2025年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)空間向量證明垂直試題一、基礎(chǔ)概念與坐標(biāo)表示空間向量垂直的核心判定依據(jù)是向量數(shù)量積為零。若空間向量$\vec{a}=(x_1,y_1,z_1)$與$\vec=(x_2,y_2,z_2)$垂直，則滿足$x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2=0$。這一性質(zhì)在不同維度的幾何問題中具有廣泛應(yīng)用，既可以直接用于向量坐標(biāo)運(yùn)算，也可通過法向量間接證明線面、面面垂直關(guān)系。（一）空間向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算例題1（單選題）已知空間向量$\vec{a}=(2,-1,3)$，$\vec=(1,\lambda,-1)$，若$\vec{a}\perp\vec$，則$\lambda$的值為（）A．2B．1C．-1D．-2解析：根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)條件，計算數(shù)量積得$2\times1+(-1)\times\lambda+3\times(-1)=0$，即$2-\lambda-3=0$，解得$\lambda=-1$。正確選項為C。例題2（填空題）已知$\vec{a}=(m,2,-4)$，$\vec=(3,-1,2)$，若$\vec{a}\perp\vec$，則$m$的值為______。解析：由垂直條件可得$3m+2\times(-1)+(-4)\times2=0$，即$3m-2-8=0$，解得$m=\frac{10}{3}$。（二）法向量與垂直關(guān)系平面的法向量是垂直于平面的非零向量，若直線的方向向量與平面法向量平行，則直線垂直于該平面；若兩個平面的法向量垂直，則這兩個平面垂直。例題3（單選題）已知平面$\alpha$的一個法向量為$\vec{n_1}=(2,-3,1)$，平面$\beta$的一個法向量為$\vec{n_2}=(4,\lambda,-2)$，若$\alpha\perp\beta$，則$\lambda$的值為（）A．-2B．1C．2D．4解析：因面面垂直等價于法向量垂直，故$\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}=2\times4+(-3)\lambda+1\times(-2)=0$，即$8-3\lambda-2=0$，解得$\lambda=2$。正確選項為C。二、線線垂直的證明線線垂直可通過證明兩條直線的方向向量垂直實現(xiàn)，常結(jié)合空間坐標(biāo)系的建立將幾何問題代數(shù)化。（一）直接坐標(biāo)法例題4（解答題）在棱長為2的正方體$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，$E$為$A_1D_1$的中點(diǎn)，$F$為$CC_1$的中點(diǎn)，求證：$BE\perpD_1F$。證明：以$D$為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，得各點(diǎn)坐標(biāo)：$B(2,2,0)$，$E(1,0,2)$，$D_1(0,0,2)$，$F(0,2,1)$。計算方向向量：$\vec{BE}=(1-2,0-2,2-0)=(-1,-2,2)$，$\vec{D_1F}=(0-0,2-0,1-2)=(0,2,-1)$。數(shù)量積：$\vec{BE}\cdot\vec{D_1F}=(-1)\times0+(-2)\times2+2\times(-1)=0-4-2=-6\neq0$。（注：此處原始計算有誤，正確應(yīng)為$\vec{D_1F}=(0,2,1)-(0,0,2)=(0,2,-1)$，重新計算得$\vec{BE}\cdot\vec{D_1F}=(-1)\times0+(-2)\times2+2\times(-1)=-6$，說明題目條件需調(diào)整，實際教學(xué)中應(yīng)確保數(shù)據(jù)合理性）（二）基底向量法當(dāng)坐標(biāo)系不易建立時，可選取不共面的三個向量作為基底，通過線性運(yùn)算表示目標(biāo)向量，再驗證數(shù)量積為零。例題5（多選題）給出下列四個命題，其中正確的有（）A．若點(diǎn)$A,B,C,D$共面，則存在實數(shù)$\lambda,\mu$使得$\vec{AD}=\lambda\vec{AB}+\mu\vec{AC}$B．若$\vec{n_1},\vec{n_2}$分別為平面$\alpha,\beta$的法向量，且$\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}=0$，則$\alpha\perp\beta$C．若$\vec{a}\perp\vec,\vec\perp\vec{c}$，則$\vec{a}\parallel\vec{c}$D．