第4節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系高考總復習優(yōu)化設(shè)計GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2025課標解讀1.能根據(jù)給定直線、圓的方程,判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系.2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的數(shù)學問題與實際問題.1強基礎(chǔ)固本增分2研考點精準突破目錄索引

1強基礎(chǔ)固本增分知識梳理1.直線與圓的位置關(guān)系直線Ax+By+C=0(A2+B2≠0)與圓(x-a)2+(y-b)2=r2的位置關(guān)系及判定方法直線和圓相交,兩交點之間的線段叫做相交弦

<=>>=<2.圓與圓的位置關(guān)系

位置關(guān)系幾何法:圓心距d與r1,r2的關(guān)系代數(shù)法:兩圓方程聯(lián)立組成方程組的解的情況外離

外切

一組實數(shù)解相交

兩組不同的實數(shù)解內(nèi)切d=|r1-r2|(r1≠r2)

內(nèi)含0≤d<|r1-r2|(r1≠r2)

判斷兩圓的位置關(guān)系一般用幾何法

d>r1+r2無實數(shù)解

d=r1+r2|r1-r2|<d<r1+r2一組實數(shù)解

無實數(shù)解

微點撥兩圓的位置關(guān)系與公切線的條數(shù)

(1)內(nèi)含:0條;(2)內(nèi)切:1條;(3)相交:2條;(4)外切:3條;(5)外離:4條.誤區(qū)警示對于圓與圓的位置關(guān)系,從交點的個數(shù),也就是方程組的解的個數(shù)來判斷,有時得不到確切的結(jié)論.如當Δ<0時,需要再根據(jù)圖形判斷兩圓是外離還是內(nèi)含;當Δ=0時,還需要判斷兩圓是外切還是內(nèi)切.常用結(jié)論1.圓的切線方程常用結(jié)論(1)過圓x2+y2=r2上一點P(x0,y0)的圓的切線方程為x0x+y0y=r2;(2)過圓(x-a)2+(y-b)2=r2上一點P(x0,y0)的圓的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2;(3)過圓x2+y2=r2外一點M(x0,y0)作圓的兩條切線,則兩切點所在直線方程為x0x+y0y=r2.2.圓與圓的位置關(guān)系的常用結(jié)論(1)兩圓相交時公共弦的方程設(shè)圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,①圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,②若兩圓相交,則有一條公共弦,其公共弦所在直線的方程可由①-②得到,即(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.(2)兩個圓系方程①過直線Ax+By+C=0與圓x2+y2+Dx+Ey+F=0交點的圓系方程:x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R);②過圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交點的圓系方程:x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)(其中不含圓C2,所以注意檢驗C2是否滿足題意,以防漏解).自主診斷題組一思考辨析(判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)1.若兩圓相切,則有且只有一條公切線.(

)2.如果兩個圓的方程組成的方程組只有一組實數(shù)解,則兩圓外切.(

)3.如果直線與圓組成的方程組有解,則直線與圓相交或相切.(

)4.如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和,則兩圓相交.(

)××√×題組二回源教材5.(人教A版選擇性必修第一冊2.5.2節(jié)例5改編)圓O1:x2+y2=1與圓O2:x2+y2-4x+1=0的位置關(guān)系為(

)A.相交

B.外離

C.外切

D.內(nèi)切A解析

圓O1:x2+y2=1的圓心為O1(0,0),半徑為r1=1.圓O2:x2+y2-4x+1=0的圓心為O2(2,0),半徑為r2=|O1O2|=2,r2-r1<|O1O2|<r2+r1,所以兩圓相交.6.(人教A版選擇性必修第一冊2.5.1節(jié)例2改編)過點P(2,1)作圓O:x2+y2=1的切線l,則切線l的方程是

.

y=1或4x-3y-5=07.(人教A版選擇性必修第一冊第93頁練習第3題改編)直線2x-y+2=0被圓(x-1)2+(y-2)2=4截得的弦長為

.

題組三連線高考8.(2020·全國Ⅰ,文6)已知圓x2+y2-6x=0,過點(1,2)的直線被該圓所截得的弦的長度的最小值為(

)A.1 B.2

C.3

D.4B9.(2022·全國甲,理14)若雙曲線y2-=1(m>0)的漸近線與圓x2+y2-4y+3=0相切,則m=

.

