專題11函數壓軸與幾何壓軸綜合（40題）01函數小題壓軸綜合1．（2023·湖北十堰·中考真題）已知點在直線上，點在拋物線上，若且，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2023·湖北鄂州·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，為原點，，點為平面內一動點，，連接，點是線段上的一點，且滿足．當線段取最大值時，點的坐標是（）

A． B． C． D．3．（2023·湖北荊州·中考真題）如圖，點在雙曲線上，將直線向上平移若干個單位長度交軸于點，交雙曲線于點．若，則點的坐標是．

4．（2023·湖北黃岡·中考真題）已知二次函數的圖象與x軸的一個交點坐標為，對稱軸為直線，下列論中：①；②若點均在該二次函數圖象上，則；③若m為任意實數，則；④方程的兩實數根為，且，則．正確結論的序號為（

）A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①④5．（2024·湖北武漢·中考真題）拋物線（a，b，c是常數，）經過，兩點，且．下列四個結論：①；②若，則；③若，則關于x的一元二次方程無實數解；④點，在拋物線上，若，，總有，則．其中正確的是（填寫序號）．6．（2023·湖北武漢·中考真題）拋物線（是常數，）經過三點，且．下列四個結論：①；②；③當時，若點在該拋物線上，則；④若關于的一元二次方程有兩個相等的實數根，則．其中正確的是（填寫序號）．02幾何小題壓軸綜合7．（2024·湖北武漢·中考真題）如圖，四邊形內接于，，，，則的半徑是（

）A． B． C． D．8．（2024·湖北·中考真題）如圖，由三個全等的三角形(，，)與中間的小等邊三角形拼成一個大等邊三角形．連接并延長交于點G，若，則：（1）的度數是；（2）的長是．9．（2023·湖北十堰·中考真題）在某次數學探究活動中，小明將一張斜邊為4的等腰直角三角形硬紙片剪切成如圖所示的四塊（其中D，E，F分別為，，的中點，G，H分別為，的中點），小明將這四塊紙片重新組合拼成四邊形（相互不重疊，不留空隙），則所能拼成的四邊形中周長的最小值為，最大值為．

10．（2023·湖北隨州·中考真題）如圖，在矩形中，，M是邊上一動點（不含端點），將沿直線對折，得到．當射線交線段于點P時，連接，則的面積為；的最大值為．

11．（2023·湖北襄陽·中考真題）如圖，在中，，點是的中點，將沿折疊得到，連接．若于點，，則的長為．

12．（2023·湖北鄂州·中考真題）2002年的國際數學家大會在中國北京舉行，這是21世紀全世界數學家的第一次大聚會．這次大會的會徽選定了我國古代數學家趙爽用來證明勾股定理的弦圖，世人稱之為“趙爽弦圖”．如圖，用四個全等的直角三角形（）拼成“趙爽弦圖”，得到正方形與正方形，連接和，與、、分別相交于點P、O、Q，若，則的值是．

13．（2024·湖北武漢·中考真題）如圖是我國漢代數學家趙爽在注解《周髀算經》時給出的“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的一個大正方形．直線交正方形的兩邊于點，，記正方形的面積為，正方形的面積為．若，則用含的式子表示的值是．03二次函數大題壓軸綜合14．（2023·湖北宜昌·中考真題）如圖，已知．點E位于第二象限且在直線上，，，連接．

(1)直接判斷的形狀：是_________三角形；(2)求證：；(3)直線EA交x軸于點．將經過B，C兩點的拋物線向左平移2個單位，得到拋物線．①若直線與拋物線有唯一交點，求t的值；②若拋物線的頂點P在直線上，求t的值；③將拋物線再向下平移，個單位，得到拋物線．若點D在拋物線上，求點D的坐標．15．（2023·湖北武漢·中考真題）拋物線交軸于兩點（在的左邊），交軸于點．

(1)直接寫出三點的坐標；(2)如圖（1），作直線，分別交軸，線段，拋物線于三點，連接．若與相似，求的值；(3)如圖（2），將拋物線平移得到拋物線，其頂點為原點．直線與拋物線交于兩點，過的中點作直線（異于直線）交拋物線于兩點，直線與直線交于點．問點是否在一條定直線上？若是，求該直線的解析式；若不是，請說明理由．16．（2023·湖北黃岡·中考真題）已知拋物線與x軸交于兩點，與y軸交于點，點P為第一象限拋物線上的點，連接．

