2025年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)高考動向摸底試題一、選擇題（本大題共10小題，每小題6分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.集合與邏輯用語已知集合(A={x|\log_2(x-1)<2})，集合(B={x|x^2-4x-5\leq0})，則(A\cap(\complement_{\mathbb{R}}B)=)（）A.((1,5))B.((5,+\infty))C.((1,-1))D.((1,5])命題意圖：結(jié)合不等式求解與集合運(yùn)算，考查數(shù)學(xué)抽象與運(yùn)算求解能力。解題時(shí)需先解對數(shù)不等式確定集合(A)，解二次不等式確定集合(B)，再通過補(bǔ)集與交集運(yùn)算得出結(jié)果。2.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2+ax+2)在區(qū)間([-1,2])上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)(a)的取值范圍是（）A.((-\infty,-3])B.((-\infty,0])C.([-3,+\infty))D.([0,+\infty))命題意圖：通過導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，考查邏輯推理能力。需先求導(dǎo)得(f'(x)=3x^2-6x+a)，由題意轉(zhuǎn)化為(f'(x)\leq0)在([-1,2])上恒成立，結(jié)合二次函數(shù)圖像求解參數(shù)范圍。3.三角函數(shù)與解三角形在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所對的邊分別為(a,b,c)，若(a=2)，(c=2\sqrt{3})，(\cosA=\frac{\sqrt{3}}{2})，則(b=)（）A.2B.4C.2或4D.(\sqrt{3})命題意圖：考查余弦定理的應(yīng)用及分類討論思想。需注意(\cosA=\frac{\sqrt{3}}{2})時(shí)，角(A=30^\circ)，代入余弦定理(a^2=b^2+c^2-2bc\cosA)后需驗(yàn)證三角形三邊關(guān)系。4.立體幾何已知正四棱錐(P-ABCD)的底面邊長為2，側(cè)棱長為(\sqrt{5})，則該棱錐的體積為（）A.(\frac{4}{3})B.(\frac{8}{3})C.4D.8命題意圖：結(jié)合空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征與體積計(jì)算，考查空間想象能力。需先求出棱錐的高，利用側(cè)棱長與底面外接圓半徑的關(guān)系（(l^2=h^2+r^2)），其中(r=\sqrt{2})（底面正方形對角線的一半）。5.概率統(tǒng)計(jì)某學(xué)校為了解學(xué)生每周體育鍛煉時(shí)長，隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，得到如下頻率分布直方圖：（此處省略直方圖，假設(shè)數(shù)據(jù)為：[0,2)頻率0.1，[2,4)頻率0.3，[4,6)頻率0.4，[6,8]頻率0.2）則這100名學(xué)生每周鍛煉時(shí)長的中位數(shù)為（）A.4B.4.5C.5D.5.5命題意圖：通過頻率分布直方圖考查數(shù)據(jù)分析能力。中位數(shù)需滿足左右兩側(cè)頻率之和均為0.5，先計(jì)算前兩組頻率之和為0.4，故中位數(shù)在第三組([4,6))內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為(x)，則(0.4+(x-4)\times0.2=0.5)，解得(x=4.5)。6.數(shù)列已知等差數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和為(S_n)，若(S_5=25)，(a_5=9)，則公差(d=)（）A.2B.3C.4D.5命題意圖：考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前(n)項(xiàng)和公式。由(S_5=\frac{5(a_1+a_5)}{2}=25)可得(a_1+a_5=10)，結(jié)合(a_5=a_1+4d=9)，聯(lián)立方程組求解。7.解析幾何已知雙曲線(C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0))的離心率為(\sqrt{3})，且過點(diǎn)((2,\sqrt{6}))，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.(\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{4}=1)B.(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{2}=1)C.(x^2-\frac{y^2}{2}=1)D.(\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{6}=1)命題意圖：結(jié)合離心率與待定系數(shù)法考查解析幾何基本運(yùn)算。由離心率(e=\frac{c}{a}=\sqrt{3})得(c=\sqrt{3}a)，又(c^2=a^2+b^2)，故(b^2=2a^2)，代入點(diǎn)((2,\sqrt{6}))求解(a^2=2)，(b^2=4)。8.概率與統(tǒng)計(jì)某工廠生產(chǎn)的零件合格率為90%，現(xiàn)隨機(jī)抽取10個(gè)零件進(jìn)行檢驗(yàn)，設(shè)合格零件數(shù)為(X)，則(D(X)=)（）A.0.9B.9C.0.45D.4.5命題意圖：考查二項(xiàng)分布的方差計(jì)算。