高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)應(yīng)用教案與講義一、引言：三角函數(shù)的“用武之地”同學(xué)們，我們已經(jīng)系統(tǒng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的定義、圖像、性質(zhì)以及三角恒等變換。這些知識(shí)不僅僅是紙上的符號(hào)和公式，它們是描述現(xiàn)實(shí)世界中周期性現(xiàn)象、幾何關(guān)系的強(qiáng)大工具。從古希臘的天文觀(guān)測(cè)到現(xiàn)代工程技術(shù)，從物理運(yùn)動(dòng)學(xué)到音樂(lè)聲波分析，三角函數(shù)都扮演著不可或缺的角色。本節(jié)課，我們將聚焦于三角函數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題和幾何問(wèn)題中的應(yīng)用，體會(huì)“數(shù)”與“形”的完美結(jié)合，感受數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值。二、教學(xué)目標(biāo)1.知識(shí)與技能：*能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理解決三角形中的邊長(zhǎng)、角度計(jì)算問(wèn)題。*能夠運(yùn)用三角函數(shù)的定義（如正弦、余弦、正切）解決與直角三角形相關(guān)的實(shí)際測(cè)量問(wèn)題（如高度、距離、方位角等）。*初步體會(huì)將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)模型（尤其是三角形模型）的思想方法。*能夠綜合運(yùn)用三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)、三角恒等變換解決一些簡(jiǎn)單的綜合性問(wèn)題。2.過(guò)程與方法：*通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的分析與解決，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力和空間想象能力。*通過(guò)例題探究和變式訓(xùn)練，提升學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，以及知識(shí)遷移能力。*引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“問(wèn)題情境—抽象概括—數(shù)學(xué)建?！蠼怛?yàn)證”的過(guò)程。3.情感態(tài)度與價(jià)值觀(guān)：*感受數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問(wèn)題中的工具性作用，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)。*在探究過(guò)程中體驗(yàn)成功的喜悅，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。*培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S習(xí)慣和精益求精的治學(xué)態(tài)度。三、教學(xué)重難點(diǎn)*重點(diǎn)：正弦定理、余弦定理的靈活應(yīng)用；將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解三角形問(wèn)題。*難點(diǎn)：如何將文字描述的實(shí)際問(wèn)題準(zhǔn)確地轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)圖形和符號(hào)語(yǔ)言，構(gòu)建合適的三角形模型；在復(fù)雜問(wèn)題中選擇恰當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)知識(shí)和定理進(jìn)行求解。