2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)雙曲線性質(zhì)試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）雙曲線(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1)的焦距為（）A.5B.10C.(\sqrt{7})D.(2\sqrt{7})若雙曲線(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>0)，(b>0)）的離心率為(\sqrt{3})，則其漸近線方程為（）A.(y=\pm\sqrt{2}x)B.(y=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}x)C.(y=\pm2x)D.(y=\pm\frac{1}{2}x)雙曲線(\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{5}=1)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.((\pm3,0))B.((0,\pm3))C.((\pm1,0))D.((0,\pm1))已知雙曲線的漸近線方程為(y=\pm\frac{3}{4}x)，且過點(diǎn)((4,3\sqrt{2}))，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1)B.(\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{16}=1)C.(\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{9}=1)D.(\frac{y^2}{18}-\frac{x^2}{32}=1)雙曲線(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)上一點(diǎn)(P)到左焦點(diǎn)的距離為8，則點(diǎn)(P)到右焦點(diǎn)的距離為（）A.4B.12C.4或12D.6若雙曲線(\frac{x^2}{m}-\frac{y^2}{m+3}=1)的離心率為2，則(m)的值為（）A.1B.(\frac{3}{2})C.2D.3雙曲線(\frac{x^2}{4}-y^2=1)的頂點(diǎn)到漸近線的距離為（）A.(\frac{2\sqrt{5}}{5})B.(\frac{\sqrt{5}}{5})C.(\frac{2}{5})D.(\frac{1}{5})已知雙曲線(C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)的右焦點(diǎn)為(F)，過(F)且垂直于(x)軸的直線與雙曲線交于(A)，(B)兩點(diǎn)，若(|AB|=\frac{2b^2}{a})，則雙曲線的離心率為（）A.(\sqrt{2})B.(\sqrt{3})C.2D.3雙曲線(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1)上的點(diǎn)到兩條漸近線的距離之積為（）A.(\frac{144}{25})B.(\frac{9}{25})C.(\frac{16}{25})D.(\frac{25}{144})若雙曲線(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)與直線(y=kx+m)有且只有一個公共點(diǎn)，則(k)的取值范圍是（）A.(k=\pm\frac{a})B.(k>\frac{a})或(k<-\frac{a})C.(-\frac{a}<k<\frac{a})D.任意實(shí)數(shù)已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在(x)軸上，一條漸近線方程為(y=\sqrt{3}x)，且過點(diǎn)((2,3))，則雙曲線的方程為（）A.(\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{3}=1)B.(\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{1}=1)C.(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1)D.(\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{4}=1)設(shè)(F_1)，(F_2)是雙曲線(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線上存在點(diǎn)(P)，使得(\angleF_1PF_2=90^\circ)，且(|PF_1|=3|PF_2|)，則雙曲線的離心率為（）A.(\frac{\sqrt{10}}{2})B.(\sqrt{10})C.(\frac{\sqrt{5}}{2})D.(\sqrt{5})二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）雙曲線(\frac{y^2}{2}-x^2=1)的離心率為________。已知雙曲線的焦點(diǎn)在(y)軸上，焦距為10，漸近線方程為(y=\pm\frac{3}{4}x)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________。雙曲線(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1)上一點(diǎn)(P)到右焦點(diǎn)的距離為10，則點(diǎn)(P)的橫坐標(biāo)為________。設(shè)雙曲線(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)的左、右焦點(diǎn)分別為(F_1)，(F_2)，過(F_1)的直線與雙曲線的左支交于(A)，(B)兩點(diǎn)，若(|AB|=5)，(|AF_2|=8)，(|BF_2|=10)，則(|AF_1|=)________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在(x)軸上，離心率為2，且過點(diǎn)((\sqrt{3},\sqrt{3}))，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。（本小題滿分12分）雙曲線(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>0)，(b>0)）的左、右焦點(diǎn)分別為(F_1)，(F_2)，離心率為(\sqrt{2})，且過點(diǎn)((2,\sqrt{2}))。（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若點(diǎn)(P)在雙曲線上，且(\angleF_1PF_2=60^\circ)，求(\triangleF_1PF_2)的面積。