1.1不等關系

教學目的和規(guī)定：

理解不等式的概念，感受生活中存在的不等關系

教學重點和難點：

重點：

對不等式概念的理解

難點：

怎樣建立量與量之間的不等關系。

從問題中來，到問題中去。

1.如圖1-1,用用根長度均為ion的繩子，分別圍成一種正方形和圓。

（1）假如要使正方形的面積不不小于25cm2,那么繩長/應滿足怎樣的關系式？

（2）假如要使圓的面枳不小于100cm2,那么繩長/應滿足怎樣的關系式？

（3）當/=8時，正方形和圓的面積哪個大？/=12呢？

（4）變化/的取值再試一試，在這個過程中你能得到什么啟發(fā)？

分析解答：在上面的問題中，所圍成的正方形的面積可以表達為，產(chǎn)，圓的面積可以表達為）o

（1）要使正方形的面積不不小于25cm2,就是

(,)2《25,即，25。

416

(2)要使圓的面積不小于100cm2,就是

>100,

I2

即>100

44

（3）當/=8時，正方形的面積為以=4（cv〃2）,圓的面積為忙k5.1（c〃J）,

164〃

4<5.1,此時圓的面積大。

io2p2

當/=12時，正方形的面積為一=9（。/）,圓的面積為二

164萬

9Vli.5,此時還是圓的面積大。

（4）不管怎樣變化/的取值，通過計算發(fā)現(xiàn)：總是圓的面積大，因此，我們可以猜測，用長度增色為/

cm的兩根繩子分別圍成?種正方形和圓，無論/取何值，圓的面積總不小于正方形的面積，即

I2I2

一>—

4716

2.（1）通過測量一棵樹的樹闈（樹干的周長）也許計算出它的樹齡，一般規(guī)定以樹干離地面1.5m的地

方作為測量部位。某樹栽種時的樹圍為5cm,后來樹圍每年增長約3cm,這棵樹至少要生長多少年其

樹圍才能超過2.4m?（只列關系式）

（2）燃放某種禮花彈時，為了保證安全，人在點燃導火線后要在燃放前轉移到10m以外的安全區(qū)域。

己知導火線的燃燒速度為0.2m/s,人離開的速度為4m/s,導火線的長度x（m）應滿足怎樣的關系式？

答案：（1）設這棵樹生長x年其樹圍才能超過2.4m,則5+3x>240o

（2）人離開10m以外的地方需要的時間，應不不小于導火線燃燒的時間，只有這樣才能保證人的

分析鞏固練習：

用不等式表達：

（1）a的相反數(shù)是正數(shù)；

2

（2）m與2的差不不小于一；

3

（3）x的;與4的和不是正數(shù)；

（4）y的二分之一與x的2倍的和不不不小于3。

解答：（1）a的相反數(shù)是-a,正數(shù)是比零大的數(shù)，因此“a的相反數(shù)是正數(shù)”就是-a>0；

22

（2）“m與2的差”就是m-2,“差不不小于一”即是m-2V—；

33

（3）“x的L，就是』x,"x的2與4的和不是正數(shù)"就是』X+4W0：

3333

（4）“y的二分之一”不是gy,“x的2倍”就是2x,“不不不小于3”即指不小于或等于3,故“y

的二分之一與x的2倍的和不不不小于”就是:y+2x23。

3.下列各數(shù)：-4,71,0,5.2,3其中使不等式X—2>1,成立是（）

2

1

A.-4,71,5.2B.4,5.2,3C.—,0,3D.乃,5.2

2

答案:D

4.有理數(shù)a,b在數(shù)軸上的位置如圖1-2所示，所且心的值（）

a+b

■■」I..

-1a01b

A.>0B.<0C.=0D.20

答案：B

小結提問，迅速回答：

I.表達不等式關系的符號有哪些?

