0(0,4,0),

P(0,0,2),0(0,0,1),

^5=(3,0,-1),=(-3,4,0),爐=(0,0,1).

設(shè)平面8。。的法向量為萬=(x,y,z),

萬?麗=0-3x+4y=0

則J即J

萬.①=0'3x-z=0

令x=4,則y=3,z=12,/.w=(4,3,12).

\QPn\12

???點(diǎn)尸到平面8。。的距離d=

⑸13

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查利用向取法求點(diǎn)到面的距離，考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力.

8.如圖，已知正方體力8。。-44GA的棱長(zhǎng)為1,。為正方形力QA4的中心，若P為平面OD乃內(nèi)的一個(gè)

動(dòng)點(diǎn)，則P到直線44的距離的最小值為()

7

C.男

4

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，列出線面距離公式即可求解.

z

如圖，以方,次，方可為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則有

8（1」,0），3（0,0』），4。，0,1）出。,1，1），因?yàn)椤檎叫瘟Α?4的中心，得。（go；）,

——一?1———

44=（0,1,0）,。8二（弓」,一5）,Z）,B=（I,I,-I）,四=（o,o,i）

._[OB-/7=0—x+y——z=0

設(shè)平面OB。1的法向量為“j（x,y,N）,利用《---，貝lj〈22,

出8方=0[x+y-Z=0

取1=1,解得；;二（1,0』），有福7=0,且44a平面ORB,則直線44〃平面。A8,

設(shè)直線4片的到平面O/）m距離為"，取直線上一點(diǎn)用，與平面ORB上一點(diǎn)B,則函=（0,0,1）,

網(wǎng)?〃16

利用空間中點(diǎn)面距離公式有：4=T=T

故選：A

9.如圖，已知正方體ZBCZ）-44GA棱長(zhǎng)為3,點(diǎn)〃在棱上，且"4=1,在側(cè)面BCG4內(nèi)作邊長(zhǎng)為i

的正方形EFGG，P是側(cè)面8CC⑸內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)尸到平面CQDC距離等于線段P廠的長(zhǎng)，則當(dāng)點(diǎn)”運(yùn)動(dòng)

時(shí)，|必|2的最小值是（）

B

A.21B.22C.23D.13

【答案】D

【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)?。在BCG⑸內(nèi)可設(shè)出產(chǎn)點(diǎn)坐標(biāo)，作"必連接PAI,可得

HP2=HM?+MP2，作尸N_LCG，根據(jù)空間中兩點(diǎn)間距離公式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得14f的

范圍.

【解析】根據(jù)題意，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：

作HM±BB、交B風(fēng)于M,連接PM,則HM±PM

作PN1CCX交CG于N,則PN即為點(diǎn)P到平面CQAG距離.

設(shè)P(x,3,z),則尸(l,3,2),M(3,3,2),N(0,3,z)(0343,0?z?3)

???點(diǎn)P到平面CDD.C.距離等于線段PF的長(zhǎng)

:,PN=PF

由兩點(diǎn)間距離公式可得x=J(X-11+(Z-2)2，化簡(jiǎn)得2x-l=(z-2『,則2A-1>0解不等式可得X>；

綜二可得

/1\

22222：

則在中HP2=HM2+M尸=3+(X-3)+(Z-2)=3+IX-3)+2A--1=(X-2)+13-<X<3

I=/

所以“產(chǎn)213(當(dāng)時(shí)x=2取等)

故選:D

【點(diǎn)睛】本題考查了空間直角坐標(biāo)系的綜合應(yīng)用，利用空間兩點(diǎn)間距離公式及二次函數(shù)求最值，屬于難題.

io.如圖，在棱長(zhǎng)為。的正方體48cA中，p為4A的中點(diǎn)，。為44上任意一點(diǎn)，E,F為CD

上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且E/的長(zhǎng)為定值，則點(diǎn)2到平面PE尸的距離()

B.和EE的長(zhǎng)度有關(guān)

D.和點(diǎn)。的位置有關(guān)

【答案】A

【分析】取4G的中點(diǎn)G,連接尸G,CG,O尸，利用線面平行判斷出選項(xiàng)B,D錯(cuò)誤：建立空間直角坐標(biāo)系，

利用平面的法向量結(jié)合空間向最數(shù)量積公式求得點(diǎn)到面的距離，從而得出結(jié)論.

