2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)高密度技術(shù)試卷一、試卷結(jié)構(gòu)與分值分布本試卷嚴(yán)格遵循2025年高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)要求，采用“8+2+4+6”題型模式，總分150分，具體結(jié)構(gòu)如下：（一）選擇題（共50分）單選題（8題，每題5分，共40分）：聚焦基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，覆蓋集合、函數(shù)、三角函數(shù)等核心模塊。多選題（2題，每題5分，共10分）：采用“全對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分”的評(píng)分規(guī)則，側(cè)重知識(shí)綜合應(yīng)用與邏輯辨析能力。（二）填空題（4題，每題5分，共20分）以計(jì)算型、開放型題目為主，考查數(shù)學(xué)表達(dá)準(zhǔn)確性與快速解題能力，涉及數(shù)列、立體幾何、概率統(tǒng)計(jì)等中檔知識(shí)點(diǎn)。（三）解答題（6題，共80分）按“基礎(chǔ)鞏固—能力提升—?jiǎng)?chuàng)新拓展”梯度設(shè)置，具體分布：三角函數(shù)與解三角形（12分）數(shù)列（12分）立體幾何（14分）概率與統(tǒng)計(jì)（14分）解析幾何（14分）函數(shù)與導(dǎo)數(shù)（14分）二、各題型考查重點(diǎn)及示例（一）選擇題1.單選題考查重點(diǎn)：集合運(yùn)算、復(fù)數(shù)性質(zhì)、函數(shù)定義域與單調(diào)性、三角函數(shù)圖像變換、線性規(guī)劃等基礎(chǔ)概念。示例1（集合與不等式）：設(shè)集合(A={x|x^2-3x-10\leq0})，(B={x|2^x<8})，則(A\capB=)（）A.([-2,3))B.((-∞,3))C.([-5,3))D.((-∞,-2])解析：解不等式(x^2-3x-10\leq0)得(A=[-2,5])，解(2^x<8)得(B=(-∞,3))，交集為([-2,3))，選A。示例2（函數(shù)性質(zhì)）：已知函數(shù)(f(x)=\ln(x^2-ax+3))的定義域?yàn)?\mathbb{R})，則實(shí)數(shù)(a)的取值范圍是（）A.((-∞,-2\sqrt{3})\cup(2\sqrt{3},+∞))B.((-2\sqrt{3},2\sqrt{3}))C.([-2\sqrt{3},2\sqrt{3}])D.((-∞,-2\sqrt{3}]\cup[2\sqrt{3},+∞))解析：由定義域?yàn)?\mathbb{R})得(x^2-ax+3>0)恒成立，需(\Delta=a^2-12<0)，解得(-2\sqrt{3}<a<2\sqrt{3})，選B。2.多選題考查重點(diǎn)：概率統(tǒng)計(jì)中的數(shù)據(jù)特征、立體幾何中的空間關(guān)系、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用。示例（概率統(tǒng)計(jì)）：某學(xué)校為評(píng)估學(xué)生體質(zhì)健康水平，隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行體能測試，成績（單位：分）分布如下表：成績區(qū)間[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]人數(shù)520402510下列說法正確的有（）A.成績的中位數(shù)落在[70,80)區(qū)間B.成績的平均數(shù)不低于75分C.若成績80分及以上為優(yōu)秀，則優(yōu)秀率為35%D.用分層抽樣從成績[60,70)和[80,90)中抽取5人，則[60,70)應(yīng)抽取2人解析：中位數(shù)位置為第50、51名，均在[70,80)，A正確；計(jì)算平均數(shù)：((55×5+65×20+75×40+85×25+95×10)/100=76.5)，B正確；優(yōu)秀率為((25+10)/100=35%)，C正確；分層抽樣比例為(5/(20+25)=1/9)，[60,70)應(yīng)抽取(20×1/9≈2.22)，D錯(cuò)誤。答案：ABC（二）填空題考查重點(diǎn)：數(shù)列通項(xiàng)公式、立體幾何體積計(jì)算、參數(shù)方程與極坐標(biāo)、實(shí)際應(yīng)用問題中的數(shù)學(xué)建模。示例1（數(shù)列）：已知等差數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和為(S_n)，若(a_3+a_7=18)，(S_9=81)，則(a_1=)________。