2.用合適的符號表達下列關系：

(1)x的5倍與3的差比x的4倍大；

(2)〃的■!■的相反數(shù)是非負數(shù)：

4

(3)x的3倍不不不小于y的8倍。

3.下列不等式中，總能成立的是()

A.a2X)B.-a2<0C.2ti>aD.a2>a

作業(yè)規(guī)定：作業(yè)本

1.2不等式的基本性質(zhì)

一、教學目的

I.經(jīng)歷不等式基本性質(zhì)的探索過程，初步體會不等式與等式的異同。

2.掌握不等式的基本性質(zhì)。

二、教學重難點

不等式的基本性質(zhì)的掌握與應用。

三、教學過程設計

1.比較歸納，產(chǎn)生新知

我們懂得，在等式的兩邊都加上或都減去同一種數(shù)或整式，等式不變。

請問：假如在不等式的兩邊都加上或都減去同一種整式，那么成果會怎樣？請興幾例試一試，并與同

伴交流。

類比等式的基本性質(zhì)得出猜測：不等式的成果不變。試舉幾例險證猜測。如3V7,3+1=4,7+1=8,4

<8,因此3+1V7+1;3-5=-2,7-5=2,-2<2,因此3-5<7-5;3+a<7+a;3V7,3-aV7-a等。都能闡明

猜測的對的性。

2.探索交流，概括性質(zhì)

完畢下列填空。

2<3,2X53X5；

2<3,2x—3x—；

22

2<3,2X(-1)3X(-1)；

2<3,2X(-5)3X(-5)；

你發(fā)現(xiàn)了什么？請再舉幾例試試，與同伴交流。

通過計算成果不難發(fā)現(xiàn)：前兩個空填“V”，后三個空填

得出不等式的基本性質(zhì)：

不等式的基本性質(zhì)1:不等式的兩邊都加上(或減去)同一-種整式，不等號的方向不變。

不等式的基本性質(zhì)2：不等式的兩邊都乘以(或除以)同一種正數(shù)，不等號的方向不變。

不等式的基本性質(zhì)3：不等式的兩邊都乘以(或除以)同種負數(shù)，不等號的方向變化。

(通過自我探索與詳細的例子使學生加深對不等式性質(zhì)的印象)

3.練習鞏固，增進遷移

(1)用“〉”號或“V”號填空，并簡說理由。

①6+2________-3+2；②6X(-2)_________-3X(-2)；

③64-2_______-3+2；④6+(-2)_______-34-(-2)

(2)假如”>/九貝1」

①a+/?_______b+0②a-b___________b-c^

/a

③acbe(c>0)@-______-Cc<0)

CC

2.運用不等式的基本性質(zhì)，填或“<”：

(1)若a>b,則2a+l2b+l;

5

--y

(2)若4<10,則y-8；

(3)若。<力，.且c>0,則ac+cbc+c；

(4)若aX),b<0,c<0,(a-b)c0。

4.鞏固應用，拓展研究.

1.按照下列條件，寫出仍能成立的不等式，并闡明根據(jù)。

(I)a>b兩邊都加上-4；(2)-3a<b兩邊都除以-3；

(3)。拄外兩邊都乘以2；(4)兩邊都加上c；

2.根據(jù)不等式的性質(zhì)，把下列不等式化為x>a或xVa的形式(a為常數(shù)):

/、1、1、

(1)-x>--x-2；(2)-x<-(6-x)；

3322

(3)-3x>2；⑷-3x+2<2x+3

5.課內(nèi)深化，提高能力

比較下列各題兩式的大?。?/p>

ci。.a2-b2+2j-cz2-2b2+1

(1)——3與一；(2)a+b^a-b；(3)--------與----------

3323

6.回憶聯(lián)絡，形成構造

想一想：本節(jié)課學了哪些知識？有哪些性質(zhì)？在運用性質(zhì)時應注意什么？

(通過問題的回答，引導學生自主總結，把分散的知識系統(tǒng)化、構造化，形成知識網(wǎng)絡，完善學生的認知

構造，加深對所學知識的理解.)