(蟀析】取8c的中點(diǎn)G,連接PG,CG,DP,則PG//C。，所以點(diǎn)。到平面PEF的距離即點(diǎn)。到平面PGCD

的距離，與EF的長(zhǎng)度無關(guān)，B錯(cuò).又44〃平面PGCD,所以點(diǎn)4到平面PGCD的距離即點(diǎn)Q到平面PGCD

的距離，即點(diǎn)。到平面的距離，與點(diǎn)。的位置無關(guān)，D錯(cuò).

如圖，以點(diǎn)。為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則。(040),。(0,(),0)，4(4,0,。)產(chǎn)仁0,4

；?DC=((),?,0),

D\=(a,O,a),DP=

n-DP=0,—x+az=0,

設(shè)〃=(xj,z)是平面PGCD的法向量,則由，得2

n-DC=0,

ay=0,

令z=l,則x=-2j=0,所以；;=(-2,0,1)是平面PGC。的一個(gè)法向量.

設(shè)點(diǎn)Q到平面PEF的距離為d,則dA對(duì),C錯(cuò).

【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)到直線的距離，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象的學(xué)科素養(yǎng)，屬中檔題.

11.如圖，在直三棱柱力8C-48G中，NBAC*,/1B=AC=A4=1,已知G與E分別為力固和CG的中

點(diǎn)，。與戶分別為線4C和48上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），若GO，七月、則線段。廠長(zhǎng)度的取值范圍為（）

A.［當(dāng)）B.［烏'］C.忠，五）D.［底品

5455

【答案】A

【分析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出。尸的坐標(biāo)，根據(jù)已知條件求得參數(shù)之間的關(guān)系，并

建立。尸關(guān)于參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，求其值域即可.

【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

1\（\\

則E1,0,-,G0,-,1,設(shè)點(diǎn)。坐標(biāo)為（〃?,0,0）,尸（0,〃,0）,0<；?<1,（）<?<!,

故￡尸=（一一g=,因?yàn)镚Q-LE/7,

故可得而.麗=一帆一；〃+：=0,則〃=一2〃?+1,由〃e（O,l）可得胴c（0，；），

又麗=（一/%〃,0）,故|而"+V、=J%??-4m+1=

故當(dāng)吁1時(shí)，|可取得最小值g：又當(dāng)〃?=0時(shí)，|西=1,但無法取到m=0,則毋|無法取到1；

綜上，線段。/長(zhǎng)度的取值范圍為

故選：A

12.如圖，在三棱柱48C-44G中，底面“BC是邊長(zhǎng)為2石的正三角形，AA,=Jj,頂點(diǎn)4在底面的射

影為底面正三角形的中心，P,0分別是異面直線4G，4B上的動(dòng)點(diǎn)，則2，0兩點(diǎn)間距離的最小值是（）

D?手

C.yjb

2

【答案】D

【分析】設(shè)。是底面正』8c的中心，4。1平面4次丁C01.AB,以直線CO為X軸，。4為Z軸，過。平

行于48的直線為V軸建立空間直角坐標(biāo)系，P,。兩點(diǎn)間距離的最小值即為異面直線4G與48間的距離用

空間向量法求異面直線的距離.

【解析】如圖，。是底面正A8C的中心，4。，平面45。，/Ou平面力8C,則4。1月。，

2

AB=2有，則/O=2x且x2>/J=2,又AA=后,A1O=ylAA；-AO=>/3,

32

C0_L/8,直線CO交48于點(diǎn)。，OD=l,

以直線8為X軸，為Z軸，過O平行于的直線為y軸建萬.空間直角坐標(biāo)系，如圖,

則4(0,0,回40,-也,0),8(1,、石,0),C(-2,0,0),

ZT=(-1,73,73),就=(-3,百⑼，府二(1,百,-6),

苑=您+祝=(-4?,

LIUUUUUL

設(shè)”=(x,y,z)與A】B和AC}都垂直,

h-AC.--4x+2x/3y+&-0「一廣

則J.一廠廠,取x=6，則y=l,z=2,^=(V3,1,2),

ri-A}B=x+弋3y-,3z=0

\ii-AA］卜百+百+2閻&

P,Q兩點(diǎn)間距離的最小值即為異面直線4G與力內(nèi)間的距離等7

J3+1+42

故選：D.

