提升培優(yōu)練：同底數(shù)冪的除法1．（2022秋·廣東佛山·七年級(jí)?？计谥校┮阎?，則的值是（

）A．4 B．45 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)同底數(shù)冪除法的逆運(yùn)算和冪的乘方的逆運(yùn)算，將轉(zhuǎn)化為，然后將代入求解即可．【詳解】解：，∵，∴原式．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查同底數(shù)冪除法的逆用和冪的乘方的逆用，熟練掌握冪的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．2．（2020秋·山東淄博·六年級(jí)統(tǒng)考期中）若，，，，則a，b，c，d按從小到大順序排列正確的是（

）A．a(chǎn)，b，c，d B．b，a，d，c C．b，d，a，c D．d，a，c，b【答案】B【分析】根據(jù)零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和平方的運(yùn)算法則，分別計(jì)算出各式的值再進(jìn)行比較即可．【詳解】解：∵，，，，∴，∴a，b，c，d按從小到大順序排列正確的是b，a，d，c．故選：B．【點(diǎn)睛】題考查零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和平方的運(yùn)算．負(fù)整數(shù)指數(shù)冪為相應(yīng)的正整數(shù)指數(shù)冪的倒數(shù)；任何非0實(shí)數(shù)的0次冪等于1．3．（2022春·浙江臺(tái)州·八年級(jí)臺(tái)州市書生中學(xué)?？计谥校┮阎?，，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)冪的乘方的逆運(yùn)算求出，，再根據(jù)同底數(shù)冪的乘除法逆運(yùn)算求出，即可得到答案．【詳解】解：∵，，∴，，∴，∴，∴，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了冪的乘方的逆運(yùn)算，同底數(shù)冪乘除法的逆運(yùn)算，熟知，是解題的關(guān)鍵．4．（2022春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接利用冪的乘方運(yùn)算法則以及同底數(shù)冪的除法運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．【詳解】解：∵，，∴故選：A【點(diǎn)睛】此題主要考查了冪的乘方運(yùn)算以及同底數(shù)冪的除法運(yùn)算，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．5．（2022秋·山東青島·七年級(jí)統(tǒng)考期中）一點(diǎn)P從距原點(diǎn)右側(cè)8個(gè)單位的M點(diǎn)處向原點(diǎn)方向跳動(dòng)，第一次跳動(dòng)到OM的中點(diǎn)處，第二次從跳到的中點(diǎn)處，第三次從點(diǎn)跳到的中點(diǎn)處，如此不斷跳動(dòng)下去，則第2022次跳動(dòng)后，該點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意計(jì)算出來第一次、第二次及第三次的距離，然后找出規(guī)律求解即可．【詳解】解：由題意可得：OM=8，點(diǎn)P從M點(diǎn)處向原點(diǎn)方向跳動(dòng)，第一次跳動(dòng)到OM的中點(diǎn)M1處，此時(shí)點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離為8×，第二次從M1跳到OM1的中點(diǎn)M2處，此時(shí)點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離為8×，第三次從點(diǎn)M2跳到OM2的中點(diǎn)M3處，此時(shí)點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離為8×，…第n次從點(diǎn)Mn-1跳到OMn-2的中點(diǎn)Mn處，此時(shí)點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離為8×，當(dāng)n=2022時(shí)，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為：8×，故選：D．【點(diǎn)睛】題目主要考查負(fù)整數(shù)指數(shù)冪及規(guī)律的探索，理解題意，找出題中相應(yīng)的規(guī)律是解題關(guān)鍵．6．（2022秋·河南平頂山·七年級(jí)統(tǒng)考期中）下列有四個(gè)結(jié)論，其中正確的是（