7.課外作業(yè)與拓展

課外作業(yè)：書本第9頁“習題1.2”

1.3不等式的解集

一、教學目的

1.理解不等式解與解集的意義。

2.理解不等式解集的數(shù)軸表達。

二、教學重難點

重點是辨別不等式解與解集的概念，難點是在數(shù)軸上表達不等式的解集。

三、教學過程設計

1.創(chuàng)設情景，導出問題

（書本問題）燃放某中禮花彈時，為了保證安全，人在點燃導火線后要在燃放前10m以外的安全區(qū)域。

己知導火線的燃燒速度為0.02m/s,人離開的速度為4m/s,那么導火線的長度應為多少厘米？

（在建立不等式之前，先讓學生分析清晰問題中量與量之間的關系：為了使人有足夠的時間抵達安

全區(qū)域，導火線燃燒的時間應不小于人抵達安全區(qū)域的時間。）

設導火線的長度應為xcm,根據(jù)題意，得

0.02x100’彳

即x>5

2.探索交流，得出概念

I.想一想：（1）你能找出幾種使不等式x>5成立的x的值嗎？

（2）x=568能使不等式x>5成立嗎？

（字母可以表達任何數(shù)，但對于滿足x>5中的字母x,它可以取任意數(shù)嗎？假如不能，它能取哪些教

呢？啟發(fā)學生動手臉證、動腦思索，并從中初步體會不等式解的意義及不等式解與方程解的不一樣之處。）

能使不等式成立得未知數(shù)得值，叫做不等式的解。例如，6是不等式x>5一種解，7,8,9,……也是不等

式A>5的解。

一種具有未知數(shù)的不等式的所有解，構成這個不等式的解集。例如不等式x-5W?l的解集為爛4；不

等式x2>0的解集是所有非零實數(shù)。

求不等式解集的過程叫做解不等式。

2.議一議：請你用自己的方式將不等式x>5的解集和X-5W-1的解集分別表達在數(shù)軸上，并與同伴交流。

（引導學生回憶實數(shù)與數(shù)軸上點的對應關系，認識數(shù)軸上的點是有序的，實數(shù)是可以比較大小的，讓學生

用品體實數(shù)對應的點加以闡明）

3?練習鞏固，增進遷移

1.判斷下列說法與否對的：

（1）x=2是不等式x+3<4的解；

(2)x-2是不等式3xV7的解集；

(3)不等式3xV7的解是x=2；

(4)x=3是不等式3x29的解。

答案：(1)不對的；(2)不對的：(3)不對的；(4)對的。

2.在數(shù)軸上表達出下列不等式的解集：

(1)x>-l；(2)x^-1；(3)x<-l：(4)x<-l

答案：

(1)數(shù)軸上實心與空心的區(qū)別在于：空心點表達解集不包括這一點，實心點表達解集包括這一點。

(2)數(shù)軸上表達不等式的解集遵照“不小于向右走，不不小于向左走”這一原則。

4.回憶聯(lián)絡，形成構造

想一想：本節(jié)課學了哪些知識？在運用時應注意什么？

(通過問題的問答，引導學生自主總結，把分散的知識系統(tǒng)化、構造化，形成知識網(wǎng)絡，完善學生的認

知構造，加深對所學知識的理解.)

5.課外作業(yè)與拓展

課外作業(yè)：書本第12頁“習題1.3”

1.4一元一次不等式(1)

教學目的和規(guī)定:會用一元一次不等式，并能在數(shù)軸上表達其解集。

教學重點和難點：

重點：一元一次不等式的解法

難點：處理一元一次不等式時等號方向的變化。

教學過程：

1.觀測下列不等式：

(1)2x-2.5>15；(2)x<8.75(3)x<4(4)5+3x>240

這些不等式有哪些共同特點？

這些等式的左右兩邊都是整式，只具有一種未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1,象這樣的不等式，叫

做一元一次不等式。

2.先閱讀每(1)題的解法，然后仿做第(2)題，最終談談自己讀題、做題的體會。

(1)解不等式土，2土」，并把它的解集表達在數(shù)軸上。

解去分母，得3(x-2)>2(7-x)

