2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)乘除法技術(shù)試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）已知集合A={x|x2-5x+6=0}，集合B={x|x2-4x+3=0}，則A∩B的元素個(gè)數(shù)為（）A.0B.1C.2D.3函數(shù)f(x)=√(x-2)+ln(5-x)的定義域?yàn)椋ǎ〢.[2,5)B.(2,5]C.[2,5]D.(2,5)已知向量a=(2,3)，向量b=(m,4)，若a⊥b，則m的值為（）A.-6B.-3C.3D.6下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A.f(x)=x3B.f(x)=sinxC.f(x)=x2D.f(x)=lnx已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1=2，d=3，則S5的值為（）A.35B.40C.45D.50函數(shù)f(x)=2sin(2x+π/3)的最小正周期為（）A.π/2B.πC.2πD.4π已知直線l1:2x+y-4=0，直線l2:x-y+1=0，則l1與l2的夾角為（）A.30°B.45°C.60°D.90°若雙曲線x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的離心率為√3，則其漸近線方程為（）A.y=±√2xB.y=±√3xC.y=±2xD.y=±3x已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x，則f(x)的極大值點(diǎn)為（）A.x=0B.x=1C.x=2D.x=3從5名男生和4名女生中選出3人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，要求至少有1名女生，則不同的選法共有（）A.70種B.80種C.90種D.100種已知函數(shù)f(x)=e^x-x-1，則f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為（）A.0B.1C.e-2D.e-1在正方體ABCD-A1B1C1D1中，異面直線AC與A1D所成的角為（）A.30°B.45°C.60°D.90°二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）若復(fù)數(shù)z=(1+i)(2-i)，則|z|=________。已知函數(shù)f(x)=log2(x+1)，則f(3)+f(7)=________。已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過(guò)點(diǎn)F且斜率為1的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|=________。已知三棱錐P-ABC的所有棱長(zhǎng)都相等，且棱長(zhǎng)為2，則該三棱錐的體積為_(kāi)_______。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足bcosC=(2a-c)cosB。（Ⅰ）求角B的大??；（Ⅱ）若b=√3，求△ABC的面積的最大值。（本小題滿分12分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足Sn=2an-1(n∈N*)。（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)bn=log2an，求數(shù)列{1/(bnbn+1)}的前n項(xiàng)和Tn。（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=AA1=2，∠ACB=90°，D為AB的中點(diǎn)。（Ⅰ）求證：AC1//平面B1CD；（Ⅱ）求二面角B1-CD-B的余弦值。（本小題滿分12分）某工廠生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)1件A產(chǎn)品需要甲材料3kg，乙材料2kg；生產(chǎn)1件B產(chǎn)品需要甲材料1kg，乙材料3kg?，F(xiàn)有甲材料120kg，乙材料100kg，計(jì)劃生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品共40件。（Ⅰ）設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品x件，寫出x應(yīng)滿足的不等式組；（Ⅱ）若生產(chǎn)1件A產(chǎn)品可獲利50元，生產(chǎn)1件B產(chǎn)品可獲利40元，如何安排生產(chǎn)才能使總利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？（本小題滿分12分）已知橢圓C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的離心率為√2/2，且過(guò)點(diǎn)(1,√2/2)。（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)直線l:y=kx+m與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OA⊥OB，求證：點(diǎn)O到直線l的距離為定值。