2025年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)測評試題一、單項選擇題（每題5分，共10題，50分）數(shù)學(xué)抽象：在研究“校園共享單車使用規(guī)律”時，將每輛單車的日均使用次數(shù)記為變量(x)，使用時長記為變量(y)，忽略單車品牌、顏色等無關(guān)特征，建立(y)與(x)的函數(shù)關(guān)系。這一過程主要體現(xiàn)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是（）A.數(shù)學(xué)建模B.數(shù)學(xué)抽象C.數(shù)據(jù)分析D.直觀想象邏輯推理：已知命題(p)：“若函數(shù)(f(x))是奇函數(shù)，則(f(0)=0)”，命題(q)：“若數(shù)列({a_n})是等比數(shù)列，則(a_1a_3=a_2^2)”。下列說法正確的是（）A.(p)真(q)假B.(p)假(q)真C.(p\landq)為真D.(\negp\lorq)為假數(shù)學(xué)建模：某小區(qū)為優(yōu)化停車位資源，統(tǒng)計了近100天的外來車輛停車需求，發(fā)現(xiàn)每日需求量(X)（單位：輛）服從正態(tài)分布(N(50,10^2))。若小區(qū)現(xiàn)有60個臨時車位，則每日車位緊張（即(X>60)）的概率約為（）（參考數(shù)據(jù)：(P(\mu-\sigma<X\leq\mu+\sigma)=0.6827)）A.0.1587B.0.0228C.0.3413D.0.0455直觀想象：在正方體(ABCD-A_1B_1C_1D_1)中，棱長為2，點(E)為棱(CC_1)的中點，則異面直線(AE)與(B_1D_1)所成角的余弦值為（）A.(\frac{\sqrt{3}}{3})B.(\frac{\sqrt{6}}{6})C.(\frac{1}{2})D.(\frac{\sqrt{2}}{2})數(shù)學(xué)運算：已知復(fù)數(shù)(z)滿足(z(1+i)=2-3i)（(i)為虛數(shù)單位），則(|z|=)（）A.(\frac{\sqrt{13}}{2})B.(\frac{\sqrt{26}}{2})C.(\sqrt{13})D.(\sqrt{26})數(shù)據(jù)分析：為研究某作物產(chǎn)量與施肥量的關(guān)系，收集了5組數(shù)據(jù)((x_i,y_i))，其中(x)為施肥量（kg/畝），(y)為產(chǎn)量（kg/畝）。經(jīng)計算得(\sumx_i=30)，(\sumy_i=400)，回歸直線方程為(\hat{y}=6x+\hat{a})，則(\hat{a}=)（）A.36B.44C.52D.60數(shù)學(xué)抽象：“函數(shù)(f(x))在區(qū)間(I)上單調(diào)遞增”的定義是“對任意(x_1,x_2\inI)，若(x_1<x_2)，則(f(x_1)<f(x_2))”。下列命題中，與該定義等價的是（）A.存在(x_1,x_2\inI)，若(x_1<x_2)，則(f(x_1)<f(x_2))B.對任意(x_1,x_2\inI)，若(f(x_1)\geqf(x_2))，則(x_1\geqx_2)C.對任意(x_1\inI)，存在(x_2\inI)，若(x_1<x_2)，則(f(x_1)<f(x_2))D.存在(x_1\inI)，對任意(x_2\inI)，若(x_1<x_2)，則(f(x_1)<f(x_2))邏輯推理：已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+1)，則(a_5=)（）A.15B.31C.63D.127數(shù)學(xué)建模：某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，固定成本為2000元，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品成本增加10元，已知總收益(R)（元）與年產(chǎn)量(x)（件）的關(guān)系為(R(x)=\begin{cases}40x-0.5x^2,&0\leqx\leq40\8000,&x>40\end{cases})，則年產(chǎn)量為多少時，總利潤最大？（）A.30件B.40件C.50件D.60件直觀想象：在三棱錐(P-ABC)中，(PA\perp)平面(ABC)，(AB\perpBC)，(PA=AB=BC=2)，則該三棱錐外接球的表面積為（）A.(8\pi)B.(12\pi)C.(16\pi)D.(20\pi)二、多項選擇題（每題6分，共4題，24分。每題有多個選項符合題意，全部選對得6分，部分選對得3分，選錯得0分）數(shù)據(jù)分析：下列關(guān)于統(tǒng)計圖表的說法正確的有（）A.頻率分布直方圖中，各小矩形的面積之和為1B.莖葉圖能保留原始數(shù)據(jù)，便于記錄和比較C.扇形圖主要用于展示數(shù)據(jù)的變化趨勢D.散點圖可用于判斷兩個變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系邏輯推理：已知函數(shù)(f(x)=\sin(\omegax+\varphi)(\omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2}))，其圖像的一個對稱中心為((\frac{\pi}{6},0))，一條對稱軸為(x=-\frac{\pi}{12})，則下列說法正確的有（）A.(\omega=2)B.(\varphi=\frac{\pi}{3})C.函數(shù)(f(x))在((-\frac{\pi}{3},0))上單調(diào)遞增D.函數(shù)(f(x))的最小正周期為(\pi)數(shù)學(xué)建模：某城市為緩解交通擁堵，計劃在甲、乙兩地鐵站之間修建一條地下通道，通道長度為1000米。工程隊采用兩種掘進機施工：A型機每天掘進30米，成本5萬元/天；B型機每天掘進20米，成本3萬元/天。