2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識驗收試卷考試時間：120分鐘滿分：150分一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）已知集合(A={x|x^2-3x+2<0})，(B={x|2^x>4})，則(A\capB=)（）A.((1,2))B.((2,+\infty))C.((1,+\infty))D.((2,3))函數(shù)(f(x)=\ln(x^2-4x+3)+\sqrt{x-2})的定義域是（）A.([2,3)\cup(3,+\infty))B.((3,+\infty))C.([2,+\infty))D.((-\infty,1)\cup[2,+\infty))已知向量(\vec{a}=(2,-1))，(\vec=(m,3))，若(\vec{a}\perp(\vec{a}-\vec))，則(m=)（）A.(-1)B.(1)C.(2)D.(4)函數(shù)(f(x)=\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right))的最小正周期和對稱軸方程分別是（）A.(\pi)，(x=\frac{k\pi}{2}+\frac{5\pi}{12}(k\in\mathbb{Z}))B.(2\pi)，(x=k\pi+\frac{5\pi}{12}(k\in\mathbb{Z}))C.(\pi)，(x=k\pi+\frac{\pi}{6}(k\in\mathbb{Z}))D.(2\pi)，(x=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{6}(k\in\mathbb{Z}))已知等比數(shù)列({a_n})的前(n)項和為(S_n)，若(S_3=7)，(S_6=63)，則公比(q=)（）A.(2)B.(-2)C.(3)D.(-3)若(\tan\alpha=2)，則(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}+\cos^2\alpha=)（）A.(\frac{16}{5})B.(\frac{14}{5})C.(\frac{12}{5})D.(\frac{8}{5})某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積是（）（注：此處省略三視圖，實際試卷中需配圖，其結(jié)構(gòu)為：底面半徑2cm、高3cm的圓柱，頂部挖去一個半徑1cm的半球）A.(12\pi-\frac{2}{3}\pi)B.(12\pi-\frac{4}{3}\pi)C.(6\pi-\frac{2}{3}\pi)D.(6\pi-\frac{4}{3}\pi)已知直線(l:y=kx+1)與圓(C:(x-2)^2+(y-3)^2=1)相切，則(k=)（）A.(0)B.(\frac{3}{4})C.(\frac{4}{3})D.(\pm\frac{4}{3})設(shè)(f(x))是定義在(\mathbb{R})上的奇函數(shù)，且當(dāng)(x\geq0)時，(f(x)=x^2-2x)，則(f(-1)=)（）A.(-3)B.(-1)C.(1)D.(3)若(x,y)滿足約束條件(\begin{cases}x+y\geq2\x-y\leq0\y\leq3\end{cases})，則(z=2x+y)的最大值是（）A.(5)B.(7)C.(8)D.(9)已知函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2+2)，則函數(shù)(f(x))的極大值點是（）A.(x=0)B.(x=1)C.(x=2)D.(x=3)已知拋物線(C:y^2=4x)的焦點為(F)，過點(F)的直線交拋物線于(A,B)兩點，若(|AF|=3)，則(|BF|=)（）A.(\frac{3}{2})B.(2)C.(3)D.(4)二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）計算：((\log_28)\times(\log_39)-2025^0+\sqrt[3]{(-2)^3}=)________。在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所對的邊分別為(a,b,c)，若(a=2)，(b=3)，(\cosC=\frac{1}{4})，則(c=)________。已知雙曲線(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0))的離心率為(\sqrt{3})，且過點((2,\sqrt{6}))，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________。已知函數(shù)(f(x)=e^x-ax-1)在(R)上單調(diào)遞增，則實數(shù)(a)的取值范圍是________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知數(shù)列({a_n})是等差數(shù)列，且(a_1=1)，(a_3+a_5=14)。（1）求數(shù)列({a_n})的通項公式；（2）若(b_n=2^{a_n})，求數(shù)列({b_n})的前(n)項和(S_n)。（本小題滿分12分）如圖，在三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AA_1\perp)底面(ABC)，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(D)是(BC)的中點。（注：此處省略直觀圖，實際試卷中需配圖）（1）求證：(A_1B\parallel)平面(ADC_1)；（2）求直線(AD)與平面(BCC_1B_1)所成角的正弦值。（本小題滿分12分）某學(xué)校為了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，隨機抽取100名學(xué)生進行數(shù)學(xué)成績調(diào)查，將成績分為5組：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，得到頻率分布直方圖如圖所示（注：此處省略直方圖，實際試卷中需配圖，其中[70,80)組的頻率為0.35）。（1）求圖中(a)的值；（2）估計這100名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)和中位數(shù)（精確到0.1）；（3）若從成績在[50,60)和[90,100]的學(xué)生中隨機抽取2人，求這2人成績在同一組的概率。（本小題滿分12分）已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，且過點((2,1))。（1）求橢圓(C)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線(l:y=kx+m)與橢圓(C)交于(A,B)兩點，(O)為坐標(biāo)原點，若(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0)，求證：點(O)到直線(l)的距離為定值。