四、教學(xué)過(guò)程（一）溫故知新：知識(shí)的“串聯(lián)”與“激活”在進(jìn)入應(yīng)用之前，我們簡(jiǎn)要回顧幾個(gè)核心知識(shí)點(diǎn)，它們是解決所有問(wèn)題的基礎(chǔ)：1.直角三角形中的三角函數(shù)定義：在Rt△ABC中，∠C=90°，則：sinA=對(duì)邊/斜邊=a/c；cosA=鄰邊/斜邊=b/c；tanA=對(duì)邊/鄰邊=a/b。（強(qiáng)調(diào)：這些定義是解決直角三角形應(yīng)用問(wèn)題的直接依據(jù)）2.正弦定理：在任意△ABC中，a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(R為△ABC外接圓半徑)。（強(qiáng)調(diào)：適用于任意三角形，已知兩角一邊或兩邊一對(duì)角時(shí)求其他元素）3.余弦定理：在任意△ABC中，a2=b2+c2-2bccosA；b2=a2+c2-2accosB；c2=a2+b2-2abcosC。（強(qiáng)調(diào)：適用于任意三角形，已知兩邊及其夾角或已知三邊時(shí)求其他元素）4.一些基本概念：*仰角與俯角：在視線(xiàn)與水平線(xiàn)所成的角中，視線(xiàn)在水平線(xiàn)上方的叫做仰角，在水平線(xiàn)下方的叫做俯角。*方位角：從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線(xiàn)的水平角，通常用度表示。例如“北偏東30°”，“南偏西45°”（也可稱(chēng)西南方向）。（二）例題精講與模型構(gòu)建下面，我們通過(guò)幾個(gè)典型例題，來(lái)具體看看三角函數(shù)是如何應(yīng)用的。類(lèi)型一：測(cè)量高度（不可及底部）例1：如圖，為了測(cè)量一座山的高度（山頂相對(duì)于山腳的垂直高度），某測(cè)量小組在山腳下的A點(diǎn)測(cè)得山頂P的仰角為α。然后他們沿著水平方向前進(jìn)了一段距離到達(dá)B點(diǎn)，在B點(diǎn)測(cè)得山頂P的仰角為β。已知A、B兩點(diǎn)間的距離為m，求山的高度h。（假設(shè)測(cè)量?jī)x器的高度忽略不計(jì)，α>β）分析與解答：首先，我們根據(jù)題意畫(huà)出示意圖。設(shè)山腳為點(diǎn)C（P在地面上的投影），則PC=h，AC和BC分別是A、B兩點(diǎn)到山腳C的水平距離。∠PAC=α，∠PBC=β，AB=m。在Rt△PAC中，tanα=PC/AC=h/AC?AC=h/tanα。在Rt△PBC中，tanβ=PC/BC=h/BC?BC=h/tanβ。觀(guān)察圖形可知，AC-BC=AB=m。因此，h/tanα-h/tanβ=m。解關(guān)于h的方程：h(1/tanα-1/tanβ)=m?h=m/(1/tanα-1/tanβ)。我們可以將1/tanα化為cotα，即h=m/(cotα-cotβ)。這就是山高的計(jì)算公式。思考與拓展：*如果考慮測(cè)量?jī)x器的高度，比如人眼離地面高度為k，那么公式會(huì)如何修正？（山頂P的仰角是相對(duì)于人眼的視線(xiàn)，因此PC=h+k，而AC、BC的計(jì)算不變，最終h=[m/(cotα-cotβ)]-k）*這個(gè)模型的關(guān)鍵在于構(gòu)造了兩個(gè)共底邊（PC）的直角三角形，利用公共邊h和水平距離差建立方程。類(lèi)型二：測(cè)量距離（兩點(diǎn)間不可直達(dá)）例2：如圖，一條河的兩岸有A、B兩點(diǎn)，現(xiàn)要測(cè)量A、B兩點(diǎn)間的距離。測(cè)量者在岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)得AC的距離為n，BC的距離為p，∠ACB=γ。求A、B兩點(diǎn)間的距離。分析與解答：這是一個(gè)典型的已知兩邊及其夾角求第三邊的問(wèn)題，直接應(yīng)用余弦定理。