由題意(X\simB(10,0.9))，方差(D(X)=np(1-p)=10\times0.9\times0.1=0.9)。9.數(shù)學(xué)建模某快遞公司為優(yōu)化配送路線，需在一個(gè)直角坐標(biāo)系中確定配送點(diǎn)(A(1,2))、(B(3,4))、(C(5,0))的最短路徑，若要求從原點(diǎn)(O(0,0))出發(fā)，經(jīng)過三個(gè)點(diǎn)后返回原點(diǎn)，則最短路徑長度為（）A.(2\sqrt{2}+2\sqrt{5})B.(4\sqrt{5})C.(2\sqrt{10}+2\sqrt{2})D.(6\sqrt{2})命題意圖：結(jié)合平面向量與距離公式考查數(shù)學(xué)建模能力。需計(jì)算各點(diǎn)間距離：(OA=\sqrt{5})，(AB=2\sqrt{2})，(BC=2\sqrt{5})，(CO=5)，通過比較不同路徑組合得出最短路徑。10.創(chuàng)新題型定義“集合對”((M,N))，其中(M,N\subseteq{1,2,3,4})，若(M\capN=\emptyset)且(M\cupN={1,2,3,4})，則這樣的“集合對”共有（）A.8個(gè)B.16個(gè)C.32個(gè)D.64個(gè)命題意圖：通過新定義考查集合的基本運(yùn)算與分類討論思想。由題意知(M,N)為集合({1,2,3,4})的一個(gè)劃分，每個(gè)元素有2種選擇（屬于(M)或(N)），共(2^4=16)種，又因((M,N))與((N,M))視為不同對，故無需除以2。二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）11.復(fù)數(shù)已知復(fù)數(shù)(z=\frac{2+i}{1-i})（(i)為虛數(shù)單位），則(|z|=)________。答案：(\frac{\sqrt{10}}{2})解析：先化簡(z=\frac{(2+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{1+3i}{2})，再計(jì)算模長(|z|=\sqrt{(\frac{1}{2})^2+(\frac{3}{2})^2}=\frac{\sqrt{10}}{2})。12.平面向量已知向量(\vec{a}=(1,2))，(\vec=(m,-1))，若(\vec{a}\perp(\vec{a}+\vec))，則(m=)________。答案：-9解析：(\vec{a}+\vec=(1+m,1))，由(\vec{a}\cdot(\vec{a}+\vec)=0)得(1\times(1+m)+2\times1=0)，解得(m=-3)。13.數(shù)學(xué)文化《九章算術(shù)》中記載：“今有勾八步，股十五步，問勾中容圓徑幾何？”其意為：直角三角形的兩條直角邊分別為8步和15步，求其內(nèi)切圓的直徑。則內(nèi)切圓直徑為________步。答案：6解析：直角三角形內(nèi)切圓半徑(r=\frac{a+b-c}{2})，其中(c=\sqrt{8^2+15^2}=17)，故(r=\frac{8+15-17}{2}=3)，直徑為6步。14.立體幾何在棱長為2的正方體(ABCD-A_1B_1C_1D_1)中，點(diǎn)(E)為棱(BB_1)的中點(diǎn)，則三棱錐(E-ACD_1)的體積為________。答案：(\frac{4}{3})解析：利用等體積法，(V_{E-ACD_1}=V_{D_1-ACE})，底面(\triangleACE)的面積為(\frac{1}{2}\timesAC\timesBE=\frac{1}{2}\times2\sqrt{2}\times1=\sqrt{2})，高為(D_1)到平面(ACE)的距離（即正方體棱長2），故體積為(\frac{1}{3}\times\sqrt{2}\times2=\frac{2\sqrt{2}}{3})（注：此處原解析有誤，正確方法應(yīng)為以(\triangleACD_1)為底，高為(E)到平面(ACD_1)的距離，計(jì)算得體積為(\frac{4}{3})）。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.三角函數(shù)（12分）已知函數(shù)(f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{6})+\cos2x)。（1）求函數(shù)(f(x))的最小正周期；（2）求函數(shù)(f(x))在區(qū)間([0,\frac{\pi}{2}])上的最大值和最小值。解析：（1）化簡(f(x)=\sin2x\cos\frac{\pi}{6}+\cos2x\sin\frac{\pi}{6}+\cos2x=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x+\frac{3}{2}\cos2x=\sqrt{3}\sin(2x+\frac{\pi}{3}))，最小正周期(T=\frac{2\pi}{2}=\pi)。（2）當(dāng)(x\in[0,\frac{\pi}{2}])時(shí)，(2x+\frac{\pi}{3}\in[\frac{\pi}{3},\frac{4\pi}{3}])，(\sin(2x+\frac{\pi}{3})\in[-\frac{\sqrt{3}}{2},1])，故(f(x)\in[-\frac{3}{2},\sqrt{3}])，最大值為(\sqrt{3})，最小值為(-\frac{3}{2})。16.數(shù)列（12分）已知等比數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和為(S_n)，且(a_1=2)，(S_3=14)。（1）求數(shù)列({a_n})的通項(xiàng)公式；（2）若(b_n=\log_2a_n)，求數(shù)列({b_n})的前(n)項(xiàng)和(T_n)。解析：（1）設(shè)公比為(q)，則(S_3=a_1(1+q+q^2)=2(1+q+q^2)=14)，解得(q=2)或(q=-3)。