2025年上學期高二數(shù)學每日一練（Day13）一、選擇題（共10題，每題6分，共60分）已知函數(shù)$f(x)=\frac{2x+1}{x-1}$，則其反函數(shù)$f^{-1}(x)$的定義域為（）A.$(-\infty,2)\cup(2,+\infty)$B.$(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$C.$\mathbb{R}$D.$(-\infty,-1)\cup(-1,+\infty)$某外賣平臺騎手在坐標平面內(nèi)配送，起點為$(0,0)$，終點為$(8,6)$，若他沿平行于坐標軸方向行進（只能向右或向上），且經(jīng)過點$(3,4)$的概率是（）A.$\frac{C_7^3}{C_{14}^8}$B.$\frac{C_7^3C_7^5}{C_{14}^8}$C.$\frac{C_3^3C_4^4}{C_{14}^8}$D.$\frac{C_7^3+C_7^5}{C_{14}^8}$已知空間向量$\vec{a}=(1,2,-3)$，$\vec=(m,1,2)$，若$\vec{a}\perp(\vec{a}+\lambda\vec)$，則$\lambda=$（）A.$\frac{1}{2}$B.$-\frac{1}{2}$C.$\frac{7}{5}$D.$-\frac{7}{5}$某城市2025年1月的日平均氣溫（單位：℃）數(shù)據(jù)如下：$-5,-3,2,5,8,10,12$，則該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是（）A.8B.9C.10D.11雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的離心率為$\sqrt{3}$，則漸近線方程為（）A.$y=\pm\sqrt{2}x$B.$y=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}x$C.$y=\pm2x$D.$y=\pm\frac{1}{2}x$已知數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+3^n$，則$a_5=$（）A.59B.89C.119D.149某工廠生產(chǎn)的零件尺寸服從正態(tài)分布$N(50,4)$，質(zhì)檢人員隨機抽取10個零件，測得尺寸平均值為51，則在顯著性水平$\alpha=0.05$下（$u_{0.975}=1.96$），下列結論正確的是（）A.拒絕原假設，認為均值顯著偏大B.接受原假設，認為均值無顯著變化C.無法判斷，需增加樣本量D.拒絕原假設，認為均值顯著偏小在棱長為2的正方體$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，點$E$為$BB_1$中點，則三棱錐$E-ACD_1$的體積為（）A.$\frac{2}{3}$B.$\frac{4}{3}$C.$\frac{8}{3}$D.4已知復數(shù)$z$滿足$|z-2i|=1$，則$|z+1|$的最大值為（）A.$\sqrt{10}+1$B.$\sqrt{10}-1$C.4D.3某投資產(chǎn)品的年化收益率$X$（單位：%）服從參數(shù)為$\mu=5$，$\sigma=2$的正態(tài)分布，若投資者連續(xù)購買3年，每年收益率相互獨立，則至少兩年收益率超過7%的概率是（）A.$C_3^2\left(\frac{1}{2}\right)^3+C_3^3\left(\frac{1}{2}\right)^3$B.$C_3^2\left(\frac{1}{4}\right)^2\left(\frac{3}{4}\right)+C_3^3\left(\frac{1}{4}\right)^3$C.$C_3^2\left(\frac{1}{3}\right)^2\left(\frac{2}{3}\right)+C_3^3\left(\frac{1}{3}\right)^3$D.$C_3^2\left(\frac{1}{5}\right)^2\left(\frac{4}{5}\right)+C_3^3\left(\frac{1}{5}\right)^3$二、填空題（共6題，每題5分，共30分）已知向量$\vec{a}=(2,-1)$，$\vec=(1,k)$，若$\vec{a}$與$\vec$的夾角為銳角，則$k$的取值范圍是_________。某學校高二（1）班有50名學生，其中男生30人，女生20人，現(xiàn)從中隨機選取5人參加數(shù)學競賽，記所選5人中男生人數(shù)為$X$，則$E(X)=$_________。函數(shù)$f(x)=\sinx+\cosx$在區(qū)間$[0,\pi]$上的最大值為_________，最小值為_________。已知拋物線$y^2=4x$的焦點為$F$，準線為$l$，過$F$的直線交拋物線于$A$，$B$兩點，若$|AF|=3$，則$|BF|=$_________。某公司生產(chǎn)的電子元件壽命$T$（單位：小時）服從指數(shù)分布，其概率密度函數(shù)為$f(t)=\frac{1}{1000}e^{-\frac{t}{1000}}(t\geq0)$，則該元件壽命超過2000小時的概率是_________。如圖，在直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，$\angleBAC=90^\circ$，$AB=AC=AA_1=2$，則異面直線$A_1B$與$AC_1$所成角的余弦值為_________。三、解答題（共6題，共60分）17.