解析：由等差數(shù)列性質(zhì)得(a_3+a_7=2a_5=18)，則(a_5=9)；(S_9=9a_5=81)，符合題意。設(shè)公差為(d)，則(a_1+4d=9)，又(S_9=9a_1+36d=81)，解得(a_1=1)。示例2（參數(shù)方程）：在極坐標(biāo)系中，曲線(C)的極坐標(biāo)方程為(\rho=4\cos\theta)，則曲線(C)與極軸交點(diǎn)的極坐標(biāo)為________。解析：令(\theta=0)，得(\rho=4\cos0=4)，故交點(diǎn)為((4,0))。（三）解答題1.三角函數(shù)與解三角形（12分）考查重點(diǎn)：三角恒等變換、正弦定理與余弦定理的實(shí)際應(yīng)用、三角形面積計(jì)算。示例：在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所對(duì)的邊分別為(a,b,c)，已知(\cosA=\frac{3}{5})，(b=5\sqrt{3})，(B=\frac{\pi}{3})。（1）求(a)的值；（2）求(\triangleABC)的面積。解答：（1）由(\cosA=\frac{3}{5})得(\sinA=\frac{4}{5})，由正弦定理(\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB})，得(a=\frac{b\sinA}{\sinB}=\frac{5\sqrt{3}\times\frac{4}{5}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=8)。（2）由余弦定理(a^2=b^2+c^2-2bc\cosA)，代入得(64=75+c^2-6c)，解得(c=1)或(c=5)。當(dāng)(c=1)時(shí)，(S=\frac{1}{2}bc\sinA=\frac{1}{2}\times5\sqrt{3}\times1\times\frac{4}{5}=2\sqrt{3})；當(dāng)(c=5)時(shí)，(S=\frac{1}{2}\times5\sqrt{3}\times5\times\frac{4}{5}=10\sqrt{3})。2.數(shù)列（12分）考查重點(diǎn)：等差/等比數(shù)列通項(xiàng)與求和、遞推公式求通項(xiàng)、數(shù)列與不等式綜合。示例：已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+3^n)。（1）證明：數(shù)列({a_n-3^n})是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和(S_n)。解答：（1）由(a_{n+1}=2a_n+3^n)得(a_{n+1}-3^{n+1}=2(a_n-3^n))，又(a_1-3^1=-2)，故({a_n-3^n})是以(-2)為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列。（2）由（1）得(a_n-3^n=-2\times2^{n-1}=-2^n)，則(a_n=3^n-2^n)。(S_n=\sum_{k=1}^n(3^k-2^k)=\frac{3(3^n-1)}{3-1}-\frac{2(2^n-1)}{2-1}=\frac{3^{n+1}-3}{2}-2^{n+1}+2)。3.立體幾何（14分）考查重點(diǎn)：空間幾何體的線面位置關(guān)系證明、體積與表面積計(jì)算、空間向量在求角中的應(yīng)用。示例：如圖，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90°)，(D)為(BC)中點(diǎn)。（1）證明：(A_1D\perpB_1C)；（2）求三棱錐(A_1-BDC_1)的體積。解答：（1）以(A)為原點(diǎn)，(AB,AC,AA_1)為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，得(A_1(0,0,2))，(D(1,1,0))，(B_1(2,0,2))，(C(0,2,0))。(\overrightarrow{A_1D}=(1,1,-2))，(\overrightarrow{B_1C}=(-2,2,-2))，(\overrightarrow{A_1D}\cdot\overrightarrow{B_1C}=-2+2+4=4\neq0)，題目有誤，應(yīng)為證明(A_1D\perpBC)（修正后可證）。（2）(V_{A_1-BDC_1}=V_{C_1-A_1BD})，(S_{\triangleA_1BD}=\frac{1}{2}\timesBD\timesAA_1=\frac{1}{2}\times\sqrt{2}\times2=\sqrt{2})，(C_1)到平面(A_1BD)距離為(\sqrt{2})，體積為(\frac{1}{3}\times\sqrt{2}\times\sqrt{2}=\frac{2}{3})。4.概率與統(tǒng)計(jì)（14分）考查重點(diǎn)：古典概型、獨(dú)立性檢驗(yàn)、回歸分析、隨機(jī)變量分布列與期望。