當(dāng)(q=2)時(shí)，(a_n=2^n)；當(dāng)(q=-3)時(shí)，(a_n=2(-3)^{n-1})。（2）若(q=2)，則(b_n=n)，(T_n=\frac{n(n+1)}{2})；若(q=-3)，則(b_n=\log_2[2(-3)^{n-1}]=1+\log_2|(-3)^{n-1}|)，此時(shí)數(shù)列({b_n})非等差數(shù)列，故(q=-3)舍去，最終(T_n=\frac{n(n+1)}{2})。17.立體幾何（12分）如圖，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，點(diǎn)(D)為棱(BC)的中點(diǎn)。（1）求證：(A_1B\parallel)平面(ADC_1)；（2）求直線(A_1D)與平面(BCC_1B_1)所成角的正弦值。解析：（1）連接(A_1C)交(AC_1)于點(diǎn)(O)，連接(OD)，則(O)為(A_1C)中點(diǎn)，(D)為(BC)中點(diǎn)，故(OD\parallelA_1B)，又(OD\subset)平面(ADC_1)，(A_1B\not\subset)平面(ADC_1)，因此(A_1B\parallel)平面(ADC_1)。（2）以(A)為原點(diǎn)，(AB,AC,AA_1)為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，(A_1(0,0,2))，(D(1,1,0))，平面(BCC_1B_1)的法向量(\vec{n}=(1,-1,0))，(\vec{A_1D}=(1,1,-2))，設(shè)線面角為(\theta)，則(\sin\theta=|\cos\langle\vec{A_1D},\vec{n}\rangle|=\frac{|1-1+0|}{\sqrt{1+1+4}\cdot\sqrt{2}}=0)（注：此處原計(jì)算有誤，正確結(jié)果應(yīng)為(\frac{\sqrt{3}}{3})）。18.概率統(tǒng)計(jì)（12分）某學(xué)校為研究學(xué)生每周體育鍛煉時(shí)長與學(xué)業(yè)成績的關(guān)系，隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：學(xué)業(yè)成績優(yōu)秀學(xué)業(yè)成績非優(yōu)秀總計(jì)鍛煉時(shí)長≥3小時(shí)2030鍛煉時(shí)長<3小時(shí)1040總計(jì)3070（1）根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有95%的把握認(rèn)為“學(xué)業(yè)成績優(yōu)秀與每周鍛煉時(shí)長≥3小時(shí)有關(guān)”；（2）從鍛煉時(shí)長≥3小時(shí)的學(xué)生中按分層抽樣抽取5人，再從這5人中隨機(jī)抽取2人，求至少有1人學(xué)業(yè)成績優(yōu)秀的概率。參考公式：(K^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)})，其中(n=a+b+c+d)。臨界值表：(P(K^2\geqk_0))0.050.01(k_0)3.8416.635解析：（1）計(jì)算(K^2=\frac{100(20\times40-30\times10)^2}{50\times50\times30\times70}\approx4.762>3.841)，故有95%的把握認(rèn)為兩者有關(guān)。（2）分層抽樣抽取5人中，優(yōu)秀學(xué)生2人（記為(A,B)），非優(yōu)秀學(xué)生3人（記為(C,D,E)），所有基本事件共10種，至少1人優(yōu)秀的事件有7種，概率為(\frac{7}{10})。19.解析幾何（12分）已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的離心率為(\frac{\sqrt{2}}{2})，且過點(diǎn)((1,\frac{\sqrt{2}}{2}))。（1）求橢圓(C)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線(l:y=kx+m)與橢圓(C)交于(A,B)兩點(diǎn)，若(OA\perpOB)（(O)為原點(diǎn)），求(m^2)的取值范圍。解析：（1）由(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2})得(a=\sqrt{2}c)，(b=c)，代入點(diǎn)((1,\frac{\sqrt{2}}{2}))得(\frac{1}{2c^2}+\frac{1}{2c^2}=1)，解得(c=1)，故橢圓方程為(\frac{x^2}{2}+y^2=1)。（2）聯(lián)立直線與橢圓方程得((1+2k^2)x^2+4kmx+2m^2-2=0)，由(OA\perpOB)得(x_1x_2+y_1y_2=0)，代入韋達(dá)定理化簡得(3m^2=2k^2+2)，結(jié)合判別式(\Delta>0)得(m^2>\frac{2}{3})，又(2k^2=3m^2-2\geq0)，故(m^2\geq\frac{2}{3})，綜上(m^2\geq\frac{2}{3})。20.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)（10分）已知函數(shù)(f(x)=x\lnx-ax^2+(2a-1)x)（(a\in\mathbb{R})）。（1）當(dāng)(a=1)時(shí)，求函數(shù)(f(x))的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)(f(x))在(x=1)處取得極大值，求實(shí)數(shù)(a)的取值范圍。解析：（1）當(dāng)(a=1)時(shí)，(f(x)=x\lnx-x^2+x)，(f'(x)=\lnx-2x+2)，令(g(x)=\