去括號，得3x-6>14-2x

移項、合并同類項，得

5x>20

兩邊都除以5,得

這個不等式的解集在數(shù)軸上表達如下(圖M3)

-1012345678

xr—2

(2)解不等式—，并把它的解集表達的數(shù)軸上。

52

…’20

答案：x<---

其解集在數(shù)軸上表達如下圖1-40

-7-6-5-4-3-2-10

3.解不等式10-4(工-3)42(尤一1),并把它的解集在數(shù)軸上表達出來。

解答：去括號，得10-4%+12?2工一2,

移項，得10+2+12W2x+4x。

合并同類項，得24<6x

系數(shù)化為1,得得工24。

在數(shù)軸上表達不等式解集如圖

-1.AI.■」■.

-2-1012345

4.解不等式上里-匕122二L并把它的解集在數(shù)軸上表達出來。

解答：去分母，得2(y+l)-3(y)-lNy-l

答案：y<3

這個不等式的解集數(shù)軸上表達如圖

-4-3-2-101234

5.)，取何正整數(shù)時，代數(shù)式2(”1)的值不不小于10-4(y-3)的值。

解答：根據(jù)題意列出不等式：

2(y-1)<10-4(y-3)

答案：解這個不等式，得)，<4,解集4中的正整數(shù)解是：1,2,3,4o

6.解有關x的不等式：k(x+3)>x+4;

解答：去括號，得kx+3k>x+4;

答案：若k-l=0,即k=l時，0>1不成立，，不等式無解。

4一3%

若即k>l時，x>-----o

k-\

4-3k

若k-lVO,即kVl時，x<-----o

k-\

7.m取何值時，有關x的方程/-如-獨匚的解不小于1。

632

解答：解這個方程：

x-2(6/7/-1)=6x-3(5/n-1)

3m-1

??X=

5

根據(jù)題意，得網(wǎng)匚>1

5

解得m>2

3r9x—2+

8.與否存在整數(shù)m,使有關工的不等式1+與>土x+=與、CX+1是同解不等式？假如存

nrmnr3

在，求出整數(shù)m和不等式的解集；假如不存在，請闡明理由。

答案：x>-8

因此，存在符合題意的帆，當m=-ll時，兩個不等式同解，解集為X>-8。

小結：本節(jié)課我們學了什么？

作業(yè)布置

一元一次不等式(/

目的、規(guī)定：加強鞏固一元一次不等式的解法

及用數(shù)軸表達不等式的解集

理解不等式在生活中的應用

重點、難點：有分母的一元一次不等式的解法

一元一次不等式的特殊解的求法以及一元一次不等式的應用

例。解下列不等式。并把它們的解集

S在數(shù)軸上表達出來

3(y+1)y-1

2十一^~^<3--—

84

2x-l2x+510x-17,

------------>--------+1

234

7xll(x+3)13

6-7)