若要求工期不超過40天，且總成本不超過800萬元，則下列施工方案可行的有（）A.A型機施工20天，B型機施工20天B.A型機施工25天，B型機施工15天C.A型機施工30天，B型機施工10天D.A型機施工15天，B型機施工25天直觀想象：在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線(C:y^2=4x)的焦點為(F)，過點(F)的直線(l)交拋物線于(A,B)兩點，則下列說法正確的有（）A.若直線(l)的斜率為1，則(|AB|=8)B.線段(AB)的中點的軌跡方程為(y^2=2(x-1))C.以(AB)為直徑的圓與直線(x=-1)相切D.若(\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FB})，則直線(l)的斜率為(\pm2\sqrt{2})三、填空題（每題5分，共4題，20分）數(shù)學(xué)運算：已知向量(\vec{a}=(2,1))，(\vec=(m,3))，若(\vec{a}\perp(\vec{a}-\vec))，則(m=)________。數(shù)學(xué)建模：某病毒傳播模型中，感染人數(shù)(N(t))（單位：人）與時間(t)（單位：天）的關(guān)系為(N(t)=N_0e^{kt})，其中(N_0)為初始感染人數(shù)，(k)為傳播系數(shù)。若經(jīng)過3天感染人數(shù)變?yōu)樵瓉淼?倍，則再經(jīng)過________天感染人數(shù)將變?yōu)樵瓉淼?4倍。直觀想象：在棱長為1的正四面體(ABCD)中，點(M,N)分別為棱(AB,CD)的中點，則線段(MN)的長度為________。數(shù)據(jù)分析：某學(xué)校為了解學(xué)生每周體育鍛煉時長，隨機抽取100名學(xué)生進行調(diào)查，得到如下頻率分布表：鍛煉時長（小時）[0,2)[2,4)[4,6)[6,8)[8,10]頻率0.10.30.40.150.05則這100名學(xué)生每周體育鍛煉時長的中位數(shù)為________小時。四、解答題（共6題，76分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）邏輯推理與數(shù)學(xué)運算（12分）已知數(shù)列({a_n})是等差數(shù)列，({b_n})是等比數(shù)列，且(a_1=b_1=1)，(a_2+b_2=5)，(a_3+b_3=11)。（1）求數(shù)列({a_n})和({b_n})的通項公式；（2）記(c_n=a_n+b_n)，求數(shù)列({c_n})的前(n)項和(S_n)。數(shù)學(xué)建模與數(shù)據(jù)分析（12分）為評估某款理財產(chǎn)品的收益情況，隨機抽取50位投資者的年化收益率（單位：%）數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖：（注：每組數(shù)據(jù)以區(qū)間中點值為代表，頻率分布直方圖中從左到右各小矩形的高度之比為3:4:5:4:2:2）（1）求頻率分布直方圖中(a)的值及年化收益率的平均數(shù)；（2）若從年化收益率在[4%,6%)和[10%,12%]的投資者中隨機選取2人進行訪談，求這2人來自不同區(qū)間的概率。直觀想象與邏輯推理（12分）如圖，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AC=BC=AA_1=2)，(\angleACB=90^\circ)，點(D,E)分別為棱(A_1B_1,BB_1)的中點。（1）求證：(DE\parallel)平面(A_1ACC_1)；（2）求二面角(A-DE-C)的余弦值。數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)運算（12分）某農(nóng)場計劃種植某種水果，根據(jù)市場調(diào)研，該水果的市場售價(p)（元/kg）與產(chǎn)量(q)（kg）的關(guān)系為(p=20-\frac{q}{1000})，且每畝產(chǎn)量(q)與施肥量(x)（kg/畝）滿足(q=1000+100\sqrt{x})（(0\leqx\leq100)）。（1）寫出每畝銷售收入(R)（元/畝）關(guān)于施肥量(x)的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)施肥量(x)為多少時，每畝銷售收入最大？最大銷售收入為多少？邏輯推理與數(shù)學(xué)抽象（14分）已知函數(shù)(f(x)=e^x-ax^2-2x)（(a\inR)）。（1）當(dāng)(a=0)時，求函數(shù)(f(x))的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)(f(x))在((0,+\infty))上有兩個極值點，求實數(shù)(a)的取值范圍。數(shù)學(xué)建模與數(shù)據(jù)分析（14分）為研究某地區(qū)居民的收入水平與教育支出的關(guān)系，收集了該地區(qū)10個家庭的年收入(x)（萬元）與年教育支出(y)（萬元）的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得：(\sumx_i=120)，(\sumy_i=24)，(\sumx_i^2=1500)，(\sumy_i^2=60)，(\sumx_iy_i=300)。（1）求年教育支出(y)關(guān)于年收入(x)的線性回歸方程(\hat{y}=\hatx+\hat{a})；（2）利用相關(guān)系數(shù)(r)判斷(y)與(x)之間線性相關(guān)關(guān)系的強弱（參考：(|r|\geq0.75)時，線性相關(guān)關(guān)系較強；(|r|<0.75)時，線性相關(guān)關(guān)系較弱）；（3）若某家庭年收入為