示例：某工廠為提高產(chǎn)品質(zhì)量，對(duì)生產(chǎn)線上的500件產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測，其中一等品150件，二等品250件，三等品100件。（1）用分層抽樣的方法從這500件產(chǎn)品中抽取10件，求各等級(jí)產(chǎn)品抽取的件數(shù)；（2）從（1）中抽取的10件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件，求至少有1件一等品的概率。解答：（1）抽樣比為(\frac{10}{500}=\frac{1}{50})，一等品抽取(150\times\frac{1}{50}=3)件，二等品(250\times\frac{1}{50}=5)件，三等品(100\times\frac{1}{50}=2)件。（2）設(shè)“至少有1件一等品”為事件(A)，則(P(A)=1-P(\overline{A})=1-\frac{C_7^3}{C_{10}^3}=1-\frac{35}{120}=\frac{17}{24})。5.解析幾何（14分）考查重點(diǎn)：橢圓/拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、定點(diǎn)與定值問題。示例：已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，且過點(diǎn)((2,1))。（1）求橢圓(C)的方程；（2）設(shè)直線(l:y=kx+m)與橢圓(C)交于(A,B)兩點(diǎn)，若以(AB)為直徑的圓過原點(diǎn)，求(m^2)與(k^2)的關(guān)系。解答：（1）由(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2})得(c=\frac{\sqrt{3}}{2}a)，(b^2=a^2-c^2=\frac{a^2}{4})。將點(diǎn)((2,1))代入橢圓方程得(\frac{4}{a^2}+\frac{1}{\frac{a^2}{4}}=1)，解得(a^2=8)，(b^2=2)，橢圓方程為(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1)。（2）聯(lián)立(\begin{cases}y=kx+m\\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1\end{cases})，得((1+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-8=0)。設(shè)(A(x_1,y_1),B(x_2,y_2))，則(x_1+x_2=-\frac{8km}{1+4k^2})，(x_1x_2=\frac{4m^2-8}{1+4k^2})。由以(AB)為直徑的圓過原點(diǎn)得(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0)，即(x_1x_2+y_1y_2=0)。(y_1y_2=(kx_1+m)(kx_2+m)=k^2x_1x_2+km(x_1+x_2)+m^2)，代入得((1+k^2)x_1x_2+km(x_1+x_2)+m^2=0)，化簡得(4m^2-8(1+k^2)-8k^2m^2+m^2(1+4k^2)=0)，整理得(m^2=\frac{8(1+k^2)}{5})。6.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)（14分）考查重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)單調(diào)性與極值、不等式恒成立問題、函數(shù)與方程思想。示例：已知函數(shù)(f(x)=x\lnx-ax^2+(2a-1)x)，(a\in\mathbb{R})。（1）當(dāng)(a=1)時(shí)，求曲線(y=f(x))在(x=1)處的切線方程；（2）討論函數(shù)(f(x))的單調(diào)性。解答：（1）當(dāng)(a=1)時(shí)，(f(x)=x\lnx-x^2+x)，(f'(x)=\lnx+1-2x+1=\lnx-2x+2)。(f(1)=0-1+1=0)，(f'(1)=0-2+2=0)，切線方程為(y=0)。（2）(f'(x)=\lnx+1-2ax+2a-1=\lnx-2a(x-1))，定義域?yàn)?(0,+∞))。令(g(x)=\lnx-2a(x-1))，則(g'(x)=\frac{1}{x}-2a)。當(dāng)(a\leq0)時(shí)，(g'(x)>0)，(g(x))在((0,+∞))單調(diào)遞增，又(g(1)=0)，則(x\in(0,1))時(shí)(g(x)<0)，(f(x))單調(diào)遞減；(x\in(1,+∞))時(shí)(g(x)>0)，(f(x))單調(diào)遞增。當(dāng)(a>