2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)冀教版試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）已知集合(A={x|x^2-3x+2<0})，(B={x|2^x>4})，則(A\capB=)（）A.((1,2))B.((2,+\infty))C.((1,+\infty))D.((2,3))復(fù)數(shù)(z=\frac{2+i}{1-i})（(i)為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)(\overline{z})在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限已知向量(\vec{a}=(2,m))，(\vec=(m,8))，若(\vec{a}\parallel\vec)，則實(shí)數(shù)(m=)（）A.4B.-4C.±4D.2函數(shù)(f(x)=\ln(x+1)-\frac{1}{x})的定義域是（）A.((-1,0)\cup(0,+\infty))B.([-1,0)\cup(0,+\infty))C.((-1,+\infty))D.([-1,+\infty))已知(\sin\alpha=\frac{3}{5})，(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi))，則(\tan(\alpha+\frac{\pi}{4})=)（）A.(-\frac{1}{7})B.(\frac{1}{7})C.-7D.7某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積是（）（注：此處假設(shè)三視圖為一個(gè)底面半徑2cm、高3cm的圓柱挖去一個(gè)同底等高的圓錐）A.(4\pi,\text{cm}^3)B.(6\pi,\text{cm}^3)C.(8\pi,\text{cm}^3)D.(12\pi,\text{cm}^3)已知等比數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和為(S_n)，若(S_3=7)，(S_6=63)，則公比(q=)（）A.2B.-2C.3D.-3執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入(n=5)，則輸出的(S=)（）（注：程序框圖功能為計(jì)算(S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n})）A.(\frac{137}{60})B.(\frac{147}{60})C.(\frac{157}{60})D.(\frac{167}{60})已知函數(shù)(f(x)=\sin(\omegax+\varphi))（(\omega>0)，(|\varphi|<\frac{\pi}{2})）的部分圖象如圖所示，則(\omega)和(\varphi)的值分別為（）（注：圖象顯示周期為(\pi)，且過點(diǎn)((\frac{\pi}{6},1))）A.(\omega=2)，(\varphi=\frac{\pi}{6})B.(\omega=2)，(\varphi=\frac{\pi}{3})C.(\omega=4)，(\varphi=\frac{\pi}{6})D.(\omega=4)，(\varphi=\frac{\pi}{3})若直線(l:y=kx+1)與圓(C:(x-1)^2+(y-2)^2=4)相交于A，B兩點(diǎn)，且(|AB|=2\sqrt{3})，則(k=)（）A.0B.(\frac{3}{4})C.(-\frac{3}{4})D.±(\frac{3}{4})已知函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2+ax+b)在(x=-1)處取得極值，則(a=)（）A.-6B.6C.-9D.9已知雙曲線(C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>0)，(b>0)）的離心率為(\sqrt{3})，且過點(diǎn)((2,\sqrt{6}))，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.(\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{4}=1)B.(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{2}=1)C.(\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{6}=1)D.(\frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{3}=1)二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）若(x)，(y)滿足約束條件(\begin{cases}x+y\geq2\x-y\leq0\y\leq3\end{cases})，則(z=2x+y)的最大值為________。在((x-\frac{1}{\sqrt{x}})^6)的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為________（用數(shù)字作答）。已知正四棱錐的底面邊長為2，側(cè)棱長為(\sqrt{5})，則該正四棱錐的體積為________。已知函數(shù)(f(x)=\begin{cases}2^x,&x\leq0\\log_2x,&x>0\end{cases})，則(f(f(\frac{1}{4}))=)；若(f(a)=\frac{1}{2})，則(a=)。（第一空2分，第二空3分）三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知數(shù)列({a_n})是等差數(shù)列，且(a_1=1)，(a_3+a_5=14)。（1）求數(shù)列({a_n})的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列({b_n})滿足(b_n=2^{a_n})，求數(shù)列({b_n})的前(n)項(xiàng)和(S_n)。（本小題滿分12分）某學(xué)校為了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，從高二年級(jí)隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)成績調(diào)查，得到如下頻率分布直方圖：（注：頻率分布直方圖分組為[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，對(duì)應(yīng)的頻率分別為0.05，0.2，0.4，0.25，0.1）（1）求這100名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)和中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；（2）若從成績?cè)赱50,60)和[90,100]的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求這2人成績都在[90,100]的概率。（本小題滿分12分）如圖，在三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，側(cè)棱(AA_1\perp)底面(ABC)，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，D為(BC)的中點(diǎn)。