在△ABC中，已知AC=n，BC=p，∠ACB=γ。根據(jù)余弦定理：AB2=AC2+BC2-2·AC·BC·cosγ即AB=√(n2+p2-2npcosγ)。模型提煉：這是“已知兩邊夾一角”模型，直接使用余弦定理。如果已知的是兩角一邊，則用正弦定理。類(lèi)型三：航海與方位角問(wèn)題例3：一艘船從港口O出發(fā)，向正東方向航行，速度為每小時(shí)v海里。在A處時(shí)，測(cè)得一個(gè)小島M在北偏東θ方向上。航行t小時(shí)后到達(dá)B處，此時(shí)測(cè)得小島M在北偏東φ方向上。求此時(shí)船與小島M的距離BM。分析與解答：根據(jù)題意，OA方向?yàn)檎龞|，OB=OA+AB，但這里OA是出發(fā)點(diǎn)到A點(diǎn)的距離嗎？不，題目說(shuō)“在A處時(shí)”，可能A就是出發(fā)點(diǎn)O？哦，不，應(yīng)該是從港口O出發(fā)，先向正東航行到A處，此時(shí)測(cè)M點(diǎn)。然后繼續(xù)向正東航行t小時(shí)到達(dá)B處，OB=OA+AB，AB=v*t。我們重新梳理：設(shè)港口為O，船從O出發(fā)向正東行駛，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間到達(dá)A，此時(shí)∠MOA為北偏東θ，即∠MOA=90°-θ（從正東轉(zhuǎn)向正北為90°，北偏東θ，所以與正東方向夾角是90°-θ？或者我們更規(guī)范地定義方位角。）規(guī)范作圖與角度定義：以O(shè)為原點(diǎn)，正東方向?yàn)閤軸正方向，正北方向?yàn)閥軸正方向建立坐標(biāo)系。在A處，小島M在北偏東θ方向，即從正北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ角到OM方向。因此，直線(xiàn)AM與y軸正方向（正北）的夾角為θ，那么它與x軸正方向（正東）的夾角就是90°-θ。同理，在B處，小島M在北偏東φ方向，即直線(xiàn)BM與y軸正方向的夾角為φ，與x軸正方向的夾角為90°-φ。設(shè)OA=d（這是從O到A的距離，題目未直接給出，可能A就是O點(diǎn)？如果題目說(shuō)“從港口O出發(fā)，向正東方向航行，在A處時(shí)...”，那么A就是航行中的一點(diǎn)。我們假設(shè)船從O出發(fā)，t1小時(shí)后到達(dá)A，此時(shí)測(cè)角；再航行t小時(shí)到達(dá)B，OB=OA+AB=vt1+vt=v(t1+t)。但題目只給了t，因此可能A點(diǎn)就是出發(fā)點(diǎn)O？或者題目條件是“出發(fā)后某時(shí)刻到達(dá)A處”，我們?cè)O(shè)OA=x，AB=vt=m（令m=vt）。在△ABM中，我們已知AB=m，∠MAB=180°-(90°-θ)=90°+θ？或者我們?cè)凇鱋MB和△OMA中分析。在△OMA中，∠MOA=90°-θ（如果M在北偏東θ，那么從O點(diǎn)看，M的方位角是θ，即從正北順時(shí)針θ，所以與x軸正向夾角為90°-θ），OA=x，OM為未知邊。在△OMB中，∠MOB=90°-φ，OB=x+m，OM為未知邊。在△OMA中，由正弦定理：OM/sin∠OAM=OA/sin∠OMA。在△OMB中，由正弦定理：OM/sin∠OBM=OB/sin∠OMB。這個(gè)角度關(guān)系可能比較復(fù)雜。或許更簡(jiǎn)單的是，過(guò)M作MC⊥x軸于C，設(shè)MC=h（M點(diǎn)的縱坐標(biāo)），OC=k（M點(diǎn)的橫坐標(biāo)）。在A處，A點(diǎn)坐標(biāo)為(x,0)，M點(diǎn)坐標(biāo)為(k,h)。MA的方向是北偏東θ，即向量AM=(k-x,h-0)=(k-x,h)。北偏東θ意味著這個(gè)向量在第二象限（如果k<x），其與正北方向（向上，即y軸正方向）的夾角為θ。因此，向量AM與y軸正方向的夾角為θ，那么：cosθ=(h)/|AM|，sinθ=(x-k)/|AM|（因?yàn)閗-x是負(fù)的，x-k是A到M的水平距離，向西的距離）。所以tanθ=(x-k)/h?x-k=htanθ?k=x-htanθ。