二、多選題

13.在棱長(zhǎng)為2的正方體力BCD-48cA中,2是棱力8上一動(dòng)點(diǎn)，則尸到平面4G。的距離可能是()

「4后

D.272

3

【答案】BC

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量寫出Q到平面4GD的距離的表達(dá)式，然后求其范闈即可.

【解析】如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以口彳，Bg,而的方向分別為X軸，y軸，z軸的正方向，建立空

間直角坐標(biāo)系，則4(2,0,0),8(2,2,2),P(2,A,2)(O</1<2),D(0,0,2),C.(0,2,0),故4G=(—2,2,0),

ri?A.C.=-2x+2v=0

4。=(-2,0,2),設(shè)平面4G。的法向量〃=(x,y,z)由，_L',取x=i則〃=(1,1,1)為平面

n-AtD=-2x+2z=0

4尸?萬_設(shè)+2]

4G。的法向量，4P=(0,兒2),所以尸到平面4G。的距離d=.因?yàn)?<242,所以

向

=1>0,即BC選項(xiàng)的數(shù)值才符合.

4孚明而Q可-愕]

故選：BC

14.在棱長(zhǎng)為1的正方體力8C。-44GA中，石為線段?！ǖ闹悬c(diǎn)，產(chǎn)為線段8瓦的中點(diǎn)，則（）

A.點(diǎn)4到直線86的距離為:B.直線廠G到直線4E的距離為粵

C.點(diǎn)4到平面力與￡的距離為止D.直線產(chǎn)G到平面力4E的距離為1

33

【答案】BD

___-RF

【分析】建立坐標(biāo)系，求出向量4瓦在單位向量〃=當(dāng)7上的投影，結(jié)合勾股定理可得點(diǎn)4到直線的

|8日

距離，判斷A；先證明%后〃%；，再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)尸到直線片后的距離求解，判斷出求解平面的法向量，利用

點(diǎn)到平面的距離公式進(jìn)行求解，為斷C；把宜線"G到平面的距離轉(zhuǎn)化為G到平面的距離，利用

法向量進(jìn)行求解，判斷D.

【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

--1—^~E221---

因?yàn)锽[E=(-1,-1,--),^i=—=(~—344=(OJO),

2IB}E\333

-----2

所以44-Wj

所以點(diǎn)4到直線的距離為j麗?_(福吊)2=。，故A錯(cuò)誤;

因?yàn)檐蠓?(-1,(),；),所以石〃房，即力《〃產(chǎn)q,

所以點(diǎn)F到直線AE的距離即為直線FC1到直線AE的距離，

=一當(dāng)‘"/二(°/’3'"2=|.，萬.%=6

_,

|AE|□52410

所以直線"G到直線AE的距離為故B正確;

設(shè)平面彳8遂的一個(gè)法向量為;;=(x),z),福=(0,1,1),方=(-1,0,；),麴=(0,0,1).

n-AB}=y+z=0,

由，__1令z=2,則y=-2,x=l,即；;=(1,-2,2).

n-AE=-x-\■—z=0,

2

設(shè)點(diǎn)4到平面力8￡的距離為"，則d=W=羨，即點(diǎn)4到平面力4￡的距離為故c錯(cuò)誤;

M3

因?yàn)?E〃尸G，尸G(z平面/18￡,4EU平面44E,所以/G〃平面

所以直線產(chǎn)G到平面AB.E的距離等于C,到平面AB\E的距離.1耳=(1,0,0),

由(3)得平面力8￡的一個(gè)法向量為;;=(1,-2,2),

所以3到平面AB}E的距離為空臼=1,

Id3

所以直線尸G到平面片4E的距離為:，故D正確.

