2025年下學期高中數(shù)學過程與方法試卷考試時間：120分鐘滿分：150分一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）函數(shù)概念與性質已知函數(shù)$f(x)=\frac{\sqrt{x+2}}{x-1}$的定義域為集合$A$，函數(shù)$g(x)=\lg(2-x)$的值域為集合$B$，則$A\capB=$（）A.$[-2,1)\cup(1,2)$B.$[-2,2)$C.$(-\infty,2)$D.$[-2,1)$三角函數(shù)圖像變換將函數(shù)$f(x)=\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)$的圖像向右平移$\frac{\pi}{6}$個單位長度，再將橫坐標縮短為原來的$\frac{1}{2}$，得到函數(shù)$g(x)$的圖像，則$g(x)$的解析式為（）A.$\sin(4x)$B.$\sin\left(4x+\frac{\pi}{6}\right)$C.$\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)$D.$\sin\left(4x+\frac{\pi}{3}\right)$立體幾何體積計算已知正三棱錐$P-ABC$的底面邊長為$2$，側棱長為$3$，則其體積為（）A.$\frac{2\sqrt{6}}{3}$B.$\frac{4\sqrt{6}}{3}$C.$2\sqrt{6}$D.$\frac{\sqrt{6}}{3}$導數(shù)幾何意義曲線$y=x^3-2x+1$在點$(1,0)$處的切線方程為（）A.$y=x-1$B.$y=-x+1$C.$y=2x-2$D.$y=-2x+2$數(shù)列遞推關系在數(shù)列${a_n}$中，$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+3$，則$a_5=$（）A.$31$B.$63$C.$127$D.$255$不等式解法關于$x$的不等式$x^2-ax+1>0$在$x\in[1,2]$上恒成立，則實數(shù)$a$的取值范圍是（）A.$(-\infty,2)$B.$(-\infty,2]$C.$(2,+\infty)$D.$[2,+\infty)$向量數(shù)量積應用已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(m,-1)$，若$\vec{a}\perp(\vec{a}+\vec)$，則$m=$（）A.$-3$B.$3$C.$-5$D.$5$概率與統(tǒng)計某學校高二年級有$500$名學生，其中男生$300$人，女生$200$人．現(xiàn)用分層抽樣的方法從全體學生中抽取$50$人參加數(shù)學競賽，則應抽取女生的人數(shù)為（）A.$10$B.$20$C.$30$D.$40$圓錐曲線離心率已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的一條漸近線方程為$y=2x$，則其離心率為（）A.$\sqrt{5}$B.$\frac{\sqrt{5}}{2}$C.$\sqrt{3}$D.$2$函數(shù)零點問題函數(shù)$f(x)=e^x-2x-1$的零點個數(shù)為（）A.$0$B.$1$C.$2$D.$3$排列組合綜合應用從$5$名男生和$4$名女生中選出$3$人參加社區(qū)服務，要求至少有$1$名女生，則不同的選法共有（）A.$70$種B.$80$種C.$90$種D.$100$種導數(shù)應用與不等式證明已知函數(shù)$f(x)=x\lnx-ax^2$在$(1,+\infty)$上單調遞減，則實數(shù)$a$的取值范圍是（）A.$a\geq\frac{1}{2}$B.$a>\frac{1}{2}$C.$a\leq\frac{1}{2}$D.$a<\frac{1}{2}$二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）復數(shù)運算已知復數(shù)$z=(1+i)(2-i)$（$i$為虛數(shù)單位），則$|z|=$________．數(shù)列求和等比數(shù)列${a_n}$中，$a_1=2$，公比$q=3$，則數(shù)列${a_n}$的前$4$項和$S_4=$________．立體幾何線面角在正方體$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，$E$為$A_1B_1$的中點，則直線$AE$與平面$BB_1C_1C$所成角的正切值為________．三角函數(shù)最值問題函數(shù)$f(x)=\sinx+\cosx+\sinx\cosx$，$x\in[0,\frac{\pi}{2}]$的最大值為________．三、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）三角函數(shù)化簡與求值（10分）已知$\tan\alpha=2$，求下列各式的值：（1）$\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}$；（2）$\sin^2\alpha+\sin\alpha\cos\alpha-2\cos^2\alpha$．數(shù)列求和（12分）已知等差數(shù)列${a_n}$的前$n$項和為$S_n$，且$a_2=5$，$S_5=35$．