(1)直接寫出結果；_____，_____，點A的坐標為_____，______；(2)如圖1，當時，求點P的坐標；(3)如圖2，點D在y軸負半軸上，，點Q為拋物線上一點，，點E，F分別為的邊上的動點，，記的最小值為m．①求m的值；②設的面積為S，若，請直接寫出k的取值范圍．17．（2023·湖北隨州·中考真題）如圖1，平面直角坐標系中，拋物線過點，和，連接，點為拋物線上一動點，過點作軸交直線于點，交軸于點．

(1)直接寫出拋物線和直線的解析式；(2)如圖2，連接，當為等腰三角形時，求的值；(3)當點在運動過程中，在軸上是否存在點，使得以，，為頂點的三角形與以，，為頂點的三角形相似（其中點與點相對應），若存在，直接寫出點和點的坐標；若不存在，請說明理由．18．（2023·湖北荊州·中考真題）已知：關于的函數．

(1)若函數的圖象與坐標軸有兩個公共點，且，則的值是___________；(2)如圖，若函數的圖象為拋物線，與軸有兩個公共點，，并與動直線交于點，連接，，，，其中交軸于點，交于點．設的面積為，的面積為．①當點為拋物線頂點時，求的面積；②探究直線在運動過程中，是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，說明理由．19．（2023·湖北襄陽·中考真題）在平面直角坐標系中，直線經過拋物線的頂點．

(1)如圖，當拋物線經過原點時，其頂點記為．①求拋物線的解析式并直接寫出點的坐標；②時，的最小值為2，求的值；③當時.動點在直線下方的拋物線上，過點作軸交直線于點，令，求的最大值．(2)當拋物線不經過原點時，其頂點記為.當直線同時經過點和（1）中拋物線的頂點時，設直線與拋物線的另一個交點為，與軸的交點為.若，直接寫出的取值范圍．20．（2023·湖北黃石·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于兩點，與y軸交于點．

(1)求此拋物線的解析式；(2)已知拋物線上有一點，其中，若，求的值；(3)若點D，E分別是線段，上的動點，且，求的最小值．

設，，且相似比為，則，故當、、共線時，為最小，在中，設邊上的高為，則，即，解得：，則，則，過點作軸于點，則，即點的縱坐標為：，同理可得，點的橫坐標為：，即點，由點、的坐標得，，即的最小值為．21．（2023·湖北恩施·中考真題）在平面直角坐標系中，為坐標原點，已知拋物線與軸交于點，拋物線的對稱軸與軸交于點．

(1)如圖，若，拋物線的對稱軸為．求拋物線的解析式，并直接寫出時的取值范圍；(2)在（1）的條件下，若為軸上的點，為軸上方拋物線上的點，當為等邊三角形時，求點，的坐標；(3)若拋物線經過點，，，且，求正整數m，n的值．22．（2024·湖北·中考真題）在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于點和點B，與y軸交于點C．(1)求b的值；(2)如圖，M是第一象限拋物線上的點，，求點M的橫坐標；(3)將此拋物線沿水平方向平移，得到的新拋物線記為L，L與y軸交于點N．設L的頂點橫坐標為n，的長為d．①求d關于n的函數解析式；②L與x軸圍成的區(qū)域記為U，U與內部重合的區(qū)域（不含邊界）記為W．當d隨n的增大而增大，且W內恰好有兩個橫、縱坐標均為整數的點時，直接寫出n的取值范圍．23．（2025·湖北·中考真題）拋物線與軸相交于點和點，與軸相交于點，是拋物線的頂點，是拋物線上一動點，設點的橫坐標為．(1)求的值；(2)如圖1，若點在對稱軸左側，過點作對稱軸的垂線，垂足為，求的值；(3)定義：拋物線上兩點M，N之間的部分叫做拋物線?。ê它c和）．過，分別作軸的垂線，過拋物線弧的最高點和最低點分別作軸的垂線，直線與圍成的矩形叫做拋物線弧的特征矩形．若點在第四象限，記拋物線弧的特征矩形的周長為．①求關于的函數解析式；②過點作軸，交拋物線于點，點與點不重合．記拋物線弧的特征矩形的周長為．若，直接寫出的長．24．（2023·湖北十堰·中考真題）已知拋物線過點和點，與軸交于點．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，連接，點在線段上（與點不重合），點是的中點，連接，過點作交于點，連接，當面積是面積的3倍時，求點的坐標；(3)如圖2，點是拋物線上對稱軸右側的點，是軸正半軸上的動點，若線段上存在點（與點不重合），使得，求的取值范圍．25．（2023·湖北·中考真題）如圖1，在平面直角坐標系中，已知拋物線與軸交于點，與軸交于點，頂點為，連接．