65

解：在不等式的兩邊同步解乘以8得；即

化簡得：

8x[2+fe^)]<[3-2zl]x8

3y+6)v24+6-16-3

11

y<一

-9

例一教師師范板演。其他學生模仿聯(lián)絡

解下列不等式.并把它們的解集在數(shù)軸上表達出來

x-\<x+12

40XI

0.5.r-T1.4>^(()45--)--

例3、一次環(huán)境保護知識競賽，共有25道題，規(guī)定答對一題得4分，答錯一或不答扣一分。

①小明得了85分，他答對了多少題？

②小立在這次競賽中被評為優(yōu)秀(85分或85分以上)，小立也許答對了多少題？她至少答對了多少

題？

解：①設小明答對了x道題，那么答錯或不答(25-x)道題。

根據(jù)題意、得4x-(25-x)=85

解這個方程、得x=22

因此小明答對了22道題。

②設小立也許答對了X道題，那么答錯或不答(25-X)道題。

根據(jù)提意，得4x-(25-x)>=85

解這個不等式，得x>=22

由于x答對題的個數(shù)，因此取不等式的正整數(shù)解，又只有25道題，因此小立也許答對了22,23,

24,25道題。她至少答對了22道題。

闡明：第一小題是列一元一次方程解應用題，第二小題是列一元一次不等式解應用題，目的是讓學生

認識兩者的區(qū)別與聯(lián)絡。

二、出示投影片2：例四、小穎準備用21元錢買筆和筆記本。已知每支筆3元，每個筆記本2.2

元，她買了2個筆記本，請你幫她算一算她還也許買幾支筆。

解：設小潁還也許買“支筆。

根據(jù)題意，得3n+2.2至21

解這個不等式，得nA16.6/3

由于n表達筆的支數(shù)，因此應取不等式的正整數(shù)解。因此小穎還也許買1支，2支，3支，4

支或5支筆。

三、讓學生交流對列不等式解應用題的認識，歸納列不等式解應用題的基本環(huán)節(jié)。

四、做17頁隨堂練習第二題

五、課下作業(yè)，習題1.5,1題，2題

六、課后小結；列不等式解應用題的一般環(huán)節(jié)：1、分析題意，清晰已知廉與未知量之間的關系,

找到題中合適的不等關系。2、疝的的設卡知數(shù)，根據(jù)不等關系列出不等式。

3、解不等式。4、在不等式的解集中選用符合題意的解。5、做出對的的結論。

隨堂練習

作業(yè)布置

1.5一元一次不等式與一次函數(shù)

一、教學目的

1.通過作函數(shù)圖象、觀測函數(shù)圖象，深入理解函數(shù)的概念，并從中初步體會一元一次不等式與一次函

數(shù)的內(nèi)在聯(lián)絡。

2.通過詳細問題初步體會一次函數(shù)的變化規(guī)律與一元一次不等式的解集的聯(lián)絡。

3.感知不等式、函數(shù)、方程的不一樣作用與內(nèi)在聯(lián)絡。

二、教學重難點

教學重點初步建立“數(shù)”(一元一次不等式)與“形”(一次函數(shù))之間的關系，根據(jù)一次函數(shù)圖象求

一元一次不等式的解集。教學難點是理解一元一次不等式與一次函數(shù)的關系。

三、教學過程設計

1.創(chuàng)設情景，導出問題

小明聽了父親的字如其人的一番教導，想到自己龍飛鳳舞的“草書”作品連自己都認不出來的笑話，

下決心練字，在第一周的前3天每天練字6頁。設每周計劃練字x頁。你能寫出x與y之間的關系式嗎？

這是一種什么函數(shù)？

若周計劃為y-38頁，則x取怎樣的值，小明才能超額完畢計劃？

（由實際問題出發(fā)引導學生回憶一次函數(shù)有關概念以及一次函數(shù)與方程的關系?；貞浰鶎W知識作

好新知識的銜接。）

回憶：①一次函數(shù)的定義。②一次函數(shù)的圖象。③直線y=kx+b與方程的聯(lián)絡。

2.探索交流，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

我們來看下面這個問題。

作出函數(shù)y=2x-5的圖象，觀測型象問答問題:

（1）、x取何值時，y=0?［提醒：

（此題摘自勵__________/

耘精品系列/

叢書《課時導

航》北師大版

八年級（下）|

P9第8題）

（讓學生認真現(xiàn)測圖象，分析圖象，初步學會用分段函數(shù)的也想去考慮問題，初步建立“數(shù)''（一元一

次不等式）與“形”（一次函數(shù)）之間的關系。使學生初步體會函數(shù)、方程、不第式都是刻畫現(xiàn)實世界中量

與量之間變化規(guī)律的重要模型，通過詳細例子滲透三者之間的內(nèi)在聯(lián)絡，協(xié)助學生從整體上認識不等式，

感受函數(shù)、方程、不等式的作用。）

5.回憶聯(lián)絡，形成構造

通過本節(jié)課的學習，你有哪些收獲？

（學生小結，教師對學生小結內(nèi)容作肯定或補充。通過學生自我總結使之深入理解函數(shù)的概念，并從中

初步體會一元一次不等式與一次函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)絡。通過詳細問題初步體會一次函數(shù)的變化規(guī)律與一元一次