故選：BD

15.(多選)已知正方體NBC。-48GA的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)仄。分別是力￡、4G的中點(diǎn)，p在正方體內(nèi)部

且滿足"=(而+g而石，則下列說法正確的是()

A.點(diǎn)力到直線8E的距離是在B.點(diǎn)O到平面/3CQ的距離為它

54

C.平面44。與平面片。"間的距離為正D.點(diǎn)尸到直線4B的距離為

336

【答案】BC

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，利用直線的方向向量和平面的法向量結(jié)合空間向量數(shù)量積

求得各個(gè)選項(xiàng)的距離，得出結(jié)論.

【解析】如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,則解0,0,0),5(1,0,0),

D(0,1,0),4(0,0,1),叫,0,11,

所以瓦i=(-1,o,O)初=(-g,o,1).

設(shè)Z.ABE=0,則cos0--L=—^=-=,sin。=V1—cos20=2、'.

\BA\\BE\55

故A到直線BE的距離[=|而|sin。=Ix乎=羋，故A錯(cuò).

易知前=gX=(_g,-g,o),

平面4?CQ的一個(gè)法向量?jī)?(0,7,1),

___________1

則點(diǎn)。到平面"CQ的距離._\P^d\_2故B對(duì).

2|Z)4I&4

45=(i,o,-I),45=(0,1,-1),4^=(o,1,0).

設(shè)平面4BD的法向量為〃=(x,y,z),

斤.4月=o,x-z=0,

所以

h-AQ=0,y-z=0,

令z=l,得y=l,x=l,

所以7=(1,1,1).

所以點(diǎn)A到平面““的距離2陪=+=曰.

因?yàn)槠矫嫫矫鍮CA，

所以平面AiBD與平面8CR間的距離等卜點(diǎn)R到平面A.BD的距離,

所以平面A{BD與平面5cA間的距離為平,故C對(duì).

因一為加3_+1__+2__,所以—"^匕<331’2]

423

又方=(1,0,0),則

所以點(diǎn)P到/出的距離4=1『-闔B篙卷小故D錯(cuò).

故選：BC.

【點(diǎn)睛】本題主要考查利用空間向量求點(diǎn)線、點(diǎn)面、面面距離，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算的學(xué)科素養(yǎng)，屬

中檔題.線面距、面面距實(shí)質(zhì)上都是點(diǎn)面距，求直線到平面、平面到平面的距離的前提是線面、面面平行.

16.如圖所示，三棱錐S-44c中，ABC為等邊三角形，S/1_L平面力4。，S4=3,月8=2.點(diǎn)D在線段SC

上，且SQ=；SC,點(diǎn)E為線段SB的中點(diǎn)，以線段8c的中點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，04,04所在直線分別為x,

y釉，過點(diǎn)。作S4的平行線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則下列說法正確的是（）

A.直線CE的一個(gè)方向向量為當(dāng),當(dāng)］B.點(diǎn)。到直線CE的距離為場(chǎng)

22J21

C.平面4CE的一個(gè)法向量為（63-2）D.點(diǎn)Z）到平面ZCE的距離為1

【答案】ABD

【分析】首先利用題目已經(jīng)建好的坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用空間向最分別求點(diǎn)。到宜線CE的距離、

點(diǎn)D到平面ACE的距離以及平面力Cf的法向量，利用向量共線定理可以判斷直線CE的一個(gè)方向向量.

【解析】依題意，S（VJ,0,3）,J（V3,0,0）,8（0,1,0）,C（O,-l,O）,若SZ）=；SC,則

x/

。（哈-到,則CE=停，制CE=碾,故A正確；

Cb=T-G，2，^C=(-A-1,O),AE=，故。點(diǎn)到直線C￡的距離

,故B正確;

-\/3x-y=0

ACn=O

設(shè);;=(x,p,z)為平面4。石的法向量，貝上_，即￡\3，令z=-2,貝lj〃=(一屈3,-2)

AEn=0----x+-y+-z=0

22,2

為平面/CE的一個(gè)法向量，故C錯(cuò)誤;

_(2fi2]

而。。=券，3,2，故點(diǎn)。到平面“石的距離4故D正確.

故選：ABD

三、填空題

17.已知44GA是棱長(zhǎng)為1的正方體，則平面48Q與平面。田。的距離為.