(1)拋物線的解析式為__________________；（直接寫出結果）(2)在圖1中，連接并延長交的延長線于點，求的度數；(3)如圖2，若動直線與拋物線交于兩點（直線與不重合），連接，直線與交于點．當時，點的橫坐標是否為定值，請說明理由．26．（2024·湖北武漢·中考真題）拋物線交軸于，兩點（在的右邊），交軸于點．(1)直接寫出點，，的坐標；(2)如圖（1），連接，，過第三象限的拋物線上的點作直線，交y軸于點．若平分線段，求點的坐標；(3)如圖（2），點與原點關于點對稱，過原點的直線交拋物線于，兩點（點在軸下方），線段交拋物線于另一點，連接．若，求直線的解析式．27．（2023·湖北鄂州·中考真題）某數學興趣小組運用《幾何畫板》軟件探究型拋物線圖象．發(fā)現：如圖1所示，該類型圖象上任意一點P到定點的距離，始終等于它到定直線l：的距離（該結論不需要證明）．他們稱：定點F為圖象的焦點，定直線l為圖象的準線，叫做拋物線的準線方程．準線l與y軸的交點為H．其中原點O為的中點，．例如，拋物線，其焦點坐標為，準線方程為l：，其中，．

【基礎訓練】(1)請分別直接寫出拋物線的焦點坐標和準線l的方程：___________，___________；【技能訓練】(2)如圖2，已知拋物線上一點到焦點F的距離是它到x軸距離的3倍，求點P的坐標；【能力提升】(3)如圖3，已知拋物線的焦點為F，準線方程為l．直線m：交y軸于點C，拋物線上動點P到x軸的距離為，到直線m的距離為，請直接寫出的最小值；【拓展延伸】該興趣小組繼續(xù)探究還發(fā)現：若將拋物線平移至．拋物線內有一定點，直線l過點且與x軸平行．當動點P在該拋物線上運動時，點P到直線l的距離始終等于點P到點F的距離（該結論不需要證明）．例如：拋物線上的動點P到點的距離等于點P到直線l：的距離．請閱讀上面的材料，探究下題：(4)如圖4，點是第二象限內一定點，點P是拋物線上一動點，當取最小值時，請求出的面積．04幾何大題壓軸綜合28．（2023·湖北宜昌·中考真題）如圖，在正方形中，E，F分別是邊，上的點，連接，，．

(1)若正方形的邊長為2，E是的中點．①如圖1，當時，求證：；②如圖2，當時，求的長；(2)如圖3，延長，交于點G，當時，求證：．29．（2024·湖北·中考真題）在矩形中，點E，F分別在邊，上，將矩形沿折疊，使點A的對應點P落在邊上，點B的對應點為點G，交于點H．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，當P為的中點，，時，求的長；(3)如圖3，連接，當P，H分別為，的中點時，探究與的數量關系，并說明理由．30．（2024·湖北武漢·中考真題）問題背景：如圖（1），在矩形中，點，分別是，的中點，連接，，求證：．問題探究：如圖（2），在四邊形中，，，點是的中點，點在邊上，，與交于點，求證：．問題拓展：如圖（3），在“問題探究”的條件下，連接，，，直接寫出的值．

31．（2023·湖北宜昌·中考真題）如圖1，已知是的直徑，是的切線，交于點，．

(1)填空：的度數是_________，的長為_________；(2)求的面積；(3)如圖2，，垂足為．是上一點，．延長，與，的延長線分別交于點，求的值．32．（2023·湖北·中考真題）如圖，等腰內接于，，是邊上的中線，過點作的平行線交的延長線于點，交于點，連接．