在B處，B點(diǎn)坐標(biāo)為(x+m,0)，向量BM=(k-(x+m),h)=(k-x-m,h)。M在北偏東φ方向，同理：tanφ=((x+m)-k)/h?(x+m)-k=htanφ?k=x+m-htanφ?，F(xiàn)在我們有兩個(gè)關(guān)于k的表達(dá)式：k=x-htanθk=x+m-htanφ兩式相等：x-htanθ=x+m-htanφ?-htanθ=m-htanφ?h(tanφ-tanθ)=m?h=m/(tanφ-tanθ)。要求的是BM的距離。在Rt△MBC中，BC=(x+m)-k=htanφ（由上面tanφ的表達(dá)式），MC=h，所以BM=√(BC2+MC2)=√((htanφ)^2+h^2)=h√(tan2φ+1)=hsecφ=h/cosφ。因?yàn)閔=m/(tanφ-tanθ)，所以BM=m/[(tanφ-tanθ)cosφ]。利用tanφ=sinφ/cosφ，tanθ=sinθ/cosθ，化簡(jiǎn)分母：(tanφ-tanθ)cosφ=(sinφ/cosφ-sinθ/cosθ)cosφ=sinφ-(sinθcosφ)/cosθ?；蛘撸覀兛梢詫M用h和φ表示，h已知，所以BM=h/sin(90°-φ)=h/cosφ，這和上面是一致的。代入h的值即可得到BM。這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確理解方位角的含義，并通過(guò)構(gòu)建直角三角形，利用正切函數(shù)找到邊與角的關(guān)系，最終求解。類(lèi)型四：幾何圖形中的綜合應(yīng)用例4：在△ABC中，已知AB=c，AC=b，∠BAC=α。D是BC邊上的一點(diǎn)，且BD:DC=m:n。求AD的長(zhǎng)度。分析與解答：這是一個(gè)平面幾何中的線(xiàn)段長(zhǎng)度計(jì)算問(wèn)題，可以用余弦定理結(jié)合向量方法，或者直接用余弦定理分步求解。方法一（余弦定理）：首先，在△ABC中，利用余弦定理求出BC的長(zhǎng)度a：a2=b2+c2-2bccosα。然后，因?yàn)锽D:DC=m:n，所以BD=(m/(m+n))a，DC=(n/(m+n))a。設(shè)AD=x，在△ABD中，由余弦定理：BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos∠BAD?(ma/(m+n))2=c2+x2-2cxcos∠BAD...(1)在△ACD中，由余弦定理：DC2=AC2+AD2-2AC·ADcos∠CAD?(na/(m+n))2=b2+x2-2bxcos∠CAD...(2)又因?yàn)椤螧AD+∠CAD=α，設(shè)∠BAD=β，則∠CAD=α-β。但這樣引入了新的變量β，我們需要消去它。由(1)式：2cxcosβ=c2+x2-(m2a2)/(m+n)2...(3)由(2)式：2bxcos(α-β)=b2+x2-(n2a2)/(m+n)2...(4)將cos(α-β)展開(kāi)：cosαcosβ+sinαsinβ。這會(huì)比較繁瑣。我們可以考慮另一種方法，即利用向量或坐標(biāo)法。方法二（坐標(biāo)法）：以A為原點(diǎn)，AB所在直線(xiàn)為x軸正方向建立坐標(biāo)系。則A(0,0)，B(c,0)，C(bcosα,bsinα)。D是BC上一點(diǎn)，BD:DC=m:n，根據(jù)定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式，D點(diǎn)坐標(biāo)為：D_x=(n*B_x+m*C_x)/(m+n)=(nc+mbcosα)/(m+n)D_y=(n*B_y+m*C_y)/(m+n)=(0+mbsinα)/(m+n)=(mbsinα)/(m+n)因此，AD的長(zhǎng)度為√(D_x2+D_y2)。代入D_x和D_y：AD2=[(nc+mbcosα)/(m+n)]2+[(mbsinα)/(m+n)]2=[n2c2+2mnbccosα+m2b2cos2α+m2b2sin2α]/(m+n)2=[n2c2+2mnbccosα+m2b2(cos2α+sin2α)]/(m+n)2=[m2b2+n2c2+2