【答案】@##:百

33

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，可證得平面力用?！ㄆ矫妗?nèi)。，從而平面片與。與平面G4。的距離等于?點(diǎn)

G到平面力4。的距離.求得平面力4A的法向量;;和場(chǎng)，結(jié)合點(diǎn)到平面的距離的向量公式，即可得解.

【解析】以。為坐標(biāo)原點(diǎn):，。4。。,。口所在直線分別為x/,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則4(1,0,0),8(1,1,0),0(0,0,0),q(o,1,1),4(0,0,1),和J1),

可得病二(0,1/卜西=(-1,0,1),西二(-1,0,1卜函=(0,1,1),

因?yàn)獒蹵=。6,貝Ij/I?！?G44//DC,,

所以4A〃BqMG//DC.,

因?yàn)槠矫鍯/O,BClU平面C】BD,44a平面C/D,OQu平面￡8。,

所以平面。石。，力用〃平面?！?。，

又ADqAE=A,力么，力修匚平曲442,

所以平面力42〃平面C/Q,

所以平面ABR與平面C\BD的距離等于點(diǎn)G到平面ABR的距離d,

n-AB{=y+z=0

設(shè)平面ABD的法向量為〃=(X,J，,N)則<

XXn~AD.=-x+z=0

令2=1,可得X=lj=-1,所以〃=（1,一1,1）,

所以耳邛.

又因?yàn)閳?chǎng)=(1,0,0),

33

所以平面力g。與平面C,BD的距離為苧.

故答案為：立.

3

18.已知平面。的法向量為方二(11,0),向量方=(0,草)在平面。內(nèi)的投影向量的長(zhǎng)度為

@1

22-

【分析】先求出8式無48〉，進(jìn)而可求出直線48與平面。的夾角大小，進(jìn)而可求得向量存在平面a內(nèi)的投

影問量的長(zhǎng)度.

【解析】因?yàn)槠矫鎍的法向曷為萬=。,1,0),向量力8=(0.1.1),所以c°s〈〃，44)=而兩=5，

設(shè)直線AB與平面a所成角為6,所以sin。=|cos<n,7瓦卜g,

因?yàn)?)“隹，所以9二,

所以向量通二(0,1,1)在平面a內(nèi)的投影向量的長(zhǎng)度為四.cose=>/^x務(wù)爭(zhēng)

故答案為：國(guó).

2

19.在三棱錐S—中，SA=BC=2fSC=AB=6S8=/C=石.記8C的中點(diǎn)為M,S4的中點(diǎn)為N,

則異面直線AM與GV的距離為

【答案】華

【分析】將三棱錐S-AAC補(bǔ)成正六面體為利用勾股定理求解長(zhǎng)、寬、高，再建立直接坐標(biāo)系后，求出而

和麗的法向量，便可求得直?線力M與CN的距離.

【解析】解：三棱錐S-48C的三組對(duì)棱分別相等，因此三棱錐S-48c的外接平行六面體為長(zhǎng)方體，將三

22222

a+b=SAta+b=4,

棱錐S-48C放在長(zhǎng)方體中，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為。，b,c,且/+/=SC2,即,〃+。2=3,解

a1+c2=SB',a~+c2=5,

。=瓜

得6=L

c=&

因此以4為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示:

r1/7A

則S仙魚血），力。,0,五），5（0,0,0）,C（l,V3,0）,M,N黑㈤.

X22/

疝,界，一同,甌二（一,岑正

萬?AM=--x+—~y-=0,

22,

設(shè)G（x,y,z）垂直于初和國(guó)，所以，

ri-CN=-—x--y+\[5z=0,

22

令了=&,則2=告，x=0,所以〃=0,正,

又而=（0,0詞，所以異面直線月刊與CN的距離d

故答案為：譽(yù)

20.如圖，在四棱錐中，底面力8c。是矩形，4。=以=0=2月8=2,尸為棱力。的中點(diǎn),且a_148,

AM=AAS（O<A<1）,若點(diǎn)股到平面SAC的距離為立.則實(shí)數(shù)％的值為.

【分析】建立合適的空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，得到前=（-1」,-6）,克=（i,i,-石），利用

一一_,麗?玩I

AM=/MS求出MS，再利用點(diǎn)到平面距離公式d=—尸j—,

代入相關(guān)向量坐標(biāo)，解出義即可.