（1）求證：(A_1B\parallel)平面(ADC_1)；（2）求直線(A_1D)與平面(BCC_1B_1)所成角的正弦值。（本小題滿分12分）已知橢圓(E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的離心率為(\frac{\sqrt{2}}{2})，且過點(diǎn)((1,\frac{\sqrt{2}}{2}))。（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線(l:y=kx+m)與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若(k_{OA}\cdotk_{OB}=-\frac{1}{2})，求證：(\triangleAOB)的面積為定值。（本小題滿分12分）已知函數(shù)(f(x)=x\lnx-ax^2+(2a-1)x)（(a\inR)）。（1）當(dāng)(a=1)時(shí)，求函數(shù)(f(x))的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)(f(x))在區(qū)間((1,+\infty))上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)(a)的取值范圍。（本小題滿分14分）已知拋物線(C:y^2=4x)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過點(diǎn)F的直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在l上的射影為A'。（1）若直線AB的斜率為1，求(|AB|)的值；（2）求證：以AA'為直徑的圓與直線OA'相切（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）；（3）設(shè)點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，若(|AB|=8)，求點(diǎn)M到y(tǒng)軸距離的最小值。參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（僅供閱卷參考）一、選擇題A2.D3.C4.A5.A6.A7.A8.A9.B10.D11.C12.A二、填空題914.1515.(\frac{4}{3})16.(\frac{1}{4})；-1或(\sqrt{2})三、解答題（1）設(shè)等差數(shù)列({a_n})的公差為d，由(a_3+a_5=14)得(2a_1+6d=14)，又(a_1=1)，解得(d=2)，所以(a_n=2n-1)。（5分）（2）(b_n=2^{2n-1}=\frac{1}{2}\times4^n)，所以(S_n=\frac{1}{2}(4+4^2+\cdots+4^n)=\frac{2(4^n-1)}{3})。（10分）（1）平均數(shù)為(55\times0.05+65\times0.2+75\times0.4+85\times0.25+95\times0.1=76.5)；中位數(shù)為75。（6分）（2）成績?cè)赱50,60)的學(xué)生有5人，[90,100]的學(xué)生有10人，總基本事件數(shù)為(C_{15}^2=105)，滿足條件的事件數(shù)為(C_{10}^2=45)，概率為(\frac{45}{105}=\frac{3}{7})。（12分）（1）連接(A_1C)交(AC_1)于點(diǎn)O，連接OD，可證OD為(\triangleA_1BC)的中位線，所以(A_1B\parallelOD)，進(jìn)而得證。（6分）（2）以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面(BCC_1B_1)的法向量(\vec{n}=(1,-1,0))，(\vec{A_1D}=(1,1,-2))，所以線面角的正弦值為(|\cos\langle\vec{A_1D},\vec{n}\rangle|=\frac{\sqrt{3}}{3})。（12分）（1）由離心率(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2})得(a^2=2b^2)，將點(diǎn)((1,\frac{\sqrt{2}}{2}))代入橢圓方程得(\frac{1}{2b^2}+\frac{1}{2b^2}=1)，解得(b^2=1)，(a^2=2)，所以橢圓方程為(\frac{x^2}{2}+y^2=1)。（4分）（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，得((1+2k^2)x^2+4kmx+2m^2-2=0)，設(shè)(A(x_1,y_1))，(B(x_2,y_2))，則(x_1+x_2=-\frac{4km}{1+2k^2})，(x_1x_2=\frac{2m^2-2}{1+2k^2})。由(k_{OA}\cdotk_{OB}=\frac{y_1y_2}{x_1x_2}=-\frac{1}{2})，化簡得(2m^2=2k^2+1)。原點(diǎn)O到直線l的距離(d=\frac{|m|}{\sqrt{1+k^2}})，(|AB|=\sqrt{1+k^2}\cdot\frac{2\sqrt{2(1+2k^2-m^2)}}{1+2k^2}=\frac{2\sqrt{2(1+k^2)}}{1+2k^2})，所以(S_{\triangleAOB}=\frac{1}{2}|AB|d=\frac{\sqrt{2}}{2})（定值）。（12分）（1）當(dāng)(a=1)時(shí)，(f(x)=x\lnx-x^2+x)，(f'(x)=\lnx-2x+2)。令(g(x)=\lnx-2x+2)，則(g'(x)=\frac{1}{x}-2)，當(dāng)(x\in(0,\frac{1}{2}))時(shí)，(g'(x)>0)；當(dāng)(x\in(\frac{1}{2},+\infty))時(shí)，(g'(x)<0)。所以(g(x))在(x=\frac{1}{2})處取得最大值(g(\frac{1}{2})=1-\ln2>0)，又(g(1)=0)，(g(\frac{1}{e})=-1-\frac{2}{e}+2=1-\frac{2}{e}<0)，所以存在(x_0\in(\frac{1}{e},\frac{1}{2}))使得(g(x_0)=0)。因此(f(x))的單調(diào)遞增區(qū)間為((x_0,1))，單調(diào)遞減區(qū)間為((0,x_0))，((1,+\infty))。（6分）（2）(f'(x)=\lnx-2ax+2a)，由題意得(f'(x)\leq0)在((1,+\infty))上恒成立，即(\lnx\leq2a(x-1))。當(dāng)(x=1)時(shí)，等號(hào)成立；當(dāng)(x>1)時(shí)，(2a\geq\frac{\lnx}{x-1})。令(h(x)=\frac{\lnx}{x-1})（(x>1)），則(h'(x)=\frac{\frac{x-1}{x}-\lnx}{(x-1)^2})，令(t(x)=\frac{x-1}{x}-\lnx)，則(t'(x)=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}=\frac{1-x}{x^2}<0)，所以(t(x)<t(1)=0)，即(h'(x)<0)，所以(h(x))在((1,+\infty))上單調(diào)遞減，且(\lim_{x\to1^+}h(x)=1)，所以(2a\geq1)，即(a\geq\frac{1}{2})。（12分）（1）拋物線焦點(diǎn)F(1,0)，直線AB的方程為(y=x-1)，聯(lián)立(y^2=4x)得(x^2-6x