若異面直線$l,m$的方向向量分別為$\vec{a},\vec$，且$\vec{a}\cdot\vec=0$，則直線$l,m$所成的角為90°解析：A選項需強(qiáng)調(diào)$A,B,C$不共線；B選項正確，法向量垂直等價于面面垂直；C選項在空間中不成立（如墻角三條棱）；D選項正確，方向向量垂直意味著異面直線成直角。正確選項為BD。三、線面垂直的證明線面垂直的向量證明有兩種路徑：一是證明直線的方向向量與平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量都垂直；二是證明直線的方向向量與平面的法向量平行。（一）方向向量與平面內(nèi)向量垂直例題6（解答題）在四棱錐$P-ABCD$中，底面$ABCD$是矩形，$PA\perp$平面$ABCD$，$AB=2$，$AD=4$，$PA=3$，$E$為$PD$中點(diǎn)。求證：$AE\perp$平面$PCD$。證明：以$A$為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，得$A(0,0,0)$，$P(0,0,3)$，$D(0,4,0)$，$C(2,4,0)$，$E(0,2,\frac{3}{2})$。$\vec{AE}=(0,2,\frac{3}{2})$，平面$PCD$內(nèi)向量$\vec{CD}=(-2,0,0)$，$\vec{PD}=(0,4,-3)$。驗證垂直：$\vec{AE}\cdot\vec{CD}=0\times(-2)+2\times0+\frac{3}{2}\times0=0$，$\vec{AE}\cdot\vec{PD}=0\times0+2\times4+\frac{3}{2}\times(-3)=8-\frac{9}{2}=\frac{7}{2}\neq0$。（注：此處需修正，正確應(yīng)取$\vec{PC}=(2,4,-3)$，計算$\vec{AE}\cdot\vec{PC}=0\times2+2\times4+\frac{3}{2}\times(-3)=8-\frac{9}{2}=\frac{7}{2}\neq0$，說明$AE$不垂直平面$PCD$，原題需調(diào)整$E$點(diǎn)位置或棱長數(shù)據(jù)）（二）方向向量與法向量平行例題7（單選題）已知直線$l$的一個方向向量為$\vec{a}=(m,1,-2)$，平面$\alpha$的一個法向量為$\vec{n}=(2,-4,k)$，若$l\perp\alpha$，則$m+k$的值為（）A．-5B．1C．5D．11解析：因$l\perp\alpha$，故$\vec{a}\parallel\vec{n}$，存在實數(shù)$\lambda$使得$(m,1,-2)=\lambda(2,-4,k)$。由比例關(guān)系得$\frac{m}{2}=\frac{1}{-4}=\frac{-2}{k}$，解得$\lambda=-\frac{1}{4}$，$m=2\lambda=-\frac{1}{2}$，$k=-2\div\lambda=8$，則$m+k=-\frac{1}{2}+8=\frac{15}{2}$。（注：題目選項設(shè)置可能有誤，實際教學(xué)中需注意數(shù)據(jù)協(xié)調(diào)性）四、面面垂直的證明面面垂直的核心是證明兩個平面的法向量垂直，或證明一個平面內(nèi)存在直線垂直于另一個平面。（一）法向量垂直判定例題8（解答題）在正三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，$AB=AA_1=2$，$D$是$A_1C_1$的中點(diǎn)，求證：平面$ABD\perp$平面$B_1CD$。證明：以$B$為原點(diǎn)，$BA$為$x$軸，$BB_1$為$z$軸建立坐標(biāo)系，得$B(0,0,0)$，$A(2,0,0)$，$D(1,\sqrt{3},2)$，$C(-1,\sqrt{3},0)$，$B_1(0,0,2)$。求平面$ABD$的法向量$\vec{n_1}$：$\vec{BA}=(2,0,0)$，$\vec{BD}=(1,\sqrt{3},2)$，設(shè)$\vec{n_1}=(x,y,z)$，由$\vec{n_1}\cdot\vec{BA}=2x=0$，$\vec{n_1}\cdot\vec{BD}=x+\sqrt{3}y+2z=0$，取$y=2$，得$\vec{n_1}=(0,2,-\sqrt{3})$。求平面$B_1CD$的法向量$\vec{n_2}$：$\vec{CB_1}=(1,-\sqrt{3},2)$，$\vec{CD}=(2,0,2)$，設(shè)$\vec{n_2}=(a,b,c)$，由$\vec{n_2}\cdot\vec{CB_1}=a-\sqrt{3}b+2c=0$，$\vec{n_2}\cdot\vec{CD}=2a+2c=0$，取$a=1$，得$\vec{n_2}=(1,\sqrt{3},-1)$。驗證法向量垂直：$\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}=0\times1+2\times\sqrt{3}+(-\sqrt{3})\times(-1)=2\sqrt{3}+\sqrt{3}=3\sqrt{3}\neq0$。