）①若，則x只能是2；②若的運(yùn)算結(jié)果中不含項(xiàng)，則③若，則；④若，，則可表示為．A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．②④【答案】B【分析】根據(jù)零次冪、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、完全平方公式及同底數(shù)冪的除法法則分別對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行分析，即可得出答案．【詳解】解：①、若（x-1）x+1=1，則x是2或-1．故①錯(cuò)誤；②、若（x-1）（x2+ax+1）的運(yùn)算結(jié)果中不含x2項(xiàng)，∵（x-1）（x2+ax+1）=x3+（a-1）x2+（1-a）x-1，∴a-1=0，解得a=1，故②正確；③、由，可得，即可得：，兩邊開方得：，故③正確；④、∵4x=a，∴22x=a，∵8y=b，∴23y=b，∴22x-3y=22x÷23y=，故④正確；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了零次冪、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、完全平方公式以及同底數(shù)冪的除法，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋·重慶北碚·七年級(jí)西南大學(xué)附中校考期中）已知，，則的值為（

）A．-1 B． C．1 D．72【答案】B【分析】根據(jù)冪的乘方與同底數(shù)冪的除法法則進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：∵，，∴故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了冪的乘方運(yùn)算和同底數(shù)冪的除法運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．8．（2022秋·河北保定·七年級(jí)保定市第十七中學(xué)?？计谥校┮阎?，那么的值是（

）A．2022 B．1 C． D．【答案】D【分析】利用積的乘方的逆運(yùn)算法則，冪的乘方的逆運(yùn)算法則對(duì)所給的條件進(jìn)行整理，從而可求得x的值，再代入運(yùn)算即可．【詳解】解：∵2x+3×3x+3＝36x+1，∴（2×3）x+3＝62（x+1），即6x+3＝62x+2，∴x+3＝2x+2，解得：x＝1，∴2022﹣x＝2022﹣1＝．故選：D．【點(diǎn)睛】題主要考查積的乘方的逆運(yùn)算，冪的乘方的逆運(yùn)算和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．9．（2022春·福建福州·八年級(jí)福建省福州第十九中學(xué)?？计谥校┤?，，則_________．【答案】【分析】原式逆用冪的乘方和同底數(shù)冪的除法進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：∵，，∴，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式的運(yùn)算，熟練掌握冪的乘方和同底數(shù)冪的除法法則是解答本題的關(guān)鍵．10．（2022春·四川綿陽·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如果等式，那么的值為__．【答案】0或或2【分析】利用零次冪的性質(zhì)和有理數(shù)的乘方運(yùn)算法則分別計(jì)算即可解答．【詳解】解：，當(dāng)時(shí)，原式，當(dāng)時(shí)，原式，當(dāng)時(shí)，原式，故的值為：0或或2．故答案為：0或或2【點(diǎn)睛】本題主要考查了零次冪、有理數(shù)的乘方運(yùn)算法則等知識(shí)點(diǎn)，掌握零次冪的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．11．（2022春·重慶·七年級(jí)重慶市第十一中學(xué)校?？计谥校┱麛?shù)，那么除以3的余數(shù)是_____．【答案】2【分析】先求出除以3的余數(shù)是0，再得到時(shí)，除以3的余數(shù)是2，依此即可得到除以3的余數(shù)．【詳解】解：∵，∴除以3的余數(shù)是0，由知：當(dāng)時(shí)，,除以3的余數(shù)是2，∴除以3的余數(shù)是2，即除以3的余數(shù)是2．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了同余問題，解題的關(guān)鍵是變形為．12．（2022秋·江蘇泰州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）我們知道，同底數(shù)冪的除法法則為：am÷an=am-n(其中a≠0，m、n為整數(shù))，類似地，現(xiàn)規(guī)定關(guān)于任意正整數(shù)m，n的一種新運(yùn)算：h(m﹣n)＝h(m)÷h(n)，若h(1)＝2，則h(2022)÷h(2014)＝_____．【答案】256【分析】將h(2022)÷h(2014)變形為h(2022-2014)，再把h(1)=2代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵h(yuǎn)(m-n)=h(m)÷h(n)，h(1)=2，∴h(2-1)=h(2)÷h(1)=h(1)，即h(1)=h(2)÷h(1)，∴h(2)=4=，同理，h(3-2)=h(3)÷h(2)，即h(1)=h(3)÷h(2)，∴h(3)=4×2=，..．∴h(n)=，∴h(2022)÷h(2014)=h(2022-2014)=h(8)=28=256．故答案為：256．【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的除法，有理數(shù)的混合運(yùn)算，定義新運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算性質(zhì)和法則是解題的關(guān)鍵．13．（2021秋·江蘇無錫·七年級(jí)統(tǒng)考期中）觀察以下一系列等式：①；