不等式的解集的聯(lián)絡。使學生從整體上認識不等式，感受函數(shù)、方程、不等式的作用。）

6.課外作業(yè)與拓展

課外作業(yè)：書本第19頁“讀一讀”、第20頁“習題1.6”

課外拓展：參見勵耘精品系列叢書《課時導航》北師大版八年級（下）P7-P10

1.6一元一次不等式經(jīng)

第一課時

一、教學目的：

1.知識目的：

①理解一元一次不等式組解集的概念，掌握一元一次不等式組的解法.

②會運用數(shù)軸較簡樸的一元一次不等式組

③通過練習，理解并掌握一元一次不等式組解集的幾種狀況.

2.能力目的：

①通過運用數(shù)軸來尋求不等式組的解，培養(yǎng)學生的觀測能力、分析能力，

②讓學生從練習中發(fā)現(xiàn)不等式組解集的四種狀況，以培養(yǎng)學生歸納總結能力.

3.情感目的：

將不等式組的解法和歸納留給學生在交流、討論中完畢，培養(yǎng)學生養(yǎng)成良好的學習習慣和轉變一

種觀念一一將老師與學習伙伴當作是自己有利的學習資源。

二、教學重難點：

教學重點：在緊密聯(lián)絡不等式的同步，理解不等式組解集的意義。教學難點：借助數(shù)形結合的措施找

出不等式的解集。

三、教學過程設計：

1.回憶舊知，探索發(fā)展

回憶：解下列不等式，并把它的解集在數(shù)軸上表達出來。

(1)2x+3>5(2)6x—5Wl

(讓學生上臺演示，注意指導其解題的規(guī)范性)

探索：用每分鐘可抽30噸水的抽水機來抽污水管道里積存的污水，估計積存的污水在1200噸到1500

噸之間，那么大概需要多長時間才能將污水抽完？

分析：設需要x分鐘才能將污水抽完，那么總的抽水量應為30x噸。由題意，積存的污水在1200噸

到1500噸之間,因此，應有

1200^30x^1500

(通過一種詳細的問題引入一元一次式組的概念。學生在研究這一詳細問題時，自然感知到要處理的

問題同步滿足兩個約束條件，而這兩個約束條件都是不等式。這樣引入不等式組比較自然)

上式實際上包括了兩個不等式

30x21200和30xWI500

它闡明要這個實際問題中，未知量X應同步滿足這兩個條件“

我們把這兩個一元一次不等式合在一起，就得到一種一元一次不等式組：

30x>1200

"30x<1500

(你能嘗試找出符合上面一元一次不等式組的未知數(shù)的值嗎？與同伴交流。學生可以通過列表、畫數(shù)

軸圖的措施，尋求不等式組的解。要讓學生在充足交流的基礎上體會尋找不等式的公共解的措施。)

分別求這兩個不等式的解集，得

fx>40

[x<50

同步滿足①?的未知數(shù)X應是個不等式的解集的公共部分。

在數(shù)軸上表達出來

4050

，x應取40WxW50

這就是所列不等式組的解集。即答案為：大概需要4。到50分鐘才能將污水抽完。

概括：

幾種不等式的解集的公共部分，叫做由它們所構成的不等式組的解集。

解一元一次不等式組，其環(huán)節(jié)一般為：

(1)先分別求出不等式組中的每一種不等式的解集；

(2)在數(shù)軸上把它們的解集表達出來；

(3)找出解集的公共部分，即不等式組的解集。

2?練習鞏固，增進遷移

(1)例題：解不等式組

3x-l)2x+l

’2?8

解：解不等式①，得x>2

解不等式②，得x>4

在數(shù)軸上表達出①②的解集

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