（本小題滿分12分）已知函數(shù)(f(x)=x\lnx-ax^2+(2a-1)x(a\in\mathbb{R}))。（1）當(dāng)(a=1)時，求函數(shù)(f(x))的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)(f(x))在(x=1)處取得極大值，求實數(shù)(a)的取值范圍。（本小題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系(xOy)中，已知直線(l)的參數(shù)方程為(\begin{cases}x=1+t\cos\alpha\y=t\sin\alpha\end{cases})（(t)為參數(shù)，(\alpha)為傾斜角），以坐標(biāo)原點為極點，(x)軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(C)的極坐標(biāo)方程為(\rho=4\cos\theta)。（1）求曲線(C)的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線(l)與曲線(C)交于(A,B)兩點，若(|AB|=2\sqrt{3})，求(\alpha)的值。參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)（僅供閱卷參考）一、選擇題A2.A3.D4.A5.A6.A7.B8.C9.C10.D11.A12.A二、填空題(5)14.(3)15.(\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{4}=1)16.((-\infty,1])三、解答題（1）設(shè)等差數(shù)列({a_n})的公差為(d)，由(a_3+a_5=2a_4=14)，得(a_4=7)。又(a_1=1)，則(1+3d=7)，解得(d=2)，故(a_n=1+(n-1)\times2=2n-1)。（5分）（2）(b_n=2^{2n-1}=\frac{1}{2}\times4^n)，則(S_n=\frac{1}{2}(4+4^2+\cdots+4^n)=\frac{1}{2}\times\frac{4(4^n-1)}{4-1}=\frac{2(4^n-1)}{3})。（10分）（1）連接(A_1C)交(AC_1)于點(O)，連接(OD)。在三棱柱中，(O)為(A_1C)中點，(D)為(BC)中點，故(OD\parallelA_1B)。又(OD\subset)平面(ADC_1)，(A_1B\not\subset)平面(ADC_1)，所以(A_1B\parallel)平面(ADC_1)。（6分）（2）以(A)為原點，(AB,AC,AA_1)為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，得(A(0,0,0))，(D(1,1,0))，(B(2,0,0))，(C(0,2,0))，(B_1(2,0,2))。平面(BCC_1B_1)的法向量(\vec{n}=(1,1,0))，(\overrightarrow{AD}=(1,1,0))，則(\sin\theta=|\cos\langle\overrightarrow{AD},\vec{n}\rangle|=\frac{|\overrightarrow{AD}\cdot\vec{n}|}{|\overrightarrow{AD}||\vec{n}|}=\frac{2}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}=1)。（12分）（1）由頻率分布直方圖知，各組頻率之和為1，[70,80)組頻率為0.35，組距為10，則(10(a+0.015+0.035+0.025+0.01)=1)，解得(a=0.015)。（4分）（2）平均數(shù)(\bar{x}=55\times0.15+65\times0.15+75\times0.35+85\times0.25+95\times0.1=76.5)；中位數(shù)在[70,80)組，設(shè)為(m)，則(0.15+0.15+(m-70)\times0.035=0.5)，解得(m\approx75.7)。（8分）（3）[50,60)組有15人，[90,100]組有10人，總選法(C_{25}^2=300)，同組選法(C_{15}^2+C_{10}^2=105+45=150)，概率(P=\frac{150}{300}=\frac{1}{2})。（12分）（1）由離心率(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2})，得(c=\frac{\sqrt{3}}{2}a)，(b^2=a^2-c^2=\frac{a^2}{4})。將點((2,1))代入橢圓方程得(\frac{4}{a^2}+\frac{1}{\frac{a^2}{4}}=1)，解得(a^2=8)，(b^2=2)，故橢圓方程為(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1)。（6分）（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，得((1+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-8=0)，設(shè)(A(x_1,y_1))，(B(x_2,y_2))，則(x_1+x_2=-\frac{8km}{1+4k^2})，(x_1x_2=\frac{4m^2-8}{1+4k^2})。由(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=x_1x_2+y_1y_2=0)，代入化簡得(5m^2=8(1+k^2))，則點(O)到直線(l)的距離(d=\frac{|m|}{\sqrt{1+k^2}}=\sqrt{\frac{8}{5}}=\frac{2\sqrt{10}}{5})（定值）。（12分）（1）當(dāng)(a=1)時，(f(x)=x\lnx-x^2+x)，(f'(x)=\lnx+1-2x+1=\lnx-2x+2)。令(f'(x)=0)，得(x=1)（(x=\frac{1}{e})舍）。當(dāng)(0<x<1)時，(f'(x)>0)；當(dāng)(x>1)時，(f'(x)<0)，故(f(x))的單調(diào)遞增區(qū)間為((0,1))，遞減區(qū)間為((1,+\infty))。（6分）（2）(f'(x)=\lnx+1-2ax+2a-1=\lnx-2a(x-1))。若(f(x))在(x=1)處取極大值，則當(dāng)(x\in(0,1))時(f'(x)>0)，當(dāng)(x\in(1,+\infty))時(f'(x)<0)。令(g(x)=\lnx-2a(x-1))，則(g(1)=0)，(g'(x)=\frac{1}{x}-2a)。若(a\leq0)，(g'(x)>