2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)過程體驗評價試卷第一部分知識掌握與應(yīng)用（40分）一、基礎(chǔ)概念理解（每題3分，共15分）1.函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性綜合應(yīng)用已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x$，判斷其奇偶性并證明在區(qū)間$[1,+\infty)$上的單調(diào)性。若存在$x_1,x_2\in[1,3]$使得$f(x_1)-f(x_2)=12$，求$x_1-x_2$的取值范圍。2.立體幾何中的空間想象在棱長為2的正方體$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，$E$為$B_1C_1$中點，過$A$、$E$、$D_1$三點作截面，求截面圖形的周長及該截面與底面$ABCD$所成二面角的余弦值。3.概率統(tǒng)計的實際應(yīng)用某高中為評估過程性評價效果，隨機(jī)抽取100名學(xué)生的數(shù)學(xué)周測成績（滿分100分），得到頻率分布直方圖（考試時提供圖表）。若規(guī)定85分以上為"優(yōu)秀"，估計該校學(xué)生數(shù)學(xué)成績的優(yōu)秀率，并計算樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)。二、解答題（共25分）1.三角函數(shù)與解三角形（12分）在$\triangleABC$中，角$A,B,C$所對邊分別為$a,b,c$，已知$2\cosC(a\cosB+b\cosA)=c$。（1）求角$C$的大?。唬?）若$c=2\sqrt{3}$，$\triangleABC$的面積為$2\sqrt{3}$，求$\triangleABC$的周長；（3）在（2）的條件下，設(shè)$D$為$AB$中點，求$CD$的長度。2.數(shù)列與不等式證明（13分）已知數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+n-1$。（1）證明數(shù)列${a_n+n}$為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列${a_n}$的通項公式；（3）設(shè)$b_n=\frac{a_n}{2^n}$，數(shù)列${b_n}$的前$n$項和為$S_n$，證明：$S_n<2$對任意$n\in\mathbb{N}^*$恒成立。第二部分過程性表現(xiàn)評價（30分）三、課堂參與度記錄（10分）評價維度評價標(biāo)準(zhǔn)得分（0-2分/項）問題提出質(zhì)量能提出具有探究價值的數(shù)學(xué)問題小組討論貢獻(xiàn)主動分享解題思路，修正同伴錯誤課堂練習(xí)反饋快速完成即時練習(xí)并展示解題過程數(shù)學(xué)語言表達(dá)準(zhǔn)確使用數(shù)學(xué)符號與術(shù)語思維活躍度能提出多種解法或反駁不合理論證四、項目式學(xué)習(xí)成果（20分）課題名稱：校園垃圾分類的優(yōu)化方案設(shè)計任務(wù)要求：數(shù)據(jù)收集（5分）：分組調(diào)查本校三個年級的垃圾日產(chǎn)量（精確到kg），用莖葉圖呈現(xiàn)數(shù)據(jù)并計算方差，分析年級差異的統(tǒng)計學(xué)意義；模型構(gòu)建（7分）：建立垃圾桶配置數(shù)量與學(xué)生流動量的函數(shù)關(guān)系模型，要求包含至少兩個自變量，并用待定系數(shù)法求解模型參數(shù)；方案評估（8分）：基于模型提出至少兩種優(yōu)化方案，通過成本效益分析（給出具體計算公式）推薦最佳方案，并撰寫500字實施建議。評價證據(jù)：調(diào)查原始數(shù)據(jù)記錄表、模型推導(dǎo)過程錄像、方案PPT演示視頻第三部分創(chuàng)新實踐與反思（30分）五、數(shù)學(xué)建模應(yīng)用題（15分）背景：2025年高中數(shù)學(xué)評價改革要求強化跨學(xué)科實踐。某快遞公司為優(yōu)化無人機(jī)配送路線，在直角坐標(biāo)系中設(shè)定配送區(qū)域：無人機(jī)從原點出發(fā)，需依次到達(dá)點$A(2,5)$、$B(6,3)$、$C(4,0)$，最后返回原點。