（8分）已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2x$，（1）求$f(x)$的單調(diào)區(qū)間；（2）若關于$x$的方程$f(x)=m$在區(qū)間$[0,2]$上有兩個不同實根，求實數(shù)$m$的取值范圍。18.（10分）某電商平臺銷售兩種型號的筆記本電腦：A型（輕薄本）和B型（游戲本）。根據(jù)2024年銷售數(shù)據(jù)，A型銷量的頻率分布直方圖如下（組距為100臺）：[0,100):0.002[100,200):0.003[200,300):0.004[300,400]:0.001（1）求A型電腦月均銷量的估計值；（2）若B型電腦月銷量$Y$服從正態(tài)分布$N(200,40^2)$，且每月銷量超過240臺的概率為$p$，求$p$的值（精確到0.01）；（3）已知每臺A型電腦利潤為300元，B型為500元，若2025年1月計劃進貨總量不超過500臺，如何分配A、B兩種型號的進貨量，使總利潤最大？19.（10分）如圖，在四棱錐$P-ABCD$中，底面$ABCD$為矩形，$PA\perp$底面$ABCD$，$AB=2$，$AD=3$，$PA=4$，點$E$為$PD$中點。（1）建立空間直角坐標系，求向量$\vec{AE}$和$\vec{PC}$的坐標；（2）證明：$AE\parallel$平面$PBC$；（3）求二面角$A-PB-C$的余弦值。20.（10分）已知數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+n+1$。（1）證明：數(shù)列${a_n+n+2}$是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列${a_n}$的前$n$項和$S_n$。21.（10分）某疫苗研發(fā)公司對新研發(fā)的疫苗進行有效性測試，已知在安慰劑組中，感染率為20%?，F(xiàn)隨機選取200人進行雙盲試驗，其中疫苗組100人，安慰劑組100人。（1）求安慰劑組中感染人數(shù)$X$的期望與方差；（2）若疫苗組實際感染人數(shù)為12人，能否在顯著性水平$\alpha=0.05$下認為疫苗有效？（參考數(shù)據(jù)：$z_{0.05}=1.645$，$z_{0.025}=1.96$）22.（12分）已知橢圓$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且過點$(2,1)$。（1）求橢圓$C$的標準方程；（2）過點$P(0,2)$的直線$l$與橢圓$C$交于$A$，$B$兩點，若以$AB$為直徑的圓過原點$O$，求直線$l$的方程；（3）在（2）的條件下，求$\triangleAOB$的面積。四、附加探究題（10分）某物流公司用無人機向山區(qū)配送物資，無人機在離地面高度為$h$的水平線上勻速飛行，速度為$v$。當無人機到某投放點正上方時，將物資自由釋放（忽略空氣阻力，重力加速度為$g$）。（1）試建立物資落地時間$t$與高度$h$的函數(shù)關系；（2）若山高$y$與水平距離$x$的關系為$y=-\frac{1}{100}x^2+2h$（$x\geq0$），為避免物資撞山，求無人機飛行高度$h$的最小值。（3）在（2）的條件下，若無人機飛行高度為$h_{\text{min}}$，求物資落地時的速度大小。（注：附加題得分計入總分，但總分不超過150分）參考答案及解析（單獨成冊）考查反函數(shù)定義域即原函數(shù)值域，$f(x)=2+\frac{3}{x-1}\Rightarrowf(x)\neq2$，選A共需走14步（8右6上），分兩段：$(0,0)\to(3,4)$需7步（3右4上），$(3,4)\to(8,6)$需7步（5右2上），選B$\vec{a}+\lambda\vec=(1+\lambdam,2+\lambda,-3+2\lambda)$，由$\vec{a}\cdot(\vec{a}+\lambda\vec)=0$得$\lambda=-\frac{7}{5}$，選D7個數(shù)排序后第75百分位數(shù)位置為$7\times0.75=5.25$，取第6個數(shù)10，選C$e=\frac{c}{a}=\sqrt{3}\Rightarrowc^2=3a^2\Rightarrowb^2=2a^2\Rightarrow$漸近線$y=\pm\sqrt{2}x$，選A構造等比數(shù)列得$a_n=2^{n+1}-3^n$，$a_5=64-243=-179$（注：原題選項可能有誤，正確答案應為-179）$Z=\frac{51-50}{2/\sqrt{10}}\approx1.58<1.96$，接受原假設，選B利用等體積法$V_{E-ACD_1}=V_{D_1-ACE}=\frac{4}{3}$，選B幾何意義：圓心$(0,2)$到$(-1,0)$距離加半徑，$\sqrt{5}+1$（注：原題選項可能有誤，正確答案應為$\sqrt{5}+1$）$P(X>7%)=P(Z>1)=0.1587\approx\frac{1}{6}$，最接近選項B的$\frac{1}{4}$，選B$k<2$且$k\neq-\frac{1}{2}$（注意排除共線情況）超幾何分布$E(X)=5\times\frac{30}{50}=3$$\sqrt{2}$，$-1$（$f(x)=\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$）$\frac{3}{2}$（利用拋物線定義及焦點弦性質(zhì)$\frac{1}{|AF|}+\frac{1}{|BF|}=\frac{2}{p}$）$e^{-2}$（指數(shù)分布$P(T>t)=e^{-\lambdat}$，$\lambda=\frac{1}{1000}$）$\frac{\sqrt{3}}{6}$（建系后求向量夾角）17-23題解析略（含導數(shù)應用