（1）求數(shù)列${a_n}$的通項公式；（2）若$b_n=\frac{1}{a_na_{n+1}}$，求數(shù)列${b_n}$的前$n$項和$T_n$．立體幾何位置關系證明與體積計算（12分）如圖，在直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，$AB=AC=AA_1=2$，$\angleBAC=90^\circ$，$D$為$BC$的中點．（1）求證：$A_1B\parallel$平面$ADC_1$；（2）求三棱錐$C_1-ADC$的體積．概率統(tǒng)計綜合應用（12分）某工廠為提高產品質量，對生產的$100$件產品進行質量檢測，其中一等品$40$件，二等品$50$件，三等品$10$件．（1）若從這$100$件產品中隨機抽取$1$件，求抽到二等品的概率；（2）若從一等品和二等品中隨機抽取$2$件，求至少有$1$件一等品的概率；（3）用分層抽樣的方法從這$100$件產品中抽取$10$件，再從這$10$件中隨機抽取$2$件，求這$2$件產品等級不同的概率．圓錐曲線綜合問題（12分）已知橢圓$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且過點$(2,1)$．（1）求橢圓$C$的標準方程；（2）設直線$l:y=kx+m$與橢圓$C$交于$A$，$B$兩點，$O$為坐標原點，若$k_{OA}\cdotk_{OB}=-\frac{1}{4}$，求證：$\triangleAOB$的面積為定值．導數(shù)應用與函數(shù)單調性（12分）已知函數(shù)$f(x)=x\lnx-ax^2+(2a-1)x(a\in\mathbb{R})$．（1）當$a=1$時，求函數(shù)$f(x)$的單調區(qū)間；（2）若函數(shù)$f(x)$在$x\in(1,+\infty)$上單調遞減，求實數(shù)$a$的取值范圍；（3）證明：對任意$n\in\mathbb{N}^*$，$\ln(n+1)>\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n+1}$．參考答案與評分標準（部分題型示例）一、選擇題解析：對于$f(x)$，需滿足$\begin{cases}x+2\geq0\x-1\neq0\end{cases}\RightarrowA=[-2,1)\cup(1,+\infty)$；對于$g(x)$，由于$\lg(2-x)$的值域為$\mathbb{R}$，即$B=\mathbb{R}$；因此$A\capB=[-2,1)\cup(1,+\infty)\cap\mathbb{R}=[-2,1)\cup(1,+\infty)$，但選項中無此答案，需重新檢查$g(x)$的值域：$2-x>0\Rightarrowx<2$，但值域為$\mathbb{R}$，故$A\capB=[-2,1)\cup(1,2)$，選A。三、解答題解析：（1）原式$=\frac{\tan\alpha+1}{\tan\alpha-1}=\frac{2+1}{2-1}=3$（分子分母同除以$\cos\alpha$）；（2）原式$=\frac{\sin^2\alpha+\sin\alpha\cos\alpha-2\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}=\frac{\tan^2\alpha+\tan\alpha-2}{\tan^2\alpha+1}=\frac{4+2-2}{4+1}=\frac{4}{5}$。解析：（1）設等差數(shù)列${a_n}$的公差為$d$，則$\begin{cases}a_1+d=5\5a_1+10d=35\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}a_1=3\d=2\end{cases}$，故$a_n=2n+1$；（2）$b_n=\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}\right)$，則$T_n=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}\right)\right]=\frac{n}{3(2n+3)}$。解析：（1）當$a=1$時，$f(x)=x\lnx-x^2+x$，$f'(x)=\lnx+1-2x+1=\lnx-2x+2$；令$f'(x)=0$，得$x=1$（$x=\frac{1}{e}$舍），則$f(x)$在$(0,1)$上單調遞增，在$(1,+\infty)$上單調遞減；（2）$f'(x)=\lnx-2ax+2a$，由題意$f'(x)\leq0$在$(1,+\infty)$上恒成立，即$2a\geq\frac{\lnx}{x-1}$，令$h(x)=\frac{\lnx}{x-1}(x>1)$，求導得$h(x)$在$(1,+\infty)$上單調遞減，故$h(x)<h(1)=1$，因此$2a\geq1\Rightarrowa\geq\frac{1}{2}$；（3）構造函數(shù)$g(x)=\ln(x+1)-\frac{x}{x+1}(x>0)$，求導得$g'(x)=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{(x+1)^2}=\frac{x}{(x+1)^2}>0$，故$g(x)$在$(0,+\infty)$上單調遞增，即$g(x)>g(0)