假設(shè)無人機(jī)飛行速度為20km/h，續(xù)航時間1小時，忽略裝卸貨時間。問題：建立無人機(jī)飛行路徑的函數(shù)模型（需考慮至少兩種路徑方案：最短路徑、分段勻速路徑）；計算不同方案的總飛行距離及耗時，判斷是否在續(xù)航范圍內(nèi)；若在點$B$處增加一個緊急配送點$D(x,y)$，寫出總路程關(guān)于$x,y$的函數(shù)表達(dá)式，并利用導(dǎo)數(shù)求當(dāng)$D$坐標(biāo)為何值時總路程最短。六、成長檔案袋評估（15分）1.錯題反思日志（5分）從本學(xué)期數(shù)學(xué)錯題集中選取3道典型錯題，按"錯誤類型-知識點漏洞-修正策略-同類題遷移"四欄式記錄，要求每道題附修正后完整解題過程及2道變式訓(xùn)練題。2.自我評價與目標(biāo)設(shè)定（5分）結(jié)合本次評價結(jié)果，用雷達(dá)圖呈現(xiàn)自己在"運算能力、邏輯推理、空間想象、數(shù)據(jù)處理、創(chuàng)新意識"五個維度的掌握程度（1-5分），并設(shè)定下學(xué)期的具體提升目標(biāo)（需包含可量化指標(biāo)，如"立體幾何證明題正確率提升至80%"）。3.同伴互評（5分）隨機(jī)抽取班級3名同學(xué)的項目式學(xué)習(xí)報告，從"數(shù)據(jù)真實性、模型合理性、結(jié)論創(chuàng)新性"三個維度進(jìn)行等級評價（優(yōu)秀/良好/需改進(jìn)），每項評價需附不少于50字的具體理由。附加說明本試卷滿分100分，其中知識掌握（40%）、過程表現(xiàn)（30%）、創(chuàng)新實踐（30%）三大模塊成績將錄入學(xué)校數(shù)字化評價平臺，形成動態(tài)成長曲線；項目式學(xué)習(xí)成果需在考試結(jié)束后一周內(nèi)提交電子版至數(shù)學(xué)教研組服務(wù)器，逾期按70%計分；允許使用計算器、GeoGebra等工具，但需在解題過程中注明工具使用步驟及依據(jù)；所有過程性評價證據(jù)需真實有效，嚴(yán)禁抄襲或編造數(shù)據(jù)，一經(jīng)發(fā)現(xiàn)本次評價按零分處理。數(shù)與代數(shù)模塊（40分）一、函數(shù)概念與性質(zhì)（15分）探究題已知函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c(a\neq0)$的圖像經(jīng)過點$(1,3)$，且在$x=2$處取得極值。請完成以下任務(wù)：（1）列出關(guān)于$a$、$b$、$c$的方程組；（2）在平面直角坐標(biāo)系中手繪函數(shù)可能的圖像，標(biāo)注頂點坐標(biāo)與對稱軸；（3）結(jié)合圖像分析函數(shù)的單調(diào)性，并說明極值點與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；（4）若該函數(shù)與$x$軸交于$A(x_1,0)$、$B(x_2,0)$兩點，且$|x_1-x_2|=4$，求函數(shù)的解析式。開放性問題生活中存在許多函數(shù)關(guān)系，例如“手機(jī)話費與通話時間”“身高與年齡”等。請選擇一個具體實例，用函數(shù)表達(dá)式描述其關(guān)系，并分析自變量的取值范圍、函數(shù)的增減性及實際意義。二、數(shù)列與不等式（15分）證明題已知數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+1$。（1）計算$a_2$、$a_3$、$a_4$的值，猜想數(shù)列的通項公式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想；（3）若$b_n=\frac{a_n+1}{a_na_{n+1}}$，求數(shù)列${b_n}$的前$n$項和$S_n$，并求$S_n$的取值范圍。應(yīng)用題某工廠生產(chǎn)一種零件，每月產(chǎn)量$x$（千個）與成本$y$（萬元）的關(guān)系為$y=0.5x^2+2x+3$。若該零件的售價為每個5元，且每月產(chǎn)量不超過10千個，求每月生產(chǎn)多少個零件時利潤最大？最大利潤是多少？（利潤=收入-成本，需用不等式或?qū)?shù)方法求解）三、數(shù)學(xué)建模（10分）任務(wù)：某小區(qū)計劃建造一個矩形花園，周長固定為20米。