(1)求證：為的切線；(2)若的半徑為，，求的長．33．（2023·湖北武漢·中考真題）問題提出：如圖（1），是菱形邊上一點，是等腰三角形，，交于點，探究與的數量關系．

問題探究：(1)先將問題特殊化，如圖（2），當時，直接寫出的大?。?2)再探究一般情形，如圖（1），求與的數量關系．問題拓展：(3)將圖（1）特殊化，如圖（3），當時，若，求的值．34．（2023·湖北黃岡·中考真題）【問題呈現】和都是直角三角形，，連接，，探究，的位置關系．

(1)如圖1，當時，直接寫出，的位置關系：____________；(2)如圖2，當時，（1）中的結論是否成立？若成立，給出證明；若不成立，說明理由．【拓展應用】(3)當時，將繞點C旋轉，使三點恰好在同一直線上，求的長．35．（2024·湖北武漢·中考真題）如圖是由小正方形組成的網格，每個小正方形的頂點叫做格點．三個頂點都是格點．僅用無刻度的直尺在給定網格中完成四個畫圖任務，每個任務的畫線不得超過三條．(1)在圖（1）中，畫射線交于點D，使平分的面積；(2)在（1）的基礎上，在射線上畫點E，使；(3)在圖（2）中，先畫點F，使點A繞點F順時針旋轉到點C，再畫射線交于點G；(4)在（3）的基礎上，將線段繞點G旋轉，畫對應線段（點A與點M對應，點B與點N對應）．36．（2023·湖北荊州·中考真題）如圖1，點是線段上與點，點不重合的任意一點，在的同側分別以，，為頂點作，其中與的一邊分別是射線和射線，的兩邊不在直線上，我們規(guī)定這三個角互為等聯(lián)角，點為等聯(lián)點，線段為等聯(lián)線．(1)如圖2，在個方格的紙上，小正方形的頂點為格點、邊長均為1，為端點在格點的已知線段．請用三種不同連接格點的方法，作出以線段為等聯(lián)線、某格點為等聯(lián)點的等聯(lián)角，并標出等聯(lián)角，保留作圖痕跡；(2)如圖3，在中，，，延長至點，使，作的等聯(lián)角和．將沿折疊，使點落在點處，得到，再延長交的延長線于，連接并延長交的延長線于，連接．①確定的形狀，并說明理由；②若，，求等聯(lián)線和線段的長（用含的式子表示）．37．（2023·湖北十堰·中考真題）過正方形的頂點作直線，點關于直線的對稱點為點，連接，直線交直線于點．

(1)如圖1，若，則___________；(2)如圖1，請?zhí)骄烤€段，，之間的數量關系，并證明你的結論；(3)在繞點轉動的過程中，設，請直接用含的式子表示的長．38．（2023·湖北鄂州·中考真題）如圖1，在平面直角坐標系中，直線軸，交y軸的正半軸于點，且，點B是y軸右側直線l上的一動點，連接．

(1)請直接寫出點A的坐標；(2)如圖2，若動點B滿足，點C為的中點，點為線段上一動點，連接．在平面內，將沿翻折，點B的對應點為點P，與相交于點Q，當時，求線段的長；(3)如圖3，若動點B滿足，為的中位線，將繞點B在平面內逆時針旋轉，當點O、E、F三點共線時，求直線EB與x軸交點的坐標；(4)如圖4，平分交于點，于點，交于點，為的一條中線．設，，的周長分別為，，．試探究：在B點的運動過程中，當時，請直接寫出點B的坐標．39．（2023·湖北襄陽·中考真題）【問題背景】人教版八年級下冊數學教材第63頁“實驗與探究”問題1如下：如圖，正方形的對角線相交于點，點又是正方形的一個頂點，而且這兩個正方形的邊長相等，無論正方形繞點怎樣轉動，兩個正方形重疊部分的面積，總等于一個正方形面積的.想一想，這是為什么？（此問題不需要作答）九年級數學興趣小組對上面的問題又進行了拓展探究、內容如下：正方形的對角線相交于點，點落在線段上，（為常數）．

【特例證明】（1）如圖1，將的直角頂點與點重合，兩直角邊分別與邊，相交于點，.①填空：______；②求證：．（提