2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)石鐘慈數(shù)值分析試卷一、選擇題（共10題，每題3分，共計(jì)30分）數(shù)值分析的核心研究?jī)?nèi)容不包括以下哪項(xiàng)？A.數(shù)值計(jì)算方法的設(shè)計(jì)與優(yōu)化B.數(shù)學(xué)定理的嚴(yán)格證明C.數(shù)值誤差的分析與控制D.科學(xué)計(jì)算軟件的實(shí)現(xiàn)原理用二分法求解方程(f(x)=x^3-4x-9=0)時(shí)，若初始區(qū)間為([2,3])，則經(jīng)過一次二分后得到的新區(qū)間為：A.([2,2.5])B.([2.5,3])C.([2,2.25])D.([2.25,3])下列數(shù)值積分方法中，代數(shù)精確度最高的是：A.梯形公式B.辛普生公式C.復(fù)合梯形公式（(n=4)）D.矩形公式迭代法求解線性方程組(Ax=b)時(shí)，若迭代矩陣的譜半徑(\rho(G)<1)，則該迭代過程：A.一定發(fā)散B.可能收斂也可能發(fā)散C.一定收斂D.收斂性與初始向量有關(guān)牛頓插值多項(xiàng)式與拉格朗日插值多項(xiàng)式的主要區(qū)別在于：A.牛頓插值多項(xiàng)式不需要經(jīng)過所有插值節(jié)點(diǎn)B.牛頓插值多項(xiàng)式的誤差估計(jì)更簡(jiǎn)單C.牛頓插值多項(xiàng)式可通過遞推方式構(gòu)造D.牛頓插值多項(xiàng)式僅適用于等距節(jié)點(diǎn)用歐拉方法求解微分方程(\frac{dy}{dx}=x^2+1)，(y(0)=1)，取步長(zhǎng)(h=0.5)，則(y(0.5))的近似值為：A.1.125B.1.25C.1.5D.1.75數(shù)值計(jì)算中，舍入誤差產(chǎn)生的主要原因是：A.數(shù)學(xué)模型的近似簡(jiǎn)化B.計(jì)算機(jī)浮點(diǎn)數(shù)的有限精度表示C.迭代次數(shù)不足D.函數(shù)值計(jì)算錯(cuò)誤對(duì)于非線性方程(f(x)=0)，若(f(x))在區(qū)間([a,b])上連續(xù)且(f(a)f(b)<0)，則下列方法中一定能找到根的是：A.牛頓法B.割線法C.二分法D.不動(dòng)點(diǎn)迭代法4階龍格-庫(kù)塔方法求解常微分方程初值問題時(shí)，每步計(jì)算需要調(diào)用幾次導(dǎo)數(shù)函數(shù)？A.2次B.3次C.4次D.5次下列關(guān)于數(shù)值穩(wěn)定性的說法正確的是：A.穩(wěn)定的算法一定收斂B.收斂的算法一定穩(wěn)定C.舍入誤差對(duì)穩(wěn)定算法的影響可控制D.數(shù)值穩(wěn)定性僅與問題本身有關(guān)二、填空題（共6題，每題4分，共計(jì)24分）數(shù)值積分公式(\int_{-1}^{1}f(x)dx\approxAf(-1)+Bf(0)+Cf(1))中，若要使其具有3次代數(shù)精確度，則(A=)______，(B=)______，(C=)______。用高斯-賽德爾迭代法求解方程組(\begin{cases}3x_1-x_2=1\-x_1+4x_2=2\end{cases})，其迭代格式為(x_1^{(k+1)}=)______，(x_2^{(k+1)}=)______。已知函數(shù)(f(x))在節(jié)點(diǎn)(x_0=0)，(x_1=1)，(x_2=2)處的函數(shù)值分別為(f(0)=1)，(f(1)=3)，(f(2)=8)，則其二次牛頓插值多項(xiàng)式中(x^2)項(xiàng)的系數(shù)為______。數(shù)值微分中，中心差分公式(f'(x_0)\approx\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h})的截?cái)嗾`差階為______。用二分法求方程(f(x)=0)的根，若要求近似根的絕對(duì)誤差不超過(10^{-4})，則至少需要二分______次（初始區(qū)間長(zhǎng)度為1）。設(shè)矩陣(A=\begin{pmatrix}1&a\a&1\end{pmatrix})，則雅可比迭代法收斂的充要條件是(|a|<)______。三、計(jì)算題（共4題，每題10分，共計(jì)40分）用列主元素消去法解線性方程組（10分）求解方程組：[\begin{cases}2x_1+x_2+x_3=4\x_1+3x_2+x_3=5\x_1+x_2+4x_3=6\end{cases}]（要求寫出消元過程及回代步驟）數(shù)值積分計(jì)算（10分）已知函數(shù)(f(x)=\sinx)在區(qū)間([0,\frac{\pi}{2}])上的函數(shù)值如下表：|(x)|0|(\frac{\pi}{12})|(\frac{\pi}{6})|(\frac{\pi}{4})|(\frac{\pi}{3})|(\frac{5\pi}{12})|(\frac{\pi}{2})||--------|---|---------------------|---------------------|---------------------|---------------------|----------------------|---------------------||(f(x))|0|0.2588|0.5000|0.7071|0.8660|0.9659|1.0000|分別用復(fù)合梯形公式（(n=6)）和復(fù)合辛普生公式（(n=3)）計(jì)算積分(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sinxdx)，并與精確值比較，估算兩種方法的絕對(duì)誤差。牛頓法求解非線性方程（10分）（1）構(gòu)造用牛頓法求(\sqrt[3]{a})的迭代公式（(a>0)）；（2）取初始值(x_0=2)，用上述公式求(\sqrt[3]{5})的近似值，要求迭代至(|x_{k+1}-x_k|<10^{-5})，并保留5位有效數(shù)字。插值多項(xiàng)式構(gòu)造與應(yīng)用（10分）已知函數(shù)(y=f(x))的插值條件為：(f(0)=1)，(f'(0)=0)（導(dǎo)數(shù)條件）；(f(1)=2)，(f'(1)=3)（導(dǎo)數(shù)條件）。（1）確定滿足上述條件的插值多項(xiàng)式的次數(shù)；（2）構(gòu)造該插值多項(xiàng)式，并計(jì)算(f(0.5))的近似值。四、應(yīng)用題（共2題，每題13分，共計(jì)26分）常微分方程數(shù)值求解（13分）考慮初值問題(\frac{dy}{dx}=x-y)，(y(0)=1)。（1）用改進(jìn)的歐拉方法（預(yù)測(cè)-校正法）求解(x=0.2)和(x=0.4)處的近似值，取步長(zhǎng)(h=0.2)；（2）若改用4階龍格-庫(kù)塔方法（經(jīng)典RK4），寫出其迭代公式中(k_1,k_2,k_3,k_4)的表達(dá)式（無需計(jì)算具體數(shù)值）。線性方程組迭代法收斂性分析（13分）給定線性方程組(Ax=b)，其中(A=\begin{pmatrix}4&a&0\a&4&a\0&a&4\end{pmatrix})，(b=(1,2,3)^T)。（1）寫出雅可比迭代法和高斯-賽德爾迭代法的迭代矩陣；（2）討論參數(shù)(a)的取值范圍，使得兩種迭代法均收斂；（3）當(dāng)(a=1)時(shí)，取初始向量(x^{(0)}=(0,0,0)^T)，用雅可比迭代法計(jì)算(x^{(1)})和(x^{(2)})。五、證明題（共1題，10分）證明：對(duì)于任意參數(shù)(t)，如下龍格-庫(kù)塔方法是二