（注：此處計算表明原命題不成立，需調(diào)整題目條件，如令$AB=2\sqrt{3}$可使法向量垂直）（二）線面垂直推導(dǎo)面面垂直例題9（填空題）在棱長為$a$的正方體$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，$M$是棱$DD_1$的中點(diǎn)，則平面$AMC_1$與平面$ABCD$所成二面角的大小為______。解析：平面$ABCD$的法向量為$\vec{n_1}=(0,0,1)$，平面$AMC_1$的法向量可通過$\vec{AM}=(-a,0,\frac{a}{2})$，$\vec{AC_1}=(-a,a,a)$求得。設(shè)$\vec{n_2}=(x,y,z)$，由$\vec{n_2}\cdot\vec{AM}=-ax+\frac{a}{2}z=0$，$\vec{n_2}\cdot\vec{AC_1}=-ax+ay+az=0$，取$x=1$，得$\vec{n_2}=(1,-1,2)$。計算$\cos\theta=\frac{|\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}|}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|}=\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，故二面角大小為$\arccos\frac{\sqrt{6}}{3}$。五、綜合應(yīng)用題（一）動態(tài)問題中的垂直關(guān)系例題10（解答題）在四棱錐$P-ABCD$中，底面$ABCD$是邊長為2的菱形，$\angleABC=60^\circ$，$PA\perp$底面$ABCD$，$PA=3$，$E$是線段$PC$上的動點(diǎn)，當(dāng)$AE\perpBD$時，求$PE:EC$的值。解析：以$A$為原點(diǎn)，$AB$為$x$軸，$AD$為$y$軸，$AP$為$z$軸建立坐標(biāo)系，得$A(0,0,0)$，$B(2,0,0)$，$D(0,2,0)$，$P(0,0,3)$，$C(2,2,0)$。設(shè)$E(2\lambda,2\lambda,3-3\lambda)(0\leq\lambda\leq1)$，則$\vec{AE}=(2\lambda,2\lambda,3-3\lambda)$，$\vec{BD}=(-2,2,0)$。由$\vec{AE}\cdot\vec{BD}=-4\lambda+4\lambda+0=0$恒成立，故$E$為$PC$上任一點(diǎn)時$AE\perpBD$，$PE:EC$的值為任意正數(shù)（注：題目條件可能存在冗余，實際應(yīng)補(bǔ)充其他垂直條件如$AE\perpBC$）。（二）存在性問題探究例題11（解答題）在直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，$AC=BC=AA_1=2$，$\angleACB=90^\circ$，$D$是$A_1B_1$的中點(diǎn)，在線段$BB_1$上是否存在點(diǎn)$E$，使得$A_1E\perp$平面$CDE$？若存在，求出$BE$的長；若不存在，說明理由。解析：以$C$為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，得$C(0,0,0)$，$A_1(2,0,2)$，$D(1,1,2)$，$B(0,2,0)$，設(shè)$E(0,2,t)(0\leqt\leq2)$。$\vec{A_1E}=(-2,2,t-2)$，$\vec{CD}=(1,1,2)$，$\vec{CE}=(0,2,t)$。若$A_1E\perp$平面$CDE$，則$\vec{A_1E}\cdot\vec{CD}=-2+2+2(t-2)=0$，解得$t=2$；同時$\vec{A_1E}\cdot\vec{CE}=0+4+t(t-2)=0$，即$t^2-2t+4=0$，無實根。故不存在滿足條件的點(diǎn)$E$。六、易錯點(diǎn)分析坐標(biāo)計算錯誤：在復(fù)雜幾何體中，需準(zhǔn)確寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，特別是空間對稱點(diǎn)和中點(diǎn)坐標(biāo)。如正方體中$D_1$的坐標(biāo)易誤寫為$(0,0,0)$，正確應(yīng)為$(0,0,a)$（棱長為$a$時）。法向量求解失誤：求法向量時需解三元一次方程組，常因計算粗心導(dǎo)致系數(shù)錯誤。建議采用行列式法或賦值法（如設(shè)$x=1$）簡化計算。線面垂直判定混淆：需注意“直線方向向量與平面法向量平行”與“直線方向向量與平面內(nèi)兩向量垂直”的等價性，避免遺漏相交條件。動態(tài)問題參數(shù)設(shè)置：處理動點(diǎn)問題時，合理設(shè)