（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x(a∈R)。（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞減，求a的取值范圍；（Ⅲ）若函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2(x1<x2)，求證：f(x1)+f(x2)>2a-3。四、附加題（本大題共2小題，每小題10分，共20分。選做其中一題，若兩題都做，按第一題計(jì)分）（本小題滿分10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為{x=2cosθ,y=sinθ}(θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為{x=1+tcosα,y=tsinα}(t為參數(shù)，α為直線l的傾斜角)。（Ⅰ）求曲線C的普通方程和直線l的普通方程；（Ⅱ）若直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=4√2/3，求α的值。（本小題滿分10分）已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|。（Ⅰ）求不等式f(x)≥5的解集；（Ⅱ）若關(guān)于x的不等式f(x)≥a2-2a對(duì)任意x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題B2.A3.A4.A5.C6.B7.B8.A9.A10.B11.A12.C二、填空題√1014.515.816.2√2/3三、解答題（Ⅰ）由正弦定理得sinBcosC=(2sinA-sinC)cosB，即sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，sin(B+C)=2sinAcosB，因?yàn)锳+B+C=π，所以sinA=2sinAcosB，因?yàn)閟inA≠0，所以cosB=1/2，又因?yàn)?<B<π，所以B=π/3。（5分）（Ⅱ）由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB，即3=a2+c2-ac，因?yàn)閍2+c2≥2ac，所以3≥2ac-ac=ac，即ac≤3，當(dāng)且僅當(dāng)a=c=√3時(shí)等號(hào)成立，所以△ABC的面積S=1/2acsinB≤1/2×3×√3/2=3√3/4，故△ABC的面積的最大值為3√3/4。（10分）（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，S1=2a1-1，即a1=1，當(dāng)n≥2時(shí)，Sn-1=2an-1-1，所以an=Sn-Sn-1=2an-2an-1，即an=2an-1，所以數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以an=2^(n-1)。（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得bn=log2an=log22^(n-1)=n-1，所以1/(bnbn+1)=1/[(n-1)n]=1/(n-1)-1/n(n≥2)，當(dāng)n=1時(shí)，T1=0，當(dāng)n≥2時(shí)，Tn=1/1×2+1/2×3+...+1/[(n-1)n]=(1-1/2)+(1/2-1/3)+...+(1/(n-1)-1/n)=1-1/n，綜上，Tn=1-1/n。（12分）（Ⅰ）連接BC1，交B1C于點(diǎn)O，連接OD，因?yàn)橹比庵鵄BC-A1B1C1，所以四邊形BCC1B1為矩形，所以O(shè)為BC1的中點(diǎn)，又因?yàn)镈為AB的中點(diǎn)，所以O(shè)D//AC1，因?yàn)镺D?平面B1CD，AC1?平面B1CD，所以AC1//平面B1CD。（6分）（Ⅱ）以C為原點(diǎn)，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則C(0,0,0)，B1(0,2,2)，D(1,1,0)，所以向量CB1=(0,2,2)，向量CD=(1,1,0)，設(shè)平面B1CD的法向量為n=(x,y,z)，則{n·CB1=0,n·CD=0}，即{2y+2z=0,x+y=0}，令x=1，則y=-1，z=1，所以n=(1,-1,1)，平面BCD的法向量為m=(0,0,1)，所以cos<n,m>=n·m/(|n||m|)=1/√3=√3/3，因?yàn)槎娼荁1-CD-B為銳角，所以二面角B1-CD-B的余弦值為√3/3。（12分）（Ⅰ）由題意得{x+y=40,3x+y≤120,2x+3y≤100,x≥0,y≥0,x∈N,y∈N}，即{x≥0,y=40-x≥0,3x+40-x≤120,2x+3(40-x)≤100}，化簡(jiǎn)得{0≤x≤40,2x≤80,-x≤-20}，即{20≤x≤40,x∈N}。（6分）（Ⅱ）設(shè)總利潤(rùn)為W元，則W=50x+40y=50x+40(40-x)=10x+1600，因?yàn)?0>0，所以W隨x的增大而增大，由（Ⅰ）知x的最大值為40，所以當(dāng)x=40時(shí)，W取得最大值，最大值為10×40+1600=2000，此時(shí)y=0，故生產(chǎn)A產(chǎn)品40件，B產(chǎn)品0件時(shí)，總利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是2000元。