請設(shè)計一個方案，使花園面積最大，并回答以下問題：（1）設(shè)矩形的長為$x$米，寫出面積$S$關(guān)于$x$的函數(shù)表達(dá)式，并指出定義域；（2）用配方法或?qū)?shù)法求出面積的最大值及對應(yīng)的長和寬；（3）若花園一邊靠墻（墻長8米），周長不變，面積最大值是否改變？請說明理由。幾何與拓?fù)淠K（35分）一、立體幾何（15分）作圖與計算已知直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，$AB=AC=AA_1=2$，$\angleBAC=90^\circ$。（1）在右側(cè)方框中畫出該三棱柱的直觀圖，標(biāo)注棱長；（2）求異面直線$A_1B$與$AC_1$所成角的余弦值；（3）求三棱錐$B_1-ABC$的體積；（4）判斷平面$A_1BC$與平面$B_1BC$是否垂直，并證明你的結(jié)論。探究題用一個平面去截正方體，截面可能是什么形狀？請列舉3種，并畫出示意圖，說明截面與正方體棱的交點位置。二、解析幾何（15分）綜合題已知橢圓$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且過點$(2,1)$。（1）求橢圓$C$的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過橢圓右焦點$F$作直線$l$交橢圓于$M$、$N$兩點，若$|MF|=2|FN|$，求直線$l$的斜率；（3）在橢圓上是否存在點$P$，使得$\trianglePFM$為等邊三角形？若存在，求出點$P$的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。實踐操作在平面直角坐標(biāo)系中，給定兩點$A(1,0)$、$B(4,0)$，請用直尺和圓規(guī)作圖：（1）作線段$AB$的垂直平分線；（2）以$AB$為直徑作圓，并寫出該圓的方程。三、三角與向量（5分）情境題如圖，一艘船從港口$O$出發(fā)，沿北偏東$30^\circ$方向航行10海里到達(dá)$A$處，然后沿北偏西$60^\circ$方向航行10海里到達(dá)$B$處。（1）用向量表示船的位移$\overrightarrow{OA}$和$\overrightarrow{AB}$；（2）求港口$O$到點$B$的距離及$OB$的方向角。數(shù)據(jù)與概率模塊（25分）一、統(tǒng)計與數(shù)據(jù)分析（15分）案例分析某學(xué)校為了解學(xué)生每周數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時間，隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，得到如下頻數(shù)分布表：學(xué)習(xí)時間（小時）[0,3)[3,6)[6,9)[9,12)[12,15]頻數(shù)1025401510（1）繪制頻率分布直方圖；（2）計算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)；（3）若該校共有2000名學(xué)生，估計每周學(xué)習(xí)時間不少于9小時的學(xué)生人數(shù)；（4）結(jié)合數(shù)據(jù)，為學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)提出一條合理化建議。建模題某電商平臺統(tǒng)計了一款商品的“售價$x$（元）與日銷量$y$（件）”的關(guān)系，數(shù)據(jù)如下：售價$x$100120140160180日銷量$y$200180150120100（1）判斷$y$與$x$是否線性相關(guān)，并用最小二乘法求回歸直線方程$\hat{y}=\hatx+\hat{a}$；（2）預(yù)測售價為200元時的日銷量。二、概率與統(tǒng)計案例（10分）概率計算題一個不透明的袋子中裝有3個紅球、2個白球和1個黑球，這些球除顏色外完全相同。（1）從中隨機(jī)摸出2個球，求兩球顏色不同的概率；（2）若每次摸出1個球后放回，連續(xù)摸3次，求至少摸到1個紅球的概率。開放性問題“天氣預(yù)報說明天降水概率為70%”，請用概率的知識解釋這句話的含義，并舉例說明生活中其他概率現(xiàn)象的應(yīng)用。過程性評價記錄（附加分10分）一、課堂參與