（本小題滿分12分）已知雙曲線(C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)的漸近線方程為(y=\pm\frac{1}{2}x)，且與橢圓(\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{5}=1)有公共焦點(diǎn)。（1）求雙曲線(C)的方程；（2）過雙曲線(C)的右焦點(diǎn)(F)作傾斜角為(30^\circ)的直線(l)，交雙曲線于(A)，(B)兩點(diǎn)，求(|AB|)的長。（本小題滿分12分）設(shè)雙曲線(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)的左焦點(diǎn)為(F)，過(F)的直線與雙曲線的左支交于(A)，(B)兩點(diǎn)，且(|AB|=m)，右焦點(diǎn)為(F')，求(\triangleABF')的周長。（本小題滿分12分）已知雙曲線(C:\frac{x^2}{4}-y^2=1)，直線(l:y=kx+m)與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)(A)，(B)。（1）若以(AB)為直徑的圓過原點(diǎn)，求(m^2)與(k^2)的關(guān)系；（2）若直線(l)與雙曲線的兩條漸近線分別交于(M)，(N)兩點(diǎn)，且(|AM|=|BN|)，求(m)的值。（本小題滿分12分）雙曲線(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>0)，(b>0)）的右焦點(diǎn)為(F(c,0))，過(F)的直線與雙曲線的右支交于(A)，(B)兩點(diǎn)，且點(diǎn)(A)在第一象限。（1）若直線(AB)的斜率為(\frac{a})，求(|AF|-|BF|)的值；（2）設(shè)(A)，(B)兩點(diǎn)在雙曲線的右準(zhǔn)線上的射影分別為(A')，(B')，求證：(|A'F|=|B'F|)。參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)（僅供閱卷參考）一、選擇題B2.A3.B4.C5.C6.A7.A8.A9.A10.A11.A12.A二、填空題13.(\frac{\sqrt{6}}{2})14.(\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{16}=1)15.(\frac{34}{5})16.3三、解答題17.解：設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>0)，(b>0)）。由離心率(e=\frac{c}{a}=2)，得(c=2a)，又(c^2=a^2+b^2)，則(b^2=3a^2)。將點(diǎn)((\sqrt{3},\sqrt{3}))代入方程得(\frac{3}{a^2}-\frac{3}{3a^2}=1)，解得(a^2=2)，(b^2=6)。故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{6}=1)。（10分）解：（1）由離心率(e=\frac{c}{a}=\sqrt{2})，得(c=\sqrt{2}a)，(b^2=c^2-a^2=a^2)。將點(diǎn)((2,\sqrt{2}))代入(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{a^2}=1)，得(\frac{4}{a^2}-\frac{2}{a^2}=1)，解得(a^2=2)，(b^2=2)。雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{2}=1)。（6分）（2）設(shè)(|PF_1|=m)，(|PF_2|=n)，則(|m-n|=2a=2\sqrt{2})，(c=2)，(|F_1F_2|=4)。由余弦定理得(m^2+n^2-2mn\cos60^\circ=(2c)^2)，即((m-n)^2+mn=16)，解得(mn=8)。(\triangleF_1PF_2)的面積(S=\frac{1}{2}mn\sin60^\circ=2\sqrt{3})。（12分）解：（1）橢圓(\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{5}=1)的焦點(diǎn)為((\pm\sqrt{15},0))，則雙曲線的(c=\sqrt{15})。由漸近線方程(y=\pm\frac{1}{2}x)，得(\frac{a}=\frac{1}{2})，(a=2b)。又(c^2=a^2+b^2=5b^2=15)，解得(b^2=3)，(a^2=12)。雙曲線(C)的方程為(\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{3}=1)。（6分）（2）右焦點(diǎn)(F(\sqrt{15},0))，直線(l)的方程為(y=\frac{\sqrt{3}}{3}(x-\sqrt{15}))。聯(lián)立(\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{3}=1)，消去(y)得(2x^2+2\sqrt{15}x-39=0)。設(shè)(A(x_1,y_1))，(B(x_2,y_2))，則(x_1+x_2=-\sqrt{15})，(x_1x_2=-\frac{39}{2})。(|AB|=\sqrt{1+k^2}\cdot\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{1+\frac{1}{3}}\cdot\sqrt{15+78}=\sqrt{\frac{4}{3}}\cdot\sqrt{93}=2\sqrt{31})。（12分）解：由雙曲線定義知(|AF'|-|AF|=2a)，(|BF'|-|BF|=2a)，則(|AF'|+|BF'|=|AF|+|BF|+4a=m+4a)。(\triangleABF')的周長為(|AB|+|AF'|+|BF'|=m+m+4a=2m+4a)。（12分）解：（1）聯(lián)立(\frac{x^2}{4}-y^2=1)與(y=kx+m)，得((1-4k^2)x^2-8kmx-4m^2-4=0)。設(shè)(A(x_1,y_1))，(B(x_2,y_2))，則(x_1+x_2=\frac{8km}{1-4k^2})，(x_1x_2=\frac{-4m^2-4}{1-4k^2})。由以(AB)為直徑的圓過原點(diǎn)，得(x_1x_2+y_1y_2=0)，即((1+k^2)x_1x_2+km(x_1+x_2)+m^2=0)。代入化簡得(m^2=4k^2+1)。（6分）（2）漸近線方程為(y=\pm\frac{1}{2}x)，聯(lián)立(y=kx+m)得(M\left(\frac{-2m}{2k-1},\frac{-m}{2k-1}\right))，(N\left(\frac{2m}{1+2k},\frac{m}{1+2k}\right))。由