（12分）（Ⅰ）由題意得{e=c/a=√2/2,1/a2+(1/2)/b2=1,a2=b2+c2}，解得{a2=2,b2=1,c2=1}，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2/2+y2=1。（6分）（Ⅱ）設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，聯(lián)立{y=kx+m,x2/2+y2=1}，得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0，所以x1+x2=-4km/(1+2k2)，x1x2=(2m2-2)/(1+2k2)，因?yàn)镺A⊥OB，所以x1x2+y1y2=0，又y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2，所以x1x2+k2x1x2+km(x1+x2)+m2=0，即(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0，代入得(1+k2)(2m2-2)/(1+2k2)+km(-4km)/(1+2k2)+m2=0，化簡(jiǎn)得(2m2-2)(1+k2)-4k2m2+m2(1+2k2)=0，2m2(1+k2)-2(1+k2)-4k2m2+m2+2k2m2=0，2m2+2k2m2-2-2k2-4k2m2+m2+2k2m2=0，3m2-2-2k2=0，即3m2=2k2+2，所以點(diǎn)O到直線l的距離d=|m|/√(k2+1)=√[m2/(k2+1)]=√[(2k2+2)/(3(k2+1))]=√(2/3)=√6/3，故點(diǎn)O到直線l的距離為定值√6/3。（12分）（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=xlnx-x2+x，f'(x)=lnx+1-2x+1=lnx-2x+2，令g(x)=lnx-2x+2，則g'(x)=1/x-2，當(dāng)x∈(0,1/2)時(shí)，g'(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(1/2,+∞)時(shí)，g'(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，所以g(x)≤g(1/2)=ln(1/2)-1+2=1-ln2>0，所以f'(x)>0在(0,+∞)上恒成立，故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞)，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間。（4分）（Ⅱ）f'(x)=lnx+1-2ax+2a-1=lnx-2ax+2a，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞減，所以f'(x)≤0在(1,+∞)上恒成立，即lnx-2ax+2a≤0，2a(x-1)≥lnx，當(dāng)x=1時(shí)，0≥0，恒成立，當(dāng)x>1時(shí)，2a≥lnx/(x-1)，令h(x)=lnx/(x-1)(x>1)，則h'(x)=((1/x)(x-1)-lnx)/(x-1)2=(1-1/x-lnx)/(x-1)2，令t(x)=1-1/x-lnx(x>1)，則t'(x)=1/x2-1/x=(1-x)/x2<0，所以t(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減，所以t(x)<t(1)=0，所以h'(x)<0，h(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減，因?yàn)閘im(x→1+)lnx/(x-1)=lim(x→1+)1/x=1，所以h(x)<1，所以2a≥1，即a≥1/2，故a的取值范圍為[1/2,+∞)。（8分）（Ⅲ）因?yàn)楹瘮?shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，所以f'(x)=0有兩個(gè)不同的實(shí)根x1，x2，即lnx-2ax+2a=0有兩個(gè)不同的實(shí)根x1，x2，由（Ⅱ）知，當(dāng)a>0時(shí)，才可能有兩個(gè)極值點(diǎn)，且x1∈(0,1)，x2∈(1,+∞)，由lnx1=2a(x1-1)，lnx2=2a(x2-1)，所以f(x1)+f(x2)=x1lnx1-ax12+(2a-1)x1+x2lnx2-ax22+(2a-1)x2=x1·2a(x1-1)-ax12+(2a-1)x1+x2·2a(x2-1)-ax22+(2a-1)x2=2ax12-2ax1-ax12+2ax1-x1+2ax22-2ax2-ax22+2ax2-x2=ax12-x1+ax22-x2=a(x12+x22)-(x1+x2)，要證f(x1)+f(x2)>2a-3，即證a(x12+x22)-(x1+x2)>2a-3，a(x12+x22-2)-(x1+x2)+3>0，a[(x1+x2)2-2x1x2-2]-(x1+x2)+3>0，設(shè)t=x1+x2，s=x1x2，由韋達(dá)定理得lnx1+lnx2=2a(x1+x2-2)，ln(x1x2)=2a(t-2)，lnx1-lnx2=2a(x1-x2)，ln(x1/x2)=2a(x1-x2)，令u=x1/x2∈(0,1)，則x1=ux2，lnu=2a(ux2-x2)=2ax2(u-1)，x2=lnu/[2a(u-1)]，x1=ulnu/[2a(u-1)]，t=x1+x2=(u+1)lnu/[2a(u-1)]，s=x1x2=u(lnu)2/[4a2(u-1)2]，代入不等式