【解析】過點(diǎn)。作PE//C。，交BC于點(diǎn)、E,?:SD=SA,。為AD中點(diǎn)，

.?.SPL/iD,乂，；SP上,且4Dc48=/i,力D,4Bu平面/BCD,

.?.5。1平面44。。，^^尸上^^平面力〃。。，WOSPA.PE,

則易得SR2//E兩兩垂直，所以以。為原點(diǎn)，尸4尸及PS所在直線分別建立x,y,z軸，如圖所示:

則點(diǎn)尸(0,0,0),又知XD=SZ=SQ=2,AB=\,Q為力。中點(diǎn)，則S尸=G，

故掰1,0,0),5(0,0,?例1,1,0),C(-l,l,0),

.?.文=(-1,1,一向，JS=(-1,0,N/3),5^=(1,,

又?:AM=AAS^AMS=(1-=(2-1,0,>5(1-A))，

設(shè)平面S8c法向量為而=（xj,z）,則加豆=0，且玩品=0

-x+y-4iz=0_r

有■廠,令z=i,則加=(o,G,i)，

x+y-y/3z=0

I麗?而|_6

/.M到平面SBC的距離d=

同3，

，以7,。,6。一4（。,麻）|=叵,化簡(jiǎn)得］T=2,故」

2333

故答案為：—.

【點(diǎn)睛】本題涉及到點(diǎn)到平面的距離的計(jì)算方法，我們常用以下幾種方法計(jì)算點(diǎn)到平面距離：（1）等體積

法；（2）定義法；（3）轉(zhuǎn)化法；（4）空間向量法。本題我們采用空間向量法求解相關(guān)參數(shù)，首先我們需

m-n

要建立合適的空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)向量，再利用點(diǎn)到平面距離公式1=其中而為相關(guān)平面的

問

法向量，此方法可操作性強(qiáng)，按步驟算出相關(guān)向量即可.

四、解答題

21.如圖，已知正方體力的棱長(zhǎng)為1,MN是異面直線力。與CQ的公垂線段，試確定點(diǎn)〃

在AC上及點(diǎn)N在G。上的位置，并求異面直線AC與CQ間的距離.

【答案】點(diǎn)〃是線段AC上靠近點(diǎn)。的一個(gè)三等分點(diǎn)…點(diǎn)N是線段QD上靠近點(diǎn)D的一個(gè)三等分點(diǎn)；程.

【分析】以A為原點(diǎn)，力民所在直線分別為x軸，》軸，二軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用

元.麗=(),西.麗=0,可求出M,N兩點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可求出答案.

【解析】以A為原點(diǎn)，所在直線分別為x軸，V軸，：軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則N(0,0,0),C(lJ0),D(0,l,0)，G(l,l,l),

因?yàn)辄c(diǎn)M在/C上，點(diǎn)N在上，所以設(shè)

所以配=(1,1,0),困=(1,0,1),加=(〃-/3-/%〃)，

因?yàn)镸N是異面直線AC與CQ的公垂線段，

2

----------〃-+11-7H=0八/〃=一3

所以力CA/N=(),OG"N=0，即《八，解得〈:，

n-m+n=01

n=-

3

所以M停樹，唱』J,

所以點(diǎn)M是線段4c上靠近點(diǎn)C的一個(gè)三等分點(diǎn)，，點(diǎn)N是線段G。上靠近點(diǎn)。的一個(gè)三等分點(diǎn)，旦異面

直線AC與G。間的距離為=

22.如圖，在長(zhǎng)方體4BCD—4B￡Q中,4A=2AB=2BC=2,E為線段0A的中點(diǎn)，尸為線段8片的中

點(diǎn).

(1)求點(diǎn)4到直線4K的距離：

(2)求直線FC,到直線AE的距離;

(3)求點(diǎn)4到平面力瓦E的距離.

【答案】(1)半

(2)y

(3)y

【分析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用空間點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行計(jì)算；

(2)在第一問的基礎(chǔ)上，得到房〃施，從而利用空間點(diǎn)到直線距離公式求出直線Q到直線”的距離;

(3)求出平面盧的法向量，利用點(diǎn)到平面的距離公式求出答案.