②；③；

④；……利用上述規(guī)律計(jì)算：=___________．【答案】【分析】觀察等式，將所有等式左右邊分別相加，即可求解．【詳解】解：∵①；

②；③；

④；……；∴+++……++++……+整理得：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘方運(yùn)算，零次冪，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．14．（2022秋·福建福州·七年級(jí)福建省福州第一中學(xué)?？计谀┰谝粋€(gè)數(shù)學(xué)九宮格中，當(dāng)處于同一橫行，同一豎行，同一斜對(duì)角線上的3個(gè)數(shù)之積都相等時(shí)稱之為“積的九宮歸位”．在如圖的九宮格中，已填寫了一些數(shù)或式子，為了完成“積的九宮歸位”，則的值為______．【答案】【分析】由題意可得：再整理為從而可得答案．【詳解】解：由題意可得：即解得：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是新定義問題，冪的運(yùn)算的綜合題，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的含義，整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算，理解題意，再建立方程是解本題的關(guān)鍵．15．（2021秋·上海奉賢·六年級(jí)校聯(lián)考期末）本學(xué)期我們學(xué)習(xí)了“有理數(shù)的乘方”運(yùn)算，知道乘方的結(jié)果叫做“冪”，下面介紹一種有關(guān)“冪”的新運(yùn)算．定義：am與an（a≠0，m，n都是正整數(shù)）叫做同底數(shù)冪，同底數(shù)冪除法記作am÷an．其中“同底數(shù)冪除法”運(yùn)算法則中規(guī)定當(dāng)m＝n時(shí)，am÷an＝am﹣n＝a0＝1，根據(jù)“同底數(shù)冪除法”法則中的規(guī)定和你已經(jīng)學(xué)過的知識(shí)，如果等式x2x+4÷xx+7＝1成立，則請(qǐng)寫出滿足等式成立的所有的x的值______．【答案】1或-1或3【分析】根據(jù)已知分三種情況，底數(shù)是1或-1，及（2x＋4）?（x＋7）＝0，再求出x即可．【詳解】有三種情況：①當(dāng)x＝1時(shí)，x2x+4÷xx+7＝16÷18＝1，②當(dāng)x＝-1時(shí)，x2x+4÷xx+7＝（-1）2÷（-1）6＝12÷16＝1，③（2x+4）﹣（x+7）＝0，解得：x＝3，所以x＝1或-1或3，故答案為：1或-1或3．【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，同底數(shù)冪除法，解題的關(guān)鍵是掌握同底數(shù)冪的除法法則、分類討論思想運(yùn)用等知識(shí)點(diǎn)．16．（2022春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）將邊長(zhǎng)為1的正方形紙片按如圖所示方法進(jìn)行對(duì)折，記第1次對(duì)折后得到的圖形面積為S1，第2次對(duì)折后得到的圖形面積為S2，…，第n次對(duì)折后得到的圖形面積為Sn，請(qǐng)根據(jù)圖2化簡(jiǎn)，______．【答案】【分析】先具體計(jì)算出S1，S2，S3，S4的值，得出面積規(guī)律，表示S2021，再設(shè)①，兩邊都乘以，得到②，利用①?②，求解S，從而可得答案．【詳解】解：∵設(shè)①②①-②得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是圖形的面積規(guī)律的探究，有理數(shù)的乘方運(yùn)算的靈活應(yīng)用，同底數(shù)冪的乘法與除法的應(yīng)用，方程思想的應(yīng)用，正方形的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．17．（2022春·遼寧鞍山·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）（1）若，求的值．（2）若，求的值．（3）若，求x的值．【答案】（1）10000；（2）25；（3）【分析】（1）將轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪的除法，逆用冪的乘方，代值計(jì)算即可；（2）先利用同底數(shù)冪的乘法，求出，再逆用冪的乘方，進(jìn)行計(jì)算即可；（3）逆用積的乘方，以及冪的乘方，進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：（1）∵，∴；（2）∵，∴，∴，∴；（3）∵，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查同底數(shù)冪的乘法，除法，積的乘方，冪的乘方，以及解一元一次方程．熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則，解一元一次方程的步驟，是解題的關(guān)鍵．18．（2022春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）（1）填空：；；；…（2）探索（1）中式子的規(guī)律，試寫出第n個(gè)等式，并說明第n個(gè)等式成立．（3）計(jì)算【答案】（1），，；（2）第n個(gè)等式為，說明見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)乘方的運(yùn)算法則以及零指數(shù)冪進(jìn)行運(yùn)算可得結(jié)果；（2）由（1）中式子可得規(guī)律，從而解答；（3）由（2）中規(guī)律可得原式，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：（1），，；故答案為：，，；（2）由（1）可得，第n個(gè)等式為，∵，∴等式成立；（3）由（2）中規(guī)律可得：原式．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，乘方等運(yùn)算法則，讀懂題意得出題目中式子的變化規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．19．（2022春·福建泉州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）一般地，個(gè)相同的因數(shù)相乘，記為，其中稱為底數(shù)，稱為指數(shù)；若已知，易知，若，則該如何表示？一般地，如果且，那么叫做以為底的對(duì)數(shù)，記作，其中叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù)．如，則叫做以為底的對(duì)數(shù)，記為；故中，．(1)熟悉下列表示法，并填空：，，，，，，，______，計(jì)算：______；(2)觀察（1）中各個(gè)對(duì)數(shù)的真數(shù)和對(duì)數(shù)的值，我們可以發(fā)現(xiàn)______；（用對(duì)數(shù)表示結(jié)果）(3)于是我們猜想：______且，，請(qǐng)你請(qǐng)根據(jù)冪的運(yùn)算法則及對(duì)數(shù)的含義證明你的結(jié)論；(4)根據(jù)之前的探究，直接寫出______．【答案】(1)4，5(2)(3)，證明見解析(4)【分析】（1）根據(jù)指數(shù)和對(duì)數(shù)的定義進(jìn)行解答即可；（2）由（1）中結(jié)果可得答案；（3）利用“指數(shù)”和“對(duì)數(shù)”的定義，以及同底數(shù)冪的乘法進(jìn)行計(jì)算即可；（4）利用（3）中的方法以及同底數(shù)冪的除法進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴，故答案為：，；（2）解：由（1）可得，，故答案為：；（3）解：，證明：設(shè)，則，∴，即，∴，∴；故答案為：；（4）解：，證明：設(shè)，則，，∴，即，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查同底數(shù)冪的乘除法，掌握同底數(shù)冪的乘除法的計(jì)算法則以及指數(shù)與對(duì)數(shù)的定義是正確解答的前提．20．（2022春·北京通州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）求幾個(gè)相同的不為零的有理數(shù)的除法運(yùn)算叫做除方，如，等，類比有理數(shù)的乘方，我們把記作，讀作“2的圈3次方”，記作，讀作“的圈4次方”．一般地，把記作．讀作“a的圈n次方”．(1)直接寫出計(jì)算結(jié)果：，；(2)我們知道，有理數(shù)的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算，除法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，有理數(shù)的除方運(yùn)算如何轉(zhuǎn)化為乘方運(yùn)算呢？仿照上面的算式，將下列運(yùn)算結(jié)果直接寫成乘方的形式．；；；(3)由（2）中的算式歸納：有理數(shù)的圈次方寫成乘方的形式等于