2研考點精準突破考點一直線與圓的位置關(guān)系例1(1)(2024·安徽蚌埠模擬)直線l:x+my+1-m=0與圓C:(x-1)2+(y-2)2=9的位置關(guān)系是(

)A.相交

B.相切

C.相離

D.無法確定A解析

已知直線l:x+my+1-m=0過定點(-1,1),將點(-1,1)代入圓的方程可得(-1-1)2+(1-2)2<9,可知點(-1,1)在圓內(nèi),所以直線l:x+my+1-m=0與圓C:(x-1)2+(y-2)2=9相交.(2)(多選題)(2021·新高考Ⅱ,11)已知直線l:ax+by-r2=0與圓C:x2+y2=r2,點A(a,b),則下列說法正確的是(

)A.若點A在圓C上,則直線l與圓C相切B.若點A在圓C內(nèi),則直線l與圓C相離C.若點A在圓C外,則直線l與圓C相離D.若點A在直線l上,則直線l與圓C相切ABD

[對點訓練1](2022·新高考Ⅱ,15)設(shè)點A(-2,3),B(0,a),直線AB關(guān)于直線y=a的對稱直線為l,已知l與圓C:(x+3)2+(y+2)2=1有公共點,則a的取值范圍為

.

考點二圓的切線、弦長問題(多考向探究預測)考向1切線問題例2(1)(2024·江蘇南京師大附中模擬)過點P(3,-2)且與圓C:x2+y2-2x-4y+1=0相切的直線方程為

.

x=3或3x+4y-1=0解析

將圓C的一般方程化為標準方程為(x-1)2+(y-2)2=4,得圓心C(1,2),半徑為r=2,因為(3-1)2+(-2-2)2>4,所以點P在圓C外.當過點P(3,-2)的直線斜率不存在時,直線方程為x=3,易知此直線是圓C的切線,滿足題意;當過點P(3,-2)的直線斜率存在時,可設(shè)直線的斜率為k,則直線方程為y+2=k(x-3),(2)(2021·天津,12)若斜率為

的直線與y軸交于點A,與圓x2+(y-1)2=1相切于點B,則|AB|=

.

[對點訓練2](2024·廣西南寧模擬)已知圓C:(x-1)2+(y+2)2=5和直線l:x+2y-9=0,則與直線l平行且與圓C相切的直線方程為

.

x+2y+8=0或x+2y-2=0考向2弦長問題例3(1)(2024·海南?？谀M)已知直線3x-4y+2=0與圓C:x2+y2-2x-5=0交于A,B兩點,則|AB|=

.

(2)(2022·天津,12)若直線x-y+m=0(m>0)與圓(x-1)2+(y-1)2=3相交所得的弦長為m,則m=

.

2[對點訓練3](1)(2023·新高考Ⅱ,15)已知直線x-my+1=0與☉C:(x-1)2+y2=4交于A,B兩點,寫出滿足“△ABC面積為”的m的一個值

.

2解析

由條件知圓心C(1,0),點C到直線x-my+1=0的距離

(2)已知圓M的方程為x2+y2-6x-8y=0,過點P(0,4)的直線l與圓M相交的所有弦中,弦長最小的弦為AC,弦長最大的弦為BD,則四邊形ABCD的面積為

.

40解析

由題可知圓M的標準方程為(x-3)2+(y-4)2=25,即圓是以M(3,4)為圓心,5為半徑的圓.因為(0-3)2+(4-4)2=9<25,所以P(0,4)在圓內(nèi),所以最短的弦考點三圓與圓的位置關(guān)系例4(1)(2024·四川遂寧模擬)若圓C1:(x-1)2+y2=1與圓C2:(x-5)2+(y-3)2=30-m有且僅有3條公切線,則m=(

)A.14 B.28

C.9

D.-11A解析

圓C1:(x-1)2+y2=1的圓心C1(1,0),半徑r1=1,(2)(2024·湖南邵陽模擬)已知圓x2+y2+2x-4y-5=0與圓x2+y2+2x-1=0相交于A,B兩點,則公共弦AB所在的直線方程為

,|AB|=

.

y=-12解析

由圓x2+y2+2x-4y-5=0與圓x2+y2+2x-1=0,可得公共弦AB所在的直線方程為(x2+y2+2x-4y-5)-(x2+y2+2x-1)=0,即y=-1.[對點訓練4](1)(多選題)(2024·廣東珠海模擬)已知圓C1:x2+y2=9與圓C2:(x-3)2+(y-4)2=16,下列說法正確的是(

)A.C1與C2的公切線恰有4條B.C1與C2相交弦所在直線的方程為3x+4y-9=0C.C1與C2相交弦的長為D.若P,Q分別是圓C1,C2上的動點,則|PQ|max=12BD