【解析】(1)建立如圖所示以。4、DC、為x軸、y軸、z軸的空間直角坐標(biāo)系,

則D(0,0,0),力(1,0,0),C(0,1,0),0(0,0,2)*(1,1,0),E(0,0,1),

4(1,0,2),G(0J2)出(1,1,2),產(chǎn)(1,1,1),

江=(-1,-1,-1),麗=(0,1,0),

設(shè)點(diǎn)4到直線的距離為4,

則點(diǎn)4到直線4后的距離為乎.

(2)rc；=(-i,o,i),Zg=(-1,0,1),故七//荏

￡^=(1,1,0),

設(shè)直線FC,到直線AE的距離為4，則以即為F到直線AE的距離;

[-,2(AE-EF\76

則直線到直線力七的距離為理.

2

(3)設(shè)平面43遂的法向量為斤=為，%z),

n-AE=(x,y,z)-(-1,0,1)=-x+z=0

由"—,/、/\，

RB\E=(-1,-1,-!)=-x-y-z=0

令i=l,則y=-2,z=l,所以萬=(1,一2,1)

設(shè)點(diǎn)4到平面48E的距離為4，

:d二|羸臼|(0/,2?(1,.,1)|二指

??3=\n\-4+4+1-二丁

則點(diǎn)4到平面力4E的距離為當(dāng).

23.如圖，四棱錐尸-ABC。的底面是矩形，?。_1_底面力8。。，PD=DC=\,M為3c的中點(diǎn)，且尸8J_.

⑴求BCx

(2)求點(diǎn)B到平面PAM的距離.

【答案】(1)及

【分析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)8C=為，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，利用麗.萬7=0列出方程，求出a=①，

2

從而得到8仁的長(zhǎng)：

(2)求出平面以”的法向量，利用點(diǎn)到平面的距離公式進(jìn)行求解.

【解析】(1)???。。3_平面力867),四邊形/8CQ為矩形，不妨以點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、Z)戶所在

直線分別為x、V、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系。一封z,

設(shè)8C=為，則。(0,0,0)、*0,0,1)、5(24,1,0)、”(凡1,0)、力(2/0,0),

則方=(2/1,-1),而=(-aJO],

?；PB14M，則麗.而=一2/+1=0，解得4=正,

2

故8C=2a=&;

(2)設(shè)平面21M的法向量為記=(』,％zj,則而二-4,1,。，JP=(-V2,0,l),

.——V2

ifi?4W=-----x?+y.=0(—―/\

由,2?/，取為=后.可得〃?=(J2,1,2),

m-AP=-\/2xi+z}=0

方=(OJO),

???點(diǎn)B到平面PAM的距離d=

24.如圖，己知以。為圓心，2為半徑的圓在平面^上，若尸。J.a,且PO=4,0A.08為圓。的半徑,

且乙405=90°,M為線段的中點(diǎn).求:

(1)異面直線。4,所成角的大小;

(2)點(diǎn)。到平面218的距離；

(3)異面直線08,PM的距離.

【答案】(l)arccos衛(wèi)

6

4

0哈后

【分析】(1)根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，找到直線08,PM的方向向量，代入向量的夾角公式，計(jì)算

得答案；

(2)利用等體積法計(jì)算點(diǎn)O到平面正力笈的距離；

(3)把異面直線08,PM的距離.轉(zhuǎn)化為直線08與平面PMN的距離，求山平面PM.M的法向量，利用空間向

量點(diǎn)到平面的距離公式，計(jì)算求解.

【解析】(1)由PO_La且/406=90。，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以。4。9。夕所在的直線為蒼J，z軸，建立

空間直角坐標(biāo)系，如圖，

由題意產(chǎn)(0,0,4),4(2,0,0),8(0,2,0),因?yàn)镸為線段48的中點(diǎn),所以“(1,1,0),

所以兩=(1,1,-4),麗=(0,2,0),

PMOB2x/2

cos〈PM,OB)=

|網(wǎng)網(wǎng)71+1+16x2~T

所以異面直